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Full text of "L'Enseignement mathématique"

M>^h,:\ 



L'EiNSEIGNRMENT 



AJ HE M Aï [QUE 



L'Knseigneiiicnl inathoin.. lô" imciie ; 11113. 



Digitized by the Internet Archive 

in 2010 with funding from 

University of Ottawa 



http://www.archive.org/details/lenseignementmat15inte 



r^,^^^ 
£^^ 



L'ENSEIGNEMENT 

MATHÉMATIQUE 

mi; I HODOl.OCIE Kl' OIUJANISATION DK l' KXSRICNEM ENT 

l'HILOSOl'HIE ET HISTOIHE DES MATHEMATIQUES 

CHIiOMQUE SCIEXTIFIQUK — ME LANCES B I lU, l O C lî A !• H I E . 

REVUE INTERNATIONALE 

l'A HAÏSSANT TOUS L K S DKUX MOIS 
DiaiGÉE PAR 

C.-A LAISANT H. FEHR 



Docteur es si-iences. 

Ancien examinateur d'admission à l'Ecole 

polytechnique de Paris. 



Uocteur es sciences, 

Professeur à l'Universiié 

(la Genève. 



AVEC I.A. COM.ABOKATION DIC 

A BUHL 

Docteur es sciences 

Professeur A la Faculté des Sciences de Toulouse. 

COIVUTÉ DE PATRONAGE 

P. APPELL ( Paris).— -MoR. CANTOR (Heidelberg). - E. CZUBER (Vienne). — W.-P. ERMAKOF(Kiel) 

J. FRANEL (Zurich». — Z -G. de GALDEANOtSaragosse). - Sir G. 6REENHILL (Londres). 

F.KLEIN(Gôtlingen).— G.LORIA (Gènes). - P.MANSION (Gand). - MITTA6-LEFFLER(StockhoIraV 

E. PICARD (Paris). — P.-H. SCHOUTE (Groningue). 

Dav.-Eug. SMITH (New-Yorki. - C. STEPHANOS (Athènes). — F. Gomes TEIXEIRA (Portoi. 

A. VASSILIEF (Kasan). - A. ZIWET lAnn Arbor, Michigan, U. S. A.) 



Organe officiel de la Cununissiun internationale de i Enseignement mathématique. 



QUINZIEME ANNEE 

1913 




PARIS 
GAUTHIER-VILL.\RS, ÉDITEUR 



GENEVE 
(jEORG >k C'e, ÉDITEURS 



I9J3 



:?// 



':)'. 



GEMCVl; 
IMI'KI.MF.RII-; AI BF.KT KU.NDIC. 



AUX LECTEUHS 

DE 

L ENSEIGNEMENT MATHÉMATIQUE » 



Notre Revue, avec le présent numéro, commence sa 
quinzième année. Il n'est pas sans intérêt, clans les con- 
ditions actuelles, au lendemain presque du Congrès de 
Cambridge, de jeter un rapide coup d'oeil en arrière, d'en 
déduire quelques conséquences probables pour l'avenir, 
et d'indiquer les conclusions qui s'ensuivent, à notre avis, 
et qui méritent l'attention de nos lecteurs. 

Lors de la création de L'Enseignement mathématique, 
notre pensée dominante fut de faire plus complètement 
connaître aux professeurs de chaque pays les efforts qui 
se produisaient dans les autres, à tous les degrés de l'en- 
seignement. De toutes parts, une très grande bonne vo- 
lonté était dépensée par les professeurs, en vue de per- 
fectionner les programmes et les méthodes, de mieux 
associer entre elles les diverses branches ou les diverses 
catégories de l'enseignement, d'organiser partout celui-ci 
de manière à répondre le mieux j)ossible aux besoins des 
élèves qui le reçoivent. Mais en général les programmes, 
les méthodes, l'organisation et les projets de perfection- 
nements des pays étrangers, même des pays voisins, res- 



6 LES DIRECTEURS 

talent inconnus, ou tout au moins connus incomplète- 
ment et imparfaitement de Timmense majorité. 

L'œuvre à entreprendre avait donc et n a cessé de 
conserver un caractère essentiellement international. Le 
Congrès de Zurich s'était tenu en 1897 avec un plein 
succès ; sans cette circonstance nous n'aurions sans 
doute pas osé tenter la création de notre Revue. Les 
sciences mathématiques, internationales autrefois, alors 
qu'elles étaient cultivées et représentées par un tout 
petit nombre d'hommes se servant du latin, avaient 
perdu ce caractère, si nécessaire à leurs progrès ; les 
Congrès les lui ont rendu sous une forme plus moderne. 
Et L'Enseignement mathéinati(/Lie, s'associant à cette 
évolution, s'est efforcé d'en faire profiter les profes- 
seurs, et non plus seulement les chercheurs. 

De nombreuses monographies sur l'organisation de 
l'enseignement dans la plupart des pavs, des enquêtes 
Comme celle sur la méthode de travail des mathéma- 
ticiens, et surtout les efforts qui ont abouti à la création 
de la Commission de lenseiernement au Consfrès de Rome 
(1908) n'ont cessé de marquer cette préoccupation inter- 
nationale dont nous nous sommes toujours inspirés. Sans 
forfanterie, nous avons le droit de nous en réjouir, car le 
mérite des succès obtenus revient pour une g-rosse part à 
nos collaborateurs, sans lesquels notre initiative serait 
sûrement restée stérile. 

Aujourd'hui, après le Congrès de Cambridge, alors que 
1 œuvre de la Commission internationale de 1 enseio-ne- 
ment doit être poursuivie pendant quatre années au 
moins, et que de nouvelles propositions utiles semblent 
devoir surgir, il faut plus que jamais persévérer, et mul- 
tiplier les efforts qui tendent vers des améliorations pro- 
fitables à tous. 



A UX LECTEURS 7 

Avec un programme tel que le nôtre, et la volonté de 
ne jamais donner à notre Revue un caractère parti cula- 
riste, il est permis de s'étonner — et quelques-uns se 
sont étonnés — que L'Enseignement mathématique ait 
été rédigé exclusivement jusqu'ici dans une seule langue. 
Au début, ce fut presque une obligation. En ne nous y 
soumettant pas, nous risquions de compromettre l'œuvre 
entreprise. 

Mais aujourd hui les Congrès internationaux successifs 
ont fait leurs preuves. Et la Commission internationale 
de l'enseignement mathématique a fait choix de notre 
Revue comme organe accrédité. Or, dans ces Congrès, 
les quatre langues principales: allemand, anglais, fran- 
çais et italien sont en usage. D'autre part, l'emploi de la 
langue internationale espéranto s'est généralisé de plus 
en plus. 

Dans ces conditions, nous avons résolu d'admettre des 
articles rédigés dans l'une des cinq langues précitées, 
tout en conservant en principe l'usage du français pour 
la plupart des rubriques. Nous voyons à cette modifica- 
tion plusieurs avantages. D'abord, pour la reproduction 
de discours ou de conférences, nous évitons le risque 
d'un affaiblissement de la forme qu'apporte souvent la 
meilleure des traductions. En second lieu, c'est une satis- 
faction légitime donnée à nos confrères des divers pays. 
Enfin, pour certains documents, la traduction peut faire 
perdre du temps et amener des retards appréciables, 
alors que les documents dont il s'agit présentent un ca- 
ractère d'urgence. 

Nous devons ajouter qu'un assez grand nombre de pu- 
blications scientifiques, mathématiques ou autres, dont 
le caractère international n'est assurément pas plus ac- 
centué que celui de L'Enseignement mathématique, sont 



8 LES DIRECTEURS 

entrées dans cette voie depuis un certain nombre d'an- 
nées. 

En terminant, c'est pour nous un devoir d'apporter à 
nos collaborateurs, depuis les plus illustres jusqu'aux 
plus modestes, l'expression d'une gratitude bien méritée; 
et nous leur demandons à tous de nous continuer leurs 
marques de bienveillance. Nous avons même la certitude 
qu'à ceux d hier et d'aujourd hui viendront s'en adjoindre 
d'autres, grâce aux facilités nouvelles que nous leur of- 
frons. 

Entouré de tous ces appuis, aidé de tous ces concours, 
L'Enseiotiement mathématique s'efforcera de poursuivre 
sa mission éducative, qui est en même temps une œuvre 
de concorde et d'harmonie; car tous les hommes, dans 
tous les pays, sous toutes les latitudes, directement ou 
indirectement, sont intéressés au progrès de la science, 
dont le progrès de l'enseignement ne saurait être séparé. 

Les Directeurs : 
C.-A. Laisant. h, Fehr. 




Pholotypij SAOAQ, 




•:^^^^ 



HENRI POINCARE 



Ainsi que L'Enseignement Mathématique l'a annoncé 
dans son numéro du 15 septembre 1912, nous ne pouvons 
laisser passer la disparition si douloureuse et si prématurée 
d'Henri Poincaré, sans consacrer à son souvenir un peu plus 
qu'une courte notice nécrologique. 

Je suis très sensible à l'honneur que me fait la Rédaction 
de cette Revue, en me confiant la tâche de jeter un coup 
d'œil sur une des œuvres mathématiques les plus gigantes- 
ques ; mais, à coup sur, je ne remplirai cette tâche que très 
imparfaitement. 

Ceux qui ont complètement étudié et entièrement compris 
l'œuvre d'Henri Poincaré sont certainement fort peu nom- 
breux, surtout si l'on considère l'œuvre et non des fragments 
qui peuvent être développés pour des raisons d'intérêt particu- 
lier. Tout au plus, peut-on imaginer et souhaiter l'avènement 
dune école qui marchera sur les traces du Maître, retrou- 
vera par d'autres méthodes bien des résultats qui semblent 
peu accessibles aux géomètres de niveau moyen, école qui 
donnera l'impression de faire des découvertes en mettant 
simplement au grand jour les richesses d'une mine repérée 
en son ensemble mais encore bien peu exploitée. 

Ce qui suit est forcément très incomplet, parce qiie je me 
suis surtout attaché à parler de ce que je connaissais. Ce n'est 
qu'un effort obscur où je n'ai pu mettre toute la science mais 
seulement toute mon admiration. 

Il n'est pas entré non plus dans mes conceptions de donner 



I/Rnseignement inathéni., 15" annije: 191'.! 



10 A. BUIIL 

de longs détails biographiques et encore moins de faire une 
bibliographie analytique. Je ne pourrais mieux faire que n'a 
fait M. Ernest Lebon dans sa Collection des Savants du Jour ; 
le volume qu'il consacre à Henri Poincaré vient d'avoir sa 
deuxième édition arrêtée au 25 mai 1912 alors que le grand 
géomètre est mort le 17 juillet. Le plus remarquable est 
qu'entre ces deux dates si rapprochées, ce dernier ait encore 
pu préparer trois ou quatre publications nouvelles. Toute- 
fois les 495 écrits classés par M. Lebon n'en constituent pas 
moins une liste fondamentale à laquelle je ne puis que ren- 
voyer. 

Qu'ajouter aussi au sujet des innombrables témoignages 
officiels reçus par l'illustre savant. Né le 29 avril 1854, il fut 
élu Membre de l'Académie des Sciences le 31 janvier 1887, 
c'est-à-dire alors qu'il avait à peine 33 ans! Tout le reste est 
à l'avenant! Toutes les Académies du monde avaient tenu à 
honneur de se l'attacher! 

Plutôt que de revenir sur une longue énumération de titres 
officiels, j'aimerais à tracer la physionomie du Maître sous la 
forme plus familière de l'anecdote. Il semble que l'on soit 
peu riche à cet égard. 

Le D"" Toulouse, dans son Enquête médico-psychologique, 
nous dépeint Henri Poincaré comme n'étant ni liant ni con- 
fidentiel (p. 137). C'était peut-être vrai, s'il faut entendre 
par là qu'il n'aimait pas se lier rapidement avec les inconnus. 
Cette réserve est naturelle, elle s'impose même absolument 
à l'homme qui a acquis le droit d'en juger beaucoup d'autres 
et qui justement a le scrupule très noble de ne point dimi- 
nuer sa liberté par de trop nombreuses liaisons. Beaucoup de 
personnages, d'une envergure infiniment moindre, doivent 
ainsi s'interdire les liens et les confidences. 

Mais, pour ma part, je n'ai jamais approché le grand sa- 
vant sans le trouver souriant, sympathi(|ue, serviable. 

Les discours les plus académicjues l'ont dépeint j)arfois 
sous une forme qui m'a profondément choqué. Pourcpioi 
insister par exemple sur les distractions d'un esprit génial 
quand il est évident (ju'elles sont en dehors de cet esprit. 
Ce qu'il faudrait proposer à l'admiration, c'est plutôt le tra- 



HENRI PO INC ARE 11 

vail que produisait cette intelligence quand il lui arrivait de 
perdre la conscience du monde vulgaire. J'imagine qu'un 
tel homme a dû avoir souvent la sensation qu'il n'était qu'une 
pensée! Et nous risquerions de le tourner en ridicule dans 
de tels moments ! C'est un véritable sacrilège. 

Mais, pour ne point paraître trop sévère, je raconterai vo- 
lontiers une petite scène éminemment consciente et spiri- 
tuelle dont il me fut donné d'être témoin. C'était en juillet 
1899. Je subissais à la Sorbonne les épreuves du certificat 
d'Astronomie. Une fois interrogé, j'écoutais les réponses de 
mes camarades. L'un d'eux, très jeune (ceci a de l'impor- 
tance pour la suite ne brillait pas et Henri Poincaré, qui 
l'examinait, diminuant peu à peu ses exigences, finit par lui 
poser de toutes petites questions de cosmographie et no- 
tamment celle-ci : « Combien y a-t-il de petites planètes ? » 
Nous étions, je le répète, en 1899, année pour laquelle le 
simple Annuaire du Bureau des Longitudes indique 445 de 
ces astéroïdes. 

Malheureusement, après de longues hésitations, le can- 
didat opina pour 150. Du coup l'examinateur, qui attendait 
la réponse en se promenant les mains derrière le dos, s'ar- 
rêta net et répliqua malicieusement : « Il doit y avoir long- 
temps que vous avez appris cela ! » 

Pour en revenir à notre humble publication, nous ne pou- 
vons point ne pas faire remarque)* que nous perdons en 
Henri Poincaré un des membres du Comité de Patronage de 
L'Enseignement Mathématique. 11 fut d'ailleurs un collabora- 
teur^ de la première heure. Sans doute, tous les journaux 
mathématiques s'honoraient aussi en publiant ses travaux; 
puissions-nous, si peu que ce soit, nous honorer encore en 
publiant un dernier hommage à la mémoire de la pensée 
géniale qui vient de disparaître. 



* Voici la liste des articles d'Henri Poincaré qui ont été publiés par L'Enseignement Mathé- 
matique : La logique et l'intuition dans la science mathématique et dans l'enseignement 
(T. I, 1899, p. I57i. — La notation dilTérentielle et l'enseignement iT. I. 1899. p. IO61, — Les 
définitions générales en mathématiques (T. VI, 1904 p. 257i. — L'invention mathématique 
iT. X. 1908. p. 35"i. — Discours d'ouverture du Congres de l'A. F. A. S. tenu à Lille (T. XI, 
1909, p. 3841, 



12 A. BIHI. 



Le géomètre. 



Les premiers travaux de mathématiques pures qui illustrè- 
rent Henri Poincaré ont trait à la théorie des fonctions abé- 
liennes et des fonctions plus générales qu'il appela fonctions 
fuchsiennes. 

Ils apparaissent, à partir de 1880, dans les Comptes Ren- 
dus de l'Académie des Sciences. Le Mémoire fondamental inti- 
tulé Théorie des groupes fiichsiens inaugure magistralement 
les Acta Mathematica. On peut déjà voir de ce côté une ligne 
admirablement continue qui, dessinée il y a plus de trente 
ans, se prolonge, au travers des œuvres les plus diverses, pour 
aboutir au Mémoire Sur V uniformisation des fondions ana- 
lytiques publié encore aux Acta Mathematica en 1908 et qui 
semble ainsi dater d'hier. 

Vers 1880 les travaux d'analyse semblant les plus ardus 
et les plus importants étaient ceux dus aux grands géomè- 
tres alors vivants qui s'appelèrent Briot, Bouquet, Weier- 
strass et surtout Hermite. 

La théorie des fonctions elliptiques, sans avoir peut-être 
le cachet classique relativement élémentaire qu'on peut lui 
donner maintenant, était cependant devenue parfaitement 
claire. On savait depuis longtemps qu'après les courbes uni- 
cursales il convenait de placer celles, telles que les cubiques, 
dont les coordonnées s'exprimaient en fonction elliptique, 
c'est-à-dire en fonction uniforme d'un paramètre variable. 
L'intuition indiquait même qu'un théorème analogue devait 
avoir lieu pour une courhe algébrique quelconque et de grands 
efforts étaient faits, notamment par l'école allemande, pour 
rétablir définitivement. ]Mais pour cela, il fallait apporter à 
la théorie des fonctions abéliennes des perfectionnements 
analogues à ceux dont la théorie des fonctions elliptiques 
avait déjà bénéficié. Ce fut la j)remière gloire d'Henri Poin- 
caré alors qu'une seconde, non moins éclatante, devait coïn- 
cider presque exactement avec elle. 

L'école allemande, dirigée par les recherches de Fuchs, 
appliquait aussi avec succès les méthodes de Gauchy à l'étude 



HENRI POINCARÉ 13 

des intégrales des équations différentielles linéaires à coeffi- 
cients algébriques. On sentait vaguement que de nouvelles 
fonctions devaient correspondre à de telles équations, tout 
comme les fonctions abéliennes (correspondaient à des inté- 
grales portant explicitement sur des différentielles algébri- 
ques. D'ailleurs, les fonctions elliptiques, considérées par 
rapport au module, avaient naturellement conduit Hermite aux 
fonctions modulaires qui satisfaisaient à des équations diffé- 
rentielles linéaires, fort particulières il est vrai. Henri Poin- 
caré généralisa les choses avec une rapidité foudroyante. Il 
aperçut, dans la théorie des fonctions abéliennes, les fonc- 
tions qui devaient jouer un rôle analogue à celui des fonc- 
tions modulaires dans la théorie des fonctions elliptiques, et 
il se trouva que ces fonctions étaient celles qui intégraient 
les équations différentielles linéaires précédemment considé- 
rées. 11 enlevait ainsi à l'Allemagne la gloire que celle-ci était 
sur le point de conquérir mais il fut le plus généreux des 
vainqueurs, envers la nalion rivale, en donnant aux nouvelles 
fonctions le nom de fondions fuchsiennes. 

Il ne faudrait point maintenant considérer de tels résultats 
uniquement comme des triomphes du passé Ils se mêlent de 
plus en plus et ont d'ailleurs été mêlés par Henri Poincaré 
lui-même aux recherches des géomètres de la jeune généra- 
tion. Ils peuvent servir et ont effectivement servi de base à 
une étude générale des fonctions analytiques. 

Ces fonctions forment pour le débutant un écheveau pas- 
sablement compliqué, surtout si l'on veut sortir de la consi- 
dération directe des fondions uniformes. Pour en faire une 
étude approfondie, faudra-t-il considérer les uns après les 
autres tous les éléments de l'ensemble? 

Heureusement non! Quelques fonctions seidement, adroi- 
tement choisies et dont les singularités seront étudiées 
à fond, constitueront de véritables clefs d'or pour l'étude de 
classes extrêmement étendues d'autres fonctions. Que l'on 
considère, par exemple, les formules de Cauchy et de Taylor 
qui, quoique insuffisantes pour tous les problèmes de l'ana- 
lyse moderne, n'en sont pas moins les premiers inslruments 
fondamentaux dont il faille se préoccuper. Qu'y-a-t-il d'abso- 



A. BVHL 



lument essentiel dans ces fornuiles ? Rien d'autre que la 
simple fraction rationnelle 



Pour parler un langage tout à fait moderne, c'est là le 
noyau de la formule de Cauchy. La singularité extrêmement 
simple constituée parle pôle a règle le développement de la 
fraction en série entière et, du même coup, les conditions 
d'existence du développement tajdorien d'une fonction ana- 
lytique quelconque. 

Sans vouloir établir une véritable comparaison entre ces 
points rudimentaires et des théories d'aspects fort divers, on 
peut juger cependant de la puissance des méthodes ap- 
puyées sur l'élude préliminaire de fonctions présentant, au 
lieu du pôle simple de la fraction précédente, des singula- 
rités appartenant à d'autres types. Ainsi les célèbres 
théorèmes de M. Emile Picard sur l'allure d'une fonction 
analytique quelconque, dans le voisinage d'un point sin- 
gulier essentiel, dérivent d'une propriété particulière d'une 
fonction modulaire particulière elle-même. 

Quelle ne dût pas être la puissance d'Henri Poincaré en 
possession de ses fonctions abéliennes, fuchsiennes et de 
tous les types dérivés qu'il en tira. Le Mémoire qui prouve 
peut-être le mieux cette extraordinaire puissance me paraît 
être celui qui a trait à l'uniformisation des fonctions analy- 
tiques et auquel j'ai déjà fait allusion plus haut. 

Après avoir fait l'admiration des géomètres d'il y a trente 
ans en complétant, après Riemann, l'uniformisation des fonc- 
tions multiformes à un nombre fini de branches^ il arrive à 
des résultats analogues pour les fonctions en possédant une 
infinité. Depuis lors l'étude des fondions analytiques quel- 
conques est ramenée à l'élude des fonctions uniformes et des 
transcendantes inverses de celles-ci. 

Rien qu'en ce qui précède, nous voyons déjà se dessiner 
une ligne admirable et grandiose. Ce n'est qu'une route 
indiquée dans un pays cultivé sur bien d'autres points, entre 
lesquels on pourrait tracer d'autres routes, mais je ne me 



HEISRI POINCARE 15 

sens point la compétence nécessaire pour les tracer toutes, 
celles que je viens d indiquer suffisant à forcer Tadmira- 
tion. D'ailleurs il semblait être dans l'esprit de mon illustre 
maître de créer ou de s'assimiler les théories les plus géné- 
rales avec des points de départ assez quelconques. 

Il contribua énormément, dans ces dernières années, au 
perfectionnement de la théorie des équations intégrales due 
à M. Fredholm. Or, pour raisonner comme je le faisais tout 
à l'heure à propos de la formule de Cauchy, on peut encore se 
demander ce qu'il y a d'absolument essentiel dans ces équa- 
tions intégrales. Rien d'autre que les noyaux. Et ces noyaux 
sont d'abord des potentiels ou des fonctions possédant des 
singularités analogues, fo.nctions que la Physique mathé- 
matique avait primitivement considérées mais sans faire 
justement la synthèse dont le mérite appartient à M. 
Fredholm. Henri Poincaré connaissait admirablement les 
fondements exposés dans ses Mémoires Sur les équations 
aux dérivées partielles de la Physique mathématique [Ameri- 
can Journal, 1889. Rendiconti, Palerme, 1894), Il jugea la 
synthèse d'un coup d'oeil, parut y apporter sans efforts les 
plus utiles contributions et reprit même ses recherches sur 
les marées à l'aide de la nouvelle théorie. 

D'autre part, les équations intégrales correspondent à des 
systèmes d'équations linéaires à une infinité d'inconnues. A 
ce point de vue, Henri Poincaré fut un créateur, en étudiant 
les caractères de convergence des déterminants d'ordre 
infini. 

Des fonctions analytiques à une seule variable il sut 
également passer avec aisance aux fonctions qui en con- 
tiennent deux ou plusieurs. Son célèbre mémoire Sur les ré- 
sidus des intégrales doubles (Acta Mathematica, T. IX) con- 
tient, en ce sens, la véritable extension du théorème de Cau- 
chy qui avait été vainement cherchée avant lui. Et il apparaît 
alors que la périodicité des intégrales doubles est intime- 
ment liée à celle des intégrales abéliennes. 

Je m'arrête car je n'ai point l'intention, comme je l'ai déjà 
dit, d'écrire un article encyclopédique. Ainsi je laisse de 
côté les recherches sur les courbes réelles définies par des 



16 J. BUHL 

équations différentielles. Ce n'est pas la partie la moins impor- 
tante de l'œuvre car elle joue un rôle essentiel en Méca- 
nique céleste, science sur laquelle l'illustre géomètre nous 
a laissé des ouvrages d un caractère suflisamment didac- 
tique. 

Au contraire il ne nous laisse rien de semblable, quant à ces 
fonctions analytiques auxquelles il a cependant si merveil- 
leusement travaillé. Tout est dans des mémoires isolés. En de 
nombreux endroits de son Traité d'Analyse, M. Emile Picard 
nous a lait connaître des fragments de ces trésors. Les 
ouvrages didactiques de M. Appell sur les fonctions ellipti- 
ques, sur les fonctions algébriques et leurs intégrales, peu- 
vent constituer aussi d'importants travaux d'approche pour 
qui veut s'initier aux résultats dus à Henri Poincaré ; mais 
qui n'aurait désiré cependant que ce dernier publie lui-même 
un ouvragée, à début relativement élémentaire, sur les fonc- 
tions abéliennes et fuchsiennes. 

Peut-être ne jugeait-il point ces théories suffisamment 
parfaites et préférait-il continuer à les étendre. 

11 est certain aussi que la possibilité de marcher sans 
cesse à de nouveaux résultats diminuait chez lui le désir de 
s'attarder à exposer ceux qui déjà lui semblaient accjuis. 



L'Astronome. 

Si l'Astronomie est — ne serait-ce que d'après l'étymolo- 
gie du mot — l'étude des lois présidant au mouvement des 
astres, nul ne fut, à notre époque, plus astronome qu'Henii 
Poincaré. 

Les lois de Kepler — dont la loi de Newton est une con- 
séquence très simple — règlent très aisément le mouvement 
relatif de deux corps célestes, le soleil et une planète par 
exemple. Que l'on adjoigne un troisième corps et l'on se 
trouve en présence des difficultés les f)lus formidables et les 
plus inattendues. Et cependant ce i'ameux I^roblème des trois 
corps s'impose absolument. Impossible de s'en tenir tou- 
jours au mouvement d'une seule planète, sans considération 



HENRI POINCARE 17 

des perturbations provenant d'une autre. Impossible, en par- 
ticulier, de faire la théorie de la Lune sans tenir compte de 
l'influence perturbatrice du Soleil. 

Et cependant, ainsi posé, le problème n'avait jamais pu 
être poussé bien loin. Lagrange en transforma les équations 
de manières diverses et intéressantes, mais ne fit guère appa- 
raître autre chose que les intégrales des aires et des forces 
vives, conformément aux lois les plus générales de la Dyna- 
mique. Laplace, dans des cas extrêmement particuliers, 
montra que le problème admettait des solutions périodiques, 
mais les trois corps formaient toujours les sommets d'un 
triangle équilatéral ou étaient toujours en ligne droite. 

C'est à Henri Poincaré que revient encore la gloire d'avoir 
établi l'existence de solutions périodiques infiniment plus 
générales, d'avoir montré que le problème n'admet point 
d'intégrales à propriétés analytiques simples, en dehors pré- 
cisément de celles des aires et des forces vives, et notam- 
ment point d'intégrales uniformes. De plus ses méthodes se 
trouvèrent propres à faire une synthèse de toutes celles em- 
ployées, un peu au hasard, pour résoudre le problème dans 
les cas où les besoins pratiques demandaient impérieuse- 
ment des résultats, quels qu'ils soient. Bien plus il montra 
que ces méthodes pratiques avaient des infirmités profondé- 
ment insoupçonnées et dont la révélation fut une véritable 
stupéfaction. 

A l'occasion de son soixantième anniversaire, en 1889, 
S. M. le Roi de Suède et de Norvège, Oscar II, ouvrit un 
concours entre les géomètres du monde entier. Préoccupa- 
tion bien digne de ces âpres contrées Scandinaves qui virent 
naître Abel ! Le premier mémoire couronné fut celui d'Henri 
Poincaré Sur le problème des trois corps et les équations de la 
Dynamique lequel contient déjà toutes les merveilles précé- 
dentes. D'ailleurs le même concours fut un triomphe général 
pour l'école française car le mémoire Sur les intégrales de 
fonctions ci multiplicateurs, immédiatement placé après le 
précédent, était dû à M. Paul Appell. Les deux écrits rem- 
plissent à eux seuls le tome XIII des Acta Mathematica. 

Quelques tinnées plus tard, en développant son travail. 



18 A. BUIIL 

Henri Poincaré devait en tirer les trois admirables volumes 
inlilulés Les Méthodes nouvelles de la Mécanique Céleste. 

Dans le premier volume il établit rigoureusement l'exis- 
ten("e des solutions périodiques, examine les solutions infi- 
niment voisines et, à Taide de ces éléments, cherche à réta- 
blir les solutions quelconques, représentées par des séries 
entières en /x (cette lettre désignant un rapport de masses 
généralement très petit), que les praticiens obtenaient d'une 
manière quasi empirique. C'est ici que se place la révélation 
stupéfiante mentionnée plus haut et qui se trouvait déjà dans 
le mémoire des Acta. Quand, partant des solutions pério- 
diques et de leurs transformées infiniment voisines, on 
cherche à bâtir une solution plus générale (qualifiée de 
solution asymptotique), la construction de celle-ci, dans la 
méthode d'Henri Poincaré, dépend de certaines équations dif- 
férentielles linéaires à coefTicients constants dans lesquelles 
la variable, bien entendu, est le temps. Mais les solutions 
contiennent alors ^ non pas sous forme de séries entières, 
comme il arrivait dans la pratique, mais sous forme de frac- 
tions de la forme 

A„ 



1 +"n?- 



Comment établir l'accord? Rien de plus simple au point 
de vue formel. La simple division développe la fraction pré- 
cédente en série entière. Oui, mais le rayon de convergence 

est alors mesuré par la valeur absolue de — ^ - ^^ ^^ ^^ trouve 

que les «„ grandissent au delà de toute limite. Les sé/ies en- 
tières en y. sont toujours divergentes. Cependant, dira-t-on, 
elles n'avaient point cette apparence dans les calculs des 
astronomes. Ceux-ci ne prenant que les premiers termes, 
constalaienl leur rapide décroissance et voyaient bien qu'il 
n'v avait point d'inconvénient pratique à négliger les autres! 
Tout cela est exact mais c'est là un phénomène de conver- 
gence asymptotic|ue déjà présenté par bien d'autres séries. 
toiles celles <le Stirling, qui sontd'une construction extrême- 
ment simple par rapport à celles de la Mécanique céleste. 



HENRI POINCARÉ 19 

La découverte d'Henri Poincaré consistait précisément à 
éclairer la nature intime de développements sur lesquels 
on ne savait à peu près rien au point de vue analytique pur. 

Le second volume des Méthodes nouvelles est surtout con- 
sacré à la comparaison des méthodes qu'il rattache aux 
siennes propres. Les idées de Gyldén notamment y tiennent 
une place considérable. Et, chose curieuse, alors que Gyldén 
semble avoir d'abord servi de guide à Henri Poincaré, la 
puissance de ce dernier lut telle qu'il passa rapidement 
avant son guide et rectifia bientôt des erreurs que celui-ci 
commettait. Le Mémoire Sur la Méthode horistique de Gyldén 
[Acta Mathematica, 1905i est, à cet égard, d'une lecture sin- 
gulièrement suggestive. 

Le troisième volume a surtout trait à l'emploi de la notion 
d'invariant intégral. Le mouvement d'un liquide, pour pren- 
dre un exemple relativement simple, est en général régi par 
des équations d'une étude déjà fort compliquée. Pourtant le 
volume du liquide est une chose simple à concevoir et qui 
se conserve quehpie compliquée que soit l'agitation des par- 
ticules. C'est là un invariant intégral. Dans un tel cas, cet 
invariant est plutôt une donnée de la question qu'une consé- 
quence des équations du mouvement, mais Henri Poincaré 
remarqua précisément que de tels invariants existent même 
dans les cas où ils ne sont pas visibles à l'avance de manière 
aussi évidente. Les conséquences qu'il en tire sont nom- 
breuses. Ils correspondent notamment, dans le problème 
des trois corps, à l'existence de certaines solutions pério- 
diques. 

De telles solutions sont toujours caractérisées par l'exis- 
tence de courbes fermées, ce qui est évident, en particulier, 
pour les trajectoires des corps si la périodicité consiste, pour 
ceux-ci, à revenir à des positions déjà occupées. Mais com- 
ment reconnaître qu'aux inextricables équations du mouve- 
ment correspondent certaines courbes fermées? L'un des 
plus beaux raisonnements consiste à attacher à ces courbes 
de certaines intégrales multiples qui, comme l'intégrale dou- 
ble qui figure dans la formule de Stokes, ne sont bien au 
fond que des intégrales de ligne si la courbe est fermée. 



20 A. RVHL 

Ainsi l'invariant intégral prouve l'existence de la solution 
périodicjue. 

Pour l'heure actuelle tous ces merveilleux résultats ne 
semblent compris que de manière partielle: en tous cas il ne 
semblent pas avoir fait naître des travaux d'une ampleur pro- 
portionnée à celle de l'exemple donné par le génial créateur. 
Peut-être, comme Ta dit Sir G. -H. Darwin en remettant à 
Henri Poincaré la Médaille d'Or de la Société astronomique 
de Londres, l'ouvrage précédent sera-t-il. pour le prochain 
demi-siècle, la mine d'où des chercheurs plus humbles 
extrairont leurs matériaux. Voir E. Lebon, loc. cit., p. 48) 

C'est dans un ordre d'idées plus motleste, mais encore 
passablement élevé, que sont conçues les Leçons de Méca- 
nique Céleste professées à la Sorbonne. J'ai déjà rendu 
compte de ces trois nouveaux volumes dans L'Enseignement 
Mathématique^ ce qui me permet d'être un peu plus bref à 
leur égard. Ce qui frappe surtout en eux c'est l'extrême 
habileté avec laquelle toutes les équations sont immédiate- 
ment écrites sous la forme canonique et la manière de rat- 
tacher à la méthode de la variation des constantes la ques- 
tion fondamentale de la destruction des termes séculaires. 

Le second volume est consacré, dans une première partie, 
au développement de la fonction perturbatrice. Les belles 
recherches sur les périodes des intégrales doubles y inter- 
viennent constamment. Dans la seconde partie, consacrée à 
la Théorie de la Lune, nous sommes directement comluits 
aux équations linéaires éci'ites par llill pour le mouvement 
du nœud et du périgée lunaires. 

La Théorie des Marées occupe tout le troisième volume. 
Ainsi que je l'ai déjà dit plus haut |). 15 elle emprunte un 



1 Voici d'ailleurs la liste des publications d'Henri Poincaré qui ont été analvsces dans 
cette Revue. Les noms propres en italique sont ceux des auteurs des analyses. — La théorie 
de Maxwell et les oscillations hertziennes C.-E. f.ui/ç. — T. I. 1899. p. 228). — Electricité et 
Optique 1.4. Biihl. — T. IV. 1902. p. 307i. — Wissenschaft und Hypothèse t/i.Fehr. — T. VU. 
190.5, p. 3.301. — Leçons de Mécanique Céleste (A. Biifili: Tome I. — Théorie générale des 
perturbations (T. VIII. 190ti. p. 248l. — Tome II. — Fonction perturbatrice et Théorie de la 
Lune iT.XI. 1909, p. 231 1. — Tome III. — Théorie des Marées iT. XII, 1910, p. 256i. — 
Savants et écrivains i.V.-T. XII. 1910. p. 259). — Sechs Vortriige liber ausgewâhlte Gegen- 
st.ïnde ans der reineu Mathon>atik und niatliematischen Physik (.1. Biihl. — T. XII, 1910, p, 
'i4f.i. — Calcul des probabilités lA. Bnhl. — T. XIV. 1912, p. li'.5i. — Hypothèses cosmo- 
goniques \A. Buhl. — T, XIV. 1912, p, 167). .Mentionnons aussi l'étude du docteur Toulouse 
sur Henri Poincaré, récemnient analysée par Ed. Claparèdc. (T. XIV. 1912 p. 81). 



HENRI POINC ARE 21 

caractère ultra-moderne à la théorie des équations inté- 
grales de Fredholm. 

Dans ces admirables développements, Henri Poincaré fait 
à beaucoup de géomètres Teffet d'être isolé : lui seul pou- 
vait se retourner dans l'infinie variété de ces questions 
ardues. Cette impression vient probablement de la concision 
de son style mais cependant, si Ton persiste à l'étudier, on 
est rapidement convaincu qu'il n'a jamais cherché à s'enfer- 
mer dans une tour d'ivoire. Au contraire, il citait avec 
empressement tous ceux à qui il empruntait quelque chose 
et semblait heureux de fondre leurs travaux avec les siens. 
Dans les si difficiles chapitres qu'il consacre à la non-exis- 
tence des intégrales uniformes du problème des trois corps 
(Méthodes nouvelles, t. I, chapitres V et VI), il montre tout 
le parti qu'il tire des célèbres résultats de M. Darboux 
concernant l'obtention des coefficients des termes de rang 
élevé dans la série de Taylor. 

Dans le tome II des Leçons, il joint soigneusement aux 
siens les travaux de M. Picard sur la périodicité des inté- 
grales doubles et emprunte à M. Appell ses séries hypergéo- 
métriques à deux variables pour aborder le développement 
de la fonction perturbatrice. Sa gloire lui semblait sans doute 
plus chère quand elle était celle de la Sorbonne et plus 
généralement de cette école française, maintenant conster- 
née par l'immense perte qu'elle vient de faire. 

Ce qu'il y a d'effrayant, c'est qu'il n'a jamais cherché à 
donner le moindre caractère définitif à ses travaux de méca- 
nicjue céleste. Sans cesse il y ajoutait quelque chose de nou- 
veau, disait y apercevoir des lacunes (|ue personne n'avait 
vues mais qui étaient pour lui prétexte à de nouvelles et 
importantes publications. 

Quelques semaines avant sa mort paraissait dans les 
Rendiconli du Cercle mathématique de Palerme un article 
Sur un théorème de Géométrie dans lequel il revient encore 
à ses chères solutions périodiques du Problème des trois 
corps. Il s'agit celte fois de reconnaître l'existence de 
certaines d'entre elles pour des valeurs de p. non très 
petites, ce (|u'il rattache à l'existence (\\\n invariant intégral 



22 A. Bl'IfL 



relatif à de certaines transformations qu'il considère comme 
purement géométriques. 

Il montre les grandes difficultés qu'il rencontre et 
exprime ainsi le regret de ne pouvoir les vaincre complète- 
ment : « Il semble, dans ces conditions, que je devrais 
« m'abstenir de toute publication tant fjue je n'aurai pas 
« résolu la question ; mais après les inutiles efforts que j'ai 
« faits pendant de longs mois, il m'a paru que le plus sage 
« était de laisser le problème mûrir, en m'en reposant durant 
« quelques années ; cela serait très bien si j'étais sur de 
« pouvoir le reprendre un jour, mais, à mon âge, je ne puis 
« en répondre. D'un autre côté, l'importance du sujet est 
« trop grande et l'ensemble des résultats obtenus trop con- 
« sidérable déjà, pour que je me résigne à les laisser défini- 
ce tivement infructueux. .Je puis espérer que les géomètres 
« qui s'intéresseront à ce problème et qui seront sans doute 
« plus heureux que moi, pourront en tirer quelque parti et 
« s'en servir pour trouver la voie dans laquelle ils doivent 
« se diriger ». 

Quels mots ajouter, dit M. Paul Painlevé, à ce testament 
scientifique si noble et si simple ? Rien, en effet. Tout com- 
mentaire risquerait de détruire le sublime provenant de tant 
de modestie s'ajoutant à tant de valeur. 

L'honneur de continuer à la Sorbonne l'enseignement 
d'Henri Poincaré échoit à M. Paul Appell, qui reprend la 
chaire de Mécanique céleste sous le titre de u Mécanique 
analytique et Mécanique céleste ». 

Ceci n'étonnera personne, non seulement parce que les 
travaux des deux géomètres présentent de nombreux 
contacts, non seulement parce que les équations de la dyna- 
mique ont été mises, par M. Appell, sous des formes nouvelles 
et originales, qui pourraient bien donner, en mécanique 
céleste, des surprises analogues à celles qu'Henri Poincaré 
tirait de la forme canonique, mais aussi parce que l'éminent 
successeur a souvent manifesté le désir de voir quel(|iie géo- 
mètre ou astronome se reporter aux travaux d'Henri Poin- 
caré pour essayer de les rendre plus accessibles en quebjue 
cas particulier simple et heureusement choisi. Par suite, le 



HENRI POINCARÉ 23 

géomètre ou Tastronome en question ne pouvaient vraisem- 
blablement espérer de meilleur guide. 

Le Physicien. 

Le passage de la Mécanique Céleste à la Physique mathé- 
matique, ou réciproquement, paraît avoir été fait par Henri 
Poincaré avec une aisance extrême, avec une continuité 
absolue. 

Au moment où les grands problèmes de la Physique s'of- 
frirent à lui, les esprits étaient particulièrement en butte à 
l'obsession mécaniste. Il fallait trouver des explications 
mécaniques de la lumière, de l'électricité, bref, de tous les 
phénomènes. L'école anglaise, avec Maxwell, et après des 
efforts aussi considérables que bizarres, semblait bien entre- 
voir quel devait être le véritable résultat mais la clarté 
n'était pas la qualité dominante de Maxwell. Ce dernier 
entassait les unes sur les autres des théories d'apparences 
contradictoires ; quand on les avait toutes lues, non seule- 
ment on ne savait point quelle était la bonne, mais on avait 
encore l'impression extrêmement déconcertante que l'auteur 
avait tout fait pour empêcher un choix définitif. 

La véritable pensée de Maxwell nous fut clairement livrée 
par Henri Poincaré, notamment dans ses admirables leçons 
de la Sorbonne publiées sous le titre Electricité et Optique. 
Si l'on veut une théorie mécanique de l'électricité ou de la 
lumière, c'est à dire si l'on veut construire les équations des 
phénomènes électriques ou lumineux en parlant des équa- 
tions de la Dynamique, la chose est possible d\i ne infinité de 
manières. Choisissons la manière (|ui nous semble être la 
plus commode et la plus féconde, mais quant à en imaginer 
une qui nous livrerait un mécanisme unique, définitif et 
nous ferait connaître une vérité physique absolue, ceci 
n'appartient plus à la physique mais à la métaphysique. 

Une telle conclusion ébranle douloureusement l'esprit de 
celui qui la conçoit pour la première fois. L'homme, dit 
Henri Poincaré, ne se résigne pas aisément à ignorer le fond 
des choses. 



24 A. Rl'HL 

Mais quelle consolation pour celui qui se débarrasse cou- 
rageusement de la préoccupation purement mystique des vé- 
rités premières et qui sait chercher les conséquences accessi- 
bles de théories semblant arbitraires à la base et pourtant 
sans cesse génératrices de faits éclatants et merveilleux. 

Toutes vagues qu'elles étaient, les théories de Maxwell 
conduisaient cependant à concevoir la lumière comme résul- 
tant d'oscillations électriques à période très courte. Hertz 
réalisa les oscillations auxquelles son nom est resté attaché, 
oscillations qui furent immédiatement assimilées par tout le 
monde à de la lumière à grande longueur d'onde. Nous 
devons d'abord à Henri Poincaré un magistral exposé de ces 
géniales créations, exposé qu'il féconda bientôt de ses pro- 
pres réflexions. Là encore il appliqua toutes les ressources 
de son analyse. Les séries divergentes qu'il a employées en 
Mécanique Céleste interviennent dans ses recherches sur la 
diffraction des ondes hertziennes (Rendiconti, Palerme, 
1910). Les équations intégrales jouent pour lui un rôle ana- 
logue. Quand Max Planck explique l'émission par le rôle 
d'une infinité d'oscillateurs hertziens de périodes diverses 
(théorie des Quanta), Henri Poincaré tire immédiatement du 
calcul des probabilités une confirmation de cette théorie. 

La lumière longitudinale ne l'embarrasse pas plus que la 
lumière transversale, d'où ses contributions à l'étude des 
rayons cathodiques. 

Ce qui est extraordinaire en tout ceci, c'est le pouvoir 
d'expliquer toutes les expériences et même d'en susciter 
sans en faire par soi-même. Ce n'est peut-être pas la pre- 
mière fois (ju'arrive une telle chose car personne n'a encore 
oublié, je pense, cet extraordinaire Américain qui s'apj)elait 
Willard Gibbs et qui, sans jamais faire le moindre travail de 
laboratoire, a livré aux physiciens et aux chimistes des 
résultais que ceux-ci vérifiaient par un labeur acharné. Mais, 
alors que Willard Gibbs avait surtout des préoccupations 
physico-chimiques, il semble plutôt qu'Henri Poincaré n'était 
jamais préoccupé longtemps dans une dii'ection donnée. 
C'est, dès qu'on annonçait quelque fait, cju'il trouvait immé- 
diatement dans son arsenal analytique ((uelque méthode qui 



HENRI PO INC ARE 25 

s'y appliquait, alors qu'il l'avait créée autrefois en vue 
d'autre chose. Et cette méthode donnait toujours du nou- 
veau. 

Il y a d'ailleurs là un triomphe manifeste de la Phy- 
sique mathématique, telle qu'elle a été si souvent taxée d'im- 
puissance par les physiciens. Henri Poincaré y débuta par 
ses cours de la Sorbonne sur le potentiel newtonien, l'élasti- 
cité, la propagation de la chaleur, etc. C'est bien le point de 
vue mathématique où l'on semble parler le langage physique 
uniquement pour interpréter certaines solutions d'équations 
différentielles. Quel mépris certains praticiens n'ont-ils 
point montré pour de telles méthodes ! Et cependant, entre 
les mains d'un géomètre, elles ont donné de nombreux 
résultats d'un caractère indéniablement physique. La télé- 
graphie sans fil y a trouvé des perfectionnements ; les auro- 
res polaires si longtemps mystérieuses ont révélé tout au 
moins une grande pai'tie de leurs secrets, les hypothèses 
cosmogoniques ont pu être approfondies aussi bien dans 
leurs caractères physiques que dans leurs caractères méca- 
niques, la chaleur solaire, les étoiles nouvelles ou variables 
ont été considérées à des points de vue nouveaux. La nouvelle 
mécanique d'Hertz et de Lorentz, où les masses sont fonc- 
tions des vitesses, exige toutes les connaissances qu'un phv- 
sicien peut avoir sur la structure électrique des atomes. Et 
comme, dans ces récentes théories de la matière, l'atome 
apparaît comme construit à l'image d'un sj'stème planétaire, 
Henri Poincaré semblait revenir par là vers ses recherches 
concernant la stabilité de tels systèmes. Admirable unité 
sous la si grande diversité apparente des problèmes exami- 
nés. D'ailleurs la comparaison entre l'ensemble des corpus- 
cules constituant la matière sur laquelle nous ex])érimentons 
et l'ensemble des corps célestes de la Voie lactée, l'a nota- 
blement préoccupé. Ce dernier ensemble, réduit à une 
échelle des plus minuscules, lui semble devoir donner la 
matière radiante des tubes de Crookes. Cette originale con- 
clusion, donnée pour la première ibis dans le Bulletin de la 
Société astronomique de France, en 1906, semble avoir inté- 
ressé son illustre auteur de manière de plus en plus précise 

L'Enseignement mathém., 15« année ; 19i:t. 3 



26 A. Bl HL 

et c'est ainsi qu'elle revient dans les Leçons sur les Hypo- 
thèses cosmogoniques i\\\\\ d^ publiées en 1911. 

En résumé, il unit la Physique et la Mécanique Céleste 
comme l'ont fait Newton, Lagrange, Laplace, Cauchy, mais 
au milieu de complexités modernes dont ces précurseurs ne 
pouvaient avoir aucune idée. 

De plus, la mécanique nouvelle le conduit à une critique 
extrêmement pénétrante des principes fondamentaux de l'an- 
cienne et particulièrement du principe de la réaction égale 
et contraire à l'action. Ceci ne pouvait être fait sans recourir 
justement aux conceptions qui donnent à la matière un 
substratum électrique, qui limitent les vitesses des masses 
en mouvement à la vitesse de la lumière et rendent ces 
mêmes masses fonctions des vitesses. Ainsi la physique nou- 
velle, tout en profitant du secours d'un géomètre de génie, 
a pu permettre à celui-ci de revenir examiner les bases de la 
mécanique newtonienne. 



Le I^HILOSOPHK. 

Jamais philosophie ne fut mieux appuyée sur la St-ience 
que celle d'Henri Poincaré. La variété infinie des hypothèses 
physiques qui permettent, aussi logiquement l'une que l'au- 
tre, d'expliquer les phénomènes observés, et entre lesquel- 
les on ne se décide au fond que pour des raisons de com- 
modité, l'a conduit directement à la conception pragmaliste 
de la vérité. 

Il en est de même de ses recherches si profondes sur 
les principes de la géométrie. Tout d'abord, la géométrie 
non-euclidienne correspond à des propriétés spatiales des 
fonctions fuchsiennes, tout comme la géométrie et la trigo- 
nométrie euclidiennes correspondent à des propriétés spa- 
tiales de fonctions élémentaires. La première ne constitue 
donc point une « grimace scientifique », un « paradoxe sans 
utilité », une « plaisanterie logique », comme l'ont dit cer- 
tains philosophes qui n'ont d'ailleurs pas laissé des noms 
bien remarquables, mais que M. Gino Loria a eu cepen- 



HENRI POINCARE 27 

dant le scrupule de citer dans ses excellentes Theorien der 
Géométrie (Leipzig, 1888). 

Ce n'est pas davantage le « plus incohérent des édifices » 
ayant une « base volontairement fausse », comme l'écrit, 
bien mal à propos, M. Félix le Dantec dans son récent 
volume de la Bibliothèque de Philosophie contemporaine 
intitulé : Contre la Métaphysique (p. 82). Ily aautant de cohé- 
rence dans la théorie des fonctions fuchsienjies que dans la 
trigonométrie classique. 

Des êtres ne faisant que de l'analyse et n'ayant aucune 
conception spatiale auraient pu cependant construire analy- 
tiquement les fonctions circulaires, elliptiques, abéliennes, 
fuchsiennes, elc. Il se trouve que les hommes conçoivent un 
espace dont les propriétés les plus simples correspondent 
précisément aux plus simples des fonctions précédentes. 
Rien n'empêche d'imaginer d'autres êtres, ayant simplement 
même logique, mais ayant, quant au reste, évolué de façon 
différente et de manière à imaginer un espace non-euclidien. 
De ces êtres ou de nous, qui posséderait la « vraie » géomé- 
trie ? Poser ainsi la question, c'est la résoudre et c'est 
montrer qu'il n'y a pas de géométries plus ou moins vraies, 
mais seulement des géométries plus ou moins « com- 
modes ». 

C'est cette substitution de la notion du commode et de 
l'utile à la notion du vrai qui fait rattacher au pragmatisme 
une grande part de la philosophie d'Henri Poincaré. Mais je 
crois bien qu'au fond il mérite mieux encore que l'étiquette 
du système précédent. J'hésite même à me servira son égard 
d'aucune étiquette en istne et j'ai l'impression que M. René 
Berlhelot a écrit un gros volume ' pour combattre contre des 
moulins à vent. 

Ce qui me frappe avant tout chez mon illustre maître, 
c'est un idéalisme qui peut à coup sûr se placer parmi les 
plus purs et les plus élevés, celui où la pensée seule semble 
retrouver en leurs sommets tous les systèmes philosophi- 



' Un romantisme ulilitairo. Le pragmatisme chez Nietsche et chez Poincaré. — F. Alcan. 
Paris, 1911. 



28 A. Bl'IIL 

ques, même en y comprenant ceux qui ne sont pas idéalistes. 
Sa pensée n'aboutit pas à un système ; elle les domine tous 
et se crée sans cesse de nouveaux iiorizons non encore 
catalogués. 

D'autre j)art, imaginons un polyglotte absolument univer- 
sel, connaissant les milliers d'idiomes qui se partagent la 
surface du globe et qui ne trouverait rien de plus commode 
que de parler à tous les représentants de notre espèce les 
divers langages compris par eux, cela avec une telle aisance 
qu'il ne penserait même point à dire sur quelle langue 
portent ses préférences personnelles. Bien que ce ne soit là 
(ju'une comparaison très grossière, Henri Poincaré, vis-à-vis 
des innombrables langages \)h\\oso\)\\\c\\\&'& et même religieux^ 
fait souvent penser à un tel polyglotte. 

Ainsi le haut degré d'objectivité de ses résultats scienti- 
fiques ne permet pas de lui reprocher de les avoir embrouil- 
lés par des considérations métaphysiques. 

Mais quand après avoir merveilleusement profité, comme 
les savants les plus réalistes, de l'espace, du temps, de la 
force, etc., il voulait nous montrer qu'il n'était pas dupe 
des cadres où il avait cependant si bien travaillé, il devenait 
un métaph3^sicien prodigieux. Tout ce qui encadre l'analyse 
est analysé et il essaie de montrer que nous avons inventé 
les cadres aussi bien que leur contenu. C'est alors qu'il ne 
croit plus ni à l'espace ni au temps, inventions pensées pour 
localiser commodément la pensée. Celle-ci devient « l'éclair 
qui est tout ». 

Et si l'idéalisme correspond vraiment à ce rôle de la 
pensée, ne faut-il pas admettre que l'homme qui, dans les 
temps modernes, a su penser ainsi, a eu un idéalisme supé- 
rieur, que nous ne (comprenons qu'imparfaitement mais qui 
nous enti'aînera justement à penser davantage; c'est vrai- 
ment le piopre de la véritable philosophie que de ne pouvoir 
se transmettre de façon intégrale mais plutôt de faire tou- 
jours et toujours penser. 

L'idéalisme d'Henri Poincaré me semble aussi remar- 
quable par l'élimination possible de bien des formes de mys- 
ticisme. Tout être apprenant à penser commence par être mys- 



HENRI POIXCAHÉ 29 

tique : il s'assimile, modifie, ou invente une religion. Sinon 
la Nature éveille en lui un sentiment de poésie supérieure ou 
de suprême justice. S'il fait de la Science il y trouve une 
abondante matière pour des premières rêveries toujours 
objectivées. Il part volontiers, à cheval sur un rayon de 
lumière, pour parcourir l'espace infini, cette sphère dont la 
surface est partout et le centre nulle part. Il est finalement 
étreiiit, vaincu par de tels sentiments d'infinitude et c'est la 
rêverie mystique dans toute sa splendeur. Mysticisme réa- 
liste, si Ton veut, mysticisme qui parait d'abord prolonger 
la réalité observable avec une évidence incontestable et qui, 
cependant, parait de moins en moins légitime au savant. Ce 
dernier le résout en questions dépourvues de sens. 

En disant que ces mystiques conceptions sont enfantines, 
je ne crois pas exagérer, car je les ai personnellement 
éprouvées, avec une absolue conviction, quand j'étais 
enfant. Je ne les critique pas : je crois même f|u'elles ren- 
ferment des émerveillements prodigieusement utiles comme 
éveillant une curiosité féconde ! 

Mais, en définitive, la Science ne conduit pas là. 

Henri Poincaré nous a montré mieux que personne les 
transformations géométriques qui, à notre espace euclidien, 
feraient correspondre un espace fermé, les êtres qui, vivant 
dans des espaces fermés, croiraient cependant que ces espa- 
ces sont inlinis et illimités. 

Dès lors qui prouve que nous ne sommes pas semblables 
à de tels êtres ou. plus exactement, (|ue des êtres convena- 
blement construits ne seraient pas fort étonnés en nous 
voyant attribuer des propriétés d'infinitude à tles variétés 
géométriques qui, pour eux, n'auraient nullement ces pro- 
priétés. 

Point de vérité absolue ni dans nos conceptions primi- 
tives, ni dans celles de ces êtres; la seule vérité est dans 
l'impeccable mécanisme déduclif qui permet de passer des 
unes aux autres. Et là encore ce n'est que la Pensée ! 

M. Camille Flammarion, qui représente à un très haut et 
d'ailleurs t.^ès noble degré le point de vue réaliste et mysti- 
que, vient de publier dans le BuUeliii de la Société astrono- 



30 A . B V H t. 

inique de Fiance (1912, pp. 372 et 418i des articles nécrolo- 
giques où il résume, en toute sincérité, des conversations 
qu'il eut avec Henri Poincaré. Rien de plus suggestif que 
ces conversations et il faut savoir gré à M. Flammarion de 
nous les rapporter. 

La Terre, dit ce dernier, a sûrement existé avant 
riiomme, c'est à dire avant la pensée humaine. Il en est de 
même pour certains êtres vivants que les géologues retrou- 
vent sous forme de fossiles. Enfin Sirius n'est pas dans notre 
cerveau ! Si nous n'existions point, les étapes cosmogoniques 
et géologiques auraient existé tout de même et Sirius ne 
s'anéantirait pas ! 

De telles opinions, répondait Henri Poincaré, sont sim- 
plement ("elles du sens commun^. 

Et, en elfet, il semble relativement facile de voir à 
quelle condition elles ont un sens. Il faut faire du temps et 
de l'espace des réalités premières, dans lesquelles on ana- 
lyse mais qu'on n'analyse pas. 

Au contraire, sans m'accorder d'abord la notion du 
temps, je puis penser à la Terre fluide, aux fossiles, à moi- 
même et penser que je ne puis classer tout cela d'une 
manière utile cpien pensant une autre notion qui sera pré- 
cisément celle du temps. 

On pourrait faire un raisonnement analogue pour l'espace. 

Je puis imaginer Sirius et bien des choses que je ne clas- 
serai utilement qu'en inventant la notion d'espace. 

Ne nous gênons point pour faire des inventions de cette 
nature ; autrement nous serions conduits à nous paralyser 
pratiquement de la manière la plus désastreuse. Mais ceci 
n'est point une raison pour considérer ensuite ces inventions 
comme étant les données immédiates et primordiales de la 
connaissance. 

A l'appui de celte manière de voir je pourrais peut-être 
renvoyer à quel(|ues belles pages dues à M. Bergson, qui 
n'est pas lie ceux (|ui placent ces données dans le temps ou 



' Au sujet de la simple acceplation du sens commun p:ir lo savant, M. Emile Picard vient 
précisément d'écrire un très intéressant article dans la Ua-ue scientifique du 9 novembre 1912. 



HENBf POINCARE 31 

dans l'espace et qui, sur de tels points, me semble parfaite- 
ment d'accord avec Henri Poincaré. 

D'ailleurs si la Faculté des Sciences de Paris n'a jamais 
possédé de chaire de Philosophie scientifique — comme le 
remarquait M. Daiboux dans un discours qu'il prononça à 
l'occasion de son jubilé ' — il semble que la Sorbonne soit 
mieux pourvue du côté de la Faculté des Lettres. C'est ainsi 
qu'à l'appui des idées précédentes on peut citer aussi celles 
de M. G. Milhaud qui, par diftérentes voies et notamment 
par une critique historique qui remonte jusqu'à l'antiquité, a 
puissamment contribué à mettre en lumière les rapports, 
plus ou moins entrevus selon les époques, de la géométrie 
et de l'expérience, pour aboutir à des conclusions qui sont 
sensiblement les mêmes que celles d'Henri Poincaré. 

Le mouvement philosophique créé par ce dernier n'est 
pas près de s'éteindre. Sa pensée, restée sereine jusqu'au 
seuil de la mort, nous apporte d'ailleurs, par delà la tombe, 
les derniers reflets qui n'eurent point le temps de voir le 
grand jour avant un trépas aussi soudain. 

La revue Scienlia de septembre 1912 contient un article 
sur l'espace et le temps où les habituelles questions idéa- 
listes et relativistes sont augmentées de l'éclair d'une intui- 
tion nouvelle. 

Certes nous sommes déjà très habitués à définir l'espace 
en partant des propriétés des solides. Mais qu'est-ce qu'un 
solide sinon un système mécanique considéré comme inva- 
riable en lui-même et par suite très particulier. On pourrait 
aussi bien construire un espace en maniant des systèmes 
variables en eux-mêmes et de telle façon que le temps soit 
alors mêlé à l'espace d'une manière telle que les deux 
concepts ne puissent plus être séparés comme ils le sont 
continuellement dans les raisonnements humains. 

Des êtres portés à avoir recours à la nouvelle construc- 
tion pourraient fort bien ne pas concevoir, au même instant, 
des points séparés par certaines distances ni imaginer un 



* G. Daruoux. Eloges académiques et discours, p. '*81. (Volume publié à rocciision du 
Jubilé. Herniann, Paris, 1912). 



32 ./. niHi. 

même point de l'espace vu d'abord et revu au bout d'un cer- 
tain temps. 

()y\'\ nous construira maintenant tous ces mondes merveil- 
leux où lous les rêves sont logiques, toutes les chimères 
rigoureuses, toutes les fantasmagories vraisemblables? 

Quand reviendra le mystérieux enchanteur qui stupéliait 
les penseurs les plus subtils plus aisément et plus inélucta- 
blement que les Edgar Poë ou les Jules Verne ne stupé- 
fiaient les enfants .' 

Inclinons-nous très bas devant son tombeau, mais com- 
ment n'y point voir (|u une vaine partie de cet espace eucli- 
dien à trois dimensions dont il a si souvent brisé l'ensemble, 
comme pour vivre plus à l'aise dans les nouveaux univers 
que sa lumineuse pensée pouvait continuellement créer. 

Aussi vit-il par delà la mort, par delà même le banal infini 
qui pour beaucoup constitue l'immortalité et bien aif-delà 
de tous les cieux plus ou moins mystiques où l'harmonie 
est vraiment trop humaine ! 

A. BuHL (Toulouse). 



SUR UN CAS PARTICULIER 

DU PROBLÈME DE L'ÉLIMINATION 

ENTRE PLUSIEURS ÉQUATIONS INTÉGRALES 



M. HoLMGKEX, par une question posée dans \ Intermédiaire des 
Mathématiciens^, au sujet de l'équation intégrale 



C o(v|rfr 
J [-r — yr 



attire l'attention sur les équations du type de Volterra dans les- 
quelles le noyau affecte la forme h[.v — y) telles que 



X 

(.r) — I h\x — y\rs{y)dy = f{x) . 



On connaît la parenté qui relie les équations de ce type aux 
équations différentielles linéaires ordinaires à coefficients cons- 
tants, parenté qui rend vraisemblable à priori leur résolution par 
des formules élémentaires. On est d'autant mieux fondé à prévoir 
une semblable résolution que M. Levi-Civita a donné, en 1895^, 
la solution générale de l'équation de première espèce correspon- 
dant à (11, à savoir 



3 

S 



h(.r — _r)?(rlrfi- = f{x) . (2) 



En fait, les deux problèmes (1) et (2) peuvent être facilement 
réduits l'un à l'autre et ne sauraient être regardés comme essen- 
tiellement distincts. En étudiant leur relation, j ai eu l'occasion 



1 Iiiterm. des !i)nthèjiu. Tome XIX, p. 1(12, ninrs 191'.'. 
'■^ Actes de l'Académie de Turin, novembre; 18i)5. 



34 C . CAILLE R 

de remarquer que le procédé classique, par lequel ou élimine plu- 
sieurs variables entre des équations linéaires à coefficients cons- 
tants, peut être immédiatement transporté aux équations inté- 
grales de première et de seconde espèce lorsque tous les noyaux 
ont la forme h\.i — y). I,e passage est immédiat et la théorie dé- 
veloppée ci-dessous n'est qu'une sorte de duplicata de celle des 
déterminants de l'algèbre ordinaire. I.e problème d'élimination 
ainsi traité est sans doute bien particulier par suite de la forme 
toute spéciale des noyaux; mais l'analogie dont il s'agit le rend 
néanmoins intéressant et justifiei-a peut-être les quelques lignes 
que je vais lui consacrei". 

Mes remarques ont leur origine naturelle dans ma Note s/ir une 
opération analytique et son application aii.r fonctions de Bessel^. 

Nommons, pour abréger, yoro^//// m^éji,'7rt/ de n fonctions a^\.^^., 
a^'.r], ... , rtn(.r d'une variable .r l'intégrale multiple 

x"~^ j ... I ail.ri.r](iii.ri.r\ ... a^^{.r^^x)dt . (3) 

exécutée dans l'espace (,r, , .c^, ... ,.tn—\) k [n — 1) dimensions^. 
L'élément de cet espace, ou dt, est égal à dt = d.r^d:v.^ ... d.Zn—w 
la lettre a:,,, introduite par raison de symétrie, est telle qu'on a 
identiquement 

■ri + .r, + .... + .r„ = 1 ; (\) 

enfin le champ d'intégration est défini par les n inégalités 

^ .r. ^ 1 , ((•=1.2.... n) . (5) 

Le facteur .i"" de la formule l'A] y a été introduit de manière à 
permettre pour le produit intégral — que je désignerai souvent 
par [a^a^a^ ... a,,] — la notation suivante 

(rt,rt, ... rt,J = / / ... I (iii.xwaii.ri) ... (i„{or,,)dt , (6) 

les variables .r,- étant cette fois soumises aux resti-ictions que voici 

^ - ^ 1 , et .»! + .r^ + ... + .»„ = .r . (7) 



* Mèrn. de la .foc. de l'hi/s. et d'Hist. nat. de Ceiicve, vol. :14 (1914). 

* Celte notion Ae produit intégral i\\n s'introduil ici est formée sur le modèle des noi/aux 
itérc.<. des théories générales. 



EQUATIONS ISTÉGRALES 35 

En prenant cette seconde forme, on a, par exemple, pour deux 
facteurs 



or -t. 



(8) 



Bien entendu le produit intégral ele n facteurs r/, ... On dépend 
de leur ensemble et non pas simplement de leur produit algé- 
brique effectué; ainsi, avant de calculer une expression telle que 
[p], il importe de connaître le mode de formation de la quantité/?, 
notamment le nombre de facteurs, ou de dimensions, qu'elle con- 
tient. Par exemple, si a est de première dimension, c'est-à-dire 
facteur unique, je prendrai par convention [d]^= a; au contraire 



[a, 1] = a{z)dz = / a\.r — z)dz 



comme on vient de voir. De même 

[1] = 1 [il] = X [111] = y . elc. 

Le symbole [o^a„ ... a„] possède les propriétés classiques de la 
multiplication ordinaire. Quand on applique, par exemple à la 
définition (3), la règle du jacobien, on constate immédiatement la 
symétrie des n dimensions .r, , .r„ , ... j:,! • En prenant pour coor- 
données .2\, , ^3 , ... , Xn au lieu de .r^ , :i\, ..., .r„_i , l'élément dt se 
change en d.v^d:i\ ... d.Vn ; comme d'autre part les conditions (4) 
et (5) qui définissent le champ d'intégration sont aussi symé- 
triques, on voit que le produit intégral [«,«2 ••• ^«1 ^^^ comnmtatif 
comme ne dépendant pas de l'ordre des facteurs. 

f^a propriété associati^'e, d'après laquelle pour opérer la multi- 
plication de plusieurs facteurs on peut remplacer quelques-uns 
d'entre eux par leur produit effectué, demeure aussi inaltérée. 
Pour le faire voir, il sufBra de vérifier l'équation 

[a,a, ... rtj = [rt,«j ... rt,,_,[fl„_, «Jl (9) 

qui redonne le cas général par alternance et répétition. 
Or mettons le produit [a^a^ ... a,,], ou (3j, sous la forme 

IH— 2| 

«„_,(-»„_,-r)"J-'„»)^-r„_, j • (10) 



36 C. CAILLER 

Alors, clans rintégrale simple réservée à droite j)oiu- être exécutée 
la première, faisons 

.t„_,.r = V 1 - .r, — .rj — ... — a-^,_., = ii , 

d'où 

■*'^/'„_l = (fy •»■„•*' = 1 1 — 'i — • • — -i',,-!)'*- = xu — y ; 

lintéarale en accolade est ainsi devenue 



j 



«„_i' VI «„(•«•" — rif/v 



c'est, d'après (8), la fonction [nn—xa,,] une fois la variable .v rem- 
placée par .t«, ou x[\. — x^ — jl\-, ... — .r„_2). On n'a plus besoin 
que de reprendre la définition (3) pour reconnaître dans (10) le 
second membre de la propriété associative (9i. 

L'extension au produit intégral de la propriété distribiitive né- 
cessite quelques précautions. 

Si les a, b, f, ... sont des quantités de première dimension, 
ainsi que les totaux «, -\- a.-, -\- ... , b^ -{- b., -\- ... etc., le produit 
intégral 

[l«t + (h + ■■•M/'i + l'i + •■•)('■! + ...) ...1 

a un sens complètement déterminé par nos précédentes conven- 
tions. Pour le calculer, il faut, conformément à l'équation (3), 
intégrer le dit produit après avoir remplacé r par .r,.r dans tous 
les a, par .i.,.r dans tous les b, etc. La règle de multiplication des 
polynômes, équivalente à la propriété distribu tive, se trouve 
exacte ainsi qu'on le constate immédiatement. 

Prenons le cas un peu plus général d'une expression polynôme 
P, dont tous les termes sont de même dimension ; on a, par 
exemple, sans introduire explicitement des coefficients numé- 
ri([ues (jni peuvent être réunis aux facteui's alg(''l)riques 

V = «1^2 ... rt^,, + hihihi ... /y,,, + CiCj ... c,^^ + ..; . (11) 

Xous prendrons comme définition du symbole P], non encore 
rencontré jusqu'ici, réijuation 

[P] = [«.«, ... aj + \I>J>, ... hj + |r.r, ... cj + ... (12) 

Cette valeur est naturellement entièrement diUV'rente de celle 
qu'on trouverait en traitant P comme une fonction toute donnée 
en .r. Pour trouver la valeur exacte, il faut éviter dans (11) toute 
réduction de facteurs ou de termes semblables, traiter en un mot 



ÉQUATION s INTÉGRALES 37 

les constituants n, b, c ... comme autant de fonctions indépen- 
dantes et indéterminées. La remarque que voici donne le moyen 
détendre aux polynômes du type P les règles ordinaires de l'al- 
gèbre. 

Soient P et Qdeux polynômes respectivement de /«'*"'' et de n'^™* 
dimension, ou 

P = rtirtj ... a^^^ + IhI>2 .-. />„, + •■. 

Q = ai as . . . x,^ + ."ii .^j . . . ,:,^ + . . . ; 

leur produit aloébrique étant du type P, on trouve immédiatement 
par la règle précédente 

[PQ] = [a, a, ... rt,„ai ... aj -f- [«i ... «,,, ,^3i ... [-ij + [^ ... A„, a^ ... aj + ... 

Dautre part, les fonctions [Pj et [Q] étant toutes calculées, ainsi 

[P] = |«i«, ... «J + [/>,/.. ... hj + ... [Qj = [ai ... aj + [,3i ... ,y + ... , 

en appliquant à ces fonctions [P], [Q], où les crochets dans les 
seconds membres sont de première dimension, la règle distribu- 
tive démontrée plus haut, on a 

f[P][Q]] = [a, ... a„,a, ... aj 4- K«. -. ?i .- ,^,1 + ■•■ 

Ainsi, on aura 

[pQ] = [[p][Qn . 

et de même 

[PQR] = [[P][Qj[R]] = [P[QR]] = [[P][QR]] . 

De là résulte enfin que si l'expression P se présentait sous la 
forme 

P = EFG ... -I- E'F'G' ... + E"F"G" ... + ... . 

où les E, F, G, ... sont des polynômes contenant les facteurs cons- 
tituants a, è, c, ... , comme on a évidemment 

[P] = [EFG ...] + [E'F'G' ...] + [E"F"G" ...] + ... , 
on aurait aussi, pour réduire le nombre des facteurs, la formule 

[P] = l[E][F][G] ...] + [[E'][F'][G'] ...] + ... 

En un mot, les opérations algébriques sont possibles à condi- 
tion de mettre entre crochets les facteurs polynômes dont on 
veut opérer le produit. Nous allons avoir l'oixasion d'appliquer 
■cette remarque. 



38 



C. CAILLER 



Tout ceci étant bien compris, je passe à la notion fondamentale 
pour la suite, du déterminant intégral 



"il 
"n 



"12 • "l;i 



«„., ... a, 



[ci tous les Oij fonctions de x sont supposés de première dimen- 
sion; ce sont les constituants. Si nous développons le détermi- 
nant nous avons un polynôme du type P: [nij] n'est autre chose 
que la somme des produits intég^raux des /?•' termes de P, c'est, si 
Ton veut encore, l'intégrale multiple 



i h I 



dt 



où les notations sont celles des formules (3) à (6), et dans laquelle 
les aijl.v) de lay'^"^ colonne sont remplacés par aij'\.rjx). 

Cette définition du déterminant intégral A = [(Uj] laisse intactes 
la plupart des propriétés du déterminant algébri([ue ordinaire 
Y) z=:\aij\; pour s'en assurer, il suffît d'invoquer les propriétés 
des produits intégraux de la forme [Pj dont il a été question à 
l'instant. Voici quelques-unes de ces propriétés. 

Le changement des lignes en colonnes et des colonnes en lignes 
est sans effet. 

Si on développe la quantité D := |^7y| suivant les éléments dune 
ligne et qu'on désigne en général par bij le mineur de l'élément aij , 
on a les identités algébriques 

D si / = 7 



'ir-iy 



.j^a,^h,j+ ... ^aj. 



"J 







131 



Or les éléments hij sont de la n — iji*™» tliniension par rapport 
aux données aij; si on désigne par ^ij le produit intégral d*^ bij, 
on trouve immédiatement en exécutant l'opération [] sur les deux 
membres de l'équation 13,, 

'"'■''"■'■' ~ si / ^ / . 



f«w?v] + l«2.M + - 



t4i 



Les déterminants intégraux l^ij = [bij], sont les mineurs intégraux 
de D. 

Soient deux déterminants D =i \ atj | et D' =:: j a' ij \ , les éléments 
constituants a et a' étant de première dimension; soient encore 



ÉQUATIONS INTÉGRALES 39 

A et A' les déterminants intégraux correspondants A = X) et 
A' = [D'J. Le produit DD' est du type P, on a donc 

[DD'J = [AA'J = [DA'l = [D'A] . (15) 

D'autre part, opérons le produit DD' par la règle classique de la 
multiplication des déterminants, nous aurons pour ce produit un 
déterminant dont les éléments tels que 

''ii = «u«'i/ + «2i«27 + ••• "/»•%■ 

sont des types E, F, G, ... ; ainsi nous aurons encore la quantité 
[DD'j en calculant le déterminant intégral dont les éléments 
sont [cj/]. avec 

^ij = [«u«iyl + ["-u^'-ijl + •■• + [«,u««yl • 

Prenons en particulier pour D' le déterminant aux éléments 

^ij := [bij] et soient A = [«(;], A' ^ [^ij] ; dans ce cas, à cause des 
identités (14), aj est nul sauf dans la diagonale principale, pour 
laquelle c'n =z A. En vertu de (15), nous trouvons alors 

[AA'J = [A.A ... A] . 

Si donc A ^^^ 0, et que l'équation intégrale 'Ay] =:/" n'admette 
qu'une solution, nous tirons pour la valeur du déterminant inté- 
gral adjoint A' 

A' = [A"-'] = [A.A... A] . 

\n—\\ 



Sans insister davantage sur ces relations qu'on pourrait, bien 
entendu, étendre et multiplier en suivant les analogies que sug- 
gère immédiatement l'algèbre élémentaire, j'aborde le problème 
d'élimination dont il a été question ci-dessus et qu'il est mainte- 
nant aisé de résoudre à l'aide de l'algoritbme des déterminants 
intégraux. 

Prenons un système de n équations intégrales à /(*- noyaux 
hij .V — y \ ce sont les équations suivantes 



2/' 



hu{x — y]o^[y)dy — uAx) \j=l,2....ii\ (16) 



avec les n inconnues (p^ , <p^, ... (pn et les seconds membres 
//j , //g, ... i(n- L'élimination, toujours possible, va réduire le sys- 



CAU. t.KR 



tème à un autre analogue, mais où les inconnues sont séparées, 
et tel que 



/ Al.r — rlçyi virfv = l^yl-r) • (17) 



Pour démontrer ce point, jécris le système 10 sous la forme 

on va le résoudre, par les propriétés des déterminants intégraux, 
exactement de la même manière qu'un système linéaire de lal- 
gèbre ordinaire. Formons un déterminant intégral en prenant les hij 
comme éléments constituants, et soit A ^[hij] ; désignons les mi- 
neurs intégraux de A par tj^j. 

Multiplions l'équation ,18 par i]j^, soumettons les deux membres 
à lopérateur [] et sommons pour les diverses valeurs de y: le 
premier membre s'écrit alors 

l.H 1..-I l.n 

il se réduit simplement, en vertu des formules (14 . à 1 expression 
Le second membie a donné, de son côté, la quantité connue 



^'.•=2fv'vi • 



1.2,3 ... n\ 



On a donc bien démontré que les solutions éventuelles du sys- 
tème il<) vérifient le système 17'; l'inverse est vrai, en général, 
et se démontre de la même manière. 
Prenons la formule 17 , soit 



l.H 



[A?.]=2f^'^'"' 



On tire de là 

\.n 1 . 



i i k 

OU encore, toujoui's par les mêmes formules (14j, 



ÉQUATIONS, INTÉGRALES 41 

Si donc on sait que l'équation homogène 

f\{.x - y)z\y\dy= 

n'admet d'autre solution (jue ff[i)] = 0, l'équation 10 montre que 
(16) est une conséquence de (17j. 

I.e cas des équations de seconde espèce se ramène immédiate- 
ment au précédent; pour le faire voir, posons un système tel que 

'jr^i + //2?o + ... + lj,rr„ + [^Vinl + \'>J2^2\ + - ['[i.rJ = "j 

\j = 1 ... 7/) (20) 

OÙ les hij sont toujours les noyaux fonctions delà seule différence 
.r — /y, et les / des facteurs constants. Intégrons l'équation i20), 

entre les limites et :v \ et l'appelons que l'intégrale / a{:. dz est 
égale à la quantité [a . Ij. Alois en posant 

/.. — |//.., i] = a ■= I . — Ch.d.r 

'J ^ '7 J y ij J 'J 



on obtient immédiatement le système de première espèce 

l«y,?,l + k^or^l + ■■• + [ojnrnl =f^'fr^d.r . (21) 



Les solutions du système (20j appartiennent à '21 ; réciproque- 
ment les solutions de (21) vérifient (20; comme le montre une 
simple dérivation. Une condition nécessaire pour ([ue 20 soit 
résoluble, quels que soient les seconds membres tij continus en .r, 
est <{ue le déterminant intégral des quantités aij soit différent 
de zéro. 

I-aissant de côté plusieurs remarques que suggère évidemment 
la théorie des équations algébriques linéaires, j'ajoute quelques 
mots encore sur le problème auquel on sera finalement toujours 
conduit, celui d'une équation intégrale unique 

[\z] = Il . ou / A|.r — v)s(r)(/v =z »(.»■! . (22) 

C'est celle de M. Levi-Civita; elle correspond, peut-on dire, au 
problème de la dà'ision intégrale. 

L'Enseignemont mathéni., lô*^ jinnée ; 19i:t. 4 



42 C. CAII.l.EIi 

Pdiii' le irsoudrc. on peut souvent adopter une méthode très 
sinij)lo adaptée à la l'onne des singulaiités du noyau autour de 
l'origine; cette niarohe est naturelle, car pour la possibilité du 
proljlènH', la donnée ii[.v] doit ordinairement présenter à l'origine 
une alluie particulière déterminée par c(dle de A. 

Supposons, par exemitle, (juc A soil tel (|ue ré(|iiation [AA'] = 1, 
c'est-à-dire 

/*Ai v)A'(.i- ~ y)dy= 1 _ (23) 

admette une solution A', continue, sauf peut-être à lOrigine. De 
(22), on tire alors 

[A'iA",)| = [[AA'lçl = [?.Il=: [..A'I , 

ce (jui équivaut à reijuation intégrale 

I 9 (_r ) dy = I u\y)y {.r — _r) (/)■ 



r 

- / ni V) A'(.r — r)(^r ■ 
il' ' ■ ■ 



Comme géiu'ralisation, supposons A t»d (jue Ton j)uisse satis- 
faire 

[AA'J = /"AiriA'i.r — v)£/.r = .r" , |2'i| 

(I 

/télanl lin nonihie entier et |)osili('. lui raisoiinanl coninie tout ii 
riieure, nous amenons 221 à la forme 

|ç.r"J =r f(.r — y)"oly]cIy= f,i{x—y)y(y}dy , 



d'où I on tire imnK'diatenieiit 






/ /M VI A !.»■ — .VI fM- '. 



" • f/.»-"+''' 



On agirait de la nuMiie manière si // i-essait d'être entier et positil ; 



* Hien entendu, cctli' solution, do iiiôinc ((iic la i)i'i}c(>donU', doit clic MM-irue a posloriori ; 
ce contrôle sera toujours l'acile. 



EQUATIONS INTEGRALES 43 

la détermination de la fonction A' réduira toujours l'équation (22) 
à une équation intégrale d'Abel, facilement résoluble comme on 
sait. 

11 est sans doute ordinairement tout aussi difficile de dégager 
l'inconnue A' des formules 23) et (24) que (p de la proposée (22), 
et le détour ne réalise aucun avantage signalé sur les formules de 
M. Levi-Cività. Mais lorsque A est une fonction holomorphe au- 
tour de l'origine, A' Test aussi et sa détermination n'offre pas de 
difficultés ; la méthode esquissée ci-dessus devient alors très pra- 
tique et donne, d'une manière rapide et élégante, la solution cher- 
chée. Je vais, en terminant, l'appliquer à un exemple où A est 
analytique, mais non pas holomorphe à l'origine. 

Soit A(.rj de la forme 

A(.r) = ■»■""' (/'o — d-^- — "S'f- — •■•! - (25) 

l'exposant a étant compris entie et I et le coetîicient «^ différent 
de zéro. Prenons 

A' (.ri = .*■-«(/>, + h,.r + h^x'' + ...I , (26) 

et suJDstituons ces valeurs 25) et (26) dans l'intégrale 123'. inopé- 
rant formellement les calculs sur les séries du premier membre et 
utilisant le résultat connu 






r + 5 + 



on trouve, pour déterminer les inconnues Z/^ , />,, ... b,n. l'équation 

c^,i ('Q\y. — 1 I .' ( — ai 1 ::= 1 , 

et la récurrence 

\.m 

-^ |m — a — /;|: (/) + a— lll i -i , ,.i-v 

a h,i, = >• '-—-J- — aph,n-p ■ >iii = 1, 2, ... 2/ 

P 
Considérons les séries 

1,00 1,00 

o\.t) = (t^^w. — 1)! —^S{p + X — 1)! iipxP = a[ —^'dpxP , 



et 



p p 

\.v. 1 . 00 



o'(,ri = b^{— y.)[ +^\p — ai! hpx'' = // + 2 'V*''^ 



P P 



44 C. CAII.l.EK 

portons clans la lécurrence (27 les valeurs 



7' + « — 1 1 ! 



/^ 



elle devient 



lit ^^ /' /« — /' 



C'est celle même (jne fournit la mi-thode des eoelïieients indéter- 
minés appliquée à léquation 

o(.r)ô'(,r) ^ I . 

Pour trouver les bm et A', il sullira donc d'ordonner le quo- 

I . , . 

tient - suivant les puissances de .v en posant 

0,0* 



on aura ensuite 



A'I 



.,-«NJ 



C'est la rèi^le de la réduite de Laplace que jai déjà développée 
dans le mémoire cité plus haut. 

Si la série â{.fj est convergente, la converi>ence de S' (.v), et à 
fortiori celle de A'(.r), est assurée; on peut ajouter (pie même si 

ô[.r) est divergente, mais que a soit iiilV'ri(>ui' ou é^al à —, A'(.r) 

est encore convergente. 

Pour faire voir ce point, reprenons la récurrence (27) ; nous ob- 
tenons une majorante en remplaçant tous les rip par leurs valeurs 
absolues Up = \(fp\, et le coellicient numérique 



par son maximum, (^c maximum, on le montre aisément, s obtient 
quand di est donné pour une des valeurs extrêmes /> = 1 ou 
p =z m \ les valeurs asymptotiques des termes coriespondants se 
déterminent par la lormule de Stirling, ils valent respectivement 



1).' 



et 



g)! 



!,!/;< 



ÉQUATIONS INTEGRALES 45 

Ainsi, dans le cas mentionné « :^ ^ , le coefficient numérique est 

borné supérieurement. Si A est la borne supérieure, la majorante 
cherchée sera 



«0 (■"" 



= \^:>.p':.,„-p ; (28) 



si l'on prend |5q = | A^, | , on tire de (28! des §,n tels que jS,„ ^ | b,„ 
Posons dès lors 

l,a: n, 00 

P P 

la détermination i28j des ^„i est celle qui résulte de la condition 

-3.^1) [X) -\- kh[x]{(t\x) — agi 1= aQ,% , 
OU 



l>Ur\ 



a„ + k{a[x) 



Or, d'après notre hypothèse, (7 (.t) est convergent, donc b{.v) le 
sera dans un certain domaine et A'(.r) à fortiori. Le rayon de con- 
vergence certaine de A' ia.-) est égal soit à celui de A(.i), soit encore 
au module de la plus petite racine de l'équation 

A.a{x) + «oll — A) = . 



Pour finir, appliquons ces généialités à un exemple analogue à 
celui de M. Ilolmgren, en considérant l'équation 



f/^-^ R ( yh t\x — ,r) dy = o (x) (29) 



OÙ R (^'^j désigne un polynôme en y^-" ne sannulant pas à l'origine, 
et |5 un exposant positif qu'on devrait supposer entier pour rester 
dans le cadre des explications précédentes, mais qui peut être en 
réalité quelconque. Je ne résous d'ailleurs (29) que pour le seul cas 
(f{.v) = 1, ce qui suffît, comme on a vu plus haut. 

Prenons les réduites de Laplace. Celle de f/'^^^l\[i/i^) est évi- 
demment de la forme ,y"~'P(yn, où P désigne un nouveau poly- 
nôme possédant un terme constant; celle de A'(r), ou f{a;), sera 
donc égale au rapport .<— « : P(.<v). 

Appliquons à ce rappt)rt la décomposition en éléments simples ; 



46 



r. (Al LIEU 



la réduite de f .i] se |)résente alors comme la réunion diin certain 
nombre de termes des formes 



A 



A 



■V/' 



\ j) =z ontiei'l 



1 — (i.r^ 1 1 — a.r' i 

Développées en séries, ces fonctions s'écrivent 



0, 00 



a2 «"■»■'"'"" 



A >« '—' f- T3 — ;; * 



ainsi, cl telle est la solution, l'inconnue /'.t se compose dun 
nombre fini de fonctions analytiques des formes 



Ax 



■2^ 



// — a) . 



et 



A,v-«^ /"/' + ^' ••■ ^P + "— ^ 1 '' ■'^•' 

.^ 1.2.0 ... /; |,v/ — al 1 ■ 

II 

Les fonctions précédentes sont ex idem ment apparentées aux 
fonctions de Bessel. 
Posons, pour abréger, 



= ^ 



[jii + al 



on démontre immédiatement léquation 

X 

(a — In I z (y, fijZr. (.r — r. I)]dy = s , (.»• , a] — z , i.r, A) , 
t' ' 3t.y 1^' y " ■ ' 31 , y • « . y 



,' ' a,y '' rj, Y^' -^ • ' a ,v • ' a .v' . < ' > 



avec «' = «-}-/? — ;'-|-l. Dans le cas particulier a=:]3 = a'=:j' — 1, 
l'identité précédente devient simplement 



J'y.. a4-i 






a, a+l 



/>k/.- 



=^ , , (•»' — 1, '^'1 — Œ , , (.r — r , l>\ 
• a. a4-i ^ • 'a, a+l • ' 



MÉLANGES ET CORRESPONDANCE 47 

On y reconnaît Téquation caractéristique des résolvantes d'un 
noyau donné, et on conclut que la fonction y^^ ^,4., ■'' — .'/ • * ^st 
la résolvante du noyau 

, a 

„ (,r — VI 

Ki.r. VI = c ,,!.»■ — V, 0) ^ r-^ l)Our x > v , 

■ a, x+l • a . 

K{x, Y) ::=: pour .t < v . 



C. Caili.eu Cienève). 



MELANGES ET CORRESPONDANCE 



Une nouvelle définition des points d'inflexion des courbes planes. 

1. La symétrie par rapport à un point nous fournit une défini- 
tion facile des points dinflexion des courbes planes, tandis que la 
symétrie par rapporta un axe rend évidente la propriété du cercle 
osculateur. 

Rappelons tout d'abord les principes suivants faciles à saisir. 

2. Etant donnés deux axes rectangulaires quelconques : 

a) Les deux points symétriques d'un point par rapport aux deux 
axes sont aussi symétriques par rapport à Ictrigine. Il en est de 
même pour deux figures symétriques d'une ligure tracée dans le 
plan de deux axes. 

bi Piéciprociuement : étant donnés un segment rectiligne quel- 
conque et deux axes rectangulaires passant par son point milieu, 
les points symétriques des extrémités par rapport à ces axes coïn- 
cideront entre eux. 

c) Les deux segments symétriques d'un segment rectiligne pas- 
sant par Torigine, contiennent ce point, sont égaux et en ligne 
droite, 

3. Théorèime I. — Si l'on construit les deux courbes symé- 
tricpies d'une courbe plane par rapport à deux axes orthogonaux 
dont l'origine est un point quelconque de la courbe, et si l'on 
groupe deux à deux, d'une façon convenable, les segments sui- 
vant lesquels ces diverses courbes y compris la courbe donnée) 
sont divisées par l'origine, on y discernera quatre courbes, deux 
d'entre elles ayant à cette origine un point d'infiexion et les deux 



'i 8 M !■: I. A y GES E T C on 1{ E s. P O N D A N C E 

autres un point de lebvoussenient ; les tangentes à l'origine à oe& 
quatre courbes se confondent. 

Le même théorème a lieu si Ion construit une seule des courbes 
symétriques de la courbe donnée et sa j)ropre symétrique par 
rapport à Tautre axe. 

^. Réciproquement, 1 inllcxion pouna se définir ;i laide tlu 
théorème suivant : 

THiioiiii.MK 11. — Si les deux éléments infinitésimaux successifs 
d'une courbe plane, situés de part et d'autre d'un de ses points, 
sont symétriques l'un de l'autre par rapport à ce point, ce point 
sera un point dinllexion de la courbe, car la tangente sera formée 
du piolongement de ces rayons. 

Heniai<iiie. La même propriété aura évidemment lieu si les deux 
parties d'une courbe plane, situées de part et d'autre d'un de ses 
points, sont'symétriques lune de l'autre par rapport à ce point et 
par suite égales entre elles. 

5. Une application immédiate de ce principe en Géométrie des- 
criptive nous montre l'existence des deux points d inllexion du 
iléveloppement de la section plane du cylindre, etc. 

En çffet, chacune des deux parties égales dont est composé ce 
développement peut à son tour se décomposer en deux parties 
égales, symétriques par rapport à leur point d'ordonnée moyenne. 

6. Le cercle osculateur en un point d une courbe plane traverse 
la courbe en ce point. Cette projiriété est maintenant évidente. Si 
l'on considère en effet la normale au point de contact, les deux 
parties du cercle osculateur voisines du point de contact et situées 
de part et d'autre de ce point sont symétriques l'une de l'autre, 
tantlis (ju'il n'en est généralement pas de snème pour la courbe. 

F. -P. Pateuno Palerme . 



Les anaglyphes géométriques. 

Vues stcréoscopifjues pour l enseignement scienli/i{jue. 

Comme suite aux Xotes que nous avons consacrées autrefois 
aux i'iœs stèréoscopiques destinées à renseignement scientifique^, 
nous tenons à signaler ici une nouveauté très remar([ual)le cjui a 
obtenu un grand succès au 5" (A)ngrès international des mathé- 
maticiens. Tous ceux qui oui assisté au Congrès de Cambridge 
ont admiié. dans la salle de l'Kxposition, les anaglyphes géomé- 
triques de M. lleiiii HicuAiti), j)roviseur au Lycée de Chartres 
I France . 

Ce sont des vues sté'réoscopi<iues de figures gé()métri(jues. mais 

1 \o\r L'Ilnsiigii. iiKitln/ii.. K' iiww,,- l'.irii; p :is5-:;'.mi. p. iT.i-'iT.S: 'i" ^mino. 111(17, p. 01-63 , 
p. r.2-li6. 



CHRONIQUE 49 

elles ne nécessitent pas l'emploi du stéréoscope. En efTet. les deux 
images étant dessinées lune en rouge, l'autre en vert, il suiTit de 
les regarder avec un lorgnon rouge et vert pour que les figures, 
qui semblent d'abord offrir une grande confusion, produisent une 
image très nette en noir, présentant un relief tout à fait remar- 
quable 

Le principe des couleurs complémentaires avait déjà été em- 
ployé par Rollmann et par Ducos du Hauron. M. Richard a le 
mérite de l'avoii- appliqué à la représentation des figures de la 
géométrie dans Tespace. Ces vues stéréoscopic{ues sont exécutées 
par le dessin, à l'aide de calculs très simples. On trouvera ciuekjues 
développements à ce sujet, avec près de 30 vues, dans la petite 
brochure de M. H. Vuibert intitulée k Les Anaglyphes géomé- 
triques »^. Il est certain que ces vues stéréoscopiques sont appe- 
lées à jouer un l'ùle utile dans l'enseignement de la géométrie. 
Leur emploi contribuera à développer chez les élèves l'intuition 
des figures dans l'espace. 

MM. Richaid et Vuibert se proposent de faire des collections 
d'anaglyphes, groupés méthodiquement, à l'usage des divers en- 
seignements. 11 y aura notamment une série consacrée à la géo-' 
métrie descriptive. IL F. 



CHRONIQUE 



Société mathématique suisse. 

.'1"'^ Bt^union ordinnire : Altdorf. lit .se[)toinl>i(' IHl'J. 

La Société mathématique suisse a tenu sa troisième réunion 
ordinaire à Altdorf, le 10 septembre 1912, sous la présidence de 
M. le Frof. R. Fueter iBàle;, comme section de la ^/.ô'"*' Réunion 
annuelle de la Société helvétique des sciences naturelles. 

Après avoir jeté un rapide aperçu sur l'activité de la Société 
pendant Tannée écoulée, le président rappelle le souvenir des 
membres décédés pendant Tannée : M. le prof. Vox der .Mïhel 
Bàle , un des membres fondateurs de la Société et M. Droz-Farxy 
(Porrentruy). Sur la proposition des vérificateurs des comptes, 
MM. Plaxcherei. et Simess. la Société approuve le rapport du cais- 



' 1 Ijrocli. in-8<>. :f2 p.: 1 fr. .îO ; lil)r:iiric Viiiliort. V;iri^ 



r>0 C II UGNI Q u !■: 

siei': les recettes se montent à Fr. DÔ'i.lO, les dépenses à l''r. 229.10. 
d'où un solde créditeur de Fr. 725. Le nombie des membres est 
actuellement de J21, dont 27 membres à vie. 

I^a Société constitue comme suit son Comité pour la période 
101.')- 1914 : MM. II. Fehii Genève;, président; M. Giiossma.w 
Zurich, vice-président; M. Pl.vncheuei. iFribourg. secrétaiie- 
caissier. Le nouveau président remercie ensuite au nom de la 
Société son prédécesseur, M. le Prof. Fueter, pour l'activité avec 
laquelle il a présidé à Theureux développement de la Société pen- 
dant cette première période. 

La séance scientifique compicnait les l.î communications sui- 
vantes : 

i. — M. le Prof. 11. Fikteh Bàle . Sni- la réparti/ion en gen/es 
des c/asses d'idcati.v. — La répartition en oenres tics classes d idéaux 
d'un corps algébrique K, abélien dans un certain domaine A", repo- 
sait jusqu'à présent sur l'introduction de certains symboles et 
exigeait que k contint des racines de l'unité. Les notions de rai/on 
(Zalilstrahli et de classe de rayons (Strahlklasseï permettent de 
donner une définition très simple et complètement générale du 
genre dans le corps K. Lu effet, tout corps K. abélien relatif pai' 
rapport à k, détermine dans k par son discriminant relatif un 
rayon [f lié très étroitement àK, comme le conférencier l'a mon- 
tré dans des travaux antérieurs. Toutes les classes d'idéaux, dont 
la norme relative par rapport à k appartient a la même classe de 
raijons de li'i, constituent an genre. On peut démontrer que tous 
les genres possibles n'existent pas, c'est-à-dire qu'il existe des 
classes de rayons c|ui ne sont pas normes i-elatives de classes du 
corps supérieur. Le conférencier développe ce qui précède sur 
l'exemple simple des 7""* racines de l'unité. 

Discussion : M. PLAXCHEiiKi.. 

2. — M. le D' F. BcTzniîiîr.EK Zurich . Sur les poh/gones bicen- 
triqnes. — Après un court aperçu sur les travaux fondamentaux 
A' Euler, Fuss, Poncelet, FeuerhacJi, Sleiner et Jacohi, le conféren- 
cier rappelle la remarquable loi empirique énoncée pav ffagoe^. 
Soit /• le layon du cercle extérieur de centre M* q celui du cercle 
intérieur de centre N d'un polygone bicentrique à n sommets et 
MX =6- la distance des centres; /•, q, r, vérifient une certaine 
équation. Ifagge rcmarcjue que si l'on fait /•^2, c=z 1 dans cette 
équation, on oiîticnt toujours pour Q une équation algébrique à 
coellicients entiers de somme égale à 1. 

Pour déduire cette équation d'une manière élémentaire, on 
peut, avec Fuss et Steiner, se servir de la somme des angles; il 
est préférable de jiiojeler nonnalcmcnl les layons des sommets 



> y.citiihrift f. math. it. naCiirn'. UnIerrUht : l'.lll. p. OS et l*tl2. p. W'h 



CIIROMQUE 51 

et la ligne des centres sur les rayons de contact correspondants 
ou la ligne des centres sur les côtés du polygone. Il est important 
de remarquer qu'il existe, soit pour n pair, soit pour n impair deux 
polygones symétriques et que, dans le premier cas, tantôt l'un tan- 
tôt l'autre conduit plus rapidement au but. Tout côté est divisé 
par son point de contact en deux segments. Deux segments issus 
d'un sommet sont égaux. Désigne-t-on, pour «pair, lés segments 
situés de la même manière à gauche et à droite par les mêmes 
lettres ,r, r' : y.y'\ z.z'.... on obtient l'expression du segment 
accentué en remplaçant q par -q dans l'expression du segment non 
accentué et 1 on a la loi générale .r.r' = yi/' =^ zz' = ... On trouve 
de la sorte les équations déjà connues, sous une- forme plus sim- 
ple et plus symétrique, sans accompagnement de facteurs parasi- 
tes et l'on peut y ajouter facilement les équations relatives à 
n = 9, 10,... que le conférencier écrit explicitement et sur les- 
quelles il vérifie la loi de Hagge. 

Si, à la place du cercle intérieur, on considère un cercle tangent 
extérieurement ou si le polygone bicentrique à n sommets est 
étoile avec deux ou plusieurs circulations, les formules données 
comprennent encore tous les cas pour /* pair; si, par contre, n 
est impair, elles ne sont vraies que pour les polygones ii nombre 
impair de circulations ; pour les autres il faut remplacer o par — o. 

Enfin, la généralisation de la théorie des f[uadrangles bicentri- 
cjues conduit à des faisceaux remarquables de courbes et de sur- 
faces du 4""^^ ordre. Une exposition détaillée de ces recherches 
paraîtra comme supplément au programme de l'Ecole cantonale 
de Zurich 1913. 

Discussion : M. Simess. 

3. — M. le Prof. M. Guossmaxx Zurich . Dèinonstratiun projec- 
tU>e de la construction absolue des parallèles de Lobatschefskij. — 
Soit ABCD'un cjuadrangle plan, rectangle en A, B, D. L angle en 
C est alors aigu, droit ou obtus selon que l'on se trouve dans la 
géométrie de Lohatschefskij, AEnclide ou de Hiemann, et simul- 
tanément BC est plus grand, égal ou plus petit que AD. Dans le 
premier cas, le cercle de centre A et de rayon BC = /• coupe la 
droite CD en deux points S, T et l'on peut montrer, par une voie 
trigonométrique, que les droites AS, AT sont les parallèles me- 
nées par A à BC. 

On a essayé souvent d établir d une manière purement géomé- 
trique cette construction des parallèles, mais les démonstrations 
existantes sont loin d'être simples ; elles ne sont au fond que des 
vérifications postérieures cjui ne laissent pas reconnaître les con- 
nexions profondes de cette construction. La métrique projective 
de Caylei/ et de Klein permet de donner une démonstration sim- 
ple et tiès claiie. 



52 



( u noy I o LE 



Soit 0) la conique absolue. A un point ordinairi' (iueleon(iiie. A- 
le cercle de centre A et de rayon quelcon([ue /•. a léiiuidistante 
relative à un diamètre quelconque .r du coiclt'. ("fst-ïi-dire le lieu 
des points (pii sont à la distance /• de .r. 

P2ntre ces 3 coniques existent les relations suivantes : 1" o) et k 
ont un double contact aux pcnnts d'intersections imaginaires avec 
la polaire absolue de A ; 2" (o et a ont un double contact aux 
points crintersection avec Taxe .v de récpiidistantc a ; 3" k et a ont 
un double contact aux points dintersection avec le diamètre y, 
mené perpendiculairement à .v par le point A. 

Soit maintenant C un point quelconque de Ituiuidistante (t, B 
et D ses projections normales sur les diamètres .v et //, S 1 inter- 
section de CD avec le cercle /,•. 11 faut démontrer que AS et BC 





sont parallèles, cest-à-dire (|ue leur inlerseclicm esl un point U 
de la conique absolue m". 

S et C se correspondent dans la coUinéalion Cka daxe // el de 
centre ^ pôle de // qui transforme /.' en a. C et U se coirespondent 
dans la coUinéation C«-.,, d'axe .r et de centre X pôle de .r, qui 
tiansfoi'me (t en w. La démonstration revient ;i taire voir (|ue S 
et r sont en lione droite avec A, c'est-à-dire se correspondent 
dans la coUinéalion Ca .. qui transforme k en o) et (|ui a A comme 
centre et \^ comme axe. 

Les collinéalions i\ka et (]„-.) ne sont j)as indeptMidantes. car 
d'abord le centre de lune se trouve sur Taxe de laulre et ensuite 
leurs caractéristi([ues sont égales, car 



YASiQÂXAUf, 



lii 



' si l'on représente m par un cercle île la gcoinéti U tiicUdùiiiie et si Ton place A au centre 
de ce cercle, k devient un cercle de centre A. réepiidistante devient une ellipse dont '• el A" 
sont les cercles construits sur les axes principaux comme diamètres. I,ii fi^jurc re[ircpcnte 
alors la construction connue d'une ellipse au moyen de ces deux cercles. 



d'où 



CHRO N I Q U K 53 

puisque les droites S, C, et C,U., se coupent sur XA . Le pro- 
duit des deux collinéations est par suite une collinéation qui a A 
comme point double, XY comme droite double. 11 suffît donc de 
montrer que A est un centre ou que X^ est un axe de cette colli- 
néation, c'est-à-dire que tout point de XY est un point double. 

Soit donc Cao donné par son centre Y. l'axe //, le couple S,. 
C,. Soit de plus Ca^ donnée par son centre X, son axe x et le 
couple C., U.,. tel que la projectivité (il soit satisfaite. Soit S3 un 
point quelconque de XY. Si Ton construit C3 au moyen du cou- 
ple SjC,, puis U3 à partir de C., au moyen du couple CjU.,, on 
trouve U3 ^ S3. Car, on a 

YASiQ 7; YXS3C, . XAC,Ua  XYCsUs , 

et donc, à cause de 1 

YXSsQ 7 XYC3U3 Â YXl sCa 

U, = 83. 
Discussion : MM. Mkissnek et Giîoss.manx. 

4. — M. le D'' D. MiiiiMANOFF Genève . Sur quelques problèmes 
concernant (e jeu de trente et quarante. En labsence du confé- 
rencier, la communication est présentée par M. H. Fehr. — Les 
problèmes' fondamentaux du jeu de trente et quarante ont été 
traités par Poisson. Oettinger. Bertrand. Les déductions de ces 
auteurs présentent des lacunes et certains de leurs résultats sont 
inexacts. L'étude de M. Mirimanoffpermet de combler ces lacunes 
et d'obtenir une solution exacte et complète du problème. Elle 
sera publiée dans un prochain numéro de V Enseignement mathé- 
matique. 

5. — M. le Prof. 0. Spiess Bàle". Sur ceitains groupes de fonc- 
tions algébriques. — Soit K,, .r une fonction rationnelle de degré 
/?, léquation 

Rjvi — R„i.n = (1) 

possède comme racines n fonctions algébriques 2/ = . r, //, .r' , ... 
i/i,~\\.r' qui forment un groupe, puisque i/kif/h =yi- Inversement, 
toutes les fonctions algébriques qui iorment un groupe fini sont les 
racines d'une équation de la forme I . Considéions, par exemple, 
un groupe qui résulte de l'itération d'une seule fonction àrdéter- 
minations groupe monogène). xV un point .r du plan de la variable 
complexe correspondent alors v points, à l'ensemble de ces v points 

en correspondent v- autres qui peuvent coïncider en partie etc. 

Si le nombre des points qui dérivent ainsi de .v est fini, nous 



:)'i CIlRONlOiE 

avons (Icxant nous un gionpe (ini. .loii-nanl chacine point avec les 
j' points qui en déiivent par des lignes dirii>ées, on ol)tient un 
réseau de lii^nes polygramnie connue iniai^e dn oroupe. Comme 
seule la connexion de ces lignes iniporti". on peut les détacher du 
plan et les supposer menées dans un espace (pielconque. Par 
exemple, les modèles à arêtes des polyèdres réguliers et mi-régu- 
liers donnent des images de tels groupes. 

On peut se poser le /?/o/:»/è/«c de déterminer ICqualion la plus 
générale de la forme i) appartenant à un |>olygramme donné. |{n 
faisant déci'ire au sommet .r un contour fermé et en consid(>rant 
les permutations correspondantes des autres sommets, on peut 
résoudre le problème d'une manière complète dans beaucoup de 
cas. Par exemple, à l'octaèdre appartient la fonction du G'"" degré 
Rg (.1) := H., (S„(.ri où S^^.rl admet une substitution linéaire de 
cycle 2. Ces i-echerches se laissent naturellement étendre aux 
groupes infinis. 

Discussion : MM. Pi.anchi;iu:i., Mi;iss.m;i!. (Iiîoss.maw. Fi ktki!. 

(). — M. le Prof. J. AxDHADF. (Besancon . Aoin'eati.r inudl'les de 
nioin'cnii'iil pour l'enseigneDient de la géométrie. — Le conféren- 
cier présente six modèles construits en vue de l'enseignement 
géométrique dans les écoles techni([ues professionnelles, (^es 
modèles concernent la géométrie qualitative, la seule (jui offre 
aux débutants une réelle dilïîcullé ; ce sont des modèles de mou- 
vement ou d'assemblage, matérialisant les premiers concepts de 
la géométrie, (]ui sont non des concepts de foi-me, mais des con- 
cej)ts de mouvement. 

Discussion : M. Fi i:ti:i!. 

7. — M. le D' (1. DcMAS i/urich). Sitf les shigiild rilcs des siii- 
faces. — 1/auleur lapjjelle d'abord en quelques mois, comment 
se pose le problème de la résolution des singularités des surfaces, 
puis dans un exposé d'un caractère tout à fait général, développe 
sa méthode, en résolvant dune manière com|ilètr la singularité 
que la surface 

.1.) _ /,,.12 ^ .^,.3,8 _|_ _,.6,.l _ ,.9 ^ Xx^y^z^ = I I) 

pi'ésenle au |)oint 

Son |)rocédé le conduit à faire corresj)on(irt' aux points singu- 
licis considér(''s (;ertains polyèdres analogues aux |)()lyg<)ncs de 
.\('\\ ton utilisés pour les courbes algébiiquos planes. 

Dans l'exemple (ù-dessus, le polyèdre comporte une seule face 
finie, t rian^idairc. T. I,a résolution t-()in])lète de la singjdai'ité 



CHRONIQUE 55 

sefFectiie en partant de trois substitntions se rattachant respecti- 
vement à ohacnne des arêtes de T, et de la forme : 



>-b b< h" 
1 = Ç r, Il 



r 



Les exposants a, b, c, etc., sont des entiers positifs: quelques- 
nns d'entre enx peuvent être nuls. Leur déterminant, pris en 
valeur absolue, doit se réduire à l'unité. 

Par linteimédiaire des substitutions (3) on obtient des repré- 
sentations holomorj)hes de portions de la surface ;li, dans le voi- 
sinage du point \2\ qui, dans leur ensemble, représentent com- 
plètement cette surface 1) dans le voisinage de ce même point 

(2). 

Pour atteindre ce dernier résultat, il sulïit d'ailleurs d un nom- 
bre fini de ces représentations ^ 

M. G. Dumas montre ensuite cpie le polyèdre permet de distin- 
guer les uns des autres les différents cycles ou, ce qui revient au 
même, les diverses nappes cju'une surface présente dans le voisi- 
nage d'un point singulier, et, termine en donnant quelques indi- 
cations relatives ii différents polyèdres rencontrés dans le cours 
de ses recherches. 

Discussion : MM. Ghossmanx et Fleiei!. 

8. — M. le Prof. M. PL.vxcHEr.EL (F'ribourg . Unicité d(i dè^'elop- 
peinent d'une fonction en série de pobjnônies de Leç!;endre et ex- 
pression analytique des coefficients de ce dé\'eloppenient. — P„ .r 

désionant le polvnôme de Leoendre [x- — 1", nous ap- 

2"//!f/.r" 

pellerons série de polynôme.; de Legendre toute série de la forme 
^yc/„P„.r. f .V étant une fonction sommable dans l'intervalle 

— 1, -|- 1, on j)eut former les coefficients de Legendre 

•lit' 
fn^- — :^- I f.r)P„ .Vjd.c. [.a série ^>^//,P„(.r formée au moyen 

— 1 ((=() 

de ces coefficients n'est pas nécessairement convergente; nous 
l'appellerons la sé/-ie de I.egendre de f\x] ; f\x) en sera dite \di gé- 
nératrice. 

On peut se poser au sujet de ces séries des questions analogues 



' Poiii' (le |)lii'^ iiinplcs ronseignumeiits sur la résoliilinu do la siiii;iilai-it<'' c(>n>i(l('Tée, voir, 
('(iiiiptcs /•cndiis de l'Académie des .Si icitccs. t. \'A, p. lil)5. séance du 'i juin l'.HJ. 



56 



in no M Q u i: 



à celles (jiie (i. ('(iiitor et Dnhoi.s-licijiiioiid o\\\. yio^éG'» cl ])aitielle- 
nieiil résolues dans la théoiie des séries Irii^oiiomélrifjues. Les 
théorèmes suivants constituent une rc'ponse partielle à ces ques- 
tions. 

I. La condilion nécessai/e et sn/JisaïUe pour (jtie, dans (oui l'in- 
tèrvalle ( — I. -f- 'J- '^' F e.vception au plus d'un ensemble réductible de 
points, '^'dal^n[>^ieoni>e/ge vers zéro est (jue aM=:0 n= 0,1.2,... '. 

II. Si la série ^>- anl\. x converge dans tout l' intervalle — \. ~\-\ . 

à l'exception au plus d'an ensemble réductible de points, vers une 
fonction f x) bornée, c'est une série de Legendre, dont fix est la 
génératrice. 

III. La condition nécessaire et suffisante pou/- qu'une série 

^y a,! Pn X I ail pour génératrice la fonction 1" x est que 

X 

^y Hn / r*n(x) dx couverge dans tout V intervalle ^ — - 1 , -)- 1 vers 



f 



ffxld) 



Dans les théorèmes analogues de (lanlor et de Duhois-Keyniond, 
rélément analytique qui joue un grand rôle dans la démonstra- 
tion est l'expression 

f\.x- + Al + f\.f — li\ — '2f\.r\ 



Ai/Vr, //) 



Ir 



dont la limite jxtur // ^= donne la (Uîrivée seconde généralisée 
de /"(.^). Pour trouver Tanalogue ici, considérons une fonction 
¥{S-,<p) d'un point sur la sphère unité. Décrivant autour du ])oint 
(^,93) comme centre un petit cercle de rayon sphérique h, appe- 
lant id' , 9') les points de ce petit cercle, ds' l'cdément d'arc et s' 
le périmètre du petit cercle, nous formerons l'expression 



Sa limite pour h ^= () sera ce que nous noterons A._, F (/>, (p 
Lorsque F '^, yl possède une ditrérentielle seconde, on a 

I / . ^oK\ I oM-' 



' Ce Uic'iiioine csl dû ;i XI. Dliii. Les croiisiditralioiis (|iii (•(iiHlMisciit :mx lliroii-iius siii\:inls 
en (loiinciil une clonioiisIraliDn plus simple. 



CHRONIQUE 57 

A^V [0-, (p ; h) jouit de propriétés d'extrémum analogues à celles de 
A^f{.v, 1v. Faisant correspondre parla substitution ,r = cosi? à toute 

00 

^érie2r/„P„!.r) une fonction Ff^, y = — ^ ^^ , ^^ ^ , , P» (f os &) , 

i 
■on démontre (pie 

lim sin A A2F(3. s ; /;) = 

et qu'en tout point de convergence de la série ^, (in P» (■<'; 



1 

L'utilisation de ces propriétés conduit sans grandes diflicultés 
aux théorèmes énoncés plus haut. 
Discussion : MM. Fueteiî, Dluias. 

9. — M. le Prof. Meissneiî (Zurich). Recherches cinèinaliques. — 
Le problème de l'étayage d'un corps solide par des plans con- 
duit entre autres à la question de l'existence de surfaces polyédra- 
les. Ce sont des surfaces convexes pouvant se mouvoir avec trois 
degrés de liberté à Tintérieur d'un polyèdre régulier, de telle 
façon qu'elles touchent toujours toutes les faces du polyèdre. 
Leur détermination conduit à des équations fonctionnelles li- 
néaires auxquelles doit satisfaire une fonction uniforme d'un 
point sur la sphère-unité. Suivant l'espèce du polyèdre envelop- 
pant, il y a à distinguer cinq types de telles sui'faces et l'on peut 
se demander si, à part la sphère, il existe des surfaces de chaque 
type. 

Les surfaces polyédrales relatives au cube sont identiques aux 
surfaces d'égale épaisseur. I^e conférencier a \>\\. par une certaine 
méthode, construire des exemples de surfaces tétraédrales et 
octaédrales. Malheureusement cette méthode ne conduit qu à la 
sphère dans le cas du dodécaèdre et de l'icosaèdre. 

Pour terminer, il est démontré le théorème suivant : la sphère 
•est la seule solution du problème, si l'on remplace le polyèdre 
régulier par un prisme triangulaire régulier. Ceci est d'autant plus 
intéressant que l'équation fonctionnelle à résoudre est complète- 
ment analogue à celle du cas du tétraèdre. 

Discussion : MM. Spiess, Fuktkiî, Dumas, Pi.A\CHKiii:i.. 

10. — M. le Prof. A. Kmch (Urijana, U. S. l\]. Sur une ceriaine 
■transfornialion conforme rationnelle dans h plan. — En l'absence 
du conférencier, la communication est présentée par M. le Prof. 
GiîOssMAxx. De la correspondance générale de Steiner découle 
une théorie des courbes du .3""^ ordre; de. même, de l'étude des 

L'Enseign<!inent niathém., 15'^ ;\nn<''e; l!)i:t 5 



58 CJI MONIQUE 

correspondances involutives de cercles découle tout aussi natu- 
rellement une théorie des courbes circulaires du 3'"" ordre. 
M. Kmch montre comment cette correspondance peut être géné- 
ralisée, comment Ion peut trouver son expression dans le plan 
complexe et comment il en résulte une théorie des courbes circu- 
laires d'ordre plus élevé. Il se sert dans ces recherches d'un cer- 
tain nombre de théorèmes concernant les groupes de points asso- 
ciés et la géométrie des polynômes. 

11. — M. R. DE Saussuhe (Berne) a) Sur le mouvement le pluff 
général d'un fluide dans l'espace. — Le mouvement le plus gé- 
néral dun fluide dans un plan (à un instant donné) est le mou- 
vement défini par le système de tous les cercles tangents en un 
même point jM(, à une même droite D^. Ce système est la forme 
fondamentale de la géométrie des flèches dans un plan, c'est-à- 
dire de la géométrie où Ton prend comme élément spatial pri- 
mitif une flèche ensemble d'un point M et d'une droite D passant 
par ce point et affectée d'un sens). 

A la géométrie des flèches dans le plan correspond dans l'es- 
pace à 3 dimensions la géométrie des feuillets (ensemble d'un 
point M, d'une droite dirigée D passant par M, et d'un plan P 
passant par M et par D, et dont les faces sont différenciées par les^ 
signes -|- et — ). Les systèmes de feuillets sont analogues aux sys- 
tèmes de droites, donc la géométrie des feuillets est analogue à 
la géométrie réglée, avec cette différence qu'un feuillet dépend 
de 6 coordonnées, tandis qu'une droite ne dépend que de 4 coor- 
données '. 

Si l'on all'ecte un feuillet MDP d'un coelUcient numérique a on 
obtient un feuillet coté. D'autre part une droite affectée d'un coef- 
ficient numéri(iue (droite cotée) n'est pas autre chose, au point de 
vue géométrique, que l'élément appelé par R.-S. Bail : une i>is 
(screiv). Donc les systèmes de feuillets cotés sont analogues aux. 
systèmes de vis de Bail. On trouve en effel que \o système linéaire 
de feuillets cotés x ' est complètement déterminé par 2 feuillets 
cotés; le système linéaire c» '^, par 3 feuillets col(''s ; le système li- 
néaire x\ par k feuillets cotés, etc. 

C'est ce système linéaire ( cx^) de feuillets cotés (jui représent(Ma 
le mouvement le plus général d'un fluide dans l'espace à un mo- 
ment donné . car ce système remplit tout l'espace de telle façon 
(ju'en un point ({uelconque se trouve un feuillet et un seul, lequel 
feuillet délitiit le mouvement de la molécule fluide située en ce 
point. 

h) Continuité et discontinuité. — La continuité est une propriété 
essentielle et inhérente à la notion d'espace, tle même ([ue la dis- 



' \o\\' K.rposc lésiinié di: la j^èometric des feiiiUcts. jiar I!. do Sai ssuiu:. Moinoiros de la Soc. 
do Plivsi<|uo (ic Oonévc, Vol. 30. 



CHRONIQUE 59 

continuité est inhérente à la notion de nombre. Les nombres sont 
des points isolés et ce n'est que par un procédé artificiel et pure- 
ment intellectuel que l'on arrive à la notion du continu mathéma- 
tique. Au contraire, dans le continu physique, tel que l'espace, 
ce qui est réel c'est la continuité et le point est une notion pure- 
ment intellectuelle ne correspondant à aucune réalité. En d'autres 
termes : les nombres sont des points isolés sans pont pour les 
réunir, au contraire l'espace est un pont continu qui n'a pas 
d'extrémités. On ne doit donc pas définir comme le fait par 
exemple M. Poincaré dans La valeur de la science le continu phy- 
sique comme on définit le continu mathématique, car cette défi- 
nition suppose l'existence d'éléments, discernables ou indiscer- 
nables, qui n'existent pas dans l'espace. Ce qu'il faut définir dans 
le nombre, c'est la continuité théorique entre des points isolés 
que l'on rapproche toujours davantage; au contraire, dans l'es- 
pace la continuité est la chose primitivement donnée, et ce qu'il 
faut définir, c'est l'existence théorique de points, lignes, surfaces, 
servant à limiter la continuité de l'espace. 

Le nombre et l'espace sont deux entités inadéquates l'une à 
l'autre, car ce qui existe dans lune, n'existe pas dans l'autre et 
réciproquement. Mais l'esprit humain est parvenu à les rendre 
adéquats artificiellement, en créant d'une part un pont continu 
entre les nombres, et d'autre part des points dans l'espace pour 
le limiter. Tel est le double artifice qui permet d'appliquer le 
nombre à l'espace. 

12. — M. le Prof. F. Rioio Zurich . L'état actuel de la publica- 
tion des œuvres de Leonhard Euler. — Cinq volumes ont déjà 
paru. Trois autres sont sous presse. Le fait que le format des 
caractères définitivement choisis pour l'impression est plus grand 
que celui mis primitivement a la base des premiers calculs 
augmente considérablement le prix de revient de chaque volume 
et oblige à ne pas éditer des volumes contenant en moyenne plus 
de 60 feuilles, sans quoi toute l'entreprise risquerait d'être grave- 
ment atteinte. Lue augmentation du nombre primitivement prévu 
des volumes ne peut donc être évitée. 

L'énorme correspondance que l'Académie de St-Pétersbourg a 
libéralement mise à disposition et envoyée à Zurich promet une 
riche moisson de faits intéressants. L'examen en est confié à 
M. G. ExEsmoM Stockholm . 

13. — M. le Prof. H. Fehr Genève. L'état des travaux de la 
Commission internationale de renseignement mathématique et de 
la sous-commission suisse. — M. Fehr rend d'abord Ijrièvement 
compte des séances que la Commission vient de tenir à Cambridge 
à l'occasion du 5'"^ Congrès international des mathématiciens. En 



60 CHRONIQUE 

Suisse les rapports entrepris par la soiis-cdmniissioii sont termi- 
nés depuis plus de six mois. Au nombi-e de douze ils loiinenl un 
beau volume de plus de 750 pages et renferment un ensemble de 
documents lorl précieux. Ces travaux ne constituent en réalité 
qu'une première étape. 11 y aura lieu d'en tirer parti et dexaminei- 
les progrès à réaliser dans l'enseignement aux divers degrés. La 
sous-commission vient d'étudier un certain nombre de proposi- 
tions de réformes qu'elle transmettra aux autorités. I^n outre elle 
a établi une série de questions qu'il serait utile de mettre en dis- 
cussion dans les. conférences scolaires et les sociétés de profes- 
seurs. 

Pour ce qui concerne plus paiticulièrement l'enseignement 
supérieur, la sous-commission estime que le nombre des chaires 
ordinaires de mathéniatiqnes est insuflisant dans toutes les uni- 
versités suisses. Il est désirable que chaque université possède au 
moins trois chaires^ de mathématiques pures, une chaire d'as- 
tronomie, une chaire de niécani(|ue et une chaire de physique 
mathématique. En outre, il y a lieu de développer non seulement 
les séminaires consacrés aux recherches, mais de créer ou de com- 
pléter les séminaires destinés plus spécialement à la préjiaiation 
des professeurs de mathématiques. 



Association britannique pour l'avancement des Sciences. 

l/Association britanni<pu' j)our 1 avancement des Sciences a 
tenu sa 82^" réunion annuelle à Dundee, en IÙH)sse, du 4 au 11 sep- 
tembre, sous la présidence de M. le professeur P.. -A. ScnXi un. Les 
ti'avaux ont été répartis sur 12 sections. La section A, conijjrenant 
les mathémati({ues el la physique, a été jjrt'sidée par M. IL-L. (Ial- 
LAXDAit. Les communications suiv.tutes ont été présentées à cette 
section. 

IL-L. (>AULAxr)Aii : « Ihe natur of heat ». — \\. Wvww.wwtww and 
II. Roiuxsox : « riie heating elfect of ladium émanation and its 
j)roducts ». — H.-A. JNliLLiKAN : «On the discharge of ultraviolet 
light of high-speed électrons». — M. -A. GiiiiAitoix : «Sur une 
nouvelle machine algébrique ». — A. C1inxix(;ha.m : a] " On INIer- 
senne's numbei-s » ; h) «On aritlimelic factors of ihc Pdlian 
ternis». — F. -A, Lixdkma.nx : « Atomic heat of solids >. — l*.-.\. 
MacMahox : « The Algebiic numbers derived froni the permuta- 
tions of any assemblage of objecls ». — L.-II. Mooiîi- : «A mode 
of composition of positive quadratic foiins ». — .l.-C. I'iki.ds : 



' I, calcul dinorenliel et inU'-fijrnl ; analyse siipériciiro. — II, Al<>èbre supcrieiire, théorie 
des nombres; calculs des probabililés. — III, géoniclrie analytique: géoniétrie deseriplive ; 
géoinélrie supérieure. 



CHRONIQUE 61 

« Pi'oof of a général theoiem relatino- to orders of coïncidence ». 
— H.-B. Heywood : « The nse of the exponential curve in gra- 
phies ». — « Report on Bessel and other fiinctions », rapport pré- 
senté par la (loin mission désignée à cet ellet par le précédent 
Congrès. 

Parmi les communications présentées à la section M Sciences 
de léducationi, nous signalons celles de MM. T. -P. Nunn, P. Pix- 

KElîTON, W.-P. MiLNE Ct W.-D. EgcAIÎ. 

La prochaine réunion aura lieu à B/'f/n/'/io/in/n sous la prési- 
dence de Sir \\ .-H. White. 



Congrès des mathématiciens allemands ; Munster 1912. 



La dernière réunion des mathématiciens allemands (Deutsche 
Mathenialiker Vcreinigiiiig) a eu lieu à Munster i.W., du 15 au 
19 septembre 1912, sous la présidence de M. W. von Dvck. Les 
communications, au nombre de seize, ont été réparties sur cinq 
séances dont l'une a été tenue en commun avec la section de phy- 
sique du Congrès annuel des médecins et naturalistes allemands. 
Ces séances furent présidées successivement par MM. Killixg 
(Munster), W. von Dvck (Munich), E.-H. Mooiîe (Chicago), 
Stackei, (KarlsruheK So.MMEr.KELU (Munich) et Rxgei. (Greifswald). 

Voici îa liste des communications : 

1. W. V. Dyck (Mùuchen), Ueber die singularen Stellen der Difïercnlial- 
gleichungeii erster Ordnung zweiten Grades. 

2. F. Mkyi'K (Iv(').\igsberg), Ueber einen veiallgenieiiicrlen Ivriimimings- 
begriff. 

3. A. SoMMERriii.D (Mùnclien), Greensche Funktion dei" Sclnvingiingsglei- 
chung fur das Aeussere eines beliebigen Gebietes. 

4. H. MoHKMAXN iKarlsi-uhe), Ueber beslaiidig hyperbolisch gekriimmle 
Kiirvenslûcke. 

5. II. WiENKR (Darmsladt), Ueber eine geometrisclie Theoi'ie der alge- 
braischen Formen. 

6. E. 11. MooRE (Chicago), Remarks concerning relalively miiformely sé- 
quences and séries of fuuclions. 

7. R. RoTHE (Ciausthal), Anwenduug der Vekloranal\ sis auf Differeulial- 
geometrie. 

8. E. Salkowski (Charlotlenburg), Ueber die verscliiedencu Begriiudungs- 
arleii der Diflerentialgeomelrie. 

9. W. V. DicK (Mùncheii), Ueber eineu von ilim ini Brilisclieu .Muséum 
wiederaufgefundenen Brief J. Keplers aa Eduard Bruce ans dem Jahre 
1603. 

10. W. KiLLiNG (Miinsler], Ueber die Ausbiiduug der Gymnasiallelirer. 

11. D. Hii.Bi.KT (Gôllingeii), Begriindung der elenientareii Slraliluiigstiieorie. 

12. W. Ner.nst (Berlin), Ueber den Euergiegetiall der Gase. 



62 CHHO y l<)l E 

13. V. S.MOLUCHOwsKi iLembergl, Expc-iimentoU iiaclnveisbare, dcr iihlichen 
Tliermodynainik widersprechende Moleculaipliiinomeiie. 

14. W. Vkltkn iKieuziiaeli). Uebei* die l-'unktionen, die ans der .lacobisclien 
Q(H|-Fiinktion entspringen. 

15. R. V. LiLiiiNTiiAL (Mùusleri, L'eber die Bestiinmuiig der l)eiiiliienden 
Kiirve und Fliiche bei Kurven- imd Fliicbenscharen. 

16. A. VoiGT ( Frankfmli, Matberaalische Théorie des Tarifwcsens. 

La séance administrative, qui a eu lieu le 17 septembre, a été 
consacrée aux rapports des différentes commissions. La Société a 
renouvelé partiellement son comité : les deux membres sortant de 
charge, MM. \i. Czuher et R. Mlllkiî, ont été remplacés par MM. 
HuNGE (Gottingue et WiuT(N(;En Vienne . M. Rohn Leipzig a été 
désigné comme président pour un an à partir du 1*'' octobre 1912. 

A la suite du décès de M. P. Trkutleix, la Société a chargé 
M. A. Th.er Hambourg de la représenter dans la délégation 
allemande de la Commission internationale de l'Enseignement 
mathématique et M. H.-E. Timei!Din(; Braunschweig p«)ur la 
Commission allemande de lEnseignement des Sciences mathé- 
matiques et naturelles. 

Au moment delà léunion. le n()inl)re des membres de la Société 
était de 775. 

La procliaine réunion aura lieu a Vienne, en septembre 191.3. 



L'Enseignement des Mathématiques au Brésil. 

Un Congrès d'enseignement primaire et secondaire s'est tenu 
récemment dans la ville de Bello-IIorizonte, capitale de l'Etat de 
Minas-Geraes, du 2(S septembre an .'> octobre 1012, sous la prési- 
dence de M. Everardo ÎBackhelsei!. professeur à l'Ecole ptdytech- 
nique de Rio-de-Janeiro. 

Xous nous bornons à signaler ici la conférence de M. le D'" 
Backheuseï', qui consacre la plus grande partie de son activité aux 
questions |)édagogi(jues. 

Dans cette conférence, qui avait pour oi^jet la nù'thnde de Luisant 
dans l'enseignement intuitif des mathématiques, il a exposé les 
idées développées par M. Laisant dans son Initiation mathé- 
matique. Maniant la parole avec nm- rare habileté et possédant 
une grande expérience dans la prati(|ue de l'enseignement, il a 
su vivement intéresser son auditoire aux idées de M. Laisant, 
et son exposé a obtenu le plus grand succès. 

11 faut dire que l'auditoire était bien préparé à apprécier cette 
conférence, parce que les élèves de l'Ecole \ormale de Bello- 
llorizonte sont bien au courant des idées modernes relatives aux 
méthodes intuitives dans l'enseignement. 

A. Tniiii-; liio-de-.lanriro;. 



CHRONIQUE 63 



Société suisse des Professeurs de Mathématiques. 



La Société suisse des Professeurs de Mathématiques a tenu sa 
réunion à Lausanne., le 6 octobre 1912, en même temps que la 
Société suisse des Professeurs de Gymnases, sous la présidence de 
M. Brandenbeiiger (Zurich). La première partie de la séance a été 
consacrée aux affaires administratives. Le Comité a été renouvelé 
comme suit: MM. L. Cheliei! (Bienne), Président; II. Schuepp, 
(Zurich), vice-Président; K. Matteh (Frauenfeld), Caissier; Teu- 
CHER (Bienne), Secrétaire et Ch. Jaccottet (Lausanne). 

Coniniiinications. — 1. M. H. Fehr (Genève) : a) Vœu.f et propo- 
sitions de reformes à accomplir dans V enseignement mathèmaticjue 
en Suisse. — Dans la précédente réunion (Zurich), mai, 1912, 
M. Fehr a présenté le volume contenant Lensemble des rapports 
suisses destinés à la (Commission internationale de renseignement 
mathématique. La sous-Commission suisse a estimé qu'il y avait 
lieu de signaler aux autorités et aux sociétés un certain nombre 
de propositions et de vœux de réformes. M. Fehr donne lecture 
des propositions que la sous-Commission compte transmettre aux 
autorités, puis il signale les principaux thèmes destinés aux 
sociétés d'ordre pédagogique, telles que la Société desPiofesseurs 
de gymnases, des Professeurs de mathématiques, ainsi que les 
<;onférences de professeurs. 

b) Répondant ensuite à Tinvitation du président, M. Fehr 
donne un aperçu très rapide du 5" Cong?-es international des 
mathématiciens ., qui a eu lieu à Cambridge, du 21 au 28 août der- 
nier, en même temps que la réunion de la Commission interna- 
tionale de l'enseignement mathématique. 

2. — M. Brandenberger (Zurich! a exposé le plan de travail 
incombant plus particulièrement à la Société des Professeurs de 
Mathématiques comme contribution aux travaux de la sous-Com- 
mission signalée par M. Fehr. 11 a insisté sur la nécessité de pour- 
suivre cette étude d'ensemble afin d'obtenir la réalisation de 
réformes dans l'enseignement mathématique des écoles moyennes 
suisses. Il envisage notamment l'élaboration de plans d'études 
normaux pour l'enseignement dans les gymnases et les écoles 
réaies. 

3. Puis M. S. May, Directeur du Gymnase scientifique de Lau- 
sanne, a fait une intéressante conférence sur renseignement des 
travaux manuels dans ses rapports avec celui des mathématiques 
et du dessin. Son exposé a été suivi d'une visite aux atelieis du 
Collège scientifique. 



64 C IinONIQ LE 



Société italienne pour l'avancement des sciences. 

La Socièià ilaliana per il prog'/esso délie Scienze a tenu sou 
VI' Congiès à Gènes du 17 au 24 octobre 11)J2. 

Paiini les con/'c/ences générales il y a lieu de signaler les sui- 
vantes, qui sont directement ou indirectement liées aux sciences 
niathématicjues : 

M. AmiAHAM : l ne nouvelle tliéoiie de l'attraction universelle. 
— G. LoiuA : L'histoire des sciences est-elle une science? — 
L. RoLLA : Le troisième principe de la thermodynamique. 

Dans les travaux des aeclions, on trouve les communicalioui^ 
suivantes se rapportant aux mathématiques : 

Section I (Mathématiques et physique . — L. Amoiîoso : Uiï 
nouveau type d'équations intégro-difï'éientielles. — T. Bo(;(;io : 
Théorème de réciprocité pour quehjues fonctions de la théorie 
de l'élasticité, analogues aux fonctions de Green. — E. Boitro- 
LOTTi : Sur les intégrales délinies impropres. — E. Ciani : Les 
courbes planes du 5"" oj-dre invariantes vis-à-vis d'un groupe des 
coUinéations. — U. Cisotti : Sur quelques recherches récentes 
d'hydiodynamique. 

Section XV (Histoii-e des sciences). — E. Boktolotti : Corres- 
pondance de Paolo Rullini. — A. Favaro : Une tiaduction inédite 
des œuvi'es d'Archimède dans les manuscrits de Galilée existant 
à la Bibliothèque nationale de Florence. — G. I^oiua : Sur les po- 
lyèdres semi-réguliers. — F. Podesti : Théorie synthétique des 
nombres réels dans un texte de G. -A. Borelli (X\ IP siècle). — 
G. \ ACCA : Archimèdc en Chine. 

Ces deux sections ont approuvé à l'unanimité la résolution sui- 
vante proposée par MM. Loiua et Volterka : La section émet les 
vœu.v : 1° que dans Védition complète des œuvres d'Euler, actuelle- 
ment sous presse, soient insérées les remarques sur le calcul inté- 
gral dues à Lorenzo Masc/ieroni, ainsi qu'on l'a fait pou/- les addi- 
tions de Lagrange aux éléments d'algèbre ; 

2° que le gouvernement italien accorde, si cela est nécessaire^ 
une subvention afin d'obtenir de la maison éditrice l'élargissemenC 
correspondant du plan de l'ouvrage. 

Société mathématique italienne. 

La Société mathématique italienne Mathesis s'est réunie à (jcnes,. 
en même temps que la Société ci-dessus, sous la présidence de 
son président M. Castei-nuovo, qui prononça le discours d'ouver- 
ture sur L'école dans ses rapports avec la vie et avec la science 
moderne. 



CHRONIQUE 65 

On a entendu les communications suivantes : 

G. LoiîiA, Excentricités et mystères des nombres. 

V. Reina, Mathématique de précision et mathématique d'ap- 
proximation. 

G. Vacca, l^es auteurs classiques des mathématiques. 

On discuta ensuite les rapports de la sous-commission italienne 
pour renseignement des mathématiques, notamment ceux des 
professeurs Coxti (instruction primaire), Fazzaiîi et ScAitPis (ins- 
truction moyenne classique , Scoiîza (instruction moyenne tech- 
nique;, I^AZzEiu (écoles de commerce et écoles industrielles. Pix- 
CHERLE (préparation des professeurs ; on émit des vœux sur les 
réformes à introduire dans renseignement des mathématiques en 
Italie. 

Une séance en commun avec la Société de physique et l'Asso- 
ciation électrotechnique) a été consacrée à la préparation des in- 
génieurs rapporteurs MM. F. Loin et Somk;liaxa). 

Enfin, sur l'invitation de la Société philosophique italienne, on 
prit part à une discussion sur 1 infini rapporteurs MM. Alliotta 
et Vacca). 

Œuvres complètes de Sophus Lie. 

Les Sociétés des Sciences de Christiania et de Leipzig ont 
entrepris la publication des œuvres complètes de Sophus Lie. Le 
travail sera dirigé par M. le Professeur Fr. FIxgel Greifswald). 
Les œuvres comprendront 7 volumes grand in-S", formant un 
ensemble d'environ 265 feuilles de 10 pages. Les souscripteurs 
bénéficieront du prix réduit de 60 Pf. par feuille, l'ensemble de 
l'ouvrage revenant ainsi à environ 200 francs. — Les souscriptions 
sont reçues, jus([u'au 1" avril 1913, auprès de la maison Teubner 
à Leipzig. 

Etant donné le rôle considérable que jouent les travaux de Lie 
dans l'analyse moderne, il est à prévoir que la souscription sera 
bien accueillie des mathématiciens. La publication des œuvres 
complètes du savant géomètre norvégien constitue le plus beau 
monument ((u'on puisse élever à sa mc'moire. 



Etats-Unis. — Thèses de Doctorat. 

Pendant l'année universitaire 1911-1012, les Universités améri- 
caines ont délivré 273 doctorats es sciences, dont 22 concernent 
les sciejices niathématic{ues. En voici la liste; le nom de l'Univer- 
sité est indiqué entre parenthèses après celui de l'auteur. 

H. De F. AnxoLD (Chicago) : Limitations Imposed by Slip and 
Inertia Terms upon Stokes's Law for the Motion of Sphères 



66 CHRONIQUE 

throiigh Liquids. — S. I'".. Bhaski ii:ld Cornell; : A Stiidy of ceitain 
Foice Fiekls. — K. W. CiiniKNnKN ((^hicai^o : Infinité Devel- 
opiuenls and the Composition l*ro])erty {K^M^* in (icneral Ana- 
lysis. — A. L. Damei.s Yalei : On tho Librations of Bodies whose 
Periods are One Tliird tiiat of the Distuibino- Body. — W. \\ . Den- 
To\ (Illinois) : Projective Differential Geonietry of Developable 
Surfaces. — !.. L. Dynes Chicago) : The Ilighest (^oniinon Factor 
of a System of Polynomials with an Application to Implicit Fiinc- 
tions. — V.. A. FisHEK ((>hicag()) : Some Contributions to the 
Theory of Funclions of Lines. — T. Fonx Harvard : Problems 
connected with the Linear Difl'crence Equations of the Second 
Order with Spécial Référence to Equations with Periodic Coeffi- 
cients. — Miss C. B. IIenxel (indiana) : Certain Transformations 
and Invariants connected with Différence Ecpiations and ofher 
Functional Equations. — C. G. P. Kischke (California : The 
Abelian Equations of the lOth Degree, irreducible in a given 
Rational Domain. — .1. Eipke (Columbia) : Natural Families of 
Curves in a General Curved Space of n Dimensions. — F. M. Mor- 
gan (Cornelli : lnvt)lutorial Ti'ansformations. — K. E. Rooi 
(Chicago) : Iterated Llmits in General Analysis. — L. P. Sicelofe 
(Columl)ia : Simple Groups from C>rder 2001 to Order 3040. — 
W. M. Smith (Columbia) : Simple Infinité Systems of Plane Curves. 
A Study of Isogonals, Equitangentialsand other Families of Tra- 
jectories. — C. T. Sullivan (Chicago) : Properties of Surfaces whose 
Asymptolic Lines belong to Linear Complexes. — .1.1. riiACEYiJohns 
llopkins): Researclies on the Rational Quintic. — E. E. \Vhiti-ohi) 
(Cohimbia) : The Pell Equation. — IL R. Wili.aiu) (Yale) : On a 
Family of Oscillating Orbits of Short Period (with a chart). — 
A. IL ^^'ILsoN Chicago) : The Canonical Types of NetsofQua- 
dratic Forms in the Galois Field of Order/;". — W. M. Wincki! 
(Johns llopkins : On Self-projective Balional Cuives of the l'ourth 
and Fifth Order. — B. M. WOods California! : A Discussion l)y 
Synthetic Methods oftwo Projeclivc Pencils of Colonies. 

Wilhelm Fiedler. 

(3 iivcil 18;{-_> — l'.l iH)vciiiI)to 19121 

Au moment où le dernier numéro sortait de presse, on appre- 
nait la mort de Wilhelm Fiedler. professeur de géométrie des- 
criptive et de géométrie de position à ll^cole polytechnique fédé- 
rale, de 18(57 à 1!)07. 

Né à Chemnitz, en Saxe, de famille très modeste, Fiedler est 
fils de ses oHivres. A 13 ans, il samusait à repi'oduiie à la plume 
des tableaux classiques; la vente de ses petits chefs-d'o'uvre, 
fiuekjues le<;()ns particulières et d(^s bourses lui peiiiiirent de 



CHRONIQVE 67 

suivre les classes supérieures de sa ville natale, puis les cours de 
l'Académie de Freiberg. A 20 ans, il fut obligé d'abandonner ses 
études universitaires pour subvenir aux besoins de sa famille; il 
accepta une place de maître de matbématiques élémentaires à 
l'Ecole professionnelle de Freiberg, puis à celle de Cbemnitz. Ses 
nombreuses occupations ne l'empêchèrent pas d'approfondir les 
oeuvres des grands géomètres modernes : Poncelet, Miibius, Stei- 
ner, v. Staudt, Salmon et Cayley. 

Sa thèse de doctorat, qu'il présenta en 1859 à ILniversité de 
Leipzig, traite de la « projection centrale considérée comme 
science géométrique » ; elle contient, à côté de choses connues à 
cette époque, les idées qu'il a développées plus tard dans son 
grand traité classique : « Die darstellende (leometrie in orga- 
nischer Yerbindung mit der Géométrie der Lage ». D'après Fie- 
dler, la projection centrale doit être à la base d'une étude systéma- 
tique de la géométrie descriptive; tous les autres modes de pro- 
jection n'en sont que des cas particuliers; de plus, la perspective 
conduit de la manière la plus naturelle à la géométrie de position 
qui, en revanche, joue un rôle impoitant dans les constructions 
de la géométrie descriptive. 

Pénétré de ces idées, Fiedler accepta, en 1864, un appel à l'Ecole 
polytechnique de Prague; trois ans plus tard, il succédait à De- 
schwanden, à Zurich. Il y trouva, comme collègue, l'ingénieur 
Culmann, créateur de la statique graphique, qui exigeait de ses 
auditeurs des connaissances étendues de géométrie de position. 

Dès son arrivée à Zurich, Fiedler s'intéressa tout particulière- 
ment à la section normale de l'Ecole polytechnique; de 1868 à 
1881, il a été « principal » de celte division. C'est pour ses élèves 
mathématiciens qu'il écrivit, en 1876, son mémoire sur la « Géo- 
métrie et Géomécanique », résumé des idées de l'astronome anglais 
Bail sur l'application du système focal à la cinématique des corps 
solides. C'est encore pour les futurs maîtres de mathématiques 
qu'il publia, en 1869, sa théorie des coordonnées projectives qui 
s'applique si éh^gamment à l'étude analytique des piopriétés pro- 
jectives des ligures. On sait que Fiedler a traduit la « Géométrie 
analytique » de Salmon ; ce qui distingue l'édition allemande de 
l'oiiginal est précisément l'introduction des coordonnées projec- 
tives — et celle des déterminants. 

Un seul des travaux de Fiedler fut l'objet d'une distinction aca- 
démique; la publication, en 18S2, de sa « Cyclographie » lui valut 
le Prix Steiner de l'Académie des Sciences de Berlin. En faisant 
correspondre à tout point de 1 espace un cercle orienté comme on 
détermine le centre d'une perspective à l'aide du cercle de dis- 
tance), Fiedler a éclairé d'un jour nouveau la géométiie des cercles 
et des sphères. 

Comme professeur, il n a jamais eu pour but de supprimer les 



68 C IinON KJ II-: 

cliUiciillés ; il clierchait au conti-airc à stimuler ses élèves en exi- 
i^eanl deux (juclques eU'orts ; ceux cjui en étaient incapables ne 
lui ménayèient pas leurs critiques ; par contre, ceux (pii prirent 
la peine d'approfondir ses idées reconnurent bien vite en Fiedler 
un maître éminent qui savait les encourager à la réflexion per- 
sonnelle sans laquelle toute étude reste stérile. 

1,. Koi.i.iios Zuricb). 

Sir George Darwin. 

Xous avons le regret d'annoncer la mort de Sir (ieorge Daiwin, 
qui, au mois d'août dernier, présidait, à Cambridge, le 5'' Congrès 
international des mathématiciens. Darwin est mort le 7 décembre 
1912, à l'âge de 67 ans, à la suite d'une maladie cancéreuse. Fils 
de Fauteur de VOr/gine des espèces, il s'était lait connaître par de 
remarquables travaux de mécanique, d'astronomie et de géophy- 
sique ; il s'était principalement spécialisé dans l'étude des marées 
et des mouvements atmosphériques. 

Depuis 1883, Sir George Darwin oceujiait la chaire d'Astrono- 
mie de l'Université de Cambridge. La science anglaise perd en 
lui l'un de ses plus illustres représentants. H. F. 

Nouvelles diverses. — Nominations et distinctions. 

Alleuiag-ne. — M. Georges Cantois, professeur à ri'niversité 
de Halle, a été nonimé Docteur honoraire de 11 niversité de St- 
Andrews en Ecosse. 

M. Fr. ExGici-, professeur jj (jreifswald, a aoc-eptc un ap|)el à 
ri'niversité de Kiel. 

M. J. Hoitx. professeur à Darmsiadt, est nommé professeur or- 
dinaire à l'Université de Giessen, en i'emj)lacemeiit de M. Xictto 
qui piend sa retraite. 

.M. P. Stackei., professeur à l'Ecole technique supérieure de 
Carlsruhe, est nommé professeur oïdinaire à l'Université de Ilei- 
delberg. 

M. n. Ri.issMcii, à Aix-La-Chaj>elle, a été nommé profcsseui' de 
mécanique et de stati(|ue graphique à l'Ecole technicpie su])érieure 
de Berlin. 

M. Roiiii:, professeur à Clausthal. a été nommé ])i(>lésseur à 
riù'ole tcchiii(|uc sujjcrieuic de llanoxre. 

M. TŒi'i.rrz, privat-docenf , a <''te iiomun'' professeur à 1 Linivci- 
site de Go-tlingue. 

Acndéinie des Sciences de Munich. — MM. G. .MrrrA(;-Ui;i-Ki.i:R 
Stockholm). 11. -A. Scuwahz (Berlin el Sriu vi: Berlin ont été 
nommés membres correspondants. 

Fondation Wolfskehl. — La Société royale des Sciences de G(»t- 
tingue organisera une série de conférences se ratlachani à la 
Théoi'ie cin«'ti([ue de la matière. Ces conférences auront lien du 



CIIROMQLE 69 

21 au 26 avril 1913 à Gottingue. Tous les mathématiciens et phy- 
siciens y seront les hienvenus. Afin de faciliter la discussion, la 
Commission fera distribuer déjà en février un résumé des princi- 
paux objets qui seront traités par les conférenciers. Voici la liste 
des conférences : 

1. M. Plaxck, Gegenwartige Bedeutung der (^nantenhypothese 
fiir die Gastlieorie. 

2. P. Debve, Die Zustandsgleichung auf Grund der Quanten- 
hypothese. 

3. W. Nerxst, Kinetische Théorie der festen Korper. 

4. M. V. Smoi.uchowski, Giiltigkeitsgrenzen des zweiten Haupt- 
satzes der \\ ârmetheoiie. 

5. A. So.MMEiiFELi), Problème der freien \N'eglange. 

6. H. -A. LoRENTZ, Anwendung der kinetischen Methoden auf 
Elektronenbewegung. 

Autriche. — M. M. Erxst a été nommé professeur ordinaire 
d'astronomie à l'Université de Lemberg. 

M. H. -A. LoREXTz (l^eyde) a été nommé membre honoraire de 
TAcadémie des Sciences de Vienne. 

Belgiciue. Académie roi/ale. — La classe des sciences a élu 
comme membre associé, M. D. Hilbeiît Gottingue), en remplace- 
ment de II. PoixcARÉ; comme correspondant M. E. Yan Aubel 
(Gand . Elle a couronné un mémoire de .M. M. Lecat Bruxelles 
sur le calcul des variations. 

Etats-Unis. — M. H.-B. Pvoi. a été nommé professeur extra- 
ordinaire de mathématiques à 1 Université de Minnesota. 

France. — M. .1. Hadamaiîd. professeur de mécanique analy- 
tique et mécanique céleste au Collège de France, professeur d'ana- 
lyse à l'Ecole polytechnique, a été nommé membre de l'Académie 
des Sciences de Paris, en remplacement de jNU Poincaré. 

^U Maillet est nommé examinateur de mécanique à l'Ecole po- 
lytechnique en remplacement de JNL Lucien l^évy, décédé. 

M. Paixlevé est nommé membre du Conseil de l'Observatoire 
d'astronomie physique de Meudon. 

^L Emile Picard est nommé membre du Bureau des Longitudes, 
en remplacement de ^1. Poincaré. 

Académie des Sciences de Paris. ■ — Le Grand prix des Sciences 
mathématiques a été ainsi partagé : Prix de .3000 francs à M. 
P. BoLTROix, professeui' à la Faculté des Sciences de Poitiers; 
deux prix de 2000 francs à MAL Chazv, professeur ii la Faculté 
des Sciences de Lille, et Garxier, docteur es sciences. 

Iles Hi*itnnnic|ues. Société roijale de Londres. — Dans sa 
séance annuelle du 30 novembre, la Société royale a attribué la 
médaille Copley h M. F. Keeix, professeur à l'Université de G<>t- 
tingue, pour l'ensemble de ses recherches en mallicmatiques. 



70 CIIRONIQIE 

L'une des niêdnilles royales a été attribuée au prof. W.-M. IIicks 
pour ses travaux de Physique niathéuiatique et ses études sur la 
Spectroscopie théorique. 

M. A-D. Ross, maître de conférences ;\ l'Université de Glasgow, 
est nommé professeur de mathématiques à l'Université de « Wes- 
tern Australia ». 

Italie. — M. F. ExRiQi'Es, professeur à l'Université de Bo- 
logne, a été nommé membre de la Société italienne des Sciences 
(dite des XL . 

M. E. Picard, professeur à l'Université de Paris, a été nommé 
associé étranger de la même Société. 

Suisse. — M. L. Crelier, professeur au Technicum deBienne, 
a été nommé professeur extraordinaire à l'Université de Berne. 

M. R. FuETER, professeur à l'Université de Bàle, a accepté un 
appel à l'Ecole technique supérieure de Carlsruhe. en remplace- 
ment de M. P. Stackel, appelé à Ileidelberg. 

Nécrologie. 

G. Lairicella. — Nous avons le regret d'apprendre la moit de 
JM. G. Lairicella, professeur à l'Université de Catane, décédé le 
9 janvier à Catane à la suite d'une infection contractée accidentel- 
lement. 11 était Agé de 45 ans. On lui doit des recherches péné- 
trantes sur l'intégration des écjuations de la physique mathéma- 
tique et sur les équations intégrales. 11 appartenait à l'Académie 
dei Lincei et avait été appelé à la chaire d'Analyse supérieure de 
l'Université de Rome; mais peu de temps après il préféra revenir 
à sa Sicile natale. 

Hermann Kixkelin. — Les mathématiciens suisses viennent de 
perdre l'un de leurs doyens, M. H. Kinkei.ix, ancien professeur à 
l'Université de Bâle, décédé le 2 janvier 1913, à l'âge de 80 ans. Il 
s'était acquis une grande notoriété dans le domaine des assu- 
rances. Pi'ofesseur d'un grand mérite, il joua nii rôle imporlaiil 
dans l'organisation de l'instruction publique du canton de Bàle- 
Ville et tout particulièrement dans l'élaboration des lois et règle- 
ments concernant la préparation du corps enseignant. 

R. ScMi.M.MACK. — \1. Rodolf Scni.MMACK. pri vat-docc u t à l'Uni- 
versité et prof<'sseur au Gymnase de Gotlingue, est décédé subi- 
tement le 1 décembre ii)12, à la suite d'une alfection cardiacpie. 
C'est une perte sensible pour la science et l'enseignement. La 
sous -commission allemande de l'enseignement mathématique 
perd en lui un collaborateur des plus actifs. 

M. J.-M. van Yeeck, ancien professeur à l'Université de ^\'er- 
leyan E.-U. , est décédé le '\ novembre 1912, à l'âge de 79 ans. 

M. O.-C. ^VEXDELl,, professeur d'astronomie à l'Université Har- 
vard E.-U.), est décédé le ô novembre 1912. à l'âge de 02 ans. 



NOTES ET DOCUMENTS 



Commission internationale de l'enseignement mathématique. 

Compte rendu des travaux des sous-commissions nationales. 
(10e article.) 

ALLEMAGNE 

Les examens d'État et la préparation pratique des candidats 
à l'enseignement moyen. 

Staatsprûfung and praktische Ausbildung der MathematikJehrer an hnheren 
Schulen in Preussen und einigen norddeutschen Staaten ^, von W. Lorey 
(Mindenl- — L auteur fait un exposé hi.çtoi-ique de lexamen d'Etat et expose 
dans I ordre chronologique les différentes phases de la formation profes- 
sionnelle des professeurs de l'enseignement dit moyen ou secondaire (Gym- 
nase, Gymnase réal, Ecole réale supérieure). 

L'édit de ISIO. — Avant 1810, il existait déjà des gymnases fondés par 
1 Église depuis plusieurs siècles. Une ordonnance du 2 septembre 1718 ins- 
tituait un examen à subir devant le Consistoire pour les professeurs de 
latin et d'allemand, et en 1787, des instructions obligeaient tout professeur 
de collège supérieur à être porteur d'un diplôme du Consistoire rentrai. 
Les considérations qui. après l'année funeste de 1806, provoquèrent la créa- 
tion de l'Université de Berlin, mirent aussi en évidence la nécessité d une 
réorganisation de renseignement secondaire, et 1 édit du 12 juillet 1810 
constitue le premier règlement officiel d'examen pour les professeurs d'en- 
seignement moyen. 

Cet examen portait sur la philosophie, 1 histoire, les mathématiques et 
comprenait une thèse écrite, une épreuve orale et une leçon d épreuve. 

Ce fut Friedrich Jahn, le père de la gymnasticjue. qui, à 32 ans, subit le 
premier 1 examen. 

Sous l'influence de Hegel, la partie philosophi(|ue et théologique fut ac- 
centuée et un arrêté de 1824 attirait l'attention des étudiants sur la logique, 
la métaphysique, la psychologie et Ihistoire de la philosoj)hie. La philoso- 
phie était alors la branche capitale de l'examen et il n'y avait pas de spécia- 
lités dans les études. 

Règlement de lH31. — En 1831, sous l'influence de Schulze, parut un nou- 
veau règlement d'examen. 11 distinguait 4 espèces d examens : 1) pro facul- 
tate doceiidi, 2) pro loco, 3) pro ascensione, 41 CoUoquia pro rectoratu. 



' 1 fasc. in 8°, v - 118 p.. :i M. 20: B. G. Teiibner, Leipzif 



72 .^' () r i: > e t d o c u m e n t s 

L'examen pro laciiltale docendi établit la capacité pour le candidat d en- 
seigner les difTérentes branches dans les différentes classes (classes infé- 
rieures, moyennes, supérieures). 

Ces branches sont : A) Dans les langues : allemand, grec, latin, français, 
hébreu. 

B) Kn sciences : mathématiques, jihysiqui;, histoire naturelle, histoire et 
géographie, philosophie, pédagogie, théologie. L'examen comprend 2-3 thèses 
écrites à fournir en un délai de 6 mois, plusieurs leçons d'épreuves et un 
examen oral. Une thèse au moins doit être écrite en latin, sauf pour les 
professeurs de mathématiques et sciences dps écoles réaies. Les leçons 
traitent de la philosophie, les malhématiques, l'hisloire ; l'examen oral 
comprend philologie, maliiénialiqiies. histoire, sciences naturelles, théologie, 
philosophie et chaque candirlat doit être questionné sur chaque branche afin 
de déterminer l'étendue de ses counaissances. 

Le diplôme de capacité pour toutes les classes, sans réserve, est délivré 
à celui qui. dans un des o groupes suivants : Il langues anciennes, 2) malhé- 
matiques, sciences physiques et naturelles, 3) histoire, géographie — satisfait 
aux conditions permettant d enseigner dans les classes supérieures et prouve 
en outre qu'il comprend les rapports des autres branches avec celles qu il 
doit enseigner. Même on exige que les professeurs de mathématiques d'écoles 
réaies traduisent un auteur latin et un auteur français. 

Les connaissances requises diffèrent suivant que le diplôme est valable 
pour les classes inférieures, moyennes ou supérieures. Chaque candidat 
doit connaître la logique, la psychologie. 1 histoire de la philosophie et la 
pédagogie. 

Un diplôme condilionnel est donné à celui qui montre des aptitudes suffi- 
santes seulement pour une branche, dans les 2 classes supérieuies ou qui 
ne satisfait que pour les classes inférieures ou moyennes. 

Le diplôme décerné expose en détail 1 étendue des connaissances du can- 
didat dans les différentes branches, ainsi que les lacunes constatées. 

L'examen pro loco a pour but de déterminer la capacilé d'un candidat 
pour une chaire déterminée. 

L'examen pro ascensione est subi par ceux qui aspirent à une chaire dans 
une classe supérieure avec traitemeut plus élevé. L examen pro rectoralu 
a pour but de déterminer si un professeur possède les connaissances suf- 
fisantes pour assumer la direction d un gymnase. Les 2™"= et l)'"« examens 
furent supprimés en 1866, le '«'"« l'est en fait. 

in ((irêté de ]8'i9 détermina le programme en physi(|uc et eu dessin, il 
préconisait que l'enseignement du dessin soit donné par le pI^^fesseur de 
sciences naturelles. Il n'était pas (|uestion alors de 1 union du dessin et des 
mathématiques. 

En IH'iH lexamen fut rendu plus difficile. • 

En iH'iS les exigences en religion el philosophie fuient aggiavées. tout 
candidat ne satisfaisant j>as on ces branches était lefusf. 

En l^-iH. une réunion de pi-ofesseuis tenue à Berlin proposait les vœux 
suivants : 1° que l'examen comporte une épreuve écrite sur la formation 
philosophique et sur la branche principale ; une épreuve orale sur la for- 
mation générale scienlili(|ue ; 2" que tout candidat qui a réussi puisse entrer 
dans un séminaire ; 3" que la nomination soit précédée d'un examen sur la 
pédagogie el la méthodologie. En 1848 encore, une réunion de professeurs 
tenue à Mai-ienbiirg deniamlail qu'aucun caudiilat ne soit agrégé s'il n'a pas. 



N O TE S ET 1)0 C U ME N T S 7:j 

au moins dans une brandie principale, le diplôme pour les classes supé- 
rieures. Cette tendance à la limitation est en oj^position avec les exigences 
encyclopédiques de. 1831. 

Eu ce moment, le mouvement en faveur de la formation professionnelle 
se dessine déjà fortement ; c'est ainsi qu'on demande un examen sur la for- 
mation pédagogique et didactique, la création de chaires de pédagogie, on 
désire que pendant le dernici" trimestre, le candidat donne des leçons dans 
un gvmnase. D'autres souhaitent une formation pratique dans un séminaire 
en relation avec un gymnase dans les villes universitaires, mais après l'e.xa- 
men <ragrégalion. 

Toutes ces i-éformes (jui se firent surtout ji>ur à partir de 1848 restèrent 
longtemps à létal de vœux, pourtant vu les extensions continues des ma- 
tières de chaque science, vu la nécessité d'une formation professionnelle, 
l'impossibilité de n)ainlenii- les exigences dans toutes les branches se faisait 
■de plus en plus sentir. 

Jtèglement de JH66. — En Prusse, sous I influence de Jacobi, les malhé- 
maliques, dans la première moitié du XIX« siècle, avaient pris un essor mar- 
quant qui devait avoir sa répercussion sur le nouveau règlement de 1866. 
Celui-ci exige que les agrégés en mathématiques pour les classes supé- 
rieures montrent des capacités spéciales en géométrie supéiùeure, analyse 
€t mécanique analytique et puissent faire avec succès des recherches per- 
sonnelles. La physique est liée aux mathématiques et à I astronomie. Les 
autres sciences natui'elles sont traitées à part, mais l'agrégé en malhéma- 
lique et physique doit prouver des connaissances générales en chimie, mi- 
néralogie, zoologie, botanique. Tout candidat doit connaitre la littéialuie 
relative à sa branche. L'agrégé des classes supérieures doit savoir enseigner 
l'arithmétique eu G'"" ; il doit, indiquer dans sa demande d'inscription à 
l'examen s'il a participé aux exercices d'un séminai4'e annexé à l'université. 
On voit que le côté professionnel intéresse déjà fortement. 

Il est à signaler c]uc les mathématiques et sciences naturelles n'enlient 
pas dans le programme des connaissances générales que tout professeur 
doit posséder, de sorte que, tandis que les agrégés en malhémaliques doi- 
vent prouver certaines connaissances en langues anciennes, les agrégés en 
philologie, les théologiens, les histoi'iens peuvent être d une ignorance 
complète dans le domaine scientifique. C'est le résultat de la prépondérance 
accordée alors à la formation classique. Malgré les progrès réalisés, on 
déniait encore aux mathématiques la qualité de discipline générale et fé- 
conde, même au sein des commissions d'examen. La leçou d épi-euve pouvant 
être rattachée aux autres épreuves fut supprimée en fait. 

On exige une dissertation sur un thème philoso|)hique et pédagogique, 
en dehors de la liièse scientifi(|ue faite dans un délai de 6 mois, et la com- 
mission est eu outre autorisée à faire subir un examen écrit, à huis clos, 
sur des questions mathématiques. 

Les diplômes délivi-és comprennent 3 grades: Le 1*^'' grade est accordé 
au candidat qui prouve rt/ une formation générale suirisanle ; h/ la capacité 
d'enseigner les branches choisies jusqu'en 1''' et les branches accessoires 
dans les classes moyennes. 

Le 2"'*^ grade est accordé à celui qui avec une formation générale suffi- 
sante est capable d'enseigner dans les classes moyennes ou tpii, capable 
d'enseigner dans les classes supérieui'es, a une formation générale insuffi- 
sante. 

L'ilnseifçiieiiieiit m itliéiii., l.j>" iinnéu l'.lll!. li 



7i .XO T !•: s ET DOC IMEN TS 

Lo ."i'"* tTl'aHc esl i-ésorvé au candidat capable d'enscii^iiec dans les classes 
niovenncs. mais à formation générale insuffisante, on à fornialion snllisanle 
mais incapable d'enseigner dans les classes moyennes. 

Tonl ai^i'égé peut, pai" des examens nllérienrs, compléter son diplôme. 

/îf"l('ineiit do ]'SS7.-- Pendant 21 ans le règlement do 186(5 fut en vigueur. 
Sous riniluence de BoNnz, nu nouvel édit fut élaboré eu 1887. 

On reprochait à l'examen de 1886 les 3 points suivants : 

|o Le diplôme de '-i'^" grade était universellement désaj)prouvé ; 

2'» [/épreuve sui- la formation générale était considérée comme inutile et 
la variété de ses branches comme nuisible : 

o" L essai de vouloir (ixer toutes les combinaisons de branches pour les 
diplômes avait conduit à une casuistique élroilo, re'ndaul (liHicilc une vue 
d'ensemble. 

Le nouveau règlement ne distingue plus que deux genres de diplômes : le 
diplôme d'agrégé (Oberlehrerzeugnis) et le diplôme de régent (Lehrer- 
zenonisl donnant l'espectivemenl accès aux chaires supérieures et aux 
chaTres ordinaires. I^e diplôme d'agrégé est conféré à celui qui satisfait 
dairs deux branches principales pour toutes les classes et eu deux branches 
accessoires pour les classes moyennes |ou tr-ois branches de classes supé- 
rieures! ; celui de régent à qui satisfait dans deux branches principales pour 
classes moyennes, dans une branche accessoii-e pour classes moyeuues, et 
dans seconde br-anche accessoire pour les classes inférieures. 

Le corps euseiguani, lui. répi-ouvait plutôt le maiiitioM du diplôuK- de 
régent. 

L'agrégé eu urathématiques doit montrer des aj)liludes remarquables, 
connaître les ajjplicalions immédiates dans le domaine mathématique. On 
insiste spécialeiueut sur ce fait que relativement aux mathénratiqiies élémen- 
taires, le candidat ne peut se contenter des souveuirs d'école, mais doit 
accorder à cette partie un travail sérieux. Le volume ill montre les lacunes 
de l'eùseiguement universitaire à ce point de vue. 

Ici, il n'est pins question, comme en 1866, de foriuatiou générale; toute- 
fois, chaque candidat doit connarlre la philosophie, la pédagogie, la litlér-a- 
tui"e allemaude (pr-incipaux auteurs) et la religion. Trois thèses écrites sont 
exigées : nue en piiilosopirie ou pédagogie et nue sur chacune des deux 
branches spéciales choisies. Remarquons le progrès tait depuis 1866; tous 
les travaux sont écrits en allemand, tandis qu'en 1866. seules pouvaient 
l'être les thèses de mathématiques et sciences. Elles doivent être fournies 
en 2i semaines. La commission peut faire subir un examen écrit, à huis 
clos, sur des questions mathématiques, des expériences de physique. 

Le règlement de 1887 ne fut pas accepté sans critiques, surtout do la part 
des professeurs de langues anciennes ; l'université craignait urr alFaibiisse- 
uient du côté scienlilique, parce que le but était de former- des professeurs 
pi'aliqirenrent capables d'enseigner. 

En IK'.III. le ministre réunit une commission de 44 membres pour discuter 
les léformes. On voulait surtout appeler l'attention des professeurs sur- la 
nécessité d être non seulement des propagateurs de science mais srrrlout 
des éducateurs, des formateurs d'énergie et de volonté. 
Les conclusions de la commission furent : 

que malgré la diversité des branches et celles des écoles moyennes, une 
piépar-alion uniforme est nécessaire pour tous les professeurs ; 

qui! I'muI doiuior- airx étudiants des plans d'études hodégéliques ; 



NOT E S ET DO eu M E N TS 75 

que les universilés doivent faire les cours correspondant aux exig-ences 
du règlement d'examen, ce ([ui laisse deviner que cela navait pas tou- 
jours lieu. 

Mais ces conclusions ne turent pas consacrées par une nouvelle ordonnance. 

Après 1890, ce sont les mathématiciens d nniver!?ité et de gymnase qui 
remettent en question les réformes. Ainsi en 1893, au congrès de Munich, 
l'assemblée, considérant avec joie les tendances qui se manifestent partout 
pour pai'faire la formation pédagogique par des cours théoriques et prati- 
ques, craignant que cette tendance ne s'accompagne d'une diminution ilaus 
la formation scienlilîque, émettait lavis qu'une préparation scientKique 
approfondie est seule la base d un enseignement fécond. 

I.a réunion de Gcitlingen pour l'avancement de la physique appliquée et 
des mathématiques, apparaît comme le centre du mouvement de réformes, 
auquel conti-ibuérenl puissamment les remarquables conr.s que M. Klein 
faisait à Gôttingen sur « la géométrie élémentaire. » Depuis 1892 d'ailleurs, 
à Gôttingen. les mathématiques appliquées étaient officiellement reconnues 
comme une branche spéciale, et un plan d'études était publié (pour la pre- 
mièi-e foisi pour les étudiants en malliéinatiques. Eu 1896, M. Klein faisait 
à Hanovre une conférence sur les exigences de 1 ingénieur et la lorniation 
des prolésscurs de mathématiques. 

De ce mouvement sortit le nouveau 

Règlement de I89S. — Ce règlement admet deux sortes de fliplômes : 
celui du 1'^'' degré qui permet l'enseignement dans toutes les classes et celui 
du 2™e degré qui ne laulorise (|ue jusqu eu l'nterscknnder. Une innovation 
est l'agrégation en mathématique appliijuée, avec un seul degré, ainsi que 
la liberté accordée aux candidats en mathématiques, physique, chimie de 
faire dans une école technique supérieure des études assimilées à trois se- 
mestres d univei'sité. Deux thèses écrites, au lieu de trois, sont seulement 
exigées, une sur la foi'uiation générale qui peut poi'ier sur un sujet autre' 
que la philosophie ou la pédagogie, une sur une des deux branches spéciales 
choisies. 

Dans la première thèse, le candidat doit pr-ouvcr non seulement qu'il a 
des connaissances mais aussi qu il sait les exposer avec logique et clarté. 
Dans sa demande d'inscription à 1 examen, il doit expliquer sa carrière 
d'étudiant. 

Une autre modification est que, pour être agrégé, il faut avoir satisfait 
dans une branche au l"^'' degré, et dans deux branches au 2"'^ degré. 

Les diplômes comportent les grades suivants : 

Satisfaisant, bon, avec distinction. 

Tandis que les diplômes précédents indiquaient avec détails les connais- 
sances et les lacunes des candidats, les actuels sont enlièremcnl schéma- 
tiques. 

Accueil fait au règlement de IH'.IS. — En 1900, le ministre provoquait 
déjà à Berlin une réunion de 34 membres, parmi lesquels Klei.n et Hauck, 
où fut admise l'égalité des trois génies d'écoles moyennes (Gymnase, Gym- 
nase réal. Ecole réale supérieure) et où il fut longuement parlé de la nou- 
velle agrégation en mathématique appliquée. On peut citer comme commen- 
taire sur le nouveau règlement la conférence de Klein faite à Dusseldorf en 
1898: « Université et Ecole technique 'supérieure », et les deux conférences 
de Pâques 1900 à Gôttingen: « Généralités sur la mathématique appliquée. 
— Sur la mécanique appliquée. » 



76 ^' O T K S E T I) O Vf M E N T S 

Le nouveau règleinenl subit les ci'ilic|uos, pas toujours justes, de Stl'uv. 
Le professeur Stiidy considère, dans la loruiation générale, la religion et la 
pédagogie comme supci'flues. Il est adversaii-e des oiiaires de pédagogie, 
craignant qn elles ne préjndicienl aux branches scient ifiques et croit que la 
pédagogie doit être réservée aux séminaires. M. L(.)ki:y partage cet avis 
tandis qu il désapprouve au contraire la campagne de Study contre l'examen 
de pliilosopliie, lequel permet de juger la maturité d'esprit du candidat. 
D accord pour supprimer aussi l'examen en littéralui-e allemande, ils croient 
que la t'ormation générale dun mathématicien devrait être orientée vers les 
sciences naturelles, comme l'exigeait le règlement de 18()(i. 

En 1899, l'Association des mathématiciens allemands discuta surtout 
l'agrégation en mathématique applicjuée qui devait pro. luire une vivihcalion 
dans l'enseignement mathématique ; il en fut de même à la réunion de (iùt- 
tingen en 1907. Citons parmi les vœux adoptés : l^a malhémiiti(|ue appliquée 
doit former une partie normale des études mathématiques, celte agrégation 
comprendrait deux degrés. L agrégation du l*^'"" degré en mathématique pure 
serait liée avec celle du 2'"" degré en mathémati(jue appliquée, comportant 
L-i descriptive, les éléments de géodésie et principes d'astronomie. 

En 1907, GuTZMER, rapporteur de la sous-commission de la Société des 
naturalistes et médecins allemands, demande la st'paralion des études 
scientifiques en deux groupes: le l'"'', uialliéinatif|ues et physique; le 2'"'', 
chimie et zoologie. 

En 190H, ScHMii), dans son rapport à la 17'"<= assemblée de l'Association 
pour l'avanceinenl de l'enseignement des sciences mathématiques et natu- 
relles, montre 1 utilité et la nécessité de celte sépai-alit)M en deux groupes. 
Il demande (|ue l'astronomie fasse partie de la mathématique appliquée : 
que la minéralogie soit séparée de la chimie ; que géologie et minéralogie 
fassenl un groupe spécial ; que soit supprimée la décision qui permet d'ob- 
tenir I agrégation du ]''' degré en zoologie et bolanicpic (juaud le candidat 
ne satisfait cpje dans une branchr^ ; ipie soil supprimée dans la formation 
générale les branches qui sont une r('|)i''l it ion de 1 examen de maturité; il 
attache nue grande importance au maintien de la philosophie et de la péda- 
gogie et désire (|ue le candidat fournisse les preuves de sa participation 
aux exercices d<; séminaii-e ou à des leçons pratiques. 

Dans le chapitre suivant, M. Louey fait 1 liislori(|ue des commissions 
d'examens qui trouvent leur origine dans les dé[)utations scienti(i(]ues 
instituées en 1809. Il l'ésume ensuite l'oi'ganisalion dans les duchés de 
Bi'unswick et de Mecklembourg-Schwerin. 

Foi inaluin prntif/KC des professeurs de niiillii-inatii/iies. — En 1787, on 
peut déjà signalei- le séminaire pédagogi(|ue annexé au Friedrich (iyiunasium 
de Berlin par F. GuniKF., où les membres s(ï réunissaient mensuellement 
avec' le directeur pour des discussions philologiques. En ce temps, les lan- 
gues anciennes étaient la seule préoccupaliori. En 1804, est fondé le sémi- 
naire pédagogique de Stettin. L'institut didactique de Kônigsberg, fondé en 
1810 par IIkkbart, formait une exception en ce sens que les mathématiques 
y jouaient un grand rôle. Après le dé[)arl de llerbart poni' Ciotlingcn en 
183.'J, le séminaire didactif[ue fut dissous et r^'uiplacé par un séminaire de 
mathématiques et physique. 

Le premier séminaire poui- la formation praticpie des pi-ofessenis de 
sciences naturelles est érigé en 182.^) à l'université de Bonn. En Allemagne 
du Norrl. les universitaires et les pédagogues reconnaissent bientôt (|u une 



NO TE S ET D O C UME NTS 77 

fornialion pratique est seule possible dans lui gymnase : aussi quand Kiivge, 
successeur de Herbart à Kôuigsberg, voiihil rétablir le séminaire, la faculté 
donna un avis défavorable, disant qu une telle institution est de nature à 
détourner les candidats de leurs études et que ces tendances de technique 
pédagogique ne sont pas du ressort de l'université. 

On reconnaît aussi qu il est impossible de juger les aptitudes pédagogi- 
ques aux quelcjues leçons d'épreuve laites à l'examen. Ces considérations 
amènent, en 1826, 1 institution du Probejahr : les agrégés devaient faire uu 
an de stage dans un gymnase et prouver des aptitudes professionnelles 
avant d'être pourvus d'une chaire. 

En 1842 le ministre Eichuokn arrête des dispositions précises pour le 
Probejalir ; mais le manque de piufesseurs obligeait souvent 1 emploi d'a- 
grégés, sans s'inquiéter de leur formation pratique. Le peu de succès du 
Probejahr porte Wiese, directeur au ministère, à créer, en 1855, le sémi- 
naire mathématique pédagogique de Schelbach, annexé au Friedrich Wilhem 
Gymnasium de Berlin. Les noms des grands mathématiciens ayant fréquenté 
ce séminaire: Clebsch, Neumanî*, Fuchs, Schwarz, C.vxtor, Schonflies, etc. , 
prouvent sufiisamment la valeur de son enseignement. Le séminaire de 
Schellbach recevait les agrégés pro facultafe docendi, à raison de trois par 
branche. Ceux-ci assistaient d'abord pendant plusieurs semaines aux cours 
des professeurs, donnaient ensuite eux-mêmes des leçons et avaient des 
réunions avec pi'ofesseui-s et directeur où l'on discutait les questions didac- 
tiques. Ce séminaire rendit d'inappréciables seivices jusqu'en 1889, année 
de la retraite de Schellbach, maliieureusement le grand nombre d'agrégés 
taisaient que beaucoup ne pouvaient y entrer. En 1867, un arrêté améliora 
le Probejahr, mais les séminaires restaient toujours presqu exclusivement 
sous la direction d'inspecteurs provinciaux, philologues classiques. 

En 1883. sous l'inspiration de Scukader, on introduit une réforme dont 
l'idée ])rincipale est de créer une seconde épreuve pratique pour les 
agrégés. Des discussions, est sortie, en 1890, Torganisatiori actuelle de la 
préparation piofessionnelle en Prusse : une année de séminaire et une 
année de stage. Après ces deux ans, un diplôme du conseil scolaire provin- 
cial certifie la capacité d'enseigner et l'agrégé peut être titulaire d'une chaire. 

En 1908, un nouvel arrêté dit que pendant l'année de séminaire, le can- 
didat doit êti-e initié à la science de léducation et de l'iu-struction, à la mé- 
thodologie des branches particulières et à l'activité pratique comme profes- 
seur et comme éducateur. 

Les séminaristes doivent avoir des réunions hebdomadaires d'au moins 
deux heures, présidées par le directeur ou un pjofesseur délégué. Le pro- 
gramme de ces réunions comprend : 

Pédagogie générale. — Méthodologie parliculièi-e. 

Aperçu historique sur l'enseignement secondaire, grands pédagogues, 
tendances pédagogiques modernes. 

Organisation des écoles secondaii-es, programmes, règlement d'examen 
diplôme. 

Discipline scolaire, hygiène scolaire. — Inspection. — Actes ofiiciels. 

Instructions pour l'assistance aux leçons modèles, préparation des leçons, 
devoirs de classe, discussions des leçons. 

Les candidats doivent remettre des rapports succincts sur des sujets rela- 
tifs à leur spécialité et faire des conférences pour acquérir l'habitude du 
langage. Un compte rendu de chaque séance est dressé par les élèves, et les 



78 N O T i: S E T DOC U M E N T S 

inspecteurs doivent taire cfiecliicr des éehanges de eoniptes rendus et l'ap- 
poi-ts entre les difl'érents séminaires de leur ressort d'inspection. 

Les candidats doivent tous participer aux réunions, même quand on dis- 
cute une branche d enseignement en dehors de leur agrégation. Ils ac(]uiè- 
rent ainsi une idée générale de 1 activité scolaire du gymnase. 

Les candidats donnent des leçons et des séries de leçons ; une lois par 
mois, une leyon didactique est (aile par un candidat en présence de ses 
collègues. A la (in de Tannée, chacjue séminariste doit fournir un travail 
portant sur la théorie et l'application pratique, tel que : (c Etude de la tri- 
gonométrie en L nlersekuuda. Etude sur le pi'omier enseignement de la 
géométrie ». 

Ces thèses sont écrites après que leurs autours ont |)u expérimenter 
leurs idées dans des leçons données ou entendues. Signalons la série re- 
marquable de travaux faits au séminaire de la Klinger Oborrealscluile de 
Francfort, sous la direction de M. Bodi:. 

Pendant Tannée de stage — que certains estiment superflue — chaque 
agrégé doit donner 8 à 10 heures de cours par semaine. Si un stagiaire est, 
à la lin de Tannée, jugé insuffisant, le conseil scolaire peut lui accorder un 
semestre de stage supplémentaire ; il peut aussi refuser complètement un 
candidat qui se montrerait inapte ou indigne du rôle d'éducateur de la jeu- 
nesse. De même, il peut être accordé une année de séminaire supplémen- 
tairt;. Les candidats doivent visiter des écoles normales, des écoles pi'imaircs 
de toutes espèces. 

A la lin du stage, les candidats doivent reiiiellro un rapjjort sur leur acti- 
vité pédagogique. 

Un paragraphe à signaler est celui qui dit que les agi-égés admis au 
Probejahr et qui vont dans des écoles allemandes à Tétrangcr pour perfec- 
tionner leur formation didactique, peuvent faire compter ce temps comme 
année de stage. 

Il importe surtout que les stagiaires soient dirigés et conseillés de faccn 
■A ce qu'ils ne perdent pas tout contact avec la science pure, qu'ils ne des- 
cendent pas des sommets élevés de la science universitaire dans le champ 
fertile de l'enseignement secondaire sans laisser entrouverte la porte du 
jardin de la science, afin de pouvoir parfois aller s'y rafraîchir el accumuiei- 
de nouvelles forces. 

Cette éducation postscolaire qui peut se faire pai- des cours d université, 
réunions, revues, est traitée dans le vol. III. 

M. LoKHY termine son remarquable rapport parle vœu suivant (ju'ap|iuie- 
ront certainement tous ses lecteurs, tous ceux qui s'intéi-esscnt au progrès 
de l'enseignement : 

« Puisse ce livre appoi-tei' une pierre à Tédilication du pont (|ui tend à 
relier les mathématiques de l'université à celles des écoles secondaii'cs. » 

Toutes ces réformes successives, continuées pendant plus d'un siècle 
avec ténacité et clairvoyance, montrent combien il est dilflcile d atteindre 
une solution satisfaisante. Elles prouvent que si TAIlemagne a su arriver à 
une organisation pédagogique qui peut être actuellement considérée comme 
modèle, c'est grâce à 1 es|>ril opiniàlio cl volontaiie de tous les intellec- 
tuels allemands, el en parliculicr des professeurs unissant leurs efforts 
dans des fédérations puissantes. 

Puisse noire pays s'inspii-er le plus t()l possible de Texemple de la 
Prusse. .leaii Punaiu) (Liège). 



.YOTES ET DOCUMENTS 79 

AUTRICHE 

La préparation des professeurs des Ecoles moyennes. 

Die neuebten Einrichlitngeii in Oesterreich fiir die Voihildung der Mittel- 
schullehrer in Matliematik, Philosophie u. Padagogik ^ von U"" Alois Hôfler, 
Professor an der Universitiit. — Le rapport est consacré aux nouvelles dis- 
positions adoptées en Autriche pour la préparation des professeurs des 
écoles moyennes ; il comprend deux parties, la l''<^ — Matliéniatique et for- 
mation professionnelle — a été écrite en 1910. avant la publication des 
nouvelles instructions pédagogiques de juin 1911. 

I. Daus la première partie, M. Hofler examine les deux questions dans 
lesquelles se résume la thèse générale, mathématique et formation didac- 
tique : 

1" Quelles sont les choses nécessaire.><. fondamentales pour former com- 
plètement, scientifiquement et pcdagogiquement un professeur de mathé- 
matiques d'enseignement moj'en .' 

2° En quoi la situation actuelle en Auti-iche est-elle inférieure à un tel 
idéal de formation ? 

1" Il y a lieu de se demander si. à côté de la formation scientifique du 
maître, d'autres éléments ne sont pas nécessaires, indispensables pour 
permettre au futur professeur de remplir sa mission. 

Il est d'abord évident qu'à l'université un même enseignement mathéma- 
tique ne peut être ni nécessaire ni suffisant pour tous les étudiants en 
mathématiques se destinant les uns à la science pure, les autres à la tech- 
nique ou au professorat dans les gymnases et les écoles réaies. D autre 
part, il ne faudra pas longtemps au mathématicien à formation exclusive- 
ment scientifique, devenu professeur d'école moyenne, pour s apercevoir 
que la science mathématique la plus riche et la plus profonde ne suffit pas 
pour être un véritable professeur. D'ailleurs les exemples vécus sont plus 
probants que les discussions : tel celui de ce jeune professeur qui, en 6"^^ 
d'un gymnase de Vienne, enseignait la théorie des irrationnels comme on 
la lui avait exposée à l'université ! Ce cas prouve que tout ce qui est bon 
pour l'université ne 1 est pas pour l'école moyenne: et la question suivante se 
pose : quand, où et par qui seront tracées les limites entre ce qui convient 
à l'université et ce qui convient à l'enseignement moyen ^ Sera-ce dans les 
cours universitaires ou au gymnase ? L'université doit-elle s'occuper de 
l'avenir pédagogique de ses candidats ? Il est en tout cas certain que si le 
jeune professeur précité avait reçu une formation didactique convenable il 
n aurait pas commis une telle hérésie pédagogique. Aussi, axant de vouloir 
le juger, il faut se demander si, au courant de ses études, il a eu 1 occasion 
de s assimiler le complément didactique indispensable. 

Ce cas et cent autres prouvent que pour la formation complète du pro- 
f'esseui", les niathémati([ues de l'université constituent une condition néces- 



^ Bei'ichlo iiber deii inalhem. t/nterricht in Oesterreich. Hel't 12. — l t'iisc. 103 p. : 2 M. 
Hôfler, Vienne. 



80 y O T E >■ i: T DOC V M E N T S 

saiio. niiiis liélas pas suffisante et réfutent le vieil adage coupable de tant 
de niéfails : « Celui-là enseigne le mieux, qui connaît le plus ». Non, il y a, 
à coté des connaissances mathématiques beaucoup d'autres notions indis- 
pensables au professeur, notions qui relèvent de la logique, de la psycho- 
logie, de 1 éthique, et il est nécessaire de déterminer quand, où et comment 
ces notions seront enseignées pour que le jeune professeur j)uisse les ap- 
pliquer dans sa classe, au milieu des élèves dans la vie scolaii'e véritable. 

Que ce complément pédagogique soit nécessaire, est une vérité que les 
débutants démontrent constamment dans leurs leçons et l'exposé de leurs 
idées : qu'il repose sur des bases logiques solides et non sur des notions 
élémentaires, est une autre vérité prouvée par ce fait que les professeurs 
ignorant la logique, veulent malencontreusement en introduire les formes 
dans les mathématiques les plus élémentaires, justifiée par la nécessité 
d'extirper le formalisme qui se manifeste dans tout notre enseignement. 

^^ En Autriche, comme en Allemagne, la formation didactique des pro- 
fesseurs se fait après les éludes universitaires, lors du Piohejahr. Aux 
universités de Vienne, Prague et Graz existent des chaires de pédagogie, 
auxquelles sont rattachés à V'ienne et Prague des sémiïiaires pédagogiques. 
A Prague. Wjllman avait institué des leçons pratiques, exercices excellents 
que M. Hôfler a eu soin de continuer et d améliorer pendant son passage 
comme professeur de pédagogie à l'Université de Prague. Dans l'enseigne- 
ment secondaire l'esprit conservateur domine encore pai-mi les professeurs, 
et à leur réunion tenue à Vienne en 1910, ils défendaient encore la vieille 
formule que tout est pour le mieux dans le meilleur de.s mondes : c est-à- 
dire laisser à l'Université la formation scientifique et théorique, et au stage 
simple la pi-éparation pratique. .M. Hôfler montre que cette méthode n est 
pas celle qui peut donner les meilleurs résultais ; la théorie est vouée à la 
stérilité si simultanément il n y a pas d'exercices pratiques permettant de 
comprendre la portée des notions théoriques. 

La formation scientifitjue même doit tenir compte des nécessités futures 
du professeur et ne pas se bornei- à la science mathématique pure, il faut 
déduire les conclusions relatives aux matières qui sont enseignées dans les 
écoles moyennes. L'auteur cite des exemples vécus de candidats connais- 
sant parfaitement les fonctions ellipti(|ues mais ignorant ce qu'est un cosinus 
ou exposant (]iie log ( — 10) 3r — I, c est-à-dire non instruits des matières 
qu'ils devront enseigner ; et ce qu il y a de plus dangereux, c'est que la for- 
mation scientifique actuelle à 1 Université ne permet pas de combler ces 
lacunes, de redresser ces erreurs. Pour y remédier, on pourrait tout au 
moins obliger les candidats à iir(> el à juger des manuels classiques 
approuvt^'s. 

Quant à l'année de stage, d<)n^H'-t-elle le rendement (|u on serait en droit 
d'attendre :' Est-elle réellement exécutée ? 

Qui décide, lesquels parmi les professeurs de gymnase sci'onl. an point 
de vue adminisli-atif, scientifique, j)édagogique, choisis comme modèles .' Il 
est assez extraordinaii-e qne, pendant vingt années, pas nu seul candidat 
n'ait été désigné comme stagiaire auprès de l'honorable rapporleui". 

S'il s agit de rénover en cette matière, une question de principe se pose : 
Vent-on instaurer une formation pédagogique en pleine et entière liberté, 
c'est-à-dire sans se soucier des traditions actuellement régnantes dans l'en- 
seignement secondaire i' 

L'auteur discute 1 intervention du |)i-otessenr de pédagogie d'Université 



NOTE S ET DOC U M E N T S 81 

dans la prépai-ation didactique des candidats et inonti'e la nécessité de la 
collaboration amicale de l'Université et des piotesseurs de l'enseignement 
moyen pour arriver à un résultat fécond. 

II. La 2'"'= partie nous renseigne sur la nouvelle organisation pédago- 
gique de reuseigneinenl moyen en Autriclie. Elle distingue les deux points 
essentiels suivants : 

1° La formation scientifique des professeurs. L'aiileur résume le nou- 
veau programme scieulifiqne que Sterneck, dans le volume 7, a comparé à 
celui de 1897. 

2'^ La formation professionnelle des maîtres. Relativement à ce dernier 
point, M. Hofler, avant tout mathématicien pédagogue, ne cache pas sa joie 
en présence des progrès immenses réalisés par le nouveau décret. Les dis- 
positions nouvelles s'adaptent pai-faitement non seulement au.K nécessités 
de l'enseignement moyen et des futurs professeurs, mais aussi aux nou- 
veaux programmes mathématiques élaborés en 1908-1909. Elles expriment, 
en plusieurs passages, l'obligation, pour le professeur d'Univei'sité, de 
donner son cours en ayant toujours en vue le but spécial que visent ses 
auditeurs, en saciiaut insister sur les matières (jni ont un rapport plus 
direct avec les malhémaliques de 1 enseignement moyen. De même que les 
programmes de 1908 avaient consacré la première réalisation de la réforme 
de l'enseignement mathématiijue demandée par les c Naturforscherver- 
sammlungen », le nouveau règlement d'examen réalise des projets de Méran 
et de Prague. Ce qu il y a d'essentiel et de plus consolant pour les vrais 
pédagogues, c'est qu'il met à la base de la réforme de renseignement, la 
réforme des maîtres, seul principe vrai et efficace. A propos du passage 
du nouveau règlement demandant du candidat la connaissance des princi- 
pales recherches sur les fondements des mathématiques, M. Hofler montre 
que les recherches nouvelles sur ces fondements se confondent de plus en 
plus avec la logique et la philosophie, et que cette connaissance si néces- 
saire au professeur ne peut être réellement efficace que si elle constitue une 
étude philosophique et logique complète. 

Les nouvelles instructions accordent à la pédagogie la grande importance 
qui lui revient en instituant un examen pi-éalable sur la philosophie et la 
pédagogie à subir après le N'' semestre. A cet examen, le candidat doit 
prouver qu'il possède la formation philosophique et pédagogique indispen- 
sable à loul jjrofesseur. Cette épreuve compoi'te la pédagogie générale 
(éducation el instruction), ses fondements en psychologie et en logique, 
l'histoire de la pédagogie de l'enseignement moyen depuis le XVN siècle. 

Le certificat obtenu à cette épreuve préalable est indispensable pour éti-e 
admis à subir 1 examen conférant le diplôme de professeur, c'est là la sanc- 
tion la plus efficace. La foi-mation plulosopiiic|ue et pédagogique est assurée 
par un cours de quatre heures sur la philosophie, la psychologie, la péda- 
gogie, par des cours sur la méthodologie particulière, l'hygiène scolaire, 
l'éducation physique, la langue véhiculaire. Il est recommandé fortement 
aux candidats de participer activement ar.x exei'ciccs du séminaire, pai-licu- 
lièrcmcnt à ceux relatifs à leur spécialité et à la pédagogie. Il y a aussi de 
nouvelles prescriptions relatives à la propédeutique philosophique dont le 
programme est déterminé par l'article 20. La propédeutique philoso[)hique 
a, pour les mathématiciens qui se font diplômer pour cette brandie, l'avan- 
tage d'élargir le champ de leur activité, de leur fournir un appoint important 
pour donnera leurs leçons de niatliéuiali(|ues un attrait particulier et de 



82 N O TE .S ET DO C f M E N T S 

leur pernicltre de coinpreiulre chiironieiil la dilIV'renci' ciili-c la science ma- 
thématique et la didactique des malliématiques. 

IjC règ-lemenl de 1897 avait déjà romplacé la tlièse pédagog-ique par doux 
examens oranx sur la philosophie et la pédagogie. Ces examens ont été 
jugés insuffisants pour plusieurs raisons, enli-e autres celle que les étudiants 
se piéscnlaient au petit bonheur, sans préparation sérieuse, certains les 
subissant après le 1"'' ou le -'"" semestre, or il est essentiel que les étu- 
diants préparent cet examen non dans le but immédiat de satisfaire à 
réprouve, mais surtout pour acquérii" les connaissances cpi ils devront cons- 
tamment appliquer dans Icui" vie de professeur, il faut qu'ils en compren- 
nent toute l'importance et s y attachent avec enthousiasme. 

Pour que cet examen pédagogique préalable pioduiso des résultats sé- 
rieux, plusieurs conditions sont nécessaires. Parmi celles-ci, figurent 
d'abord les matières choisies (|ue I auteur examine successivement. Ces 
quatre disciplines signalées — science de l'éducation, science de l'instruc- 
tion, psychologie, logique — prouvent que l'autorité supérieure désapprouve 
le fait de mettre les professeurs, au point de vue pédagogique, dans une 
situation inférieure à celle des instituteurs. La difficulté de réalisation gît 
peut-èti'e dans le nombre trop restreint d heures consacrées à cette forma- 
tion. 

Le règlement cite comme bases théoriques de la science de l'éducation et 
de l'instruction la psychologie et la logique, mais ne mentionne pas l'éthi- 
que que Ilerbart considère pourtant comme lo but de toute pédagogie. 
L'auteur donne les raisons qui expliqueraient l'introduction de l'éthique et 
aussi celles qui peuvent excuser de l'avoir passer sous silence. Si les pres- 
criptions ignorent le mot élhicpie, l'espril mémo de l'épreuve ne peut igno- 
rer la chose. 

Il est évident qu avant de vouloir éduquer les facultés intellectuelles de 
l'élève, le maître doit connaître les lois qui régissent le développement des 
facultés psychiques, c'est-à-dire jiosséder à fond la psychologie. Pour attein- 
dre ce but, il serait utile (|ue le professeur de pédagogie donnât ou même 
temps la psychologie. 

I3e même, la logique est indispensable à qui veut parler de la tlidacti(pie 
d'une science et se faire comprendre. Le distingué professeur montre la 
nécessité de faire à l'Université un cours de logique approfondi si l'on veut 
donner aux candidats une formation réelle et non superficielle, si Ion veut 
<]ue les notions d'intuition, d'induction, de méthode analytique, synihéticpie 
etc., soient pour les élèves autre chose que des mots creux dont ils igno- 
rent le sens exact et la véritable portée pratique. 

Quant à l'histoire de la pédagogie, 1 auteur montre que celte branche 
enseignée, non comme une nomenclature de noms dont les élèves ne retirent 
aucun profit, mais exposée d'une manière vivante en expliquant ses problè- 
mes et ses paradoxes (les écoles réaies ont leur origine dans le piétismc) est 
de première utilité pour le futur professeur. Ce cours porte sans doute sui' 
la partie historique mais il comprend aussi les déductions pratiques à tirei- 
pour les élèves. Tous les problèmes de l'histoire de la pédagogie sont riches 
d'enseignements pour la période actuelle ; tel celui-ci : «y le gymnase actuel, 
hj comment il fut jadis, cy comment il doit être et comment il sera. 
DoruK- dans cet esprit, ce cours ne trouvera pas de détracteurs. 
Lm clause ipie le candidat ne pcul subir l'oxamen pédag<jgique avant la 
lin du ."')i"i' semestre est utile pour (.•m|)èch(,'r les jeunes gens de se présen- 



NOT i: .s ET DO C LME N T S 83 

ter à un âge où ils ne conçoivent pas l'exacte importance de ces matières. _ 
De même, la clause que le candidat, pour être admis à l'épreuve, doit signa 
1er par quelles études (séminaire, cours, exercices, lectures, euseignemen 
privé) il croit avoir acquis la formation philosophique et pédagogique, ga- 
rantit une préparation sérieuse, d autant plus que pour ce motif le candidat 
peut être ajourné. 

Le séminaire pédagagique est le lieu tout indiqué pour fournir cette pré- 
paration. Une dernière question se rattachant intimement à la nouvelle 
épreuve pédagogique est la réorganisation des séminaires pédagogiques. 
Le dernier chapitre du rapport est consacré « au séminaire universitaire 
pédagogique en relation avec le stage étendu au séminaire de gymnase. » 
Ce litre indique un but à réaliser dans l'avenir, mais cette coopération 
n'est plus en tout cas un rêve, une utopie, puisque le Ministre de l'Ensei- 
gnement, par un arrêté du 17 juin 1911 met à la disposition du savant pro- 
fesseur le Gymnase académique et l'Ecole réale de Vienne, afin que les élè- 
ves de son séminaire puissent y faire des leçons. L'auteur expose d'abord 
le fonctionnement du séminaire de Prague, fondé par VVilhnanen 1876 el di- 
rigé par lui de 1903 en 1907. Professeur de pédagogie à l'Université de 
Vienne en 1907, il résume ses efforts pour créer à Vienne un séminaire pé- 
dagogique et le mettre en liaison avec un gymnase pour les exercices pra- 
tiques. Si ce but rencontre un chaleureux accueil auprès de la faculté de 
philosophie de l'Université, par'contro les professeurs de gymnases y font 
opposition, sous prétexte que les élèves de gymnases ne doivent pas servir 
de sujets d'expériences aux étudiants de l'Université et que les locaux sont 
insuffisants, .\L Hofler réfute aisément ces objections. 

Il cite ensuite les visites et excursion.? pédagogiques faites avec ses élè- 
ves aux gymnases, lycée de jeunes filles, école professionnelle, sanatorium 
pour enfants nerveux; il montre la nécessité absolue d'un gymnase d'appli- 
cation afin que. comme il le dit excellemment, la pédagogie soit enseignée 
pédagogiquement. Pour terminer, le dévoué professeur explique comment 
doit être préparée la transition entre l'Université et le Gymnase pour que 
le débutant ne ressente pas comme maintenant une désillusion, un désenchan- 
tement en passant des sphères élevées de la science universitaire aux notions 
élémentaires du gymnase. C'est à la pédagogie à préparer cette transition, 
c'est l'organisation pédagogique qui doit effectuer la liaison entre la science 
pédagogique de 1 Université et la technic[ue pédagogique du gymnase. Le 
candidat, pendant les derniers !<emestres de ses études universitaires assis- 
terait à des leçons au séminaire, en donnerait parfois lui-même, il acquer- 
rait ainsi par sa propre expérience, par la critique de ses compagnons, <le 
ses maîtres, des notions de didactique. Après son examen, il ferait son 
stage simple ou étendu au séminaire de gymnase annexé à l'Université ; là. 
il formerait sa [)i"atique pédagogique sous la conduite du directeur el des 
professeurs. Le professeur de pédagogie de 1 Université, membre du sémi- 
naire, aurait l'occasion de suivre ses progi'ès, de s'assurer si la théorie 
pédagogique universitaire concorde avec les nécessités de la pratique et 
ainsi la transition s'opérerait sans discontinuité, sans saut dans l'inconnu. 
Sans doute, cette coopération des professeurs d enseignement supéi-ieur et 
d'enseignement moyen exige de part et d'autre du dévouement, mais com- 
bien elle est utile pour tous. Pour le professeur de pédagogie d'université, 
c est l'expérience acquise au cours de son activité dans les écoles secondai- 
res qui constitue la source la ])lus sure oii il [)eut puiser les idées direc- 



8 i .\ O T K S El DOC U M E N T S 

Irices do son eiiseijçncment, oi" ceUo source lariia i:i|)i(l<'uioi)t si elle est 
jji'ivt'C de loiil rapport avec la vie pédajrogiqiie du gymnase. 

IJe ce lapporl subslanliel où soiil accumulées lant d idées fécondes, con- 
cluons avec M. Hofler que de même (|ue par les nouveaux plans de 1908, 
l'Autriche avail réalisé les grandes réformes que demande l'enseignement 
moderne des matliémaliques, de même par le nouveau règlement pour la 
Ibrmaliou professionnelle des maiti-es, elle a résolu une des (|uestions ca- 
pitales dont la Commission inleriiatioiiale de 1 euseigriomonl nialltémalique 
aura à connaître. 

Ce rapport est écrit par nn apôtre de la pédagogie, un apôtre à la foi 
enthousiaste et éclairée. Professeur d université après avoir exercé pendant 
27 ans dans renseignement moyen, nul n'était mieux préparé pour démon- 
trer la nécessité impérieuse de la pédagogie comme science véritable basée 
sur la psychologie, la logique et rélhii[ne. pour mettre en pleine lumière 
les avantages de 1 union entre la théorie pédagogique et la technique pé- 
dagogique; nul n'était plus autorisé^ni mieux placé pour confondre les der- 
niers adversaires de la pédagogie: qu'ils soient professeurs de gymnase 
n'ayant pas l'énergie nécessaire pour modifier leurs méthodes routinières 
d après les lois d'une pédagogie rationnelle ; qu'ils soient professeurs 
d Université préférant s'enfermer dans leur tour d ivoire, sans se préoccuper 
des nécessités pi-atiques inhérentes à leur enseignement. 

J. lÎENAKD I Liège). 

FRANCE 

Enseignement secondaire' 

Le volume II des rapports de la Sous-Comniission française est entière- 
ment consacré à IcHude de l'Enseignement secondaire en Ki-ance et 
particulièrement à la place qu'occupent les mathématiques dans ces établis- 
sements. Le volume devait paraître sous la direction de ^L ^L^rotte, 
professeur au Lycée Charlemagne. M. Marotte n'ayant pu poui- raisons de 
santé, donner son concours à celte œuvre, a été remplacé par .M. Bjocjie, pro- 
fesseur au Lycée Louis-le-Grand. Si nous regrettons à juste titre les conseils 
précieux que M. Marotte, grâce à sa grande expérience, aurait pu donner à 
ses collaborateurs, nous nous réjouissons du choix de M. lîioche que ses 
lumières désignaient pour cette tâche délicate. 

M. Bioche nous présente dans son As'ont-piopus (juel([ues obervations 
il ordre général, faisant lessortir quelques points caraclé;risliques qui 
différencient le nouveau piogramnic de J912 des programmes antérieurs. 
Cette différence est bien connue des lecteurs de V Enseignement Muthéiuatiijue. 

f>e premier rapport, également dû à M. Bioche, remonte dans Ihistoire 
de renseignement mathématique secondaire jusqu au programme antérieur à 
1891. Pour en donner une idée l'auteur nous fait un exposé succinct du plan 
d'études de 1885. De la 8« à la 5«^ il n'y avait cpic le calcul arithmétique 
avec quelques apj)licalioiis. A partir de la 4« seulement commençaient 
renseignement de la géométrie, des éléments d'arithmétique théorique, de 
calcul algebrif|ue et de cosmographie descri|>li\e. Ou enseignait aussi 



' I vol. iri-S". I.")7 p.. IV. a. .=)(!; Hacliott.'. 1' 



NOTE S E T D O C U M E N TS 85 

les malhématiques dans la classe de pliilosopliie et dans celle de inalhéma- 
liqiies préparatoires : en philosophie ^ heures de classe étaient consacrées 
à la revision des programmes antérieurs, en préparatoires on avait affaire 
à des élèves sortant deo*' qvii, après cette année consacrée à voir l'ensemble 
des programmes précédemment indiqués, voulaient entrer en malhématiques 
élémentaires pour préparer le baccalauréat ès-sciences Les classes, dont 
on vient de parler, constituaient l'enseignement classique. A côté de celui-ci 
il y avait les classes d'enseignement spécial. L'auteur nous rapporte encore 
qu'il y avait à la suite des propositions adoptées au Conseil supérieur de 
l'Instruction publique en 1890, deu.v plans d'études. Le premier n'a jamais 
été mis en vigueur. Le second fut niodihé par l'arrêté du 8 août 1890 qui 
établissait le baccalauréat de l'enseignement secondaire classique et celui de 
l'enseignement secondaire moderne. A ce régime succéda celui de l'arrêté du 
31 mai 1902. légèrement modifié en 1905 et 1909 et actuellement en vigueur. 
Il n'y a plus aujourd iiui qu'un seul baccalauréat dit de renseignement 
secondaii-e. On sait t|ue les programmes de 1902 ont suscité de vives 
critiques de la part de nombreux professeurs de l'enseignement secondaire. 
L'administration accepta enfin le concours de ces professeurs pour la revision 
des programmes en 1905 ; à ce propos, M. Bioche nous signale l'influence 
heureuse de celte collaboration sur l'enseignement des mathématiques. Tout 
le monde sait ([ne les programmes de 1902 ont introduit de bienfaisantes 
innovations en débarrassant cet enseignement du joug d'une logique stérile. 
Aujourd luu on fait largement appel à l'iiiluition des élèves et aux exenyjles 
de la vie pratique. 

Les imitateurs des programmes français n'ont pas toujoui-s su se tenir 
dans de justes limites. Cela i-essort suffisamment d'une simple comparaison 
de rapports français avec les rapports étrangers. Certes, la logique n'est 
pas tout dans renseignement mathémati(|ue, mais cet enseignement affranchi 
de toute règle de logique, surtout dans les classes supérieures, ne vaudrait 
rien. II est également impossible de faire comprendre aux jeunes gens le 
mécanisme enliei- de la vie industrielle modei'ue par des exemples, comme 
ont tenté de le faii'e ceiiains auteurs de manuels spéciaux publiés en 
plusieurs pays. U me parait préférable de leui- donnei- la faculté de saisir 
facilement plus tard les problèmes spéciaux de la partie dans laquelle ils se 
seront spécialisés. Les observations générales de M. Bioche sont des plus 
intéressantes : elles nous montrent qu'en France, le professeur de lettres 
et celui de sciences collaborent depuis loTigtemps en vue de donner aux 
élèves la formation la plus coniplète. Xous voyons des professeurs de lettres, 
tels (jue M. Clouin, qui demandent instamment une bonne insti'uctiou mathé- 
matique pour leurs élèves ; de même des mathématiciens ont bien compris 
que sans lettres, une instruction sera toujours incomplète. Qu'il me soit 
permis de roproduire ici les belles paroles que M. Bioche emprunte à un 
rapport de M. Lebrun à la Chambre des députés en 1910 : « Il n'est pas de 
forte culture générale sans l'étude des lettres, et à Polytechnique comme 
ailleurs celle culture générale doit être vivement encouragée. On croit 
trop souvent que ses élèves, jaloux de se renfermer dans le domaine scien- 
tifique où ils se meuvent n'ont pour les lellres qu'indifférence. C'est une 
grave erreur. Les vrais amis de l'école ont toujours souhaité pour elles un 
reci-ulemenl qui offrit, tout à la fois, avec de belles espérances scientifiques, 
basées sur une sélection judicieuse des candidats de précieuses réalités 
littéraires, fruits de tories ('-tudes passées. » 



86 .\ O T i: s E r I) () C U M E N T N 

M. Blutel nous a fait un rapporl sur les classes de niatliéindlifjiies spéciales 
des Lycées. C'esl surtout par ces classes que renseignement malliémalique 
français diflëre de 1 enseignement mathématique seeondaii-e dans les autres 
pays. Ces classes s intercalent entre l'enseignement secoudaire proprement 
dit et l'enseignement supérieur. Elles sont nécessaires en France pour 
préparer les élèves aux examens d'entrée <les grandes écoles telles que 
lEcole Polytechnique, l'Ecole Normale Supérieure, l'Ecole des Ponts et 
Chaussées, l'Ecole Centrale... etc. Ainsi, le développement ininterrompu de 
divers régimes de ces classes résulte dos modifications apportées aux 
programmes de ces examens. Les élèves n'entrent dans ces écoles que 
lorsqu'ils possèdent des connaissances plus ou moins approfondies de 
1 algèbre, de l'analyse, de la géométrie descriptive, de la mécanique... etc. 
Les matières des examens d admission sont fixées par les établissements 
intéressés eux-mêmes'. 

Les élèves de la classe dite des nialliéni:ili([iies spéciales se préi)arcnt 
presque tous à l'Ecole polylechni<|ue ; nu millier en moyenne s'y présentent 
chaque année. Le nombre des admis est en moyenne de 180 à 200. .Mais il 
y a aussi quelques élèves de spéciales qui se prépaient soit au concours de 
1 Ecole Normale Supérieure ou des bourses de licence près des Facultés 
des Sciences, soit aux épreuves de l'Ecole des Mines (année préparatoire). 
La plus grande difficulté de l'enseignement mathématique en spéciales vient 
de ce que les élèves de celle classe ont des origines très diverses. Tout 
candidat à l'Ecole polytechnique, qui au sortir de la classe de mathématiques 
trouve à sa poi'tée une classe de niathéinati(pies spéciales préparatoire, va 
d abord y passer une année, s il n'a pas à craindre la limite d âge. Nombreux 
élèves restent deux années en spéciales. Les candidats âgés entrent direc- 
tement dans la classe des spéciales. Le programme des classes de spéciales 
préparatoires — elles existent surtout à Paris — est sauf la sanction d'un 
examen à la (in de l'année, celui de la classe des spéciales. Dans les établis- 
sements pourvus de ces deux classes un accord des professeurs de mathé- 
matiques est indispensable sur les matières et la mélliod(.' de renseignement 
à donner. 

La classe de (-entrale prépare au concours d admission à l'I-^cole Centrale 
des Arts et Manufactures. Le plus grand nombre des candidats à l'Ecole des 
Ponts et Chaussées (année préparatoire) beaucoup des candidats aux écoles 
techniques et quelques candidats à l'Ecole des Mines suivent aussi cette 
classe. On sait que les programmes des concours mentionnés ne diffèrent 
que peu de celui de l'examen d'admission à 1 Ecole Polytechnique. Les élèves 
restent souvent deux années en classe de centrale comme en spéciales, mais 
il y a aussi des classes de centrale première année, correspondant aux 
classes de préparatoires. L enseignement dans chacune de ces classes est 
confié en général à un maitre unique. Toutefois, en spéciales il y a dans 
certains établissements un second maitre pour la géométrie descriptive, et 
cela malgré le vœu contraire émis parla commission chargée de la rédaction 
des nouveaux programmes. En spéciales, six classes chaque semaine, sont 
employées à l'exposition du programme de mathématiques pures et une 
classe de deux heures à celle de géométi-ie descriptive : trois conférences 
d une heure servent à la correction an tableau des exercices écrits proposés 



' Actii(!lluincnt les progi-ainnics <l'eXiinicns sont choisis «bins un |>io<;i;nnme géni'ial 
iini'li' en l'.ld'i p;ir iiuo ooniniission intorniinistoi-iellc. 



NOTES ET DOCUMENTS 87 

aux élèves. Une séance de trois heures est consacrée à l'exéculion d'une 
épure. En Centrale la distribution du temps est à peu près la même. 

L'enseignement donné est ordinairement oral et les élèves prennent des 
notes. Ils acquièrent ainsi une liabitude des plus nécessaires dan^ les 
écoles scientifiques. Bien que beaucoup d'élèves n'entrent dans ces classes 
c|u'avec un seul désir, celui de se frayer un chemin dans une direction 
déterminée, un vrai professeur peut utiliser ce souci, bien natuiel d'ailleurs, 
en vue de développer la formation générale de ses élèves. 

Xous apprenons par le Bctppoit sur l'Arithmétique de M. Lévy que les 
élèves du premier cycle, division A, emploient les quatre années de ce 
cycle à se familiariser avec les notions élémentaii-es et les calculs simples 
de l'aiitliniélique. Mais ils commencent aussi à représenter les nombres 
jjai- des lettres, puisqu'on ne craint plus aujourd'hui, on le sait, de 
metlic des notions d'algèbre au service de 1 arithmétique. La division B 
du même cycle pousse un peu plus loin : on y voit en trois ans le pro- 
gramme de cjuatre premières années de la division A. Elle ajoute au pro- 
gramme de cette dernière division les progressions arithmétiques et 
géomélricjues et l'arithmétique commerciale, tout cela enseigné en quatrième. 
Les résultats obtenus par cet enseignement sont très satisfaisants. Il n'en 
est plus (le même dans les seconds cycles littéraires A et B. Le temps 
consacré au.v mathématiques y est trop restreint. Le Conseil Supérieur de 
rinslruclion publique a voulu remédier à cet inconvénient en chargeant des 
deu.v heures de sciences, en seconde et en première le professeur de 
mathématiques et en réservant renseignement de la physique et de la 
chimie à la classe de philosophie. On peut espérer que cette mesure don- 
nera des résultats satisfaisants, surtout, parce que, en même temps les 
mathématiques ont r-epris aux examens oraux du baccalauréat une partie de 
leur importance première. Mais M. r.,évy suggère encore pour ces examens 
le rétablissement d'une composition écrite. Je signale ce vœu parfaitement 
conforme à mon opinion, parce qu'on a également aboli, à tort selon moi, 
les épreuves écrites aux examens de maturité en Autriche. M. Lévy ajoute 
à son rapport encoi'e quelques pages pour nous montrer les grands avantages 
qu'on pourrait tirer d'un enseignement plus approfondi encore de l'arith- 
métique, notamment si l'on traitait, comme jadis, la théorie des nombres 
premiers et celle de la divisibilité. Il est vrai que ce n'est point l'opinion de 
tous les professeurs de mathématiques, comme nous le signale, d'ailleurs, 
-M. Lévy lui-même. 

On connaît suffisamment le progi'amme d'algèbre dans les lycées finançais. 
En eO'el, il a été discuté un peu partout. L intuition y occupe une place 
assez large, ce^jendant les élèves doivent s'habituer quand même au raison 
nement logique; on n'a plus là une théorie complète et indigeste d'algèbre, 
mais des parties bien choisies, traitées selon leur difficulté soit par l'intuition, 
soit avec une certaine rigueur Ainsi l'on peut développer en même temps 
1 esprit d'invention et la faculté de raisonner logiquement . 

Pour la première fois, les programmes français introduisaient dans 
l'enseignement secondaire la notion de la dérivée. A côté de ces mérites, ils en 
ont un plus grand, celui d'avoir délivré l'enseignement mathémati(jue des 
cloisons élanchcs qui séparaient auparavant les dili'érentes parties de cette 
science. La plupart des Etats étrangers ont modelé leur programme sur 
(îelui de la France ([ui, dans cette question comme dans beaucoup d'autres, a 
indiqué la voie à suivre. 



88 .\ o 7 /■: s /■: r doc u m i: x t s 

M. (iiiTTON nous donne dans son rapport sur l'Alsii-hrc un comnienlaire 
très intéressant que je recommande à tous ceux (|ni désirent se renseigner 
non seulement sur ces programmes mais aussi sur leur mise en pralicpie. 

Los progi'amnies de la géométrie élémentaire sont également bien connus. 
On les retrouve clairement exposés dans le rapport sur In (îronirtrlc de 
M. Tii. Rousseau. 

M. Rousseau nous a donnéaussiun aperçu des plus utiles sur les manuels 
de géométrie, actuellement en usage en France. liemarquons ici que dans 
ce pays l'impoilance des manuels est moindre que dans plusieurs Etats 
étrangers : toulefois, en France, des livres excellents traitent des éléments 
de matliémarupics. On n'y connait pas ces horribles entassements de 
théorèmes et de problèmes, souvent écrits dans une langue incompréhensible 
et choipiant par leur ton autoritaire. Cependant, le régime intéi-ieur des 
lycées cl collèges nécessite en général la distribution gratuite des livres 
scolaires par l'administration qui a ainsi le jibis grand intérêt à conserver 
les mêmes manuels le plus longtemps possible. Ce fait et les hautes qualités 
des pi'ofesseurs français qui ne renoncent jamais à un enseignement 1res 
personnel, nous tout comprendre que les manuels n ont qu'une place secon- 
daii'e dans l'enseignement, soit pour aider les jeunes professeurs dans la 
préparation des classes, soit pour faciliter la répétition des leçons données, 
soit poui- mettre à la dispositon des meilleurs élèves les notions plus élevées 
omises dans renseignement oral. 

En tout cas. l'influence des manuels de géou)élric était plus considérable 
que celle des manuels d'algèbre. La difficulté plus grande de renseignement 
élémentaire de géométrie nous 1 explique suffisamment. M. Rousseau nous 
cite d abord le célèbre traité de géométrie élémentaire de .Méray, qui 
employait pour la première fois le groupe des déplacements. Ou sait que 
la grande valeur de celle œuvre savante a été méconnue longtemps à cause, 
sans doute, des grandes difficultés que présente cette manière d ex|)Oser les 
éléments de géométrie. Mais l'inlluence de ce livre a grandi avec le lemps et 
aujourd'hui il n est guèi-e possible d'enseigner les élémenls sans faire appel 
;iu groupe des déplacements. 

M. Borel nous a donné dans sou mauMcl de géométrie élémentaire, bien 
connu d ailleurs, un bel exposé de celle matière, sans aspirei', toulefois, à 
une grande rigueur. Il est ceilaiu que tout n'est pas encore fiiit. Les 
méthodes de Méray, n'élant guère applicables sans grandes l'cslriclions, 
AL Rousseau a esquissé hii-mème, dans un beau mémoire ', une autre manière 
de fonder la géométrie sur le gi-oupe des déplacements sans se servir de la 
représenlalion analytique de .M. I.,ie. On peut sans donle largement utiliser, 
au premier cycle, les notions de ti'anslation, rotation, glissemenl,... si 
familières aux enfants, en évitant toujours de leur parler de choses trop 
simples qui sembleraienl banales. L'emploi du groupe des déplacements 
devient bien plus difficile dans le 2« cycle. Si l'on m; faisait (|U(> donner une 
forme plus nelle aux connaissances déjà acquises pai- la voie des exjjé- 
ricnces pour ainsi dire, on n'arriverait qu à dissimuler à la jeunesse la vraie 
nature des études maliiémaliqnes : ici, un fond logique est indispensable. 
Pour le donner par le groupe des déplacements, nous avons vu .Méray 
s'engager en des procédés trop compliqués. !.,es axiomes des systèmes 



' Lii (it'onu'trie cliMiiciilHiru b;isre sur )<• j^roiipe dos <l('|)l;iceincnls. yEii.iciffiniiiciit niiilhc 
inatiqio. l'.MHi, |>. SI. 



N () r E s ET DOC U M E N T S 89 

postérieurs ne nie semblent également pas encore parfaits, siirloul parce 
qu'ils auront à lutter avec les axiomes très simplifiés d'Enclide et de ses 
célèbres continuateurs de noire époque. Ainsi, je préférerais commencer en 
second cycle, l'enseignement de la géométrie comme on le fait du reste, par 
la méthode d'Enclide. En renvoyant à plus tard toutes les notions sans 
relation directe avec le but en vue, je pousserai vivement et assez loiu pour 
pouvoir baser sur un fond logii[uenient élabli la notion du groupe des 
déplacements qui, dès lors, simplilierail mon enseignement Ce pi-océdé, je 
suis certain, sera remplacé bienlôl par une méthode rigoureuse basée uni- 
quement sur le groupe des déplacements, qu'un géornèlre plus heureux que 
moi peut inventer' quelque jour. 

Nous entrons ensuite dans l'analyse du rapport sur l enseignement de la 
Mécanique dans les Lycées et les Collèges par M. H. Bec.hik. Avant 1902, 
le programme de mécaniqire ne comportait que les notions de statique. 
Le programme de 1902 a comblé heiireusement cette lacune en introduisant 
des notions de cinématique et dyuaniicpie. Une légère relouche de 1905 a 
supprimé les notions relatives au roulement d un cercle sur un autre comme 
étant un peu délicates et accessoires. Signalons encore l'heureuse innovation 
qui consiste à inti-oduire au début les éléments de la théorie du frottement 
pour confoi-mer davantage l'enseignement à la réalité. Certains professeurs 
désii-eraient encore 1 introduction des éléments de la statiqvie graphitjue. 
M. Beghin s'y oppose avec raison selon moi : d'abord le programme de 
mécanique est incontestablement surchargé, ensuite la statique graphique 
n'éclairerait en rien la notion infiniment délicate de la force qui est une des 
plus difficiles pour les jeunes gens. Je suis d accord avec M. Beghin pour 
penser que les nouveaux pr-ogrammes de mécanique sont très bien choisis. 
Or-, il est vrai, que l'enseignement de mécanique en Fraïu'e ne donne que 
des r-ésultals qui, quoique bons en cux-mèires, ne sont cependant que 
niédiocr-cs par- rapport aux r-ésullals \r-aiment excellents de l'enseignement 
mathématique proprement dit. Cela ne peut étonner ceux qui connaissent 
les grandes difllcrrltés de l'enseignement élémentaire de la niécanicpie. 
Cependant, la l'oi'to cr-ilique adressée par M. Beghin, à la manière dont on 
enseigne à l'heure actuelle cette science dans les lycées de l'rancc. me 
semble justifiée. En effet, dans le pays de Lagr-ange 1 on ne devrait pas 
larder- un seul jour à mettre à la disposition de renseignement les dernières 
découvpr-tes de la science : elles seules peuvent donner aux principes tonda- 
nienlaux cette clarté qu un espi-it for-mé par les mathématiques doit exiger. 
On expose les éléments de mécanique encore moins bien dans plusieurs 
pays, il est vrai, mais cela ne peut dispenser la France de prendre la tête 
du mouvement et de nous montrer-, une fois de plus, qrr on n'est jamais 
obligé d'employer des notions qui ire sont pas absolument claires et par 
cela même exemptes de toute contradiction entre elles. Je ne peux pas entrer 
ici dans le détail de la critique de M. Beghin qui vise la plupart des notions 
fondamentales, mais je dirai toutefois que j ai toujours eu, moi-même, 
l'impression (jue renseignenicnl de mécanique eu Fiance, quoique très bon, 
je le répète, ne valait cependant pas celui de mathématiques. C est ici un 
problème intéressant mais difficile à résoudre et, je suis certain, les profes- 
seurs français se mettront bientôt à l'œuvre. 

11 est inutile d enseignei- la cosmogiaphie aux jeunes gens qui ne possè- 
dent pas avec une certaine maturité d esprit une iiistruclion mathématique 
solide. Ainsi nous apprenons dans le rapport sur I enseignement de cosino- 

l/IhlSfi'iiK'iiuiil inallicin., l.j'' aiiiu-o ; l'.ll3. ' 



90 .^ U T r. s ET DOC U M E A' /' S 

giaiihii' «11- M. MuxAKi que eel eiiseignenicnl est réservé eu France aux 
classes de pliilosopliie el de malhématiques. De plus, eu pliilosophie le 
programme en est très restreint, les élèves (|ui y entrent, ne possédant pas 
des connaissances suflisanies de mathématiques. Le programme de la classe 
de matliémaliques est plus chargé, mais la cosmographie n'a qu'une 
sanction très insuffisante dans les examens ; c est pourquoi le résultat de 
cet enseignement dépend plus que celui des autres de l'habilité du maitre. 

Le volume sur l'enseiguement mathématique secondaire en France se 
termine par le rapport de M. F. Lombard sur renseignement des mathé- 
matiques dans les Ecoles noin'elles. 

I>es plus importantes de ces écoles sont : 

1" L'Ecole des Roclies : 

2" L Ecole de l'Ile-de-France à Liancourt lOise); 

'.>" Le Collège de Normandie, près de Rouen. 

On y fait largement appel aux travaux personnels des élèves. M. Lunilnird 
ne parle que de l'Ecole des Roches. L'enseignement mathématique donné à 
celte école est plein d'heureuses innovations, malgré la large place accordée 
aux travaux des élèves on a le souci d éviter des exercices fastidieux et 
inutiles. Dans le 2'" cycle on a adopté presque entièrement la méthode de 
Méray. Mais les résultats obtenus n'ont pas éié tout à lait satisfaisants. 
Aussi les professeurs ont dû, à leur grand regret, abandonner dans la classe 
de qualiième, une partie des méthodes nouvelles. iM. Lombard nous raconte 
qu un des ineilleiii-s élèves disait avec raison à son maître : « Avec ce genre 
de raisounemeul, translation, rotation, on n'est jamais certain d'une démons- 
tration rigoureuse » 

Je recommande le rapport de M. Lombard à tous ceux cpii désirent 
trouver une conlirmalion de leur opinion qu'on peut donner un enseigne- 
ment parfait sans suivre toujours les chemins tracés. 

Les auleuis des rapports ont aussi inséré, où ils le jugeaient utile, les 
prograiiiuHis ollîciels, ou seulement des abrégés : ce fait augmente 
la \alcnr de leur œuvre pour le lecteur (Jtranger aux institutions françaises. 
Les dernières pages sont consacrées à une liste 1res complète des ouvrages 
employés dans l'enseignement mathématique secondaire en France. 

Je ne veux pas terminer cette analyse sans dire un mot des dernièi'cs 
retouches faites aux progi-ammes par l'arrèlè du 'A mai 1912, postérieur à 
l'apparition du volume II des rapports français. Ces retouches ne sont que 
des allégements. On a supprimé par exemple la mesure des angles en 3'-' et 
'j", A et B, la notion de la dérivée en 2", pour ne lexposeï" (|u'en première. 
On a revisé égalemeni le programme de la classe de philosoj)hie : on n'a pas 
touché à celui delà classe de mathémali(|ues. 

.Mais les retouches comportent surtout la suppression presque totale du 
dessin géoméli'ique dans le pix-mier cycle : c est une modilication que je juge 
inlininient heureuse. Il était très fâcheux d'imposer à des enfants un ti'avail 
aussi ennuyeux que lexéculio)! du lavis, travail souvent nuisible à leur 
santé et exigeant un temps considérable sans développei- aucune faculté de 
Icsjji'it. Ce temps ser-a bien mieux em])loyé à la l'écréation ou aux exercices 
pliysi(|nes. 

R. Sl'pi'antsciutsch (Vienne). 



BIHI.IOI.RAPHIE 91 



Cours universitaires. 

BELGIQUE' 

Gand (2<= semestre 1912-1913). — A Diîmoui.in : TJiéoiie des t'oiielions 
analytiques et application aux fouclious elliptiques, 1 ; Géométrie infinité- 
simale des courbes et des surfaces, 1. — M. Stivvaekt : Méthodologie; 
principes de la Géométi'ie, 1; Théorie des grandeurs algébriques, 1. — 
E. van AuBKL : Physique malhénialiqiie générale, 1 : (chapitres choisis de 
physique mathématique, 2. 

Bruxelles (2e semestre 1912-1913). — Th. DeDondkk ; Le principe de re- 
lativité et ses conséquences, 1 ; Les théories statique et cinétique de la cha- 
leur et du rayonnement, 2. — L. Bkand : Fonctions elliptitjues, 2; Histoire 
des sciences physiques et mathématiques, 1. 



B 1 H M O G R A P 1 1 l K 



Annuaire du Bureau des Longitudes pour 1913. Avec des notices sciemi- 

liqnes. — 1 vol. in-16, «SOU p.; 1 fr. 50; Gaulhier-Villars, Paris. 

I/Aunuaire du Bureau des Longitudes pour l'année 1913, si précieu.\ parle 
nombre des documents qu'il conlieiit, vient de paraître. Cet excellent Recueil 
renferme cette année, après les documents astronomiques, des tableau.v relatifs 
à la métrologie, aux monnaies, à la géographie, à la statistique et à la mé- 
téorologie. 11 contient en outre deux intéressantes notices: celle du com- 
mandant Feruié sur V Application de la lélégvaphie sans fil à l'eiu'oi de 
l'heure, et de M. Bigoukdan sur VEvlipse de soleil du 11 avril 191'? (résumé 
des obsei'vations qu elle a permis d'elJéctuer). 

G. Aknoux. — Essai de géométrie analytique modulaire à deux dimensions 

(Essais de psychologie et de métaphysique positives). — 1 vol. gr. in-S", 

Xl-159 p.; 6 fr. ; Gaulhier-Villars, Paris. 

Nous avons déjà attiré l'attention des lecteurs de ] Eris. inalh. sur l'arith- 
métique graphique de MM. Arnoux et Laisant [Ens. malh.. juillet 1907 et 
novembre 1908). On se rappelle comment M. Arnoux, après avoir jeté des 
clartés nouvelles sur des théories arithmétiques déjà connues, a réussi, à 
l'aide de ses espaces arithmétiques, à traiter des problèmes nouveaux se 
rattachant à la tliéorie des congruences. Et on comprend le succès de sa 
méthode basée sur l'applicalion systématique de la représentation et du 



>• Non compri.s les cours des <lcux piemiùius années ni les cours îles écoles techniques an- 
nexées aux Universités. 



92 ni li I. I O i: Il A P II I I: 

laugage géomélriciucs. Il cxisU». en elfci, roinnu' 1 ;i tlit si bien Poincaré 
dans sa conférence au Congrès de Rome, un parallélisme parfait enire la 
théorie des congruences et celle des courbes algébri([ues. A toute congruence 
à deux variables (niod m) répond une courbe déterminée; les solutions de 
la congruence sont représentées pai* les points de la courbe à coordonnées 
entières que la modularisation ramène toujours à linléjneui- d'un cai-ré de 
longueur m. On peut donc transporter le langage géométrique dans la 
théorie des congruences et faire une étude des courbes par rapport à un 
niod m. C est à cette géométrie analytique modulaire, limitée aux modules 
premiers, que M.VI. Arnoux et Laisaut ont consacré leur dernière élude, faite 
sur le même plan que celle des coui-bes en géométrie analyticjue ordinaire. 
Après une introduction fort intéressante, nous abordons l'étude de la ligne 
di-oite et du cei-cle : nous passons ensuite aux coniques rapportées à leurs 
axes et à l'étude de l'équalioii. générale du deuxième degré, loujouis pai- 
l'apport à un module premier 711 bien entendu, et l'ouvrage se termine par 
(|uelques applications arithmétiques très intéressantes. Mais des chapitres 
auxiliaires ont dû être intercalés ; \e signalerai sui-tout le chap. II, consacré 
à la tiigonométrie modulaire. Dès le début de ses recherches M. Arnoux a 
eu des sui-prises, les résultats obtenus présentant un aspect très dillérent 
suivant la forn)e du module in. C est ainsi que dans l;i trigonométrie 
modiilaii-e il est tombé, dans le cas d un module de la foi-me '*([-{- 1. sur 
des directions singulières, qu'il a appelées isotropes, et qui sont celles ties 
droites allant de l'origine aux points a. h. pour lesquels le carré de la 
dislance a'- -\- Ir est divisible par m. Ces directions sont caractérisées par 
des angles a tels que l'addition d'un angle quelconque |3 à a n'altère pas 
tang a, à moins que tang (a -)- ,j| ne prenne une forme indéterminée. Ce 
fait, qui ne paraît paradoxal que parce qu'on se sert du terme « égal » au 
lieu de « congru «, ne se présente pas dans le cas des modules pi-eniiers de 
la forme 4(y - 1. On rencontre du reste des singularités analogues dans 
l'élude des courbes et en particulier dans celle de la spirale logariliimique. 
Le fait le plus important souligné par M. Arnoux est le suivant : lorsque le 
module nj esl de la forme '^q — 1, la spirale peul recouvrir l'espace modulaire 
tout entier ; en d'autres termes, il existe des points a, h tels (jne les puissances 
de a -f- /■" donnent tous les points du réseau, sauf lOriginc ; mais il n'en est 
plus de même puur les modules delà forme 'kj -\- 1- l-es auteurs de la géo- 
naélrie modulaire en donnent la raison, et leur explication s harmonise avec 
l'ensemble de leur ouvrage, mais je crois qu'il serait utile de la comparer 
à celle qui nous esl fournie par la théorie des formes el des coi'ps quadra- 
tiques. De ce rapprochement naîtrait une clarté plus grande. Les nombres 
a -\- bi envisagés par M. Arnoux sont, en effet, les fameux nombres complexes 
de Gauss, et on sait que dans ce nouveau domaine plus lai-ge les nombres 
premiers ordinaires /h delà forme 4<y -\- I sont décomposables en deux facteurs 
conjugui's : or les directions isotropes sont précisément données par les 
points dont les affixes sont divisibles par lun de ces fadeurs. On comprend 
pourquoi les puissances successives de a -f- />/ ne donnent qu'une partie des 
points du réseau : les nombres de la forme 4»/ -|- 1 n étant pas premiers dans 
le domaine de Gauss, le théorème de Fermai prend une apparence difTérenle. 
Mais si, à la place des nombres de Gauss, on considère avec M. Tarry les 
nombres de la forme a -\- hj, j étant la racine carrée d un non n^sidu, le 
ihéor. de Fermai s'applique sous sa forme hi |>lus générale, les nninl/n-s m 
('tant premiers c/tiiis ce iwin'caii donudiir. cl lOn i-elonibe sur une jjrojio- 



Hl H no GRAPHIE 93 

silion relroiivée dune autre manière p;ir M. Tai-ry. On voit que la géométrie 
modulaire pourrait éclairer la théorie des formes et des idéaux-, et récipro- 
quement. Il serait utile aussi de rapprocher la méthode graphique de M. 
Aruoux des i epiésentations géométriques de Kleiu et de Minkowski. 

Est-il nécessaire d'ajouter que le nouveau volume de iMM. Arnoux et 
Laisant contient une Coule d'autres choses intéressantes et qu ou y retrouve 
l'élégance et la clarté qui distinguent toutes les publications dues à la 
plume de M. Laisant. D. Mihima.nofi (Genève). 

H. BôTTf;i'.K. — Physik. Zum Gebrauche bei physikalischeu Vorlesungen in 

hôheren l^ehranslalleu sowie zum Seibstunteri-icht. I. Band : Mechanik. 

JVarmelehre, Aitsti/,-. lAus Di\ F. Schœdler's das Buch der Natur. III. 

Teil, 2. Abteiking). — 1 vol. iu-8", 983 p. ; 8'+3 fig. et 2 planches : 15 M.; 

F. Vieweg & Sohn, Braiinschweig. 

Cet ouvrage, dont le premier volume analysé ici comprend dans un millier 
de pages la mécanique, l'acoustique et la chaleur, est essentiellement un 
traité de physique expéi'imentale. Un caractère appai'ait dès la première lec- 
ture, celui d'une petite encyclopédie physique, mais d'une encyclopédie pé- 
dagogique si je puis dire. 

Encyclopédique, ce traité l'est par le souci constant d être complet ; tous 
les faits et lois physiques sont là, cela va de soi, mais ce souci persiste 
jusque dans les détails ; il s'accuse par exemple par le soin avec lequel les 
auteurs véritables des découvertes ont été recherchés jet les noms de ces 
auteui's sont volontiers accompagnés de quelcjues indications chionologiques 
ou autres souvent fort intéressantes) ; il s'accuse encore par la profusion 
d'appareils anciens et modernes dont on n a épai'gné ni descriptions ni dessins, 
on rencontrera par exemple à peu près tous les modèles de pompes à faire 
le vide, y conipris la rotative à mercure de Gœde, et jusqu'à des machines 
qui lentreraient plutôt dans le cadre d'un traité de mécanique industrielle. 
Et l'information sur ce qui concerne les travau.v récents est en général fort 
bonne ; c'est tout au plus si Ton peut regretter l'absence de cjuelques re- 
cherches très importantes dont au moins une brève mention aurait eu, 
semble-t-il, sa place marquée ; je fais allusimi, par exemple, aux résultats 
acquis ces dernièi-es années sur les chaleurs spécifiques, lesquels ont si heu- 
reuseme..t éclairé la signification des chaleurs atomiques et de la loi de 
Dulong et Petit. Quelques opinions à la vérité ; étonnent un peu, telle 
celles exprimées (p. 585| sur le zéro absolu, sous cette forme sans autre 
explication elles risquent d induire en erreur le lecteur non informé. Mais 
ce sont là choses auxquelles est exposé tout auteur qui entreprend un livre 
de cette dimension ; le travail que repi-éseute celui-ci est considérable : 
qu'on songe que toutes les bases de la chimie physique (celles du moins 
qui se rattachent à la thermique) y ont encore trouvé place. 

Pédagogique, ajoutais-je plus haut. Ce caractère no saurait passer in- 
aperçu à examiner la façon synthétique dont les principes de physique sont 
présentés, les notions ou grandeurs nouvelles étant en quelque sorte pré- 
parées avant leur introduction j)roprement dite j)ar la considération de nom- 
breux faits concrets où leur rôle est rendu sensible par l'exposé. Citons 
entre autres exemples de ce procédé éminemment pédagogique les notions 
de masse et d inertie que, au lieu d'en donner une définition formelle et 
sèche, l'auteur amène par tous les développements susceptibles de faire 
senlii- leui' signification vérilableniont physique ; citons encore la vitesse et 



94 Hini.1 ov.UAV n n: 

racci'lrralioii ;nix(niell('s sont ooiisaci"t''Os plus do qiiar;nile pages. Va d ail- 
leurs, je me fais un plaisir de le noter en passant, on ne peut que louer 
vivement lauleur de présenter d une façon générale la mécaniqne aussi 
« physiquement » qu'il le fait et de lui assigner une part si importante vis- 
à-vis des autres domaines (elle occupe plus de la moitié de ce premier vo- 
lume). Outre 1 avantage général au point de vue didactique de cette tendance 
expérimentale et conci-ète. elle lui permet d'abordei- à plusieurs reprises 
des questions en somme fort délicates pour un ouvrage élémentaire — ainsi 
les mouvements du pendule de Foucault en fonction de la latitude. 

La rédaction de 1 ouvrage qui est parfois aussi substantiel qu un « Hand- 
buch )> et qui se doit cependant d'être beaucoup moins brève que celle d'un 
livre de cette nature pour restei- didactique, n'est pas exempte d'un peu de 
lourdeur ici et là: on ne saurait en faire \\\\ reproche à l'auteur, peut-être 
est-ce là un résultat inévitable des exigences trop tlivcrses qui découionl 
du caractère que j ai cherché à faire ressortir plus haut. 

Servir de conseiller (Ralgeber) aux jeunes gens des classes supérieures 
des établissements secondaires ou des premières années de 1 Tnivei'silé, 
telle est la mission principale que, d'après sa préface, le volume doit l'em- 
plir. Y alteindra-t-il pleincnient ? La réponse me semble dépendre notable- 
ment de l'irulividualilé de chaque élève et je crois difficile de répondre par 
l'affirmative pour tous ; M. Bottgei- prend d'ailleurs soin de préciser qu il 
s'agit d élèves d'une certaine maturité d'esprit (reifere Schiller). Je crois 
par contre pouvoii- assurer les maîtres de physique dont le temps est trop 
limité pour lire avec fruit les mémoires originaux ou les giands ouvrages 
de compilation, qu ils pourront consulter ce traité avec confiance et en reti- 
reront poui' leur enseignement suggestions et renseignements des plus pro- ' 
fitables. Car, à lecture attentive, avoir combien d'objections sont pi'évues et 
levées par avance, on gagne l'impression que l'auteur a beaucoup lu, beau- 
coup réfléchi et qu'il a eu à répondre à quantité de questions juvéniles, 
c'est dire qu'il a sans aucun doute une grande pratique pédagogic|ue. 

Et notons en terminant (|uc l'exécution matérielle des ligures comme iln 
texte est li-ès soignée. Albert Pi^kkiir ( r>ansaniiel. 

Léon Bri NscHvicG. — Les étapes de la philosophie mathématique. — 

1 vol. gr. in-8" de Xl-592 pages avec ligures; !() ir. ; F. Alcan, Paris. 

Ce volume me parait d aboi-d valoir par sa pr(''cision liis!()r'i(|iie el son 
imparlialili'. 

Les idées philosophiques les plus générales, construites à l'image de 
données ou de résultais mathémali<]ues, y sont envisagées depuis les 
temps les plus reculés, tant chez les penseurs poursuivis par des préoccu- 
pations nettement métaphysiques que chez les mathématiciens modernes qui. 
amenés d'une manière plus ou moins consciente à discuter la r'calité de 

l'espace, la priorité du continu ou du discontinu, etc jnl ét('' amenés 

aussi à parler le langage métaphysique sans se soucier de philosophie pro- 
prement dite. Il ne manque point d'int(''rèt de voir les grands géomèlr-es des 
siècles jjassés tirer du calcul intiniti'simal des conclusions inattaquables el 
essayei" de les poursuivre pour exi)li<|uer la nature de l'àme ou de la pensée 
divine: une des tentatives des plus intéressantes en ce genre, parait consli- 
luée parla monadologie de Leibnilz et M. lîrunschvicg nous la présente a\ec 
beaucoup de clailé. 

r/idée. longtenips iru'l)i'anl(''e, de la valeur abs()lue des )'('sultals matlié- 



BIBLIOGRAPHIE 95 

mathiques corrects, d'une image aussi parfaite de la vérité, condtiit lalale- 
ment les philosophes à transporter le langage et les méthodes matliématiques 
sur le terrain philosophique. Je suis trop mathématicien pour apercevoir de 
grands succès obtenus par ce transport ; je crois que la science pure se 
féconde mieux elle-même qu'en saillant à la métaphysique ; le moins que 
l'on puisse reprocher à cette alliance, c'est de n'avoir jamais conduit à des 
découvertes effectives (E. Picard, Quelques réflexions sur la Science et les 
scu'ants. Volume publié en souvenir de Louis Olivier, 1911). 

Mais, qu on le veuille ou non, cette alliance existe et M. Brunschvicg 
l'éludie de manière profonde. Il nous fait passer graduellement de 1 antique 
théorie de la vérité extérieure qu il faut s'efforcer de découvrir à la théorie 
pragmatiste de la vérité qu il faut créer. El il essaye de dégager quelques 
critères pour reconnaître la vérité non sous lune ou l'autre de ces formes, 
mais plutôt dans le mécanisme qui a poussé la pensée de I une à l'autre. 

Laissant I examen du côté philosojjhique de l'œuvre, par crainte d'y 
trahir trop d'incompétence, il me reste à signaler bien des points suscep- 
tibles d'intéresser le seul mathématicien. Dans ce grand et bel ouvrage je 
trouve résumés à grands traits, la logique mathématique modernisée par 
Peano, Russell, Couturat, etc., les discussions fondamentales sur les prin- 
cipes de la géométrie qui conduisent à apercevoir simplement le pragmatisme 
de M. Poincaré, les difficultés de la théorie des ensembles avec les discussions 
dues à MM. Borel, Lebesgue. Baire, Zermelo, etc.. Ces seuls noms pro- 
mettent, je crois, une ample matière au travail du mathématicien dans des 
régions où sa science peut se teindre de philosophie sans cesser d avoir 
I aspect auquel il est habitué. D'ailleurs M. Brunschvicg montre une connais- 
sance très réelle des mathématiques ; j ai plaisir à le signaler, à ce titre, aux 
collègues qui ne connaîtraient eu lui que le philosophe. 

Ajoutons aussi qu avec la collaboration de M. Pierre Boutkoux, il a donné, 
en 1908, une nouvelle édition des OEuvres de Pascal c(ui a déjà attiré lat- 
tention des géomètres et dont nous avons rendu compte ici même (T. XL 
1909, p. 156). A. Buhl (Toulouse). 

Félix Le Daintec. — Contre la Métaphysique. (Bibliothèque de Philosophie 
contemporaine). — 1 vol. in-S'^ de 256 pages ; prix 3 fr. 75 : F. Alcan, Paris. 
Ce volume contient plusieurs opinions particulièi-ement saillantes dont 
quelques-unes d'ailleurs sont d une originalité presque révolutionnaire. 
Elles ne sont pas faites pour déplaire aux géomètres à qui l'aulcur donne 
généralement le beau rôle. C'est ainsi que M. Le Danlec voudrait qu'on ne 
puisse devenir un maître, dans une science quelconque (même en médecine) 
sans avoir fait preuve d'aptitudes mathématiques (p. 87|. Le rôle logique de 
la géométrie le séduit beaucoup : on sent que son idéal serait d'en trans- 
porter les méthodes partout et contre ceux c[ui veulent des domaines par- 
ticuliers pour la vie et la pensée. De là le titre de ce livre que l'on peut lire 
en même temps que celui de M. Le Roy que j'analyse ci-dessous. L'opposi- 
tion sera un excellent exercice d'impartialité; je le recommande à qui veut 
s'habituer à juger des doctrines sans immédiatement adopter ou repousser 
aveuglément l'une d'elles. 

Par exemple M. Le Danlec ue me semble pas très heureux quand il cri- 
tique les conceptions d'Henri Poincaré sur les espaces non-euclidiens et les 
êtres qui pourraient y vivre (pp. 82-83). Henri Poincaré aurait bàli celte 
conception, sans s'en apercevoir, avec de la logi([ue euclidienne liindis que 



96 H IH 1.1 ()(. Il Al' Il l E 

des èti-es ayanl évolué dans un univers uoii-eiiclidien aiiraicul fonu'ment une 
loçiquo non-euclidienne. Mi cela serait une incohérence ! Eli bien non ! Même 
s'il pouvait exister jilusieurs logiques voilà qui n aurait pas lieu foicémenl. 
Avec In même logique je puis combiner les postulats ordinaires de la ,u;éo- 
inélrie et ensuite ces mêmes postulais moins un. La logique n'a pas obliga- 
toirement son origine dans les considérations spatiales ; des êtres ne taisant 
que de l'arithmétique auraient déjà une logique et celle-ci sufilrait à laire 
atialyti(jueiueiit de la géométrie. Dailieurs nous sommes peut-être dans un 
univers non-euclidien de très grand paramètre ; on peut rapetisser ce dernier 
sans loucher à la logique. 

Mais 11 possibilité de telles discussions n'est pas faite pour diminuer 
l'inlérêt de l'ouvrage qui contient des théories vitales lesquelles, pour être 
matérialistes, n'en sont pas moins remarquablement enchaînées. M. Le Dantec 
nous y donne également un aperçu de ses idées pédagogiques. Il plaisante 
agréablement A\'. .lames et semble stupéfié par M. Bergson. Que 1 on prenne 
tout cela sans parti déterminé et l'on sera conduit à un important travail de 
réflexion. .\. Hciu. iToulouse). 

Edouaru Li: Rov. — Une philosophie nouvelle : Henri Bergson. (Biblio- 
thèque <ie Philosophie contemporaincl. — 1 vol. in-12 de \i-210 pages; 
prix : 2 fr. 50: F. Alcan, Paris. 

I.,es idées si intéressantes de .M. Bergson viennent d'être résumées d'une 
manière parlicnlièrement heureuse par M. Le Roy. Ce qui est surtout 
remar(|uable dans celle philosophie nouvelle c'est l'introduction toute berg- 
sonuienne de la notion de durée. Le temps scientifique, dit ,\I. Bergson, ne 
dure pas ; c'est une successioii d'instants que l'on déclare continue, mais 
dans laquelle on ne perçoit que les éléments immobiles d'un ensemble 
dénombrable, quitte simplement à les rapprocher ensuite autant qu'on veul. 
Aulre est la durée qui est créatrice de liberté et ilans laquelle on n'est Icnu 
de retrouver le temps qu'au point de vue pratique, lue fois ce dernier cadre 
ado]jlé il est possible, il est naturel même que nous n'y semblions plus 
libres et le délerminisme apparail. Au contraire, si nous réussissons à nous 
débarrasser de l'idée d un temps unifoime et homogène, nous reconnaîtrons 
d'abord dans quelle mesure nous avons été libres de l'inventer et cela pourra 
nous donner une première idée de notre liberté sur ce point et. par surcroît, 
sur d'autres. 

Mêmes choses pour 1 espace dont la représenlalioii \ide esl loujoui's une 
représenlation jjloine (p. 187,. Penser le néant n'r-sl pas possible : ce serait 
ne point penser. 

On voit par ces quelques lignes que je m attache surtout à ce qui peut 
intéresser les mathématiciens. Certes toutes nos lois et tous nos théorèmes 
semblent condamnés à s'évanomr si nous abandonnons toutes les représen- 
tations (|ui semblent nécessaires à nos mesures. .Mais la philosophie nou- 
velle ne nous interdit nullement de continuer à faire de la science en nous 
monlranl simplcmeul commeitl" celle-ci s'insère dans ce (|ue M. Bergson 
appelle le réel. A. Buni. (Toulouse). 

Cil. Davison. — Higher Algebra for Collèges and Secondary Schools. — 
I vol. in-H". Vni-:>20 p.; i\ sh. ; Iniversily Press, Cambridge. 
Ce volume traite des matières du programme des classes supérieures des 

écoles seconilaires et des cours ordinaires des collèges universitaires en 



h I BLIOGBAPIIIE 97 

Angleteri'e. Il comprend le binôme, les séries, les iiiégalilés. les iipproxi- 
mations et limites, la tliéor-ie des équations et les déterminants, les frac- 
tions continues et la théorie des nombres. 

M. Davison expose les divers sujets presque exclusivement au moyen 
d'exercices résolus : la théorie est limitée à de brèves indications ou défini- 
tions introduisant ou reliant les sujets entre eux. Des exercices non résolus 
(avec réponses à la fin du volume) sont adjoints à la suite de chaque cha- 
pitre. Le choix des exemples est basé sur les exigences des nouveaux règle- 
ments du « inathematical tripos ». I/auteur indique au reste dans la préface 
que les problèmes sont, en majeure pai-tie, tirés des questi(jns proposées 
aux examens des collèges et universités des Iles Britanniques et des 
colonies. 

M. Davison donne à la fin du volume une série de (juestions [«■ essays » et 
« probleni papers ») dont chaque groupe doit représenter environ une he«re 
de travail, et qui sont destinés à habituer les étudiants à se rendre compte 
non seulement de la possibilité d'applications multiples d'un même théorème 
dans divers domaines, mais aussi des relations étroites qui peuvent exister 
entre des théorèmes appartenant à des domaines différents. 

Henry-Daw. Ellis. — Poems mathematical and miscellaneous. — 1 vol. 

in-16, 64 j). ; 1 sh. 6 d.; The Chiswick Press, Londres. 

Les préoccupations mathématiques n'excluent pas les manifeslalions i^oé- 
liques; M. Ellis prouve même qu'elles peuvent les inspirer. Environ un 
tiers des courts poèmes ou spirituelles boutades de son petit volume traitent 
en effet des sciences mathématiques ou des mathématic ens. Ils sont écrits 
dans un style harmonieux et dans plusieurs d entre eux lauteur adapte avec 
à propos et esprit les formes du language mathématique au style poétique. 
Les participants au Y«= Congrès tenu à Cambridge en août dernier se sou- 
viendront toujours du charmant poème de bienvenue que M. Ellis avait 
adressé aux congressistes. R- .M.\sson iGenèvei. 

Ing. I. Gheksi. — Matematica dilettevole e curiosa. — 1 vol. iu-lG, 780 p. 

et 693 fig. ; relié toile 9 fr. 50: Ulrico Hœpli. Milano. 

Le lecteur sera surpris de l'invraiseniblabie richesse de ce recueil où 
l'auteur présente, sous une forme concise et claire, des propositions et des 
problèmes mathématiques susceptibles d intéi-esser aussi bien des « diJet- 
tanti » que des spécialistes. 

Le simple énoncé des principaux chapitres donnera une idée de la variété 
des principaux sujets traités. 

Problèmes curieux. Paradoxes algébriques, géométriques et mécaniques. 
Tracé mécanique de nombreuses courbes. Systèmes articulés. Inverseuis. 
Quadrature du cercle. Trisection de l'angle. Duplication du cube. Géomé- 
trie de la règle et du compas. Casse-tête géométriques. Probabilités. Jeux. 

Cet ouvrage fournit une documentation très complète des curiosités clas- 
siques (par exemple, une trentaine de démonstrations du théorème de Py- 
thagore accompagnées de renseignements historiques) et ne néglige pas les 
lésultats récréatifs des plus récentes conquêtes scient i(i(|ues. 

Les parents y trouveront en abondance des sujets leur pormettaul de sus- 
citer sans fatigue chez les enfants le goût des mathématiques ou de provo- 
quer sous l'aspect de jeu passionnant de bienfaisants exercices de calcul. 

Le maître y fera une piovision d'exercices et de problèmes j)ermetlant de 



98 BIBLIOGRAPHIE 

développer cliez les élèves linléièt pour les qiieslions niatliémaliques les 
plus diverses. l-",i?- ^^iiatiiain (La Ciiaux-de-Fonds). 

G. HrssENBiiRG. — Transzendenz von c und -. Ein Beitrai^ zur hohoreu 
Mallienialik vom cleuientareu Sfaiidpuuki ans. — 1 \ol. iu-8°. 106 p. ; 
3 Mk. ; B. G. Teubner, Leipzig. 

Il faut savoir gr-é à M. Hesseubcig d avoir léniii en nue petite mono- 
graphie les principales démonstrations de la transcendance des nombres o 
et -. L'auteur ne s'est pas borne à grouper les dillérents mémoires clas- 
siques en supposant connues les notions spéciales qui interviennent dans les 
démonstiatious. Dans les deu.v premiers cbapilies il rappelle les notions 
fondamentales concernant les fonctions entières, les fonctions exponentielles. 
I^e chapitre III est entièrement consacré à la transcendance de e et aux no- 
lions qui s'y rattachent. Puis, après de nouveaux compléments d algèbre et 
de théorie des nombres, il aborde le théorème de Lindemann et la transcen- 
dance de -, 

L auteur n'a pas cru devoir accompagner son exposé de notes bibliogra- 
phiques. Par exemple il n est pas fait mention de la démonstration donnée 
par M. .Jamict (.Marseille) dans le t. II de VEns. math. (1900). 

H. Re.nfek. — Beitràge zur Krankenversicherung. Allgemeinversiiindliehe 

Darstellung der wesentlichen stalislisclicM, voisicherungs- und buchhal- 
tungslechnischen Grundzùge der Krankenversicherung. — i vol. in-H'>. 
VlÙ-172 p.: br. 5 fr. .50, rel. 6 fr. 50; librairie Fehr, St-Gall. 

M. Renier s'est proposé de réunir en un volume tout ce qu'il laul savoir 
pour organiser et gérer une société de secours mutuels en cas de maladie. 
Comme tous ceux qui ont étudié la question, il est persuade qu on ne peut 
fixer les cotisations d'après les expériences plus ou moins bien faites de 
quelques années, mais qu'il faut les calculer sur la base de tables de morta- 
lité et de morbidité. Il nous montre en quoi consistent ces tables et com- 
ment on en déduit les cotisations pour chaque âge; il nous enseigne aussi 
le calcul des réserves nécessaires à la société pour faire face à ses engage- 
menls, même lorsque l'âge avancé de ses membres aura pour conséquence 
un plus grand nombre de jours de maladie, et par suite de plus fortes 
charges pour la caisse. Ces deux problèmes sont essentiels dans l'assurance 
contre la maladie, aussi l'auteur les traite-t-il en détails; en outre, il étudie 
une ou deux autres questions, en particulier le facteur de réduction. 

Le point de vue mathématique, quelle que soit son importance, n'est pas 
le seul à considérer ici. Il est indispensable que la comptabilité et la statis- 
tique des sociétés de secours mutuels soient bien organisées. C'est à elles 
que M. Renfer consacre la seconde partie de son livre; il fait profiter le 
lecleur de sa gi-ande expérience et reproduit des formulaires éprouvés pai- 
la pratique. Ces pages sont d'un grand intérêt et méritent d'être lues même 
par les personnes qui, faute de quelques connaissances d'algèbre, auront 
trouvé par trop rébarbatives les formules par lesquelles commence l'ou- 
vrage. M. Renier se met toujours à la place des sociétés suisses; il cite à 
plusieurs reprises la législation fédérale et en précise la portée. Il soulève 
bien des questions dont la discussion serait intéressante, mais en rapport 
trop étroit avec la politique pour que nous puissions les aborder ici. 

Pour lînir, l'auteur donne une vingtaine de tableaux numériques touchant 
les intérêts, la moilalilé, la morbidité et 1 invalidilé : il y rémiil les princi- 



BIBLIOGRAPHIE 99 

pales valeui's ulilisi-es dans l'assurance. Ces lableanx seront d'un grand 
secours pour appliquer les ihéories exposées dans le traité. 

S. Dumas | Berne |. 

H. Renfek. — Tabellensammlung fiir politische Arithmetik, Lebens- und 

Krankenversicherung. — 1 broch. in-8o, 16p.;5Ucl.; (chez l'auteur) Berne. 

Lorsque par sa protession ou est appelé à calculei- beaucoup, on est 
frappé de l'importance des tables numériques; ou en dresse poui- éviter des 
calculs même très simples lorsqu'ils i-eviennent souvent. Eu revanche, 
l'école paraît les ignorer; on n'enseigne guère aux élèves que l'emploi des 
tables de logarilliines dont l'utilité diminue beaucoup à mesure que les ma- 
chines à calculer se répandent. Ce fait regrettable est facile à comprendre; 
les tables numériques sont généralement beaucoup trop chères pour qu'on 
puisse en imposer l'achat aux parents. Celte raisoTi perd toute sa valeur 
puisque M. Renfer publie à un prix extrêmement modique une collection de 
13 tables dont l'emploi est journalier en arithmétique politique. Chaque éco- 
lier pourra se la procurer et 1 on pourra lui enseigner les mélhodes en 
usage constant poui' la résolution de divers problèmes; surtout il y ap- 
prendra l'existence et le maniement des tables numériques. 

La brochure de M. Renfer commence par trois pages consacrées aux for- 
mules et aux notations internationales de l'assurance, puis viennent des tables 
donnant pour six taux différents et des durées allant jusqu'à cinquante ans 
la valeur actuelle d'un capital payable dans n années, la valeur acquise par un 
capital placé pendant n années, les valeurs actuelles des annuités et les 
taux d'amortissement ;. ensuite, des tables de mortalité (tables de la popula- 
tion masculine et féminine suisse, table d'assurés en cas de décès et table 
d assurés en cas de vie), avec les rentes viagères et les primes qui s'en dé- 
duisent, une table d'invalidité, diverses tables de morbidité et quelques 
nombres utiles dans l'assurance contre la maladie. 

Nous ne pouvons que souhaiter le meilleur succès à un ouvrage si utile. 
Ajoutons que quoiqu'il soit en allemand, le texte en est si réduit qu'on peut 
le mettre entre les mains d'élèves de langue française. 

S. Dl.mas (Berne). 

Richard Suppantschitsch. — Lehrbuch der Arithmetik und Algebra fur die 

Y. bis VII. Klasse der Realscluilen. — 1 vol. in-8'J de o68 [). ; 76 lig. ; 

824 questions et problèmes; cartonné 5 K. ; Tempsky, Vienne. 

Ce volume, destiné au degré supérieur des écoles réaies autrichiennes, 
fait partie de 1 excellente collection Mathematisclies Unterrichtswerk dont 
nous avons déjà parlé ici même. 

Voici la liste complète des huit chapitres : 1. Puissances et racines, p. o 
à 43. — 2. Logarithmes, p. 43 à 62. — 3. Equations du deuxième degré, 
p. 62 à 115. — 4. Progressions, intérêts composés, p. 115 à 146. — 5. Li- 
mites, convergence, continuité, dérivées, p. 146 à 194. — 6. Combinaisons, 
formule du binôme pour les ex^JOsants entiers, p. 194 à 204. — 7. Pro- 
babilités, p. 204 à 212. — 8. Applications des probabilités à la théorie des 
assurances, p. 212 à 223. 

Dans tous ses ouvrages, M. Suppantschitsch a su réunir la clarté et la 
précision. Ces deux qualités essentielles se remarquent surtout dans ce 
dernier volume que les maitres de l'enseignement secondaire liront avec le 
plus grand intérêt. AuS- Lai.îve (La Chaux-de- Fonds). 



BULLETIN B 1 1 3 L I () ( i R A 1^ 1 1 1 U E 



1. Publications périodique!!*: 

Bibliothecamathematica. Zeilsch. f. Geschichl«.- der malliem. Wissenscliaflen 
heraus^egebeii von G. Enestro.m. — o. Folge. Teubiicr, Leipzig. 

Tome XII. fa.sîc. 3 et 4. — A.'cel-Atlion Bjôrnbo : Die niatliemalisclicii S. 
-Marcohaiidschriften in Florenz. — Yoshio MiK.\Mr : The rectification oF ihe 
ellipse by Japauese malbcmatieians. — G. Enestrô.m : Die ersten Uiiter- 
suciinugen Kiiiers ûber hôhere lineare Differentialgleichungeii mit variableii 
Koellizienten. — H. Suter. — Die Abhandlimg iiber die Ausmessung des 
Paraboloides von el-Hasan b. ei-Hasan b. el-Hailham. Uebersetzung mit 
Kommeutar. — G. Enestro.m : Zur Vorgeschichte der Eutdeckung des Tay- 
lorschen Lehrsatzes. — J. L. Heiberg : Axel Anthou Bjôrnbo (1874-1911i. 

Comptes rendus des Séances de l'Académie des Sciences de Paris. 

y*^"" semestre 1912 isuilel. — 29 avril. — TzirzEic.\ : Snr les réseaux iso- 
ihermiques. — E. Delassus : Sur les systèmes de Lagrauge à paramètre 
principal. — E. Borel : .Modèles arithmétiques et anaiyli<|ues de l'irréver- 
sibilité apparente. 

6 mai. — R. G.VR.MER : Sur les limites des substilnlions du groupe d'une 
équation linéaire du second ordre. — Z. de Gecu.ze : sur la quadrature des 
surfaces coui'bes. — L. Roy : La loi adiabati(iue dynamique dans le mouve- 
ment des membranes fle.vibles. 

13 mai. — C. Guichard : Sur les surfaces telles que les sphères osciila- 
trices aux lignes de courbure d une série soient tangentes à une sphère fixe. 

— Pati-ick Brow.ne : Sur quelques cas singuliers de l'équation de Yolterra. 

— E. Barré : Sur les surfaces engendrées par une hélice indéformable qui 
reste constamment une asymplotique de la surface qu'elle engendre. 

20 mai. — R. Garmer : Sur les limites des substitutions du groupe d luie 
équation linéaire du second ordre. — G. Bolliga-nd : Sur les petits mouve- 
ments de surface d'un liquide dans le champ iruiie Ibrce centrale altraclive, 
fonction de la distance. 

28 mai. — Rouver : Sur les surfaces à courbure constante. — P. Bkowne : 
Sur quebjues équations fonctionnelles. — P. Lévy : Sur la fonction de Green 
relative au cylindre de révolution. 

3 juin. — E. Bokel : Les séries de fonctions analytiques et les fonctions 
quasi-ai.alylic[ues. — fi. Du.mas : Sur les singularités des surfaces. — 
A. HosENBi.ATT : Sur quel([ues inégalités dans la théorie des surfaces algé- 
bri(|ues. — .\rnai i> : Formule nouvelle sur le nivcllenicnt bai'ométrique. 

10 juin — .1. Ci.AiHi.N Sur la transformation dlnischenctsky. — 



BULLETIN m B LIOGRAPH IQUE lUl 

J. Chazy : Sur les développements asymptotiques divergents qui repié- 
sentent les intégrales de certaines équations différentielles. — J. Boissinesq : 
Résistance qu'éprouve un ellipsoïde dans ses lentes translations uniformes 
à travers un liquide visqueux. 

17 juin. — E. Picard : Sur les développements de Gaucliy en seines 
d'exponentielles et sur la transformation de M. André Léauté. — E. Borei, : 
Sur la théorie du potentiel logaritlimique. — X. Lusi.x : Sur les propriétés 
des fonctions mesurables. — C. CARATuÉODORy : Sur le théorème général de 
M. Picaid. — H. ^'lLLAT : Sur le changement d'orientation d'un obstacle 
donné dans un courant fluide. 

24 juin. — A. Blhi. : Sur les équations aux dérivées partielles définissant 
des surfaces susceptibles do passeï" par un contour fermé. — M. Gevkky : 
Sur certaines équations aux dérivées partielles du type pai-abolique. — 
Th. Diî Do-\di;r : Sui- le mouvement des électrons dans un champ électroma- 
gnétique donné. — U. Cisotti : Sur les déformations élastiques sans efforts 
tangentiels. 

1 juillet. — W.-H. YoLxr. : Sur la généralisation du théorème de Parseval. 
— J. BoussiNESQ : Pourquoi les équations différentielles de la mécanique 
sont du second ordre, plutôt que du premier, ou en d'autres termes, déter- 
minent les accélérations des points matériels et non leurs vitesses. 

8 juillet. — • A. BuHL : Sur les extensions de la formule de Slokes. — 
Ch.-N. MooKE : Sur les facteurs de convergence dans les séries doubles et 
sur la série double de Fourier. — Patrick Browne . Sur le problème géné- 
ralisé d'Abel et ses applications. — J. Chazy : Sui- la limitation du degré 
des coefficients des équations différentielles à points crftiques fixes. — 
R. Gaknier : Sur la représentation des intégrales des équations irréductibles 
du second ordre à points critiques fixes au moyen de la théorie des équa- 
tions linéaires. — A. Dex.îoy : Sur l'absolue convergence des séries trigono- 
mélriques. — J. Bousst^ESQ : Des erreurs importantes au point de vue théo- 
rique, qu entraînent les notions parliculière.s d'expérience, simplificatrices, 
adjointes aux lois générales de la mécanique pour pouvoir arriver à des 
résultats saisissables. 

16 juillet. — E. BoREL : Sur l'indélcrniination des fonctions analytiques 
au voisinage d'un point singulier essentiel. 

' 5 août. — P. SucHAKD : Sur les courbes invariantes jjar une tiansforniation 
réciproque, ponctuelle ou pai- contact. — A. Guillet : Réalisation du mou- 
vement circulaire uniforme par action périodique synchronisante. 

12 août. — L. GoDEAUx : Sur les transformations rationnelles entre deux 
surfaces de genre un. 

19 août. — R. BiRKELAND ! Suc la trajectoire d'une jiarticule éleclrisée 
dans un champ magnétique. 

26 août. — VV.-H. Yolng : Sur la sommabilité d'une fonction d mt la série 
de Fouriei' est donnée. 

23 sept. — Th. De Do>der : Sur les invariants du calcul des variations. 
— - N. LusiN : Sur 1 absolue convergence des séries trigonométriques. 

7 ocl. — G. Sa.nma : Sur les caractéristiques simples des équations aux 
dérivées partielles de deux variables, — X. Saltykow : Sur la théorie des 
équations partielles. — U. Cisott'i : Remarques énergétiques sur le mouve- 
ment d'un solide dans un liquide visqueux. 

14 oct. — H. Lebesgve : "^ur le principe de Dirichlet. — A. Petot : Sur 
les systèmes conjugués. 



lOii hui.li:ti.\ h I h i.i oc, n a i> u i(j i !■: 

'IV ov\. — 1.. Alton.m: : Sur les siibsliliilioiis iioiiKiiiieniies. — 'l.-ll. 
Gkonwai.i. : Siii- mi llu'-orènie rie M. Picaid. — G. Foi v\ : Sur un llioorèine 
de Sieiljcs. 

28 oct. — A. Pktot : Sur certains systèmes conjugués. — .M. (ji.vkky ; 
Remarque» sur certains théorèmes d'existence. — G. Pik.modndos : La théorie 
de M. Picard el les fonctions multiformes. 

4 uo\ . — l*. Appel : Le théorème du dernier niiill iplicaleur de Jacobi, 
rattaché à la lurmule dite d'Ostrogradsky ou de Green. — M. Plakchkrel : 
Les problèmes de Canlor et de Duboi.s-Reymond dans la théorie des séries 
des polynômes de Legendre. 

11 nov. — J. Chazv : Sur un système dilfércnlicl lormé par .M. Schlcsin- 
gei'. — Gh.-.l. de la V.vi.i.ée-Poussin : Sur lunicilé du développement trigo- 
iiomélritjue. — Hisr.i.Y : Nouveau théorème sur les eli'ets des moments. 

18 nov. — P. Mo.NTEi. ; vSur quelques généralisations des théorèmes de 
M. Picard. — Tli. I)k Do.ndek : Sur les invarianls ilu calcul des variations. 
— Lk.mekay : Le principe de la relativité cl la loi de variation des forces 
centrales. 

25 nov. — S. Beu.nstein : Sur la valeur asymploliqtie de la nfTjilleure ai^pi-oxi- 
nialion des fonctions analytiques. — 11. Soki:al- : Réduction de Fu's = o à 
la forme f\ f% -\- fi gs -\- lis ^^ o. — L. Thouveny : Sur le vol à voile. — 
G. StokiMek : Remarques sur la note de .M. Kr. Hirkeland, relative à l'ori- 
gine des planètes et de leurs sattdlites. 

2 déc. — P. Brow.mc : Sur un problème d invei'sion posé par Abel. — 
M. d'0(;A(;.\K : Sur la réduction des équations à trois variables au.\ formes 
canoni(|ues (|ui' comporte la méthode dis [joints alignés. 

Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung, in .Mouatshelten 

lu'raiisgegchcn \ tm A. Git/.mei;. — 1j. G. leiibncr. l.rip/.ig. 

191'i, N'" 1 à 9. -- L. Hem TEK : Zur l^iuliihrung der vicrd iniensionalcn 
Welt Minkowskis. — H. v. Mises : Ueber die (îrundbcgiilfe der Kollek- 
livmasslehre — lîmil W.ïlsch : Parallelperspektive, komplexe Zahlen und 
Tragheil ebener Massen. — E. Salkowski : Zur Théorie der Kurven im el- 
liptischen Raum. — J. Neubehg : Ueber drei Siit/.e von R. Mehmke. — 
R. .Meumke : Bemerkungen zu dem Anfsalz des Herrn Neuberg. — A. Rkile : 
Das Relativitittsprin/.ip. Eine l'^infûhrung in die Théorie. — Fritz ScniJitEK : 
Ueber die Null])unkle linearer Aggregate von Fuiikl ioiicn. — E. Sti;dy : 
Quaternionen und Kineinalik. Historische Bemerknng — E. H^ntzschei. : 
Johann Andi'eas Christian iVlichelsen. — Vhulimir N'akicak : Ueber die 
nichlcuklidische Interprétation der Relativlheorie. — P. Stackel : Die ma- 
themalisch-naturwissenschaftiiche Ausbildnng iler Ingenieure. — Zu den 
Verhandlnngen betreflend aulomorphe Funkliouen, Karlsruhe am 27. Sep- 
lember 1911. Vortriige und Referale von F. Klein, L. E. J. Brouwëk, 
P. KoEBE, L. BiEBERBACu und E. Hm B. — Léon Lic;irTENsrEiN : lîemerkungen 
zur Théorie dei- ebenen Kurven. — Karl Kommerele : I>or Sylverslersche 
Plagiograpli und die Proportionenichre. — F:d\vard L. Doun : The least 
Square .Mclhod Grounded wilh the aid of an Orthogonal Transformation. — 
Julius V. Sz. Xaoy : Die Anwendung der birationalen Transfonnationen einer 
Kurve von hoherem Geschlechte in sich auf cin Diophantisches Pioblem. — 
\iktor Bi.AEss : Ueber die Lage des Rotors eines flachennormalen Vektors. 
— Nachlrag zu A. lîrill : Das Relalivilalsprinzip. — E. Salkowski : Ueber 
die verschiedenen Begiiindungsarlen der Differentialgeometrie. — lùlmund 



BULLETIN BIBLIOGRAPHIQUE 103 

Landau : Geloste uiiii ungelnsle Problème ;uis dei- Théorie der Primzahl- 
vei-leihiug und der Riemannscheu Zelai'uiiklioii. 

Angelegeiiheiteu der Deulscheii Matlicniatiker-Vereinigung. — Millei- 
lungen und Nachrichtcn. — Lilerarisclies. 

Monatshefte fur Mathematik und Physik. herausgegeben von G. v. Eschk- 
KicH. F. Mektens u. \V. \\'irïi.\c;i:u. — Eiseiistein & Co, VVien. 

XXIII Jahrgang (1912). — J. Lissner : Zur Lehre von der Fernwirkung, 
Indnklion und Strahlung. — E. Kohl : l'eber die Gleichnng zvvischen Wiir- 
nielonuag uud reversibler Arbeit. — L. v. Schkutka : Théorie der quadra- 
tischen Kongruenzen. — P. Roth : Ueber elliplisch-hyperelliplische Funk- 
tionen. — H. Hahx : Ueber die Intégrale des Herrn Hellinger und die 
Orthogonalinvarianlen der quadratischen F'ormen von unendiich vieleu 
Veriuiderlichen. — P. Fhank : Ueber allgemeine statisch nnbestimmte Sys- 
tème. — H. A. V. Beckh-Widsmanstetter : Eine neue Randwertaufgabc tïir 
das logaritlimische Potenlial. — |Id.) Liissl sidi die Eigenschatl der analyti- 
schen F'unklioncn eiuer gcmeinen komplexen Veranderliclieu, Polential als 
Beslandleiie zn liet'ern, auf Zahlsysteme mil drei Einheilen verallgemeiner-n ? 

— (Id.) Unniittelbare Beliandlniig der nichthomogenen linearen Difîerenzen- 
gleichung mil konstauleu Koeffizienten — Dr. L. v. Schrutka : Drei Paral- 
lelzalze zum Frrmatschen Salz ûber die Zerlegung der Primzalilcn von der 
F'orm 4 // -)- 1 in zwei Quadrate. — F". Palm : Ueber die direklo Konstruk- 
tion des jjerspekliven L'm risses von allegemeineu Schraubtlachen. — L. 
Braude : l'eber die Kiirven, unter deren Zwischenevolulen sich Kreise 
belinden. — P. Ernst: Die allgemeine Mannheimsche Kurve. - J. Plemelj : 
Die Grenzkreis-Unifonnisierung analytischer Gebilde. — Die Uulosbarkeit 
von x^ -f- 1^ -)- c° = o im Kôrpor k [/ b . — Die Siebenteilungdes Kreises. 

— G. Hamel : Stabililat und Partikularlôsnngen linearei" Dilferenlialglei- 
chungen. — R. K()Nig : Ueber die quadralischeii Formcn mit ralionalen 
Funklionen ais Koeflizienten. — A. Ka.n^a : Zum Ai-tiktl « Lineaie Erzeu- 
erunç: » im XXII. Jahr"-. 



S. Ijivves nouveaux : 

Annuaire du Bureau des Longitudes pour 1913. Avec des notices scienti- 
fiques. — I vol. iu-lG, 800 pages; 1 tV. 50; Gaulhier-Villars, Pai'is. 
E. Barbette. — Les Carrés magiques du ;«'«■«'> ordre. — 1 vol autogra- 

phié in-8", de 244 p.; 7 Ir. 50; A. Pholien. Liège. 

E. Barbette. — Les piles merveilleuses. — 1 fasc. autographié in-8o, de 
16 p.; A. Pholien. Liège. 

E. Bardev. — Aufgabensammlung fur Arithmetik, Algebra und Analysis, 
herausgegeben von Dr. W. LlETZ.MA.^^•. — Retormausgabe A : fiir Gymna- 
sien : Reformausgabe B : tùr Realauslallen. I. Tcil : Unlerslule. — 2 vol. 
in-8o, \I-202 p. et YI-220 p: 2 .M. par vol.: B. G. Teubner, Leipzig. 

St. A -F. de BouFFAL — Deuxième démonstration complète du grand 

théorème de Fermât. — l luoch in 8", 8 p.; Imprimerie scientifique, Var- 
sovie. 

E. Fabry, — Problèmes d'Analyse mathématique. — 1 vol. iu-8«, 460 p.: 

12 fr. ; A. Hermann ik fils, Paris. 



10', nui. L K r 1 y h i h i. i o c. h a ini i q u e 

A. Guii.LEMiN. — Table de Logarithmes ;i ■! «luatradcs et nombres cor- 
respondnnls avec I2-I."i iliildos. — 1 vol. iii-S", XX III-]2r) p. : Gaulliier- 
Villais. Paris. 

Iv-A. lliNTiKKA. — Ueber das Verhalten der Abbildungsfunktion auf 
dem Rande des Bereiches in der konformen Abbildung riu>r. Ilclsing- 

fors. — 1 tasc. in-'i". NlII-iiti p.; Dnickcici der Kiiinisclieii F^illerahir- 
Gesellschaft, Hclsingrois. 

C. de J\Ns. — Les multiplicatrices de Clairaut. Coniiibuiion à la tliéoiie 

d'une famille de coiirhcs |)iaiics. — I vol. ii)-<S", [\'-lo6 p. ; 5 fr-. •. Ad . Ilosie, 
Gand. 

Ë. MûLi.iiK. — Das Abbildungsprinzip. — Anliillsrcdc des lin- das .lahr 
1912- 191o gewidilleii Rekloi's der K K. Teehnisclien Hocliscluile in Wien. 
— 1 fasc. in-8", 29 p, ; Verlag- dei' K. K. Tecliiiisclien Ilorliseliule, Vienne. 

E. Ml'lli-k. — Lehrbuch der darstellenden Géométrie fiir technische 

Hochschulen. Zweiler Band. l'ish's Hctl — 1 vol. in-S". VIMIlU p . \ .M.'id: 
B. (i. Tenbner, Leipzig. 

A P.\D()A. -- La logique déductive dans sa dernière phase de dévelop- 
pement. Avec- une pféfacc de G. l'i.\.\o. — 1 vol. iii-.S", 10(1 p . :> Ir. 25; 
(i a 11 t h ie I'- V i 1 1 a rs , Paris. 

J. Pehuv. — Mécanique appliquée i 1 Usage des élèves qui peuvenl Ira- 
vailler expérimentalement et faire des exercices .numériques et graphiques. 
Ouvrage Ir-aduit sur la neuvième édition anglaise par E. Davaux. Avec des 
additions et un appendice sur la m.'^canique des corps déformables par 
E. CossKRAT et F. CossKRAT. Toms premier : L'énergie mécanique. — 1 vol. 
in-8", Vni-399 p : 10 fr. ; A. Hermann cV fils, Paris. 

J. PioNTHON. — Notice sur la vie et les travaux de Charles Méray. — 

1 vol. in-8", 159 p.; L. Marchai. Dijon. 

.VL l'iKHOMANDRiTSKY. — Elémeuts de la théorie des Intégrales abé- 
liennes. Nouvelle édition. — 1 vol. in-.S". \VI-2S7 p.: l 'i IV.; A. IJolmke, 
St-Pétersl)ourg. 

\'. Vol TKHHA — Leçons sur l'intégration des équations différentielles 

aux dérivées partielles. — i v(d. in-'i". .S2 p. ; nouveau tirage, A. licrinann 
cV (ils. Paris. 

Schriften des deutSChen AuSSChuSSes (nr den maliiemalischen und natui- 
vvissenscliaflli(dien l'nleriicht . //cfl t'i. — Der malhematische nnil natiir- 
wisseiischaftliche Unlerricht au den prenssischen Ly/een, Oberly/.een und 
Sludienanstallen nach der Neuordnung vou 1908. — Im Auftrage des deut- 
schen Ausschusses fiir deu mathematischen und nalurwisscnscliattlicheu 
Uuterricht. bearbeitel von !•". .Mi)nr.i:. — I lasc. in-S", IV-48 p. ; B. G. Tenb- 
ner, Leip/ig. 

B. G. Teubner's Verlagskatalog ani dem (iebiete der ALithematik, .Xatur- 
wissenschalten und Tecimik. nebst Grenzwisseuscliaften (April 1908 bis 
Juli 19I2|. — I vol. in-8", LXXXVir-2:U p., avec 'i planches; lî. G. Teub- 
ner, Leipzig. 



THE PRINGIPLES OF xMATHEMATICS IN RELATION 
TO ELEMENTARY TEACHING^ 

By A. X. WhitehI'Ad, Se. D., F. R. S., Univeisity Coliegp, 

LOXDOX. 



\Ve are concerned not with the advanced teaching of a few 
«pecialist mathematical students, but with the inathematical edu- 
■cation of the majority of boys in our secondary schools. Again 
thèse boys must be divided into two sections ; one section consists 
of tiiose who désire to restrict their mathematical éducation, the 
■other section is made up of those who will require some mathe- 
matical training for their subséquent professional careers, either 
in the form of définitive inathematical results or in the form of 
mathematically traiued minds. 

I shall call the latter of thèse two sections the mathematical 
section, and the former the non-mathematical section. ButI must 
repeat that by the mathematical section is meant that large num- 
ber of boys who désire to learn more than the minimum amount 
•of mathematics. Furthermore most of my remarks about thèse 
«ections of boys apply also to elementary classes of our university 
students. 

The subject of this paper is the investigation of the place which 
should be occupied by modem investigations respecting Mathe- 
matical Principles in the éducation of both of thèse sections of 
«choolboys. 

To lind a foothold from which to start the enquiry, let us ask, 
"why the non-mathematical section should be taught any mathe- 
matics at ail beyond the barest éléments of arithmetic. What are 
the cjualities of mind which a mathematical training is designed 
to produce when it is employed as an élément in a libéral édu- 
cation ? 

My answer, which applies equally to both sections of students, 



'Conférence présentée it la Section IV (Philosophie et enseignement) du i.« Congrès inter- 
df-ttlonal dos niiithéinaticiens. Cambridge, aoiU l'Jlî:. 

L'Enseignement malhém., 15«anni'e: 19i;t 8 



lOfi -/. -Y, M IflTE IIEAD 

is ihat tliere are Iwo alliecl lorms of mental diseipline which 
shoiild be acqiiired by a well designed ■ niathematical course. 
Thèse two f'orms tlioiigh closely allied are perf'ectly distinct. 

The (irst Ibrni of" disci|)line is not in its essence loi^ical at ail. 
It is the power ofclearly orasping abstract ideas, and of relatinj)- 
them to particular circunistances. In other words, the first use ot 
mathematics is 1o strengthen the power of abstract thought. [ 
repeat that in its essence this lias nothingto do -svith logic, thoiiyh 
as a niatter of fact a logical discipline is the l^est niethod of pro- 
ducing ihe clesii'ed elfect. It is not the philosophical theory of 
abstract ideas which is to be acquired, but the habit and the 
power of using them. Now there is one and only one way of 
aoquiring- the habit and the power of using- anything, that is by 
the simple commonplace melhod of habitually iising it. There is 
no other short eut. If in éducation we désire to produce a certain 
confoi'matio.n of mind, ^^ e must day by day, and year by year, 
accustom the students' minds to grow into the desired structural 
shape. Thus to teach the power of grasping- abstract ideas and 
the habit of using them, we must sélect a group of such ideas,. 
which are important and are also easy to tliiiik al)out because 
they are clear and definite. 

The fundamental mathematical truths concerning Geometry, 
Ratio, (^uantity, and Number, satisfy thèse conditions as do na 
others. Hence the fundamental universal position held by niathe- 
nialics as an élément ola libéral éducation. 

r^ut what are the Fundamental Mathematical truths concerning- 
Geometry, Quantity and Number ? At this point we corne to the 
great question of the relation betvveen the modem science of the 
Principles of Mathematics and a Mathematical Education. 

My answer to the question as to thèse Fundamental Mathema- 
tical truths is that, in any absolute sensé, there are noue. There 
is no unique small body of independent primitive unproved pro- 
positions which are the necessary starting-points of ail mathema- 
tical reasoning on thèse snbjects. In mathematical reasoning the 
only absolute necessary presuppositions are those which make 
logical déduction possible. Betwecn thèse absolute logical truths 
and so-called fundamental truths concerning Geometry. Quan- 
tity and Numlicr, there is a whole new world of mathematical 
snbjects concerning the logic of propositions, of classes, and of 
relations. But this subject is too abstract to form an elementary 
training ground in the diflicult art of abstract thought. 

It is for this reason that we hâve to make a compromise and 
stait from such obvions gênerai ideas as naturally occur to ait 
men when they perceive objects with their sensés. 

In Geometry, the ideas elaborated by the Greeks and presented 
l)y lùnlid are. roughly speaking, those adapted for our purpose. 



PRINCIPI.es OF math EMATIC s 107 

naniely, ideas of volumes, surfaces, lines, of straightness and of 
curvaturje, of intersection and of congruence, of greater and less, 
of siniilarity, shape, and scale. In fact, we use in éducation those 
gênerai ideas of spatial properties which niust be liabitually pré- 
sent in the niind of anyone who is to observe the world of pheno- 
niena with understanding. 

Thus we come back to Platos opinion that for a libéral éduca- 
tion, Geometry, as he knew it, is the queen of sciences. 

In addition to Geometry, there remain the ideas of quantity, 
ratio, and of number. This in practice means Elementary Algebra. 
Hère the prominent ideas are those of "any number "\ in other 
words, the use of the faniiliar x, y, z, and of the dependence of 
variables on each other, or otherwise, the idea of functionality. 
Ail this is to be gradually acquired by the continuai use ofthe 
very simpiest functions which we can devise, of linear functions, 
graphically represented by straight lines, of quadratic functions 
graphically represented by parabolas, and of those simple impli- 
cit functions graphically represented by conic sections. Thence, 
with good fortune and a willing class, we can advance to the 
ideas of rates of increase, still confining ourselves to the simpiest 
possible cases. 

1 wish hère emphatically to remind you that both in Geometry 
and in Algebra a clear grasp of thèse gênerai ideas is not what 
the pupil starts from, it is the goal at which he is to arrive. The 
niethod of progression is continuai practice in the considération 
ofthe simpiest particular cases, and the goal is not philosophical 
analysis but the power of use. 

But how is he to practise himself in their use. He cannot sim- 
ply sit down and think of the relation y = .v -\- 1, he must em- 
ploy it in some simple obvious way. 

This brings us to the second power of mind which is to be 
produced by a mathematical training, namely, the power of logi- 
cal reasoning. Hère again, it is not the knowledge of the philo- 
sophy of logic which it is essential to teach, but the habit of 
thinking logically. By logic, I mean deductive logic. 

Deductive logic is the science of certain relations, such as im- 
plication, etc., between gênerai ideas. Wiien logic begins, defi- 
nite particular individual things hâve been banished. 1 cannot 
relate logically this thing to that thing, for example this pen to 
that pen, except by the indirect way of relating some gênerai 
idea which applies to this pen to some gênerai idea which applies 
to that pen. And the individualities ofthe two pens is quite irre- 
levant to the logical process. This process is entirely concerned 
with the two gênerai ideas. Thus the practice of logic is a certain 
\vay of employing the mind in the considération of such ideas ; 
and an elementary mathematical training is in fact nothing else 



108 A . N. nui TE HE AD 

but the logical use otthe gênerai ideas respecting- Geometi-y and 
Algcbra which wc hâve enumerated above. It bas therefore, as I 
started this paper by stating, a double advantage. It niakes the 
niind caj)able of abstract thought, audit achieves this objeot by 
ti'aining the niind in the most imjjorlant kind ot'abstiact thought, 
naniely, deductive logic. 

I niay rcniind you that other choices ofa type ot'abstiact thought 
might be made. We might train the chiidren to tontemplate di- 
rectly the beauty of abstract moral ideas, in the hope of making 
them religions mystics. The gênerai practice of éducation bas de- 
cided i!i favour of logic, as exemplified in elementary niathe- 
matics. 

We havc now to answer the further question, what is the rôle 
of I.ogical Précision in the Teaching of Matheniatics ? Our gênerai 
answer to the implied question is obvions. Logical Précision is 
one of the two objects of the teaching of matheniatics, and it is 
the only weapon by w hich the teaching of matheniatics can achieve 
its other object. To teach matheniatics is to teach logical préci- 
sion. A matheniatical teacher who bas not taught that lias taught 
nothing. 

But having stated this thesis in this unqualilied way, its moan- 
iiig niust be carefully explained ; for otherwise its real bearing 
on the problem of éducation will be entirely niisunderstood. 

Logical précision is the faculty to be acquired. It is the quality 
of niind which it is the object of the teaching to impart. Thus 
the habit of reading great literature is the goal at which a lite- 
rary éducation aims. But we do not expect a child to start its first 
lesson by reading for itself Shakespeare. We recognize tliat 
reading is impossible till the pupil lias learnt its alphabet and 
can spell, and then we start it with books of one syllable. 

In the sanie way, a matheniatical éducation sliould grow^ iji 
logical précision. It is iolly to expect the sanie careful logical 
analysis at the commencement of the traiiiing as would be appro- 
priate at the end. It is an entire misconceplion of my thesis to 
construe it as meaning that a matheniatical training sliould 
assume in the pupil a power of concentrated logical thought. My 
thesis is in fact the exact opposite, namely that this power cannot 
be assumed, and bas got to be acquired, and that a mathemalical 
training is nolhing else than the process oi' accpiiring it. My whole 
groundwork of assumption is that this power does not initially 
exist in a fully developed state. Of course like every other power 
which is acquired, it must be developed gradually. 

riie valions stages of development must be gnided by the 
judgmont and the genius of the teacher. But what is essential is, 
that the teacher should keep clearly in bis mind that it is just 
this power of logical précise rcasoning which is the wholo object 



P1UNCIP1.es 01' MAT HE M AT les 109 

of his eflorts. If his pupils hâve in any measuie oained this, they 
hâve gained ail. 

\Ve hâve not yet however fully considérée! this part of our 
snbject. Logical précision is ihe full realization of the steps of 
the argument. But what are the steps of the argument ? The full 
statenient of ail the steps is far too elaborate and diilicult an 
opération to be introduced into the mathematical reasoning of an 
educational curriculum. Such a statenient involves the introduc- 
tion of abstract logical ideas ^vhich are very difïicult to grasp 
because there is so rarely any need to make them expiicit in ordi- 
nary thought. They are therefore nol a fît subject-ground for an 
elementary éducation. 

I do not think that it is possible to draw any theorelical line 
between those logical steps which form a theoretically full logical 
investigation, and those which are full enough for most practical 
purposes, inchiding that of éducation. The question is one of 
psychology, to be solved by a process of experiment. The object 
to be attained is to gain that amount of logical alertness which 
will enable its possessors to detect fallacy and to know the types 
of Sound logical déduction. The objects of going further are partly 
philosophical, and also partly to lay bare abstract ideas whose 
investigation is in itself important. But both thèse objects are 
foreign to éducation. 

My own opinion is that, on the whole, the type of logical pré- 
cision handed down tous by the Greek mathematicians is roughly 
speaking what we want. In Geometry, this means the sort of 
précision which we find in Euclid. I do not mean that we should 
use his famous Eléments as a textbook, nor that hère and there a 
certain compression in his mode td" exposition is not advisable. 

Ail this is mère détail. What I do mean is that the sort of lo- 
gical transition which lie made expiicit, we should make expiicit, 
and that the sort of transition which lie omits, we should omit. 

I doul)t however whether it is désirable to plunge the student 
into the full rigour of lùiclidean Geometry without some mitiga- 
tion. It is for this reasoii that the modem habit, at least in En- 
gland, of laying great stress, in the initial stages, on training the 
pupil in simple constructions from numerical data is to be praised. 
It means that after a sliglit amount of reasoning on the Euclidean 
basis of accuracy, the mind of the learnei- is relieved by doing 
the tliings in varions spécial cases, and noting by rougli measuie- 
ments that the desired results are actually attained. It is impor- 
tant however that the measurements be not mistaken for the 
proofs. Their ybject is to mako the beginner apprehend what the 
abstract ideas really mean. 

Again in algcbra, tiie notation and tlie practical use ol' the 
symbols should be ac(piired in the sim])lcst cases, and the more 



110 -/. TV. nii I Ti: n i: A I) 

theoretical treatnient of the symbolism réservée! toa suilable later 
stage. In fact iiiy rule would be initially to learii the nieaniiio- of 
the icleas l)y a cnide praclice in simple ways, and to reline the 
logical piocedure in préparation for an advance to greater gene- 
rality. In Caot the thesis of niy paper can be put in another way 
thus, the object of a inatheniatical éducation is to acquire the 
powers of analysis, of generalization, and of reasoning. The two 
processes of analysis and generalization were in niy previous 
statement put together as the power of grasping abslract ideas. 

But m order to analyse and to generalize, \ve must commence 
with the crude mateiial of iileas which are to be analysed and 
generalized. Accordingly it is a positive error in éducation to 
start with the ultimate products of this process, namely the ideas 
in their refined analysed and generalized forms. \Ve are thereby 
skipping an important part of the training, which is to take the 
ideas as they actually exist in the child's mind, and to exercise 
the child in the dillicult art of civilizing them and clothing 
theni. 

The schoolmastei' is in fact a missionary, the savages are the 
ideas in the child's mind ; and the missionary shirks his main 
task if he refuse to risk his body amongthe cannibals. 

At this point I should liketoturn your attention to tliose pupils 
forming tlie mathematical section. There is an idea, widely pré- 
valent, that it is possible to teach mathematics of a relatively 
advanced type — such as differential calculus, for instance — in 
a way useful to physicists and engineers without any attention to 
its logic or its tlieory. 

Tliis seems to me to be a profound mistake. It implies that a 
merely mechanical knowledge without understanding of ways of 
arriving at mathematical results is useful in a])plied science. It 
seems to me to be of no use whatever. '\\\e results themselves can 
ail be found stated in the appropriate pocket-books and in other 
elementaiy works of référence. No one when applying a resuit 
need bother liimself as to why it is true. He accepts it and applies 
it. What is of suprême importance '\\\ physics and in engineering 
is a mathematically trained mind, and such a mind can only be 
acquired by a propei' mathematical discipline. 

I fully admit thaï lh(! proper way to slait such a subjecl as the 
Dillercntial Calculus is to plunge (juickly into the use of the no- 
tation in a few absurdly simple cases, with a ci-ude explanation 
of the idea of rates of increase. The notation as thus known can 
then be used by the lectureis in ihe Physical and Kngineering 
Laboratories. Bul the màthemalical training of the applied 
scientists consists in niaking thèse ideas |)recise and the proofs 
accu rate. 

I hope thaï ihc Ihesis ol'liiis paper respecling the position ol 



PRJNCIPLES OF MATHEMATIC S 111 

logical précision in tlie teachini»of mathematics lias been rendeied 
plain. The habit of logical précision with ils necessary concen- 
tration of thought upon abstiact ideas is not wholly possible in 
the initial stages of learning. It is the idéal at which the teacher 
should aim. Also logical précision, in the sensé of logical explicit- 
ncss, is not an absolute thing: it is an affair of more or less. 
Accordingly the quantity of explicitness to be introduced at each 
stage of progress niust dépend npon the pi-actical judgment of the 
teacher. Lastly, in a sensé, the instructed mind is less explicit ; 
for it travels more quickly over a well-remembered path, and may 
save the trouble of putting into words trains of thought which 
are very obvious to it. But on the other hand it atones for this 
rapidity by a concentration on every subtle point where a fallacy 
can lurk. The habit of logical précision is the instinct for the 
subtle difficulty. 



Résumé. — Le rapport ci-dessus traite de la place à donner aux 
recherches mathématiques modernes dans les écoles secondaires 
anglaises et principalement pour l'ensemble des jeunes gens qui 
désirent réduire leur éducation mathématique au minimum, sec- 
tion non-mathématique, par opposition à la section mathéma- 
tique, qui comprendrait ceux qui recherchent des connaissances 
ou un développement matliématique plus complet. 

M. Whitehead prend comme point de départ les questions sui- 
vantes : Pourquoi, à paît larithmétique la plus élémentaire, en- 
seignerait-on des mathématiques à la se(;tion non-mathématique.' 
Quelles sont les qualités de l'esprit qu'une éducation mathéma- 
tique est destinée à former lorsqu'elle est considérée comme un 
■élément dans une éducation générale ? 

Pour y répondre, M. Whitehead considère les deux résultats 
vers lesquels doit tendre l'éducation mathématique. Première- 
ment développei' la faculté d'abstraction, ce qui n'est possible 
qu'en l'appliquant à des groupes d'idées qui s'y prêtent, tels que : 
en première ligne les principes fondamentaux relatifs à la géo- 
métrie, aux proportions, aux notions de quantité, de nombre. 
Ceci au début dans des cas particuliers très simples et pour des 
idées générales évidentes pour tous. 

La deuxième faculté mentale à développer est la facullc de rai- 
sonnement logique (logique déductive). Enseigner les mathéma- 
tiques doit être enseigner la précision logique. Cette précision 
est non seulement un but pour elle-même, mais aussi l'instrument 
qui peimet d'atteindre à la faculté d'abstraction. 

Quant au degré de précision logique à rechercher, M. \\ hite- 
head estime qu'elle est approximativement celle des mathémati- 



112 E. TIR H 1ERE 

eiens giecs, mais quil ne faut pas oublier qu'elle doit être obtenue 
par approximations successives et quelle est le but et non le point 
de départ de renseignement. 

Au sujet de la section mathématique et principalement des 
iuturs physiciens et ingénieurs, il estime que l'éducation mathé- 
matique doit donner des notions précises avec leurs démonstia- 
tions exactes et ne pas se contenter de procédés appliqués méca- 
niquement. 

{La Rédaction.} 



SUR LA CLASSIFICATION ET LA CONSTRCCTIOX 

Dl'.S 

COURBES TRANSCENDANTES 



1. Au sujet de mon article Combes Iranscendantes et ùiterscen- 
dantes, paru dans Y Enseignement Mathématique mai 1912. pp. 
209-214 , ^L GiNo LoiUA a fait, dans le numéro suivant pp. 291- 
29H , quelques remarques dont l importance n échappera à aucune 
des personnes qui s'occupent des courbes particulières. 

Jusqu'à présent, en effet, les courbes interscendantes n'avaient 
été citées qu'en passant par quelques auteurs, et leur topologie, 
ainsi que l'écrit M. G. Loria est toute à faire. Ce que l'on en avait 
dit de plus intéressant peut se résumer dans ces brèves et précises 
considérations d'EtLKn : 

« De là naît la première espèce et comme la plus simple des 

« courbes transcendantes ; ce sont celles dont l'équation renferme 
« des exposants iirationnels. Comme il n'entre dans leur expression 
« ni logarithmes, ni arcs de cercles et qu'elles proviennent de 
« la seule considération des nombres irrationnels, elles paraissent 
« en quelque sorte appartenir à la Géométrie ordinaire; et c'est 
« pour cette raison que Lehjxiz les a appelées interscendantes, 
<( comme si elles tenaient un ceitain milieu entre les courbes algé- 
"■ briques et les courbes transcendantes- 

« On aura donc une courbe interscendantc dans celle (jui est 
« exprimée par l'équation y = .r' ""... Si nous nous contentons 
« de prendre seulement une valeur approchée de 'V/2 en mettant 

o 7 17 'il 99 
« à sa place (luelques-unes des fiaclions -t. -^ , -r--, , ttt. , — qui ex- 
' ' ' 2 12 29 / ' 

« ]>rini(Mit à peu près la valeui- de y 2 , nous aurons bien ;i la vé- 



COURBES TRANSCENDANTE?) 113 

« rite des courbes algéljriques qui approcheront de se confondre 
(( avec celle qu'on demande... Cette courbe est censée d'ordre in- 
« fini... Si nous voulions construire exactement cette courbe, nous 
« ne pourrions le faire sans le secours des logarithmes.... On 
« pourra donc de cette manière calcider les appliquées^ correspon- 
« dantes à chaque abscisse pourvu qu'on attribue à l'abscisse x 
« des valeurs positives. Mais si l'abcisse .r obtient des valeurs 
« négatives, il sera alors difficile de dire si celles de y seront 
« réelles ou imaginaires ; car soit x = — 1 ; que signifiera ( — 1; ? 
« C'est ce qu'on ne peut savoir parce que les valeurs qu'on peut 
« trouver pour V 2 ne sont ici d'aucun secours... » ^ 

C'est pourquoi j'avais cru devoir appeler l'attention des lecteurs 
de VEnseignenient Mathématique sur cette catégorie des courbes 
transcendantes particulières, et je remercie ■NI. Gixo Louia d'avoir 
bien voulu me prêter, en m'approuvant, un appui que la haute 
compétence de ce géomètre dans toutes les C{uestions relatives 
aux courbes rend précieux. A la fin de son article, M. Loria fait 
observer qu'il existe une profonde différence entre la topologie 
des paraboles interscendantes et celle des paraboles algébriques; 
cette réflexion m'a amené à développer les considérations suivantes, 
qui se rattachent à la classification rationnelle des courbes 
transcendantes. 

2. — La courbe 

r:^.*-'"^ (I) 

étant supposée construite, des transformations géométriques 
simples permettent de construire à partir d'elle d'autres courbes 
interscendantes ; c'est ainsi que la courbe 

y = .r + X 

qui fut considérée par Cramera' est la diamétrale dune ligne droite 
et d'une courbe semblable à la courbe 1 ; une transformation 
simple permettra de même de construire à partir de la courbe (1), 
la courbe d'équation 



ajc - — 



citée par M. Loria et par moi-même dans nos articles. Mais l'étude 



' « Les ordonnées ». 

2 Introduotion à l'analyse infinitésimale, tr. par Labey, Paris 1797, t. II, j). 288. 

3 Gino LoiUA, SpczieUc Algcbruischc itiid Iraiiszendcnte cbeiie Kun-en.... t. II, p. 1. — 
G-. (JKAMun : Introduction à l'anali/xc des ligues courbes algébriques, 1750, p. 8; cet auteur 
se borne d'ailleurs ;i rappeler la définition des courbes interscendantes de Lkibmz et à citer 
l'e.xeniple en cpieslion, sans entrer dans aucun développement à son sujet. 



114 E. TURRJERE 

de la courbe déquation 

V = .r'"^ -t- .r' » (3) 

serait autrement coinplicjuée puisque cette courbe (3i est la diamé- 
trale de deux paralioles interscendaiites distinctes : 

pour construire la courbe (2i, il suffît de développer V 2 -|- 1 et 
y 2 — 1 en fractions continues et d'examiner les deux familles de 
courbes algébriques qui correspondent aux réduites de rang pair 
et à celles de rang impair: les réduites choisies, à chaque opéra- 
tion, pour représenter les deux nombres y2 + iety2 — 1 se- 
ront liées Tune à l'autre, leur différence devant être rigoureuse- 
ment égale à 2. En ce qui concerne la courbe (3), au contraire, on 
devra développer séparément y 2 et y 3 en fractions continues ; 
aucune relation ne pourra être imposée a priori i\u\ réduites choi- 
sies pour représentei' les deux nombres irrationnels; à une ré- 
duite déterminée de y 2 on sera libre, par exemple, d'associer 
plusieurs réduites de y 3 . En d'autres termes, la complexité de 
la discussion de la courbe (3) est double de celle de la discussion 
de la courbe (2). 

Il serait possible de former des exemples de courbes inters- 
cendantes dont la discussion serait ainsi de plus en plus com- 
pliquée et exigerait la connaissance de 3, '»,... n paraboles 
interscendantes particulières : il suffirait de considérer les 
courbes 

y=zx^^ + .r^"^ + x"" + x' , ... 

Ces exemples prouvent qu'il est possible en une certaine mesure 
de se rendre compte a priori du degré de complexité de la 
discussion d'une courbe interscendante d'équation 

y = 2^.»"'/ (4) 

les ))ii étant des nombres irrationnels : ce degré de complexité 
serait égal au nombï-e de paraboles interscendantes distinctes 
dont l'étude préalable serait nécessaire pour aborder celle de la 
courbe (4). Il y a lieu de préciser, de présenter la question sous 
une forme plus générale et de donner du degré de complexité 
une définition mathématique. 

3. — La classification des courbes transcendantes planes ])arti- 
culières a depuis longtemps prc'occupé les géomètres. Eulkiî 



COURBES TRANSCENDANTES 115 

signalait déjà « le nombre des courbes transcendantes comme 
bien plus considérable que celui des courbes algébriques » 
[loc. cit., p. 287,. Depuis 1748, le nombre des courbes transcen- 
dantes ayant fait r(>bjet de recherches spéciales, est allé en 
grandissant constamment; sans citer la théorie des fonctions, les 
Sciences appliquées les plus diverses ont mis en évidence des 
propriétés de bien des courbes transcendantes plus ou moins 
curieuses. Les équations des courbes tianscendantes présentent 
d'autre part des différences telles qu'il n'en résulte de prime 
abord aucun principe de classification. (Quelle que soit son 
importance par ailleurs, la Géométrie intrinsè(jue d"E. Cesako est 
absolument insuffisante pour une classification tant soit peu 
générale. S'inspirant de certains travaux de Chasles, de Fouret 
et de Ci.EBscH-l.i.NDHMANx, M. Gixo I^oiua' a étudié sous le nom 
de courhes panai géhviques, les courbes transcendantes qui vérifient 
une équation différentielle du premier ordre, algébiique en 

.r, //, y' =. -f- (coordonnées cartésiennes ordinaires . 

A la page 11 de son ouvrage magistral, M. Gixo Lokia se borne 
à indiquer en quelques lignes quel serait le principe d'une classi- 
fication rationnelle des courbes transcendantes particulières. La 
1'" classe contiendrait les courbes transcendantes telles que les 
points de contact des tangentes issues d'un point quelconque 
soient situés sur une courbe algébrique (courbes panalgébriques ; 
la deuxième classe contiendrait les courbes qui se déduisent des 
courbes panalgébriques, comme celles-ci se déduisent des courbes 
algébriques;... et ainsi de suite. Le nombre des courbes trans- 
cendantes qui ne sont pas panalgébriques est si restreint que 
jNI. Gixo LoniA ne croit pas devoir insister au sujet de leur 
classification. Mais pour préciser ce que je dis ci-dessus à 
propos de la construction des courbes interscendantes, je suis 
obligé d'entrer dans plus de détails qu'il ne la fait lui-même. 

Soit une courbe transcendante (Ci rapportée à des axes de 
coordonnées O.r O^ ; soient /y', y", ... ?/"" les dérivées successives 
de l'ordonnée // par rapport à l'abscisse a;. Observons tout d'abord 
que si la courbe C) est une intégrale particulière d'une équation 
différentielle algébrique, il existe une infinité d'équations diffé- 
rentielles algébriques qui admettent cette courbe C pour intégrale 
particulière : il suffit de dériver l'équation primitive pour former 
de nouvelles équations de cette nature. 

Une courbe panalgébrique ne peut être intégrale que d'une 
seule équation différentielle du premier ordre, algébrique en 
X, //, y' : en éliminant, en effet, //' entre deux équations de ce 
type, on obtient une relation algébrique entre .v et y. De même, 



1 Spezielle elieiie..., H. |). 2-!l. 



116 E. TLRRIEUl-: 

une courbe transcendante qui nest j^as panal<«ëbii(iue ne peut 
satisfaire à deux équations ditïerentielles, algébriques et du 
second ordre : il sullirait d'éliminer y" entre elles pour arriver à 
un résultat contraire à riiypothèse faite sur la courbe. D'une 
façon oéuérale, considérons une courbe C.\ intégrale commune de 
deux équations dilFérentielles, algébriques et de même ordre /^ 
Télimination de la dérivée ?/"", entre ces deux équations, conduit 
à une équation d'ordre n — 1 au plus. En d'autres termes, si une 
courbe transcendante satisfait à une ou plusieurs équations diffé- 
rentielles algébriques, il est certain que, parmi les équations, en 
nombre indui, de cette nature, auxquelles elle satisfait, il en 
existe une d'ordre minimum w, et que cette équation d'ordre 
minimum m est unique. 

La détermination de cette équation d'ordre minimum peut être 
faite par des calculs élémentaires de dérivations et d'éliminations 
lorsqu'on connaît deux équations différentielles algébriques indé- 
pendantes satisfaites par la courbe (C . J'entends par équations 
indépendantes deux écjuations telles que celle de degré supérieur 
ne soit pas une conséquence de celle de degré moindre. Soient 
deux équations d'ordres respectifs m et n avec tn <; n et que je 
suppose indépendantes; en dérivant n — m fois l'équation d'ordre 
moindre m et en éliminant ensuite ?/*"' entre l'équation obtenue 
et l'équation donnée d'ordre /«, je remplace cette dernière par une 
équation d'ordre inféiieur n^. En opérant de même sur les équa- 
tions d'ordre m et n^, je remplace celle des deux qui est d'ordre 
le plus grand par une équation d'ordre inféiieur, et ainsi de suite. 
Après un nomi)re limité d Opérations, je serai finalement conduit 
au système suivant: l'équation d ordre minimum précédemment 
définie et une identité. 

Tout ce qui précède est entièrement analogue à ce qui se passe 
pour les é(iuali(>ns algébriques et les nombres irrationnels. Etant 
donné un nombre irraticuinel algébrique, il existe une équation 
algébrique, irréductible et unique qui l'aflmet pour racine ; toute 
autre équation algébricjue qui admet le nombre pour racine est 
décomposable en un système d'équations irréductibles, parmi les- 
quelles se trouve celle qui admet le nombre pour racine. 

La classification indiquée par M. Gi\o Lôiua consiste précisé- 
ment à adopter ])our clément fondamental le nombre entier, inva- 
riant pour les transformations algébii([ues d\.\ plan, (pii représente 
l'ordre minimum o). Soit en effet 

F|.r. y , r', .>", ... r'^'l = , 

l'éfpiation dillVuentielle algébrique d'ordre minimum attachée à 
une courbe transcendante (Ci. En posant ?/'= /;, celle é(|uation 
entraine la relation 

!•(.»■, V, j, , //, ... //*'-''| = 



COUIiB.ES TRANSCENDANTES 117 

d'ordre w — 1 pour les dérivées de la fonction p[x). L'équation de la 
courbe (K) qui est le lieu des points de contact des tangentes qui 
passent par un point quelconque [:v^ , y^ à une famille arbitraire 
et dépendant dun paramétre de courbes (C) est d'autre part 



cette courbe (K) est donc une courbe de la (o) — Ij""' famille. 

4. — Combes hyper transcendantes. De même que les nombres 
irrationnels se divisent en deux catégories, les nombres irration- 
nels algébriques et les nombres transcendants, de même les 
courbes transcendantes se divisent en deux catégoiies ana- 
logues : celles (jui appartiennent à une iamille d'ordre oj déter- 
miné et celles qui ne satisfaisant à aucune équation dilférentielle 
algébrique ne rentrent dans aucune des familles de la classification 
de M. LoRiA. A ces dernières courbes, il convient de i-éserver le 
nom de conrhes hypertranscendantes, en adoptant ainsi une déno- 
mination usitée par M. Edmond Maili kt^ dans divers travaux sur 
les nombres et les fonctions. Qu il existe des courbes hypertrans- 
cendantes, cela ne fait aucun doute a priori. La théorie des fonc- 
tions est telle que s'il nest pas toujours possible de se prononcer 
sur l'existence d une fonction satisfaisant à des conditions impo- 
sées, il est toutefois permis d'aifiimer qu'il existe des fonctions 
cjui n'y satisfont pas. Dans le cas présent, les fonctions continues 
sans dérivées donnent des exemples simples de courbes hyper- 
transcendantes ; la courbe de Peano, celle d'HiLBERT, les courbes 
citées dans le 18'"" chapitre du second tome de l'ouvrage de 
M. LoiuA (ausserordentlichen K/i/i'e/i, crinkly ciirves) sont des 
exemples bien connus. Mais il est inutile d'avoir recours à de 
telles courbes, auxquelles on pourrait même refuser le nom de 
courbes. Comme exemple remarquable d'une véritable courbe 
hypertranscendante, je citerai celui de la courbe hypergéomé- 
trique d'EuLER'^." En réponse à une question posée par Weier- 
STRASs, O. HoLDER^ a démoutré, en effet, que la fonction euléiienne 
T\x] ne vérifie aucune équation différentielle algébrique; il en ré- 
sulte que la courbe deWALLis^ et la courbe binomiale deQuÉTELEx'* 
sont aussi hypertranscendantes. 

En considérant une famille, dépendant dun paramètre, de 



' Siirles fonctinns hi/pcrtraiisicndantcs iC.omplos rcMiddS tle rAcndéiiiio des Sciences de 
Paris, 2 avril l'JDG) — Introduction à la théorie des nombres transeendaiits et des propriétés 
arithmétiques des fonctions. lOOfi. (Note IV). 

8 l'ourles renseignements bibliogrn|.liiqnes sur la courbe Iiypergéométriqiie d'Euler, cf. : 
.Spezielte algehraische und traiiscendente ebene Kurt'en. I. 2, )). 17^. 

' Ueher die Eigenschafl der (Uimmafunction keincr algehraischcn Differentialglcichung zu 
bcgniinen. (Math. Ann., t. 28, 188T. pp. 1-13.1 

* Spezielle, 2, p. 175. 



ii« A. rinniERE 

(•(niibes Iiypergéomëliiques d'EiLEii, de courbes de \\ ali-is. ou de 
courbes de Quételet, le lieu des points de contact des tangentes 
à ces courbes issues d'un point quelconque du plan serait une 
nouvelle courbe hyjîerlranscendante. Il est donc possible den- 
gendrer ainsi des familles en nombre infini de courbes hyper- 
transcendantes. Voici d'ailleuis un autre exemple. 

Ainsi que la démontré A. IIiinxiTz', la fonction définie par la 
série entière 

X- ,r' x" 

ne satisfait à aucune équation différentielle algébrique et. j)ar 
suite, cette fonction est représentée par une courbe hypertrans- 
cendante. 

A côté des courbes hypertranscendantes, il convient de citer 
celles pour lesquelles il est impossible de déterminer o) ; cest le 
cas de la parabole d'équation 



(] désignant la constante d'Kti.ER. Celte parabole est-elle algé- 
brique ou interscendante et panalgébrique ? C'est là une question 
qui ne pourra être résolue que lorsqu'on saura si la constante 
d'EcLER est un nombre rationnel ou un nombre irrationnel. 

5. — Exemples de coiu-bes classées d'après leur ordre (o. Les 
courbes d'ordre w = sont les courbes algébriques. 

f^es courbes d'oi-dre o) =: I sont les courbes j)analgébri({ues de 
M. Loin A. 

Les courbes d'ordre « =: 2 comprennent : les courbes de Lamé 
et les spirales sinusoïdes lorsqu'elles sont interscendantes ; les 
spirales d'équation 



lorsque l'exposant // est irrationnel florsque n est lationnel ces 
spirales dites algébriques sont des courbes panalgébriquesj ; la 
chaînette de (>oitioLis et les lignes, plus générales, de Mehcatoii- 
Slmner; les courbes de Cesaho lorsqu'elles ne sont pas algé- 
briques; les courbes de Ribaucolu lorsqu'elles ne sont pas algé- 
briques ou panalgébriques ; la courbe de Mahia-Gaëtaxa Agnesi 

7/ = .t-r ; 

1 

la courbe de Hessel i/ = .v-^; 
la courbe d'En, eh .r^ = //' ; 



' Sur le dèvclnppcntciit des fonctions satisfaisant à une équation différentielle algébrique 
(Annales de TEcolc nornmlo supérieure, 1889, [3], t. 6, p. 327i. 



COURBES TRANSCENDANTES 119 

certaines combes dites hyperarithniéti(jucs telles que la courbe 

log {)^ + ay\ = sin (x' — hx] 

citée par M. Loiîia (II, p. 353) ; 

la courbe de G. Bidone // ^ e« ; 

la courbe de M. G. Teixfmra ch '2t/ — ch 2.r =i const; 

les trajectoires orthooonales 

tu.r = /■ . 1 Io- 
des courbes précédentes ; 
la courbe e"* + e" = 1 ; 

et les courbes de mortalité de Qciquet, de Gompez, d'KoMONs et 
de Makeham ; 

la courbe de Sphuge sin r^ X sin 29 = const ; 
l'ogive de Galton 






o7> 



Il 
les deux courbes sui\antes 

1 +t) X e 



Ci 

,»■ = a taiig- 6 )■ = V(, cos-'"fJ x e" , 

rencontrées par le même auteur, et qui sont panal<^ébriques ou 
d'ordre (0 = 2 suivant que m est rationnel ou non ; la courbe 
étudiée par le même auteur 

., = (i + - V"^ X (l + :^ 
V (II/ V ^'i 

{[ui est algébrique, panalgébrique ou d'ordre (o -= 2 suivant que 
les deux nombres /«, et m^ sont tous deux rationnels, cpie l'un 
d'eux seul est rationnel ou que tous deux sont irrationnels; la 
courbe représentative de la fonction d'erreur 










Les équations en coordonnées biangulaires permettent de donner 
de nombreux exemples de courbes d'ordre w = 2 : c'est le cas de 
la courbe d'équation biangulaire 

2 2 

4-0=1 , 

1 ' 2 



120 E . TV II H I !■: Il i: 

qui est représentée sous une forme inexacte à la page 122 des 
Nouvelles Annales de 1871. 

I^e nombre des courbes transcendantes dordre m = 3 est encore 
plus restreint; je citerai la courbe de mortalité de Gauss ; la clo- 
thoïde et sa développée; une courbe hyperarithméticpie consi- 
dérée par M. LoKiA ip. 353) et dont l'équation est 



Voici enfin des exemples de courbes d'ordre supérieur : les 
courbes: 






la courbe de mortalité de Lazauls : 



T JT T 

V = .s" ■ ' " 

1 ' 2 



ces trois exemples prouvent qu'il est possible de former simple- 
ment des équations de courbes transcendantes d'un ordre w quel- 
conque, imposé a priori. 

6. — Application à la construction des courbes interscendanlcs, 
ou transcendantes. Les paral)oles interscendantes 



sont panalgébriques. 

Considérons les courbes interscendantes : 

y = .r"'i + .r"'2 : (5) 

de (5) résulte par dérivation 

.rv' = /Hi.i"'i 4- lUix'"^ 
d'oii 

(7/(i — /;/2i.»"'i ■=! xr' — //(2V , 
(/»j — //(,l.r"2 z^ .>v' — lUiY ; 

W, cl ni.^ étant irrationnels, « et j^ entiers, la relation 

/ / * , , 3 _i_ / /3+,'î ami + fiwj 

(xr — //(2I I . [xy — /»! vi' = it ('"1 — '"si •«' 

prouve que la courbe (5) est panalgèbrique s il existe entre tn, et ntg 
une relation linéaire à coefficients entiers. 

S'il n'en est pas ainsi, on devia dériver une seconde fois, et, en 



COURBES TRANSCENDANTES 121 

éliminant :v'"\ , .^'"2 , on aura une équation dilTérentielle algébrique 



xy' nit ;«2 

y 1 1 



= 



du second ordre; la courbe (5) sera donc de l'ordre w = 2. 

Pour la courbe (2), les exposants ^2 -f- 1 et V2 — 1 sont liés 
par une relation linéaire rationnelle : elle est donc certainement 
panalgébrique. L'équation dilTérentielle algébrique du premier 
ordre dont elle est l'intégrale est celle qui est donnée à la page 210 
de V Enseignement Mathématique (1912 . 

11 en est de même des courbes de poursuite interscendantes 



^ 1 r ..r"'+' .r'-"' ] 

2 \m + 1 "*" c[m — lij 



-qui sont des courbes panalgébriques quel que soit le nombre irra- 
tionnel m. 

La courbe (3) est au contraire de l'ordre oi =^2 parce qu'il 
n'existe pas de relation rationnelle et linéaire enti-e \/2 et V^. 

D'une façon générale, la courbe (4) sera d'un ordre égal au 
nombre des nombres irrationnels /«, qui figurent dans son équa- 
tion. Des relations entre ces exposants pourront réduire l'ordre w. 

Il résulte de ces considérations que l'ordre m peut être choisi 
poui- représenter le degré de complexité dont il était question 
dans la seconde partie du présent article; elles valent pour les 
courbes transcendantes comme pour les courbes interscendantes. 

Dans la construction point par point d'une courbe transcen- 
dante déterminée, d'ordre w^, on devra s'attacher à effectuer les 
constructions avec des courbes particulières d'ordres au plus 
égaux à Wq. 

Je prendrai comme exemple celui de la courbe d'ordre w = 3 
définie par les équations 



X := I cos — as , 
J 

y z=i I sin — as ; 
J 



son équation intrinsèque 



R =: 



L'Enseign^Miieni niatliéni., 15« annc'e; 1913 



122 E. TURRIICHE 

prouve (jiio c'est une pseudo-spirale de PiiioxoiM particulière, 
pour laquelle la courbe de Maxnhkim est une parabole cubique; 
c'est la dé^'eloppée de la clothoïde^ ; il sufïit d'ailleurs de poser 

1 .. 

— = /i et d intégrer par parties pour avoir 



1 j SI 11 ;jL"«;j. + ! — 



/ cos \>-'d[x 



+ 



I sin a- 

•X 



éc|uatious qui sont identiques à celles de la développée de la 
clothoïde. 

La courbe (> peut donc être construite tangente par tangente à 
partir de la clothoïde. Mais les expressions qui précèdent prouvent 
en outre ([ue cette courbe peut être construite point par point à 
partir de la clothoïde de même ordre m = 3 et d'une courbe pan- 
algébri(|ue, le litittis de Cotes (qui est la radiale de la clothoïde) : 
la courbe 6 est en effet, le lieu des milieux de segments de droite 
limités à une clothoïde et à un litiiiis. 

C'est là une curieuse construction du centre de courbure de la 
clothoïde. construction qui comporte en elle-même une vérifica- 
tion, puisque le centre de courbure pt la normale peuvent être 
construits indépendamment l'un de l'autre. 

K. TiRHiÈRE Poitiers;. 



' La développée de la clothoïde est représHntée dans l'ouvrage de M. LoRlA (tome II, 
planche II, fig. 19i. 



SUR 

LES SPIRALES LOGARITHMIQUES OSGULATRICES 

A UNE COURBE PLANE 



1. — La théorie des dëveloppoïdes des courbes planes permet 
de donner une définition géométrique simple des courbes décrites 
sur les rayons de courjjure d'une courbe comme diamètres. Soit (G) 
la courbe plane considérée; soient M un point courant de cette 
courbe G) et G, le centre de courbure de (G) associé à M. Une 
dioile d issue de M et faisant avec l'a normale MG^ un angle indé- 
pendant de la position de M sur la courbe (G) touche la dévelop- 
poide (Dj qu'elle enveloppe en un point D qui est la projection 
orthogonale de G, sur d. Le lieu des divers points D, ainsi asso- 
ciés à un même point M de (Gl au moyen des droites d issues de 
ce point M, est donc la circonférence (i2i de diamètre MG, . 

A chaque point M de la courbe (G) est ainsi associé un cercle 
SI qui est tangent à (G) en M. Lorsque M se déplace sur (G), le 
cercle {i2 enveloppe une courbe qui se décompose en la courbe (G) 
et en une nouvelle courbe fS) ; les points de contact M et S du 
cercle i2 avec les deux parties de son enveloppe sont symétriques 
l'un de l'autre par rapport à la tangente au centre w de Si. au lieu 
de ce point o). 

Je me propose d'indiquer ici une construction simple et une 
définition géométrique curieuse du point S. 

2. — [^a courbe (G) est définie comme enveloppée par la droite 
d'équation 

.*• cos 3 -|- )■ sin ç ^ '0 , 

rd 5p étant une certaine fonction de l'angle tp\ td', fd", çd'" repré- 
sentent les dérivées successives de cette fonction par rapport à y. 
Les coordonnées de M sont 

.»• =:: rd COS ç — ^d' sin ç . 
V = td siii s + <)' cos ç ; 



12'i E. TV uni ERE 

les axes coordonnés étant rectangulaires, celles du centre de conr- 
bure C, sont 

.Il =: — fo' sin ç — ro" cos ç ; 
Il ^ 6j' cos ç — rjj" siii ç ; 

le centre w du cercle Si. a donc pour coordonnées 

d — fo" 

cos ç — rsi' siii ç , 

fiù — td" 



)■(, =1 Çj' cos 3 + 



doù résultent les expressions : 

- -j^ (?0 + to"l sin = -f iro' + w"'i cos ç 
-s— = 2 lîO + '-0"l cos 9 — \xà' + ri)'") sin ç 



dz 



je poserai 

R = — (^ + ta") , 

R désignant un nombre algébrique dont la valeur absolue est le 
rayon de courbure de fCi ; les expressions précédentes deviennent 

ciz. 2 

dVa- 1 n , iw • 

-j^ =z — [ — K cos ç -(- K sin ç) ; . 

la droite MS a donc pour coefficients directeurs 

R cos cp — R' sin ç , H sin © -|- R' cos o , 

et son équation est 

X(R sinç + R' cosç) + Y(— R cos ç + R' sinçi = rfR' — Rfo' ; 

elle passe par le centre de courbure C^ de la développée (C^' cor- 
respondant au point C, de cette développée : les coordonnées de 
Cj sont, en efl'et, données par les équations 

X cos ij -\- y sin cm — rrj" , 

— .r sin z -\- y cos ç z= — f.J'" . 

Ainsi dune pour obtenir le point S, o/V le cercle [Si] tanche la se- 



SPIRALES OSCULATIUCES 125 

tonde partie de son enveloppe, il suffît de projeter orthogonalement 
le centre de courbure de Cj sur la droite MC2 qui joint M au 
rentre Cg de courbure de la développée (CJ. 

3. — Supposons que la courbe (C) soit une développante de 
cercle; le point C^ est alors un point fixe, centre de la développée 
^C,) qui est un cercle; les points M et S sont inverses l'un de 
l'autre par rapport au cercle (C,). La courbe (S) est donc la courbe 
inverse de la développante de cercle. 

D'oii il résulte que la courbe (S) qui est associée à une dé\>elop- 
pante de cercle est la spirale tractrice compliquée. 

4. — Proposons-nous de déterminer les cas où la courbe (S) 
dégénère en un point fixe. Soit ce point fixe. Il faut que le 
cercle [Si] passe par O. 

Le rayon de ce cercle étant 7, , il résulte des expressions des 

coordonnées de son centre oy ({ue la condition nécessaire et suffi- 
sante pour que le cercle [ii' passe par un point fixe O est que la 
fonction ro de (p satisfasse à l'équation différentielle du second 
ordre 

fd?o" — r3'- = ; 

l'intégrale générale de cette équation est 

A et m étant deux constantes arbitraires. 

Le seul cas de dégénérescence est donc celui pour lequel la 
courbe (C) est la spirale logarithmique. 

Le point S est alors fixe et coïncide avec le pôle de la spirale 
logarithmique. 

5. — La remarque précédente nous amène à donner une nou- 
velle définition géométrique de la courbe (S). 

Les spirales logarithmiques du plan O.ry dépendent de quatre 
paramètres; en chaque point M d'une courbe [C) une spirale loga- 
rithmique ['2] est osculatrice à (C) ; le contact entre les deux 
courbes est du troisième ordre; la courbe (C) n'est pas, en géné- 
ral, traversée par la spirale logarithmique. 

Supposons la courbe rapportée à la tangente M,r et à la nor- 
male M// au point iNl supposé non singulier; soit 



■^ ~ 2R "^ 6P "*" ■■■ 

le développement en série de l'ordonnée de la courbe fCl. 
Les coordonnées de C, sont : 

,»i = , Il — R ; 



126 E. TUHRIKRE 

celles de C, sont 

.,, = - r = R 

le point S projection de C^ sur la dioite M(]., a donc pour coor- 
données : 

R^îP , RP- 



R^ + P'^ R* + P' 

Ces mêmes résultats découlent d'ailleurs des calculs du 2": le 
centre C, est défini comme inteisection de deux droites 

— .r sin ç + y fos ç — ro' =: . 
.>■ cos ç -|- V sin ç -\- ;o" = : 

la droite C,S a donc une équation de la forme 

— .r siu ç -)- )■ cos ç — ?o' + À|.r cos ç -|- v sin ç -f- ^"i = : 
cette droite devant être perpendiculaire à MC.^. t)n a 

R 

'- = H' ■■ 

les coordonnées a, h du point S sont alors données par le système 
d'équations : 

R' 

^ a cos ç + h sin ç — fo = ^, ^ j^,, , 

en prenant pour origine et la tangente })our axe des ,r, c"est-à- 
dire en posant 

on a 

R« R' , li" 



R2 + R'2 — R-' _|_ R'^i • 

ces expressions ne sont autres fiue celles qui ont été indiquées 
antérieurement, puisque P a pour expression 

Considérons dautre part la spirale 2" osculatrice à ^C) en M. 



SPIRALES OSCVLATRICES 127 

Désignons par S son pôle, par a et b les coordonnées de ce pôle; 
soit 

son équation par rapport à des axes issus du pôle S et parallèles 
aux axes (M.r?/). En écrivant que la spirale passe par M et touche 

M.r, on obtient 

a 
"' = - T ' 

a- -\- (r = •■} exp. 1 2»» arc tang — | : 

l'équation de la spirale est donc 

'la hx — ay , \x — «)* + ( v — />i* 

-;- arc tans — ' 



b •■' ax 4- by — a- — b- ^ a^ -f b' 

elle vérifie léquation différentielle du premier ordre 

y \(tx -\- by — (.- — b-\ -f- bx — (ly = ; 
en dérivant cette écjuation deux fois, il vient pour .^■ = 0, i/ = 0: 

dxJo~ ' V^Wo~ "' + i>^ ' {d^Vo </'' + '^'l' ' 

pour exprimer que les courbes (Cj et {2} ont à l'origine un con- 
tact du second ordre, il sulfit d'identifier ces expressions avec les 
suivantes : 

^d^\ _ j_ /d^\ _ i_ 

,dxOo~ R ' UWo~ P ' 

on obtient ainsi les expressions de a et de b : 
R' P RP- 



R* -f- P2 ' R* + P'' ' 

elles sont identiques à celles que l'on avait obtenues pour les 
coordonnées de la projection de C, sur MC, . 

Le point S de contact du cercle {Si} avec son enveloppe est donc 
le pôlecle la spirale logarithmique oscnlatrice en M // la courbe (C). 

La courbe (S) enveloppe du cercle Si est le lieu des pôles des 
spirales osculatrices à la courbe (C). 

Lorsque (C) est algébrique, cette courbe (S^ est nécessairement 
algébrique puisque elle est l'enveloppe des cercles iî) ; si la 
courjje C est unicursale, il en est de même de la courbe S . Il 
est remarquable de constater que des courbes transcendantes, les 
spirales logarithmiques osculatrices,' permettent ainsi de faire 
correspondre une courbe algébrique à une courbe algébrique. Il 



128 E. ll'RRIEBE 

convient d'observer en outre que les courbes transcendantes oscu- 
latrices à des courbes données, algébriques ou non, n'ont donné 
lieu jusqu'ici à aucun mémoire. La théorie des Spirales logarith- 
miques oscnlatrices à une courbe donnée se présente cependant en 
Cinématique: la spirale logarithmique est en effet la courbe qui 
doit rouler sur une base rectiligne pour que son pôle engendre 
une roulette rectiligne : ce cas se présente, en général, chaque foi& 
qu'une base quelconcpie coupe la roulette imposée, elle-même 
quelconque. La roulette peut toujours être assimilée à une spirale 
logarithmique au voisinage du point d'intersection (la spiral» os~ 
culatricel, puisque les petits axes de la base et de la trajectoire 
imposée voisins du point d'intersection peuvent être re-mplacés 
par les éléments de iangentes aux deux courbes en ce point, 
[H. BoiAssE et E. Turiuère, E.ierrices et roniplèments de Mathé- 
matiques générales, § 263, p. 203.) 

6. — Le cercle 'iï\ enveloppe une courbe qui est constituée par 
l'ensemble des courbes (C) et (S). Peut-il y avoir réciprocité entre 
ces deux courbes ? en d'autres termes, la courbe (C> peut-elle cor- 
respondre à la courbe iS; comme celle-ci correspond à iC) ? 

Pour c[u'il y ait réciprocité entre les deux courbes, les points M 
et S étant homologues, il faut et il suffît que w soit le milieu dir 
rayon de courbure de la courbe (S). Il est donc nécessaire que les 
rayons de courbure en M et S de fC' et de (S soient égaux. 

Donnons-nous la courbe « lieu du point o) ; soient .r, y les 
coordonnées du point m, *■ l'abscisse curviligne de ce point: 
soient X, Y les coordonnées du point de contact M du cercle de 
centre o) et de rayon q avec son enveloppe; je poserai 

X = .r + p cos (e + r) , 
Y = j + G sin \z + X\ , 

if étant l'angle qui repère la tangente de '&)) et ^ celui qui repère 
le point M sur la circonférence et par rapport à la tangente à [m'^. 
Les coordonnées de (S) seront de la même forme à la seule diffé- 
rence que t! sera changé en — ç. Ces angles l. eX — t sont donnés^ 
par l'équation 

cos > =: ^ . 

as 

La droite ojM touche son enveloppe en C, tel que 

la dioite o)S touche son envelo|)pe en C, tel tpie 
'oC, = /.,= + -, ; 



SPIRALES OSCULATRICES 129 

on doit écrire que Âj et P..^ sont égaux, doii y' ::= : la courbe lieu 
de 0) doit donc être une droite : les courbes îCj et (S) sont alors 
symétriques par rapport à cette droite et il est évident qu'il y a 
réciprocité entre elles. Quant à la nature de ces courbes, il suiïit 
de remarquer que leur propriété caractéristique est que le rayon 
de courbure se trouve divisé en deux parties égales par une droite 
fixe; d'après les propriétés des courbes de Ribalcour, les courbes 
(C) et (S'; sont donc deux cycloïdes oi-dinaires. 

I.e résultat précédent peut être établi directement au moyen de 
considérations géométriques de la plus grande simplicité. 

7. — F^a cycloïde intervient aussi dans la question suivante : 
Déterminer la combe C par la condition que la courbe (S) soit 
une ligne droite. 

Soit O.r la droite imposée; elle est simultanément le lieu des 
points S et l'enveloppe des cercles Si : on a donc 

y + vi = R ; 

on pourra soit former l'équation différentielle du second ordre 

2rv" = (1 + v'-ii/r^T^' — Il 

qui s'intègre sans dilTiculté. soit former la relation 

qui conduit à l'équation naturelle 

R ^ (1 — fos çl . constante. 

Quelle que soit la méthode suivie, les coordonnées :v et // s'ob- 
tiennent sous les formes paramétriques suivantes : 



r i^^in 20T 

/v + rt — + 2 siu — ^^ 



( V ^= (I \l — cos 0)- : 

cette courbe transcendante est une déi'eloppante de la cijcloïde 
ordinaire d'équations 

^ 2.ri = sin 26 — 20 , 
{ 2vi = I — cos 20 : 

on peut d'ailleurs démontrer directement, sans aucun calcul et 
par de simples considérations d'angles, que le segment C^C^ a son 
milieu sur O.r et (|ue, par conséquent, la courbe C, est la cycloïde 
ordinaire. 

V.. Ti"iîiui:i!E Poitiers). 



ARITHMÉTIQUE GÉNÉRALE 



.lai j)iib.lié sous ce titre*, en iUJl, un livre dans lequel j'ai 
soutenu une thèse en complète opposition avec les idées qui ont 
aujourdliui la vogue auprès des mathématiciens dans le domaine 
des nombres. 

Depuis quelques dizaines d'années les Mathématiques ont été 
soumises à un travail considérable de critique et de revision, 
ayant pour but d"apj)orter plus de rii^ueui' dans les fondements 
mêmes de la Science. Celle-ci est évidemment née du désir de 
l'homme d'étudier l'Univers, et de la nécessité pour lui de créer 
un instrument lui facilitant cette étude. Les premiers chercheurs 
ont créé cet instrument sans s'en rendre bien compte, en traçant 
sur le sable des figures représentant les corps de la nature. Les 
premiers rigoristes furent sans doute les Grecs qui essayèrent de 
définir les lignes dont ils se servaient avec un grand souci de 
précision. La Géométrie fut l'instrument de la Physique et de 
l'Astronomie ; l'Arithmétique fut l'instrument de la Géométrie. 

Les modernes dans leur travail de revision et dépuration se 
sont heurtés à des notions mal définies et à des faits indémon- 
trés ; ils ont voulu définir les premières et démontrer les seconds ; 
mais, en Géométrie, au lieu de persévérer dans la voie indiquée 
par j^eibniz, Gauss, Cauchy, qui cherchaient à donner une défi- 
nition de la droite, figure idéale représentant l'image d'un fil 
parfaitement tendu, ils se sont arrêtés à un texte incompréhen- 
sible : une droite est une ligne homogène entièrement déterminée 
par deux quelconques de ses points suffisamment rapprochés (?) 

Rn Arithmétique, ils ont créé des êtres de raison pure, auxquels 
ils ont donné le nom général de nombres, mais qui n'ont en com- 
mun ciue ce nom, et certaines règles dites de calvitl suivant les- 
quelles il est j)ermis de les combiner en vertu de conventions 
arbitraiies. Ces nombres n'ont ainsi aucune signification philoso- 
phique, et cette arithmétique pompeusement appelée logique, 
n'est plus qu'un jeu conventionnel analogue au jeu d'échecs. 



1 Arilhniéliqiie f;énérale. Nombres nnliirelB, qualifies, complcxos, lerriions ot ([iiatcrnions. 
— 1 \ol. in-8», XVII, 275 p.; 10 iV.; Heiniann & fils, Paris. 



ARITHMETIQUE GENERALE 131 

En définitive, ce qui distingue la science moderne « logique » 
de la science ancienne a rationnelle », ce ne sont que les délini- 
tions, car les démonstrations des Grecs étaient souvent plus logi- 
ques, c'est-à-dire plus rigoureuses que bien des démonstrations 
de Legendre par exemple. Les définitions rationnelles sont des 
descriptions d'êtres idéaux, dits « géométriques », imaginés 
comuie schènies d'objets naturels ; ou des explications de con- 
cepts abstraits, conséquences de considérations relatives à ces 
êtres géométriques. Les définitions logiques sont des associations 
de mots et de symboles écrits, dont la création n'est pas explica- 
ble. De plus en plus, la science actuelle est nominaliste et for- 
melle, et prétend se substituer à la science rationnelle et natu- 
relle. 

Les manuels classiques où la jeunesse puise ses premières 
connaissances scientifiques ont fait un compromis hybride entre 
les deux doctrines. Les notions fondamentales indispensables à 
tout enseignement sont rationnelles dans tout le domaine élémen- 
taire ; et à mesure que l'étudiant sélève dans la science, les no- 
tions nouvelles qu'on lui inculque prennent peu à peu la forme 
logicienne ou nominaliste. Ce qui fait cju'en fin de compte, arrivé 
à l'âge de raison, l'étudiant s'aperçoit cjne l'enseignement ciu'il a 
reçu pendant les dernières années d'études a été en contradiction 
absolue avec ses connaissances premières. 

A mon avis, il faut que, dès le début, on s'en tienne à une seule 
doctrine, qui soit définitive. Quand je dis, dès le début, je ne 
veux évidemment pas dire dès le berceau ; j'entends, dès l'instant 
que l'on expose à l'enfant des définitions, c'est-à-dire, dès cpiil 
est en état de comprendre et de raisonner juste. 

Ainsi, l'arithmétique dite raisonnée devrait être enseignée en 
trois étapes : première année, les nombres entiers ; deuxième, les 
fractions ; troisième, les nombres incommensurables. Eh bien, 
si la théorie nominaliste est si merveilleuse, il faut C|u'on l'en- 
seigne, et que l'on dise aux jeunes gens de 14 ans : L'n nombre 
entier est un signe d'écriture caractérisant la place qu'il occupe 
dans une suite de signes analogues, commençant par le cai'actère 
1 et n'ayant pas de fin (Dedekixd, vox Hei.mholtz). On convient 
d'appeler somme des nombres entiers n et h le nombre entier qui 
correspond à b, si l'on fait correspondre 1 au nombre a' qui suit 
immédiatement fl, 2 au nombre a" cjui suit immédiatement a, etc., 
sans omission ni répétition; on représente ce nombre parle sym- 
bole a -\- b. On appelle produit de a par b, la somme a -\- a -\- 
a -{-...-]- a obtenue en remplaçant les nombres entiers de 1 à /* 
inclusivement par des a séparés par des signes -f- ; on représente 
ce nombre par le symbole a X b ou ab ; et ainsi de suite. 

L'année suivante, on dira à ces jeunes gens qui auront 15 ans, 
une fraction, c'est un groupe (// , b) d'un nombie entier a et d'un 



1:52 E. DU MONT 

nombre entier h, auquel on associe Tordre dans lequel on écrit 
ces nombres iTANNKiiY). On conviendra d'écrire [a^ b) = (r, d) si 
l'on a o X d =: h X c. 

On appelle somme de [a, b] et (c , d) le nombre od -\- bc\ bd] ; on 
appelle produit de ces nombres, le nombre («r, bd\, et ainsi de 
suite. 

lui fin, l'année suivante, on dira à ces mêmes jeunes gens, « toutes 
les fois qu'on a défini un moyen de ranger tous les nombres ra- 
tionnels en deux^ classes telles, que tout nombre de l'une soit 
moindre que fout nombre de l'autre, que dans la première il n'y 
ait aucun nombre plus grand que tous les autres nombres de la 
même classe, et dans la seconde aucun nombre moindre que tous 
les autres nombres de cette classe, on convient de dire qu'on a 
défini un nombre incommensurable (Tannery). Si l'on désigne par 
:v une variable ii laquelle on puisse donner comme valeur numé- 
rique tout nombre de la première classe, et par// une variable à 
laquelle on puisse donner comme valeur numérique tout nombre 
de la seconde classe, on convient de représenter le nombre in- 
commensuiabie ainsi défini par le symbole :v \ y qui s'appelle une 
coupure entre les nombres .v et les nombres //. Deux nombres 
.V I 7/ et « I (' sont dits égaux, si l'on a x <^ <' et // <^ //. 

On appelle somme de x | j/ et // | «' le nombre [x -\- u) \ // -f-ci : 
on démontre que ce symbole représente eflèctivement une cou- 
pure entre [x -\- u) et (/y -\- <>>]. 

On appelle produit de x \ y par // | c le nombre xu \ ys>\ on dé- 
montre que ce symbole représente en'ectivement une coupure 
entre x . a et y . c, etc. 

Si un professeur de l'enseignement secondaire se sent une foi 
suflisante poui- enseigner ces théories, qu'il le fasse donc. Il aura 
bien mérité de la Logique ! 

Pour ma part, je ne saurais me résoudre à faire de toute cette 
phraséologie la nourriture intellectuelle de mes élèves. 

Mais comme il faut pourtant bien leur donner un cours d'arith- 
métique raisonnée, je préfère leur définir le nombre entier en 
leur expliquant l'idée qu'il représente; et de même pour la frac- 
tion, et le nombre incommensurable. 

C'est donc là l'objet de mon « Arithmétique générale ». .l'y ai 
traité pai- la même uK-thode les nombres lelatifs, c'est-à-dire les 
nombies qualifiés positifs cl négatifs, les nombres conq)lexes, et 
les ([uaternions. 

Lorsque plusieurs définitions cgalemenl rationnelles se sont 
offertes à moi pour un même concept, j'ai chaque fois choisi la 
plus générale, c'est-à-dire ceUe (pii pouxait s'a|)jili(juer à toutes 



'On iiiira soin <1(^ faiie rcniar(|iiei- <[iic (■(■ mol deux et l'idée qu'il re/iiéseiile n'oiil rien 
de coMininn a\ec le- caiacliM-c 2 qui suit 1 dans la siiiU; ininii'diatc des nombres entiers. 



AR ITIl METIQV E GENERALE 133 

les catégories de nombres, jusqiies et y compris les qnaternions. 
Ceux-ci m'ont donc constamment servi de critérium et de guide, 
et leur étude, préparée ainsi graduellement par l'étude des nom- 
bres des catégories précédentes, n'offre plus aucune difficulté au 
lecteur attentif. 

La géométrie ayant historiquement et rationnellement servi de 
point de départ à l'arithmétique, c'est de la considération des 
grandeurs géométriques que j'ai tiré le concept de nombre. Poui' 
des raisons que je ne veux pas discuter ici je n'ai considéré que 
la géométrie euclidienne. 

Chacun sait exactement ou approximativement ce que l'on en- 
tend par mesurer une grandeur géométrique. Pour que cette opé- 
ration soit possible, il faut que la grandeur à mesui-er et l'étalon 
choisi pour la mesurer possèdent certaines propriétés que j'ai 
essayé de caractériser en définissant d'abord les grandeurs géo- 
métriques homogènes, puis les grandeurs directement mesurables. 
Telles quelles figurent dans mon livre, mes définitions sont sans 
doute fort abstraites, foit difficiles à comprendre. Mais comme 
ce sont principalement les objets qu'elles définissent qu'il importe 
de connaître pour saisir l'ensemble de ma méthode, je modifierai 
ici mon texte et je me bornerai ii la définition suivante : 

.l'appelle grandeur géométrique directement mesurable, toute 
grandeui' qui peut être engendiée par un élément géométrique 
animé d'un mouvement de translation, d'un mouvement de rota- 
tion, ou d'un mouvement hélicoïdal. 

L'élément générateur, dans ses positions initiale et finale, dé- 
termine les extrémités de la grandeur'. Toutes les grandeurs qui 
ne diffèrent que par l'amplitude du mouvement de l'élément 
générateur constituent une classe de grandeurs directement me- 
surables. 

J'admettrai dans un cours d'arithmétique, que toute grandeur 
directement mesurable est divisible en parties égales, appartenant 
à la même classe, et que plusieurs grandeurs d une même classe 
peuvent être placées bout à bout sur une même figure illimitée, 
engendrée par l'élément mobile, de telle sorte que ces grandeurs 
puissent être engendrées successivement par le mouvement con- 
tinu de l'élément générateur. 

Des segments de droite, des arcs d'une même circonféience, 
des rectangles de même hauteur, des angles de demi-droites, des 
angles dièdres, des fuseaux d'une même sphère, des arcs d'hélice 
de même pas et sur le même cylindre circulaire droit, etc., sont 
de telles grandeurs. 

Les points que j'admets ici peuvent être démontrés dans un 
cours de géométrie, ou faire l'objet de postulats ; encore une fois, 
cela n'importe aucunement. Pour celui qui ne veut pas faire de 
l'arithmétique une science isolée, inutile au physicien, au géo- 



13'i i: ■ 1)1 MONT 

mètre, à lastroiiome, il n"y a aucun inconvénient à ce que les 
postulats (le la géométrie si postulats il y a soient utilisés en 
arithmétique. 

Ce n'est donc pas en acceptant ou en discutant les démonstra- 
tions que je donne de ces vérités dans mon livre, que Ion pourra 
conclure que ma théorie des nombres est à adopter ou à rejeter. 

Cette remarque s'applique à toute la théorie des grandeurs 
directement mesurables; théorie que j'ai établie minutieusement 
et dont deux des principaux points sont : 

I. Des ^/ande/us d'une même classe ne saluaient être équiva- 
lentes sans être identiques. 

II. Si l'on fait croître une grandeur \ à partir d'an état initial X^ 
d'après une loi quelconque et si l'on constate qu'elle reste toujours 
moindre qu'une grandeur B déterminée de sa classe, on doit en 
conclure qu'elle a une limite (^ inférieure ou égale à B. 

.le définis la somtne. l'inégalité, la différence des grandeuis ; 
ainsi que les limites de grandeurs variables. 

Tout cela constitue un travail préliminaire assez long et assez 
ardu. .le l'ai scindé en plusieurs paities, suivant les besoins des 
dillérentes catégories de nombres. Il est clair que dans un cours 
classique iait à de jeunes élèves, on peut supprimer presque toute 
celte théorie, en renvoyant aux propriétés des segments de droite 
et des arcs de circonférence, quitte à introduire ensuite graduel- 
lement, par des exemples occasionnels, les grandeurs moins sim- 
ples qui se présenteront en géométrie. 

Dans tout ce qui suit je no parlerai que de grandeurs directe- 
ment mesurables. 

Rapport de grandeurs. — Si l'on considère des grandeurs (i, et 
(i., d une classe (■ , j'appelle rapport de G^ à G^, la nuiniére d^être 
de G., relativement à Gj , et je représente^ cette notion par le 

svmbole -77- . 

(Cette conception du rapport est celle (|u"en avait Duuamel. [Des 
méthodes dans les sciences de raisonnement, 2'" partie, p. 72]. 
Malheureusement, lorsque j'ai écrit mon livre, je n'avais pas lu 
Duhamel, et je n'ai donc pas employé cette locution: manière 
d'être relative. N'ayant pas la subtilité d'esprit de ce profond 
penseur, je n'ai pas établi de distinction entre le rapport et la 
mesure. Cette distinction est pourtant intéressante mais sans 
utilité pratique ainsi qu'(tn va le voir . 

Cette manière d'être relative peut être caractérisée soit par les 
grandeurs G, et Gg elles-mêmes, soit par une loi de formation de 
Gj à l'aide de G,. 

(Cette nouvelle expression n'est pas de moi non j)lus ; je I ai 
trouvée dans le cours d'analyse de IIolki. (|ui s'en s<Mt à ])ropos 
des nombres . 



A RIT H ME Tl Q VE CE N EH A LE 135 

Mesure d'une grandeur. — Mf.sihkiî nue grandeur, c'est la dé- 
terminer (n'ec précision, et a dii'ers points de \'ue, relativement à 
une grandeur de sa classe, connue ou spécifiée, que l'on appelle 

ÉTALON. 

(Celte définition est presque textuellement de Joseph Bertrand;. 

La détermination en question est réalisée lorsqu'on connaît un 
traitement qui. appliqué à l'étalon, reproduit la yrandeur me- 
surée. 

C'est ici quun ciitiquo allemand, M. Oskar Perron, de Tii- 
binaen, a sonaé ii chaniler l'étalon, ce qui ne saurait être une 
froide plaisanterie . 

La mesure d'une grandeur G.^ relativement à un étalon G, re- 
vient donc en définitive à la détermination d'une loi de formation 
de cette grandeur au moyen de l'étalon. laf[uelle loi de formation 
prend le nom de mesure de G.^ relativement-à G, , et se représente 
par le symbole 

mes G2 . 
1 

Nombre. — Dans le sens le plus général qu'il convient d'attribuer 
à ce mot dans la science mathématique, j'appelle nombre, toute 
loi de formation qui. appliquée à une grande///- d'//ne certaine 
classe G, prodi/ise //ne grandeur déterminée de la même classe. 

C'est à une telle loi que se réduisent en fin de compte les con- 
cepts abstraits de rapport et de mesure de grandeurs. 

Rien ne pr<uive à priori qu'à des grandeurs aibitraiies G, et 
Gq d'une même classe (G) il coi'responde une loi de formation de 
G, à l'aide de G, ; cependant, dans certains cas simples, par 
exemple si G.^ est une somme de grandeurs égales à G^, une loi 
de formation apparaît à l'évidence. 

D'un autre côté, si l'on suppose que lOn ait pu déterminer, au 
moyen des grandeurs G, et G^ , une loi de formation de G.-, à l'aide 
de Gj, rien ne prouve à priori, que la même loi, appliquée à une 
grandeur G3 de la même classe (G) ou à une grandeur H^ d'une 
autre classe 'H , produit une grandeur déterminée (r,^ ou H., de la 
même classe cjue la grandeur choisie. Rien ne permet même d'af- 
firmer que cette loi sera applicable à dauties grandeurs <[ue G, ; 
et cependant, dans l'exemple particuliei' que j'ai cité plus haut, 
il apparaît encore à l'évidence qu'il en est ainsi. Rien ne s'oppose 
donc à ce que l'on établisse une théorie tout à fait générale, re- 
posant sur l'existence des lois de formation et sur la possibilité 
d'appliquer ces lois à d'autres grandeurs que celles qui les ont 
fait découvrir; quitte à démontrer, chaque fois que l'on voudra 
utiliser cette théorie dans des circonstances déterminées, que les 
grandeurs considérées satisfont aux conditions requises. 

Un nombre n'est donc pas à proprement parler un rapport de 
grandeurs, mais bien la loi de foiniation de l'une de ces grau- 



136 E. nu MO NT 

deiirs à laide de laiitre, loi conçue indépendamment des grandenis 
pai-ticuU'eres qui lui ont donné naissance. Si je ne devais pas 
craindre de m exprimer dune manière peut-être dillicile à com- 
prendre par de jeunes intelligences, je devrais dire : 

Un nombre, c'est le schéme mental ou le concept schématique) 
de tout traitement qui, appliqué à une ifiandeur quelconque, mais 
déterminée dune classe G e/) fait une grandeur déterminée de la 
même classe ^. 

Par la suite il est démontré que la connaissance des grandeurs 
Gj et G, et par conséquent de leur manière d'être relative permet 
de caractériser celle-ci au moyen d'un nombre, ou loi de forma- 
tion de G., à l'aide de G, ; ce nombre sera la mesure de G.^ relati- 
vement à G, ; on démontre également que la connaissance d'une 
grandeur G, et d'une loi de formation permet de déterminer une 
grandeur G., de la même classe, grandeur G.^ dont. celte loi de 
formation, ou ce nombre, caractérise la manière d'être relative- 
ment à Gj, et est la mesure relativement à G,. 

Cela étant, et afin de simplifier le langage, on ne fait aucune 
distinction entre un iapi)ort de grandeurs et le nombre qui lui 
correspond. 

Mais il est bien certain que ce sont là deux concepts différents. 
Et lorsque l'on énonce une proportion, entre grandeurs, c'est 
bien de la manière d'être relative qu'il s'agit, ce qui explique les 
énoncés de théorèmes tels que celui-ci : 

Deux angles au centre sont extrk eux comme les arcs qu'ils in- 
terceptent sur des circonférences égales, décrites de leurs sommets 
pour centres. 

Symboles représentatifs des nombres. — Le rapport d'une 
giandeur à une grantleui' égale s'appelle nombre un ou //// tout 
court. On le représente par le caractère 1. 

Eciire -7T- = i est donc synonvme de G., = G, . 

On représente les nombres au moyen des symboles représen- 
tatifs des rapports de grandeurs, ou des mesures de grandeurs, 
ou bien encore au moyen de lettres minuscules, de lettres grec- 
ques, ou de caiactères spéciaux; ainsi une lettre a désigne un 
nombre, renseigné comme étant le lapport des grandeurs G., et 
G,, au(iuel cas ce symbole a remjjlace simplen)ent les symboles 

G, ,, 

— (in iiicii (j2 

- (;, 'i 

et il indicpie un traitement cpii appli(jué a G, pioduil (i.^ ; ou bien 



> Pour omplovcr la inaiiiore des logiciens nominalislcs, on pourrait donner l'Oninie defi- 
nilion du nombre : un groupe de grandeiirx Ga l'i '"'i d'une même classe, auquel on associe 
l'ordre dans lequel on les considi i e. 



ARITHMÉTIQUE GÉNÉRALE 137 

ce symbole a indique par lui-même un traitement connu ou sup- 
posé tel, applicable à des grandeurs arbitraires ou soumises a 
certaines conditions, et produisant alors des grandeurs déter- 
minées. Tels sont par exemple les symboles d'usage courant 

, 3 

4, Y , etc. 

Nombres absolus, nombres relatifs. — Lorsque, dans la manière 
d'être de G, relativement à G,, et conséquemment aussi dans la 
loi de formation de G^ à l'aide de G^ , on ne tient compte que des 
grandeurs elles-mêmes, abstraction faite de toute autre considé- 
ration, le rapport de G^ à G, s'appelle un nombre absolu. Mais on 
peut aussi, dans leur manière d'être relative, et dans la loi de 
formation qui la caractérise, tenir compte des positions de G._j et 
de Gj ; dans ce cas leur rapport est appelé un nombre relatif. Et 
à ce dernier point de vue, on peut envisager la simple situation 
de G, relativement à G^ , ce qui donnera les nombres qualifiés 
positifs et négatifs ou les nombres complexes binaires {ci -\- ib] ; 
ou bien, on peut envisager en outre la situation de la figure 
constituée par le groupe G^G., dans un système de repère à trois 
dimensions ; cette conception ultime et générale fournira les 
qnaiernions, et même les biquaternions ^. 

Produit d'une grandeur par un nombre. — Une grandeur G., 
produite par l'application à une grandeur G, d'un traitement 
indiqué par le nombre a, s'appelle produit de G^ par a. On la 
désigne par les symboles : 





Gi X « 


Gi.« 


et l'on écrit donc : 








G, 


= Gi . a 



On dit encore que G.^ s'obtient en multipliant G, par a. 

Si a est le rapport des grandeurs Hj et H, d'une classe (H), 

multiplier G, par tj- c'est donc appliquera G, le même traitement 

qui, appliqué à H, , produit M., . On a donc alors : 

G, = Gi X Jî-^ (2) 

D'autre part, a peut maintenant se représenter par le symbole 

Ga , . 

çT- puisque, si l'on applique à G^ le traitement indiqué par a on 



"^Je me suis trompé lorsque j'ai écrit dans mon avant-propos que les biquaternions ne 
sont pas des nombres. La faute en est aux vecteurs équipollents, et au manque d'ouvrages 
écrits en français sur ce sujet. J'aurai peut-être un jour le temps a'établir la théorie ra- 
tionnelle des bi et tri-quaternions. Ce sera une cinquième partie à ajouter à mon livre. 

L'Enseignement mathém., 15« année ; 1913. 10 



138 E. DU MONT 

obtient G,. I^es symboles tt- et 75- desiynent donc ici une même 

^ • vji rii 

loi de formation, c'est-à-dire un seul et iiniciue nombre. La relation 
(2) peut donc s'écrire 

Gj = Gx X ^' (3) 

ce que Ton expi'ime en disant que le rapport des grandeurs G^ et 

G, est un nombre par lequel, multipliant G, , on obtient G^ . 

Nombres égaux. — Connaissant G, et G.^ , on peut mesurer di- 

G2 
rectementG., au moyen de G, , et concevoir un nombre 7^ obtenu 

par une méthode de mesure qui n'est pas nécessairement la même 

. H2 
que la méthode ayant fourni rj- ou a. Si nous désignons par b ce 

nombre nous pouvons écrire les identités : 

G2 ::= Gi . b et G2 rz Gi . rt . 

Les nombres a et b, qui ont sur G, le même effet, c'est-à-dire 
qui pi'oduisent chacun la grandeur G^, sont dits ègau.v et re])ré- 

sentés chacun par le symbole -yr- sans distinction. On écrira : 

, Ga Hj 

'' = '' "" g; = h; • 

11 faut bien se garder de confondre des nombres égaux avec 
des nombres identiques, quels que soient les symboles qui les re- 
présentent. 

Ainsi les symboles 

G -I- G + G . , , . 

^^-X_ 1 + 14-1 et 3 

désignent un seul et même nombre, tandis ({ue les symboles 

11 22 I 

_ - 2,75 et 2 + 



4 8' '1 

1 +- 

o 

désignent des nombres égaux mais non ick>nli(iiies. 

On démontre que les produits d'une grandeur quelconque par 
des nombres égaux, sont des grandeurs égales. 

Somme de nombres. — Considérons des nombres a et b cl une 
grandeur arl)itraii(! G que l'on puisse miilti|)li(M' par ces nombr(^s; 
soient les grandeurs 

Gi = G X « et Gj = G X /> . 



ARITHMÉTIQUE GÉNÉRALE 139 

Le nombre — ^ s'appellera somme des nombres r/ et b, et se 

représentera conventionnellement par le symbole a -\- b. 
On aura donc 

G, + G, 



G 
d'où 

Ga + G^ 



= a -\- h , 

a+ b , (1) 



G 

G{a -{- h) = Ga + Gh , (2) 

Gi + G3 Gi Gj 

G - G + G • '"^' 

L« somme des nombres a et b est indépendante de la grandeur G 
qui a servi à la définir: soit, en effet, une grandeur H autre que 
G (de la même classe que G ou dune autre classe), et posons 

Ga + Gfc , Ha + H/> 
' = G ■' = H 

11 apparaît avec évidence que les nombres s et s' sont identiques, 
car ils indiquent que le traitement qu'on a appliqué à G pour 
former Ga + Gb est absolument le même que celui qui a été ap- 
pliqué à H pour former lia -(- l\b : multiplier G ou H successive- 
ment par a et par b, puis considérer la somme des grandeurs 
obtenues. C'est donc à juste titre que le symbole a -\- b ne donne 
aucun renseignement au sujet de la grandeur ayant servi à le 
définir. 

Produit de nombres. — Considérons les nombres a et è, et une 
grandeur G. 

Soient 

Gi = G . a et G2 = Gi . /^ 

en supposant bien entendu que ces produits existent. 

G2 
l.e nombre tt s'appellera produit de a par è; on le représen- 
tera conventionnellement par les symboles a y< b ou ab . 
On aura donc 

G. . 

— =. a -X b . 
G 

D'où 

(Gai /y 



ab , (1) 



G 

G[ub) = (Ga) b , (2) 

- — — X - (Si 

G - G >< G, • ''^' 



140 E. DU MONT 

Cette dernière formule est fort importante, car elle donne nais- 
nance à la première règle de calcul : la suppression des G, en dia- 
gonale descendante de gauche à droite. 

Rapport de nombres. — Considérons les nombres a et b. On 
appelle rapport de a k b , le seul et unique nombre tel, que le 
produit de b par ce nombre est égal à a . 

Un tel nombre existe. En effet, soit G une grandeur que Ton 

puisse multiplier par a et b ; je dis que le nombre -7rr répond à 

la question. 
On a: 

Ga Gb Ga Ga 
'"^Gb=-G^G'ù = ^='' 

en appliquant la règle de calcul trouvée au numéro précédent. 

On démontre que le nombre tt-, , que l'on convient de repré- 
senter par le symbole j . est indépendant de G ; à cet effet, dé- 
signons par .V un nombre ayant la propriété 

h X .«• = (' ■ 

Multiplions une grandeur II par le produit b X •'' ou a . On 
aura 

n [bx] = Hrt = (H^) x . 
d'où 



Je dis que 
Car on a 



d'où 

/, Ha\ ^ ^, Ha Ga Ha 

Gxibx^^j = Ga = iGh)y<^ . ou g7> = HÂ 

Classification des nombres absolus. — (Considérons un nombre 
a , rapport des grandeurs G.^ et G, . 

1** Si G^ et G^ sont des sommes de grandeurs égales à une 
grandeur G, leur rapport est appelé un nombre coniniensurable. 
Dans ce cas on a 

— Gz_ G + G+ ■■■ +G 
''~Gi-G + G+...+G- 





X - 


Ha 
~ H/> ■ 




H /y 


~ Gb ■ 


b. 


X = 


: Ha 


■zz 


: [Gb] 


Ha 

^ Hb • 



ARITHMÉTIQUE GÉNÉRALE 141 

En particulier, si G^ est une somme de grandeurs égales à G, , 
leur rapport est appelé un nombre entier. 
Dans ce cas on a 

Gj Gi -f Gi -f- . . . + Gi Gi Gi Gi ,,,,,,, , , , 

*Jl Vji \Ji\ Ijj Iji 

2° S'il n'existe aucune grandeur telle, que G.^ et G^ soient des 
sommes de grandeurs égales, le rapport -rr- est appelé un nombre 

in comm ensii ra b le . 

Telle est, exposée avec quelques détails supplémentaires pour 
certains points, dans ses grandes lignes pour d'autres, la base de 
ma théorie arithmétique. On a pu voir que le fond des idées ne 
m'appartient nullement en propre et que de grands mathémati- 
ciens ont eu ces idées-là bien avant moi. Lorsque je m'en suis 
aperçu, le livre était imprimé, ce qui explique l'absence du nom 
de Duhamel dans mon texte. Mais ce qui n'avait pas encore été 
fait c'est un exposé complet de la théorie générale des nombres 
absolus et relatifs conformément à ces principes. 

En particulier, les nombres complexes (les imaginaires a -f- ib) 
avaient bien reçu une interprétation géométrique ; mais comme 
on peut s'en rendre facilement compte, le principe même de cette 
interprétation est mauvais ; le nombre complexe ne représente 
pas un vecteur d'un plan, et ce vecteur seul ne représente pas le 
nombre ; celui-ci est le rapport de deux vecteurs, et le second ne 
doit pas être considéré comme appartenant à un axe fixe, unique, 
que l'on appelle souvent l'axe des nombres réels ; le symbole i ne 
doit pas non plus être considéré comme représentant un vecteur- 
unité porté par l'axe perpendiculaire à l'axe des nombres réels ; 
ce symbole i est le rapport de deux vecteurs quelconques perpen- 
diculaires et égaux, le sens de rotation étant direct du second 
vers le premier. Et dans l'extension à l'espace, /sera le vecteyr- 
unité porté par l'axe perpendiculaire au plan de repère ; dans le 
cas d'une figure plane, cet axe est perpendiculaire au plan de la 
figure. 

C'est pour ces motifs qu'Argand et ses successeurs ont échoué 
dans leurs tentatives d'étendre à l'espace l'interprétation géomé- 
trique des nombres complexes, l^eur conception de ces nombres 
comme symboles représentatifs de vecteurs était fausse. Le nom- 
bre ne représente pas un vecteur, mais il est le rapport de deux 
vecteurs. 11 a fallu le génie de Hamilton pour créer la théorie des 
biradiales. 

Voilà pourquoi aussi je ne puis me rallier aux théories qui font 
des nombres des symboles représentatifs de grandeurs ; on ne 
tient pas compte dans ces théories de ce qu'il n'y a dans aucune 



142 E. DU MO NT 

classe, de grandeur étalon fixe. La théorie que j"ai développée est 
donc beaucoup plus générale ; et on le verra aisément, si l'on veut 
lire ma théorie des ternions ; ceux-là sont efTectiveinent les rap- 
ports de vecteurs quelconques à un vecteur unique, pris sur Taxe 
de repère de tout l'espace. Chaque ternion représente alors sans 
ambiguïté un vecteur ; la somme de deux ternions sera un ternion ; 
mais leur produit sei-a un quaternion, à moins qu'ils soient copla- 
naires avec le vecteur-étalon. 

En résumé, la théorie du nombre, rapport de grandeurs géo- 
métriques permet une exposition absolument méthodique et 
générale de l'arithmétique. Un même mot n'a pas plusieurs signi- 
fications dillerentes ; la continuité des fonctions somme, produit, 
quotient, racine, etc., est assurée, et l'arithmétique garde son 
véritable caractère utilitaire et rationnel. 

Un mot encore, avant de terminer. Le nombre entier est dun 
emploi courant dans le langage ordinaire. Cet emploi est-il com- 
patible avec la définition que j'en ai donnée, ou bien le nombre 
du public n'est-il pas plus le nombre du mathématicien (ju'il n'est 
celui du logicien ? 

M. IL Laurent a répondu à l'avance à cette question ^ Les objets 
que le nombre entier permet de compter sont désignés dans le 
langage courant au moyen d'un terme générique qui les dépouille 
de tous les attributs par quoi ils diffèrent. Ainsi quand on 
dit cinq animaux, il peut y avoir là des chevaux et des oiseaux 
réunis. 

Ces cinq animaux sont égaii.i- puisqu'on ne les distingue pas ; 
et le mot cinq indique bien la loi de formation de cette collection 
d'animaux au moyen d'un animal. 

.le demandais récemment à un jeune enfant combien il avait 
reçu de bons points à son école. Il m'a répondu : « Comme ça ! » 
en me montrant quatre doigts ; et il a ajouté en me montrant ses 
deux mains ouvertes : « Quand j'en aurai comme ça, je recevrai 
une belle image ». 

Ainsi donc cet enfant construisait une collection à l'aide de ses 
doigts d'après la même loi de formation que sa collection de bons 
points à l'aide de l'un de ces petits carrés de carton. Je crois qu'il 
ne serait pas possible de trouver une preuve plus éclatante de la 
rationalité de ma théorie. 

Je prétends que le logicien en échafaudant sa tliéorie n'a pas 
atteint le but (}u'il s'était proposé : définir les nombres. Il a 
esquivé ce but; il a créé de toutes pièces une série d'êtres, sortes 
de mannequins automates, auxquels il a donné le nom de nom- 
bres, mais je le répète il n'a pas défini ce qu'il voulait définir. Les 



• Sur les principes de la théorie des nombres [Collection Scientia, n" 20|- 



CHRONIQUE 143 

définitions ne peuvent pas être de perpétuelles créations, ou bien 
il leur manquera toujours la vie. 

Dans tous les cas, je mets le plus subtil logicien au défi de créer 
la moindre théorie, y compris celles de ses nombres, sans faire 
appel aux postulats suivants : 

1. Postulat de l'espace. — 11 existe des corps naturels distincts 
(en particulier moi). 

2. Postulat de la conscience humaine. — 11 est possible à l'homme 
de prendre conscience des corps naturels, et de concevoir des 
abstractions correspondantes. 

3. Postulat du temps. — Il est possible de considérer des objets 
(corps naturels ou concepts abstraits) dans un certain ordre de 
succession. 

4. Postulat du mous>ement. — 11 est possible de modifier les 
situations relatives de plusieurs objets. 

5. Postulat du raisonnement. — 11 est possible de raisonner 
juste. 

Ces postulats sont indispensables à la moindre de nos pensées ; 
et principalement à l'écriture. 

Juin 1912. Emile Dumont (Bruxelles). 



CHRONIQUE 



Répertoire bibliographique des Sciences mathématiques. 

A la suite du décès de son président, M. Henri Poincaré, la 
Commission du Répertoire s'est réunie le 18 décembre 1912 afin 
de procéder à l'élection d'un nouveau président et d'aviser aux 
mesures que peut nécessiter l'œuvre du Répertoire. 

C'est M. H. d'OcAGNE, professeur à l'Ecole polytechnique de 
Paris, qui a été désigné comme président. En prenant possession 
du fauteuil présidentiel, il est rappelé à la Commission que, à la 
suite du décès de M. Raff'y, les fonctions de secrétaire avaient été 
confiées à M. Gérahdin (Nancy). 

M. Gérardin a expliqué la situation de l'œuvre du Répertoire; 
20 séries de fiches sont actuellement étudiées, elles comprennent 
2000 fiches et 18,523 titres. Plus de 20,000 titres de mémoires sont 
actuellement classés et prêts à être édités; ils donneront lieu à 



144 CHRONIQUE 

plus de 2000 fiches qui, espérons-le. pourront être publiées dans 
le plus bref délai possible. 

On sait que la Commission a été créée à la suite du Congres in- 
ternational de Bibliographie des Sciences mathématiques, qui s'est 
réuni à Paris, en juillet 1889, et qu'elle a décidé de publier les 
titres des travaux de mathématiques qui ont paru pendant le 
XIX*^ siècle année 1900 incluse . A partir de cette époque la bi- 
bliographie est faite à l'aide de la Revue semestrielle des publica- 
tions mathématiques sous les auspices de la Société mathématique 
d'xVmsterdam, et d'après la même classification. Il convient d'ajou- 
ter que bien que l'entreprise ait un caractère absolument inter- 
national, les frais ont été couverts jusqu'ici grâce à la libéralité 
de 1 Etat français et des libéralités particulières au nombre des- 
quelles nous citerons la subvention du Prince Roland Bonaparte 
(3000 fr.) et celle de M. R. BischolFsheim (2000 fr.l. 

Si la Commission a besoin d'un nouvel appel financier pour 
terminer rapidement son œuvre, nous sommes certains qu un 
appel aux mathématiciens et aux sociétés scientifiques de létran- 
ger rencontrera le meilleur accueil. Il s'agit là dune œuvre scien- 
tifique internationale en faveur de laquelle l'esprit de solidarité 
entre les savants ne saurait faire défaut- 

II. Fehr. 

Congrès internationaux de San-Francisco 1915. 

I/Exposilion universelle « Panama-Pacific International Expo- 
sition », qui aura lieu à San-Francisco en 1915, aura comme 
corollaire important l'organisation de nombreux congrès interna- 
tionaux, de réunions de sociétés savantes et d'associations diverses. 
M. .1. A. Barr secrétaire de la « California Teachers Association » 
et directeur de la « Sierra Educational News » a été chargé de la 
direction du Bureau concernant l'organisation de ces réunions. 

Ou projette notamment la convocation, pour 1915, d'un congres 
international d'éducation. Les diverses séances seront, dans la 
mesure du possible, groupées de façon à permettre au visiteur 
d'assister en un temps relativement court à toutes celles qui sont 
en corrélation entre elles. Les Universités de California et Stanford 
prêteront leur concours à l'organisation des réunions. 

Le Bureau enverra des invitations aux sociétés savantes du 
monde entier. 11 fera paraître sous peu un bref exposé des diffé- 
rentes branches d'activité de l'exposition et réunira égaletnent 
des informations complètes relativement aux hôtels et moyens de 
transport à l'usage des membres des sociétés qui se réuniront à 
San-Erancisco en 1915. 

Les demandes de renseignements doivent être adressées à 
M. James A. BAiiit, 50 Main Street, San-Francisco. 



CHRONIQUE 145 



Académie des sciences de Paris. — Prix proposés. 

Grand prix des Sciences mathématiques (Fr. 3000; prix biennal 
à sujet variable). L'Académie rappelle qu'elle a mis au concours, 
pour l'année 1914, la question suivante : 

Perfectionner la théorie des fonctions d'une variable qui sont 
susceptibles de représentations par des séries trigonomé triques de 
plusieurs arguments fonctions linéaires de cette variable. 

On sait que de telles fonctions se présentent dans de nombreuses 
questions de Physique mathématique et de Mécanique céleste. 
L'Académie verrait avec plaisir traiter quelque application impor- 
tante. 

Prix Bordin (Fr. 3000; prix biennal à sujet variable). L'Aca- 
démie met au concours, pour l'année 1915, la question suivante : 

Réaliser un progrès notable dans la recherche des courbes à tor- 
sion constante ; déterminer s'il est possible celles de ces courbes qui 
sont algébriques, tout au moins celles qui sont unicursales. 

Pour plus de détails voir les Comptes rendus, séance du 16 dé- 
cembre 1912. 

Allemagne. — Thèses de doctorat, 1910-1911. 

Le ^( Jahresverzeichnis der an den deutschen Universitâten 
erschienenen Schriften « indique les thèses ci-après appartenant 
aux sciences mathématiques : 

Berlin: Muktz, Zum Randwertprobleni der partiellen Diflerentialgleiohung 
der Minimalflachen. — Remak, Ùber die Zerlegung der endlichen Gruppen 
in direkle iinzerlegbare Fakloren. — Steinbachek, Abelsche Ivôrper als 
Kreisteilungskôrper. 

Bonn : Brues, Zur Théorie der desmisciien Fliichen vierter Oi'dnung. 

Breslnu : Kober, Konjugierte kinelische Brennpunkte. 

Freibuig : Montfokt, Die Aiiflôsiing der numerischen Gleichnngen nach 
Fouriei'. 

Giessen : Chambré, Uarstellung von Fakloren ganzcr Funktionon durrh 
Kovarianten. — Drescher, Uber geomelrische Dai'slelliing von Gruppen. 

— ScHKEiTER, Uber das kombinatorische Pi-odiikt von vier Kollineationen 
im Raum und die Apolarit.ïl kollinearer Verwandtschaflen auf allen Sluten. 

— Seeman, Projektive Verallgemeinerung melrischer Begi'iffe. — Thaer, 
Analytische Beiti-age zur Lehre vom Kegelschniltsyslem (3 p, 1 /). — 
Vaekting, Zur Transformation der vielfaclien Intégrale. — \\'olff, Uber 
Kollineationen in der Ebene. 

Gôilingen : Behrens. Ein der Théorie der Laval-Turbine entnomnienes 
mechanisches Problem, behandelt mit der Himmelsmechanik. — Cassebaum, 
Uber das Verhallen von weichera Flussstahl jenseits der Proporlionalitals- 
grenze. — P'u.nk, Uber Flachen mit lauter geschlossenen geodiUitsrhen 



146 CHRONIQUE 

Linien. — Grelling, Die Axiome der Arithmetik mit besonderer Berûck- 
sichliguiig der Bezieliiingen zur Mengenlehre. — Hecke, Zur Théorie der 
Modulfuiiktioneii von zwei Varial^eRi nnd ihrer Anwendung auF die Zahlen- 
theorie. — Hiemjînz, Die Grenzschicht au einem iii den gleiclifiM-migen Flùs- 
sigkeitsstrom eingetauchten geradeu Krciszylinder. — Hurwitz, Randvert- 
aufgaben bei Systemen von linearen parliellen Difrerentialglciciuingen erster 
Ordnung. — Mïjhlendyck, Klassiflkalion der regelmassig-symmelrischen 
Fliicben fiinfler Oiduung. — Rei^stein, Unlersucliung iiljer die Transversal- 
schwingiingen dei- gleichformig gespannten elliptiseh oder gleicliformig 
begrenzlen Vollmembran nnd Kreisringmembran, sowie von YoUkreis- und 
Kreisringmembranen mit nach speziellen Gesetzen variierler ungleii'bfcir- 
miger Spannung. — Steinhaus, Nene Anwendnngen des Dirichletsclieu 
Prinzips. — Wiener, Elemeiitare Beitrage znr neueren Funklioiilheorie. 

Halle : Baruch, Uber die Differentialrelationen zwischen den Thelafunk- 
lionen eines Arguments. — Becker, Korper grôsster Anziehung auf ein und 
zwei Ellipsoide von n Dimensionen. — Boelk, Darstelhing und Prùfung der 
Merkurtheorie des Claudius Ptolemaeus. — Juthe, Die Schwingungskugel 
einer Fliichenkurve. — Luders, Uber ortiiogonale Invarianlen dei- bizirku- 
laren Kurven vierter Oi'dnung. 

Heidelberg : Person, Die invarianten Gebilde erster Ordnung bei projek- 
tiven Transformalionen der Ebene und des Raumes mil Anwendung anf die 
Klassifikatiou der eingliedrigen pi'ojektiven Grnppen der Ebene und des 
Raumes — ^YITT!^A(:K, Uber das idenlische Verschwinden der Hauptgleich- 
ungen der Variation vielfaclier Intégrale. 

Jena : Fender, Zur Théorie von allgemeinerten Bernoullischen und Eu- 
lerschen Zahlen. 

Kônigsherg : Merten's, Uber gewisse raumliche Punktmengen, die sich 
als stetige Flaohen aulFassen lasseu. 

Leipzig : Muller, Die rationale Kurve fiintïer Oi-dnung im lûnf-, vier-, 
drei- und zweidimensionalen Raum. — Pickert, Verallgejneinerung der 
Untersuchungen vou Gauss uber das arithmetisch-geometrische Miltel. — 
RosENHAUER, Die oszillatorische Bewegung einer Kreisscheibe im Innern 
einer feslen Zylinderflache. 

Moihurg : Schwanïke, Uber den axiomatischen Aufban einer Géométrie 
linearer Kngelsysteme. 

Munster : Joachi.vii, Uber Kurven, bei denen die beiden Kriimmungen 
durch eine quadratische Beziehung vcrkniipft sind. — Keisker, Beilriige zu 
den Anwendungeu der Théorie der unendiich kleinen Schraubungon auf 
Raumkurven. — Kraft, Das Normalenproblcm an Kurven und Fiachen 
zweiler Ordnung in den endiichen Raumformen. — Rkckers, Untersuch- 
ungen liber Kurvennetze ohne Uniwege. 

Hostock : Bi.EicHER, Zur Théorie der ùbergeschlossenen Geleiiksysleme. 
— Blenck, Untersuchungen ûber das Amiotsche Theorem bei den Fiachen 
zweiter Ordnung und iiber Erzeugungsarten des elliptischen Kegeis. — 
Geissi-ek, Die Gleichgevvichtsbedingungen der Raummechanik mit beson- 
derer Beriicksichtigung der elekli-ischen, magnetischen und Gravifatiouser- 
scheinungen. 

Strasshitrg : Fi.nzel, Die Lehre vom Fliichcninhalt in der allgemeiueu 
Géométrie. — Glaser, Uber die Galoissclie Gruppe der Gleichung des 16. 
Gracies, von der die 16 Knotenpiinkte der Kummerschen Fliiche 16. G. 
abhangen. — Hartwieg, Konstruktiou der Hauptaciisen des Ellipsoids ans 



CHRONIQUE 147 

drei konjugierten Dui-ckmessern. — Kill, Beitrage zuni Fundamentalpro- 
blem der Flachentheorie. — Meyf.r, Struktureigeuschaften der projektiven 
Invarianten mit n Variabeln. — Mohk, Die Bertrandschen Kuiven iu der 
Théorie der Normalsysleme. — Schmedes, Analylische Beliandlung der 
Bewegungen im nichleuklidischen Raiime. 

Wiirzburg : Engelhardt, Untersiichungen iiber die im Schlusswort des 
Lieschen Werkes « Géométrie der Beriilirungstransformalionen w angedeu- 
teten Problème. — Haupt, Untersuchuugen ûber Oszillalionslheoreme. 



France. — Thèses de mathématiques; 1912. 

Helbronneu (Paul), Résumé des opérations exécutées jusqu'à la 
fin de 1911 pour la description géométrique détaillée des Alpes 
françaises. 

Levy iPaul), Sur les équations iiitégrodifférentielles définissant 
des fonctions de lignes. 

Tuiîrière (Emile), Sur les congruences des normales qui appar- 
tiennent à un complexe donné. 

BosLER (Jean], Sur les relations des orages magnétiques et des 
phénomènes solaires. 

Galbbun (H.), Sur la représentation des solutions d'une équation 
linéaire aux différences finies pour les grandes valeurs de la 
variable. 

NicoLAU (C), Sur la variation dans le mouvement de la Lune. 



Nouvelles diverses. — Nominations et distinctions. 

Le Pri.i Lobatschewsky de la Société physico-mathématique de 
Kasan a été attribué à M. F. Schur, professeur à l'Université de 
Strasbourg. 

Alleuiag-ne. — M. C. Cabatheodory, professeur à l'Ecole 
technique supérieure de Breslau, est nommé professeur à l'Uni- 
versité de Gœttingue en remplacement de M. F. Klein, qui prend 
sa retraite. 

M. F. Engel, professeur à l'Université de Greifswald, a reçu nn 
appel à l'Université de Kiel et à celle de Giessen. 11 se rendra à 
l'appel de l'Université de Giessen, en remplacement de M. E. 
Netto, qui prend sa retraite. 

M. Th. von Kabmax, privat-docent à l'Université de Gœttingue, 
est nommé professeur de mécanique et d'aérodynamique, ainsi^ 
que directeur du laboratoire d'aérodynamique à l'Ecole technique 
supérieure d'Aix-la-Chapelle. 

M. A. KoPFE, privat-docent à l'Université de Ileidelberg, est 
nommé professeur extraordinaire d astronomie. 



CHRONIQUE 



M. H. MoHRMANN, privat-docent à l'Ecole technique supérieure 
de Carlsruhe, a été nommé professeur de mathématiques et de 
mécanique à l'Ecole des Mines de Clausthal. 

Ang'leterre. — M. A. R. Forsyth, F. R. S., ex- « Sadlerian » 
professeur de mathématiques pures à Cambridge, est nommé pro- 
fesseur titulaire de la chaire de mathématiques à r« Impérial Col- 
lège of Science and Technology », S. Kensington, Londres. 

M. H. Bryon Hiïywood D. Se, est nommé « Assistant Lecturer » 
en mathématiques au Bedford Collège pour dames à Londres. 

M. E. W. IloBsox, professeur à l'Université de Cambridge, est 
nommé Docteur honoraire de l'Université d Oxford. 

M"*^ H. P. HuDSON, de Newnham Collège à Cambridge, est nom- 
mée professeur de mathématiques à West Hani Technical SchooL 

Autriche. — M. E. Hellebraxd a été nommé professeur de 
mathématiques à l'Ecole supérieure forestière de Vienne, en 
remplacement de M. O. Simony, qui prend sa retraite. 

M. G. Ma.icen, professeur à l'Université d'Agram, a été nommé 
membi-e correspondant de la Société royale des Sciences de 
Prague. 

M. Th. PoscHL, privat-docent à l'Ecole technique supérieure de 
Graz, a été nommé professeur extraordinaire de mécanique à 
l'Ecole technique supérieure allemande de Prague. 

M. V. Vaiucak, professeur à l'Université d'Agram, a été nommé 
membre correspondant de la Société royale des Sciences de 
Prague. 

M. Weinek, professeur à l'Université allemande de Prague, a 
obtenu le prix « Guadalupe Almendaro » de l'Académie de Mexico 
pour ses travaux sur la lune. 

Pru>at-docent. — M. IIoboiîski a été admis en qualit*'; de privat- 
docent à l'Université de Cracovie. 

Etats-Unis. — M. \V. E. Bveiily, professeur de mathéma- 
tiques à l'Université de Harvard, prend sa retraite à la (in de 
l'année académique courante. 

M. G. A. Miller, professeur à l'Université d'Ulinois, a été 
nommé membre correspondant de la Société mathématique espa- 
gnole. 

M. R. G. D. RicuARDsox a été nommé professeur extraordinaire 
de mathématiques à l'Université Brown, Providence, E.-U. 

JFi»anee. — M. Cuatelet est chargé d'un cours de mécanique 
rationnelk' (!t appllcjnée à l'Université de Toulouse. 

M. Cl. GuicHARi) est nommé professeur de mathématiques géné- 
rales à la Faculté des Sciences de Paris. 

Italie. — M. A. Sr(;NORi.\i a été nommé privat-docent de mé- 
canique lationnelle à l'Université de Padoue. 



CHRONIQUE 149 

Suède. — M. Nôrlund a été nommé professeur de mathéma- 
tiques à l'Université de Lund. 

Suisse. — Privat-docent. — M. P. Beuxays est admis en qua- 
lité de jDrivat-docent à l'Université de Zurich. 



Nécrologie. 

M. Fritz BuiîKHAUDT, ancien recteur de IKcele réale et du Gym- 
nase classique de Bàle, puis professeur à l'Université, vient de 
mourir à l'âge de 82 ans. 

M. J. Franz, professeur et directeur de l'Observatoire de l'Uni- 
versité de Breslau. est décédé le 28 janvier 1913 à l'à^e de 65 ans. 

M. L. Swift, ancien directeur de l'Observatoire Warner à Ro- 
chester et de l'Observatoire du Mount Lowe, Californie, est décédé 
À Bringhampton, N. Y., le 5 janvier 1913 à l'âge de 93 ans. 

M. W. Vau(;hn, professeur d'astronomie à l'Université Vander- 
bilt (E.-U.j, est décédé le 16 décembre 1912 à l'âge de 78 ans. 

M. Mario Pieiu, professeur de Géométrie projective et descrip- 
tive à l'Université de Parme, est décédé le 28 février à l'âge de 
53 ans. 

Paul GoRDAx. — Les mathématiciens allemands viennent de 
perdre un de leurs plus illustres représentants, Paul Goudax, 
professeur à l'Université d'Erlangen, décédé le 21 décembre der- 
nier. Né à Breslau, en 1837, Gordan commença ses études dans sa 
ville natale, puis étudia successivement à Kônigsberg et à Berlin. 
Il débuta dans l'enseignement supérieur à l'Université de Giessen, 
en qualité de professeur extraordinaire. En 1875 il fut appelé à 
l'Université d'Erlangen. On sait que les travaux de Gordan appar- 
tiennent principalement au domaine de l'algèbre supérieuie et tout 
particulièrement à la théorie des formes. Gordan était l'un des 
directeurs des Matheinatischen Aniinlen. Il était membre corres- 
pondant d'un grand nombre de sociétés scientifiques, notamment 
de l'Institut de France et de l'Académie des Lincei (Romei. 

Sir AVilliam II. Whitk. — Sir W. II. AMiite, ingénieur en chef 
des constructions navales à l'Amirauté anglaise, est décédé à 
Londres à l'âge de 67 ans. Il s'était acquis une réputation univer- 
selle comme constructeur de navires. Directeur des constructions 
navales de l'Amirauté de 1885 à 1902, il dessina plus de 250 types 
de navires. Il prit une part active au 5'' Congrès international des 
mathématiciens en se chargeant de l'une des conférences générales. 
Les participaTits au Congrès ont beaucoup applaudi sa remarquable 
causerie sur la place des mathématiques dans la pratique de l'iii- 
géiiiear. Nous en avons donné un compte rendu détaillé dans le 
numéro de septembre. 



NOTES ET DOCUMENTS 



Commission internationale de l'Enseignement mathématique. 

Compte vendu des tra\'aiix des Suus-commissiuns iialiuitales. 
(Ile article) 



ALLEMAGNE 

La géométrie dans l'enseignement élémentaire. 

Stoff und Méthode des liaumleluunteriichts in Deutschland^, ein l.ite- 
raturbericht \-on D"" W. Lietzmann |B;iimeni. — Tous ceux qui liront lo 
livre de M. Lietzmann admireront le talent avec lequel 1 auteur développe 
d'une façon intéressante un sujet que Ion pourrait ci-oire devoir être traité 
en quelques pages. 

M. Lietzmann définit d'abord son sujet : « Nous entendons par étude de 
l'espace la géométrie élémentaire autant qu'elle se sert des méthodes d'ob- 
servation et d'expérience, sans craindi-e d introduire quelquefois certaines 
déductions logiques fort simples. » 

Celte phrase est tout un programme de renseignement aux jeunes élèves, 
mon expérience personnelle m'invite à m'y rallier complètement. 

Tous les temps ont connu des maîtres traitant de géométrie théorique 
comme Euclide et d'autres s occupant surtout de ses applications depuis 
Héron jusqu'à Pestalozzi. — L'auteur nous fait l'exposé historique de cette 
double tendance — après quoi il montre la nécessité de bien définir les dif- 
férentes expressions et dénominations employées et aussi celle d'apprendre 
aux enfants à les éci-ire cotrectement — il regrette le zèle avec le(|uel cer- 
tains maîtres allemands ont remplacé des mots tels que ovale, pyramide, 
cylindre, par des expressions germaniques. 

J'ai commencé mes études dans un gymnase lorrain, et mes maîtres, dont 
j'ai conservé le meilleur souvenir, étaient animés dun patriotisme moins 
exclusif. 

Dans le cinquième chapitre, nous apprenons le plan qui va présider aux 
onze derniers. L'auteur voudrait que l'enseignement de l'espace qui était 
livresque devienne un enseignement manuel, les élèves appliqueraient leur 
activité à décrire, à représenter, à mesurer et enfin à calculer. 

Dans les jeux qui leur sont consacrés, les enfants peuvent déjà se fami- 
liariser avec les figures géométriques, puis les assemblages de bâtonnets. 



1 1 fasc. in-S", VIII - 88 p.: 38 figures ; 2 M. 80 : B. G. Teubncr. Leipzig. 



NOTES ET DOCUMENTS 151 

les boites de coiistruclions, les combinaisons de cartons découpés (cha- 
pitre 8). Plus tard, lorsqu'ils seront en âge de comprendre, ils construi- 
ront eux-mêmes des cubes, des pyramides, on leur montrera l'usage du lil 
à plomb qui leur donnera le sens de directions perpendiculaires, directions 
obliques, etc. (chapitre 9). 

Puis ils s'appliqueront à représenter des objets, d'abord des ligures pla- 
nes et ils se serviront de la règle et du compas ; plus tard on leur fera 
modeler des surfaces, des figures de l'espace « au moyen d'allumetles ou 
de cure-dents et de pois ramolins » (chapitre 10). On leur donnera des no- 
tions de perspective et ils seront en état de dessiner sur une feuille leurs 
modèles (chapitre 11). 

On n'oubliera pas d'exercer les élèves aux mesures, ils devront savoir se 
servir du décamètre, savoir faire des visées, savoir évaluer des longueurs 
sur le terrain, et aussi faire des mesures millimétriques avec précision, et 
même toutes les fois qu'il sera possible on les familiarisera avec l'usage 
des instruments d'arpentage (chapitre 12). 

Ils seront alors prêts à employer aussi les méthodes graphiques en usage 
pour mesurer des longueurs et des angles (chapitre 13). 

Sachant mesurer des longueurs, ils pourront calculer des surfaces (cha- 
pitre 14| et des volumes (chapitre 15) 

Tous ceux qui s intéressent à la pédagogie liront avec plaisir le livre de 
M. Walther Lielzmann et lui sauront gré de l'avoir éci-it. 

A. Lévy (Paris). 

Mathématiques et Philosophie. 

Mathematik iind philusophische Propàdeutik^, von D"" A. Wernicke (Braun- 
schweig). — Cet ouvrage est remarquable par la richesse et la clarté de sou 
exposé et témoigne d'une érudition sûre et bien informée, jointe à un sens très 
juste des problèmes philosophiques et pédagogiques. M. Wernicke commence 
par montrer comment est insuffisante dans l'enseignement de la philosophie 
la place qui est faite à la méthodologie scientifique. Les mathématiques en 
particulier sont sacrifiées. On ne met pas en lumière leur caractère propre 
en tant que science, ni le rôle capital qu'elles jouent dans la connaissance et 
la conquête de la nature. De grandes difficultés, il est vrai, surgissent lors- 
que Ion veut préciser ces questions, surtout lorsqu'il s'agit de fixer les 
rapports entre l'intuition et la pensée discursive, entre l'empirisme et les 
éléments dits à priori. Les philosophes et les mathématiciens, d'une façon 
générale, sont loin d'être d'accord sur les limites à établir entre leurs dis- 
ciplines respectives. 

La solution kantienne de ces problèmes que plusieurs penseurs consi- 
dèrent, encore maintenant, comme définitive, ne répond plus à l'état actuel 
des mathématiques, car elle se heurte à tout un ensemble de découvertes 
nouvelles, comme les géométries non-euclidiennes. 

M. Wernicke se trouve ainsi forcé d'aboi-der les plus graves questions 
philosophiques, telles que la natuie des catégories et les rapports de la 
pensée discursive et de 1 intuition. D'après lui toutefois la vraie solution du 
problème ne peut être entrevue qu'en étudiant sur le vif la façon dont pro- 



1 1 vol. in-.S>, 138 p. ; i Ml^. ; B. G. Teuhner, Leip/.ig. 



152 NOTES ET DOCUMENTS 

cèdenl les mathématici«?us pour constituer leur science. Ou constate alors 
que dans rélaboration des mathématiques une certaine expérimentation est 
nécessaire de même que dans les sciences physiques; seulement celle expé- 
rimentation porte non sur des objets malériels, mais sur des éléments psy- 
chiques. La déduction formelle n'intervient qu'après coup, et encore elle 
revêt un caractère spécial. Par conséquent, la logique foi-melle, même sous 
la forme de calcul logique, n'appartient pas au domaine des mathématiques 
(p. 69). Quant à l'objet même des mathématiques, il consiste esseulielle- 
meut en une variété bien ordonnée, et les éléments qui constituent cette 
variété peuvent être explicités sous forme d'axiomes, de définitions, etc. 

Après avoir traité ces difficiles questions, M, Wernicke indique comment 
elles peuvent être enseignées à l'école et de quelle façon. L'élève doit arriver 
à la conviction que les mathématiques représentent un système scientifique 
reposant sur des axiomes et que seules les mathématiques et les sciences 
qui en dépendent revêtent cette forme (p. 82). Les variétés forment partout 
l'objet propre des mathématiques et les opérations du calcul consistent à 
utiliser des rangées, des couples, des classes. De bonne heure, dans l'ensei- 
gnement, des notions comme celles de la din'érenlielle, du passage à la 
limite peuvent être introduites et cela d'une façon toute naturelle. Les 
mathématiques seront ensuite présentées à l'élève comme un moyen de 
connaître et de conquérir la nature ; le professeur sera ainsi amené à passer 
en revue les éléments essentiels de toutes les sciences mathématiques depuis 
Tarillimélique jusqu'à la physique. Mais nous ne pouvons que signaler les 
pages substantielles consacrées par M. Wernicke à l'étude de ces questions. 

Une bibliographie très complète, au moins en ce qui concerne les auteurs 
allemands, termine le volume. 

Il est à souhaiter que les idées exprimées par M. Wernicke pénètrent peu 
à peu dans l'ensoignement secondaire, car s'il est indispensable au philo- 
sophe de posséder une culture scientifique étendue. 1 homme de science de 
sou côté a besoin d'être initié à une philosophie compréhensive des pro- 
blèmes qui se posent à l'heure actuelle. L'on affirme voloutiers que les 
sciences doivent se développer d'une façon autonome et que dans ce déve- 
loppement la philosophie ne leur est d'aucun secours, si même elle ne leur 
est pas nuisible. L'histoire des mathématiques ne semble pas ratifier en 
tous points ce jugement. C'est certainement parce qu'il était philosophe que 
Descartes a compris toule l'importance des coordonnées que d'autres avaient 
employées avant ou en même temps que lui, et c'est en s'appuyant sur les 
principes de sa logique métaphysique que Leibniz est parvenu à donner aux 
notations difrérenlielles la forme la mieux apj)ropriée. 

Arnold Rkymond iXeuchàtel). 

ILES BRITANNIQUES 

N° 11. — Le premier enseignement de l'Arithmétique 
et de la Géométrie. 

The Tcculiiii^ uf Matliematics to Youn^ CliiUlrenK by Miss Irène Stkphkns, 
Lecturer in Mathematics at the House of Hducalion, Ambleside. — Si nous 



1 Fasc. de l'.i p.: pii.\ 1 ' » <1. ; Wyman ik Sons, Londres. 



NOTES ET DOCUMENTS 153 

considérons l'éducation comme « une atmosphère, une discipline, une vie», 
nous voyons que l'enfant doit être éduqué dès sa plus tendre enfance. Mais, 
durant les premières années de son existence, cette éducation doit se 
faire par les moyens naturels, par son entourage, ses jeux, etc. L'enseigne- 
ment scolaire proprement dit ne doit commencer qu'à l'âge de six ans 
accomplis. 

Au début les leçons durent deux heures ou deux heures et demie chaque 
matin, avec une longue récréation. Vingt minutes par jour sont consacrées 
aux « nombres. « Durant les premières leçons on s'occupe successivement 
des nombres de 1 à 9 en les introduisant tout d'abord d'une façon concrète, 
à l'aide d objets divers et d'exercices nombreux et variés, puis eu opérant 
d'une façon abstraite. Les signes -(-, — et = sont ensuite expliqués et on 
les utilise à quelques petites opérations, pratiquées d'abord oralement puis 
par écrit. Au début cependant les exercices écrits devront se faire 1res rare- 
ment, le travail devant être presque exclusivement oral. 

Le nombre 10 s'introduira tout d'abord comme les précédents, puis l'on 
s'arrêtera sur les notions d'unité et de dizaine. Le nombre 12 fournira l'oc- 
casion de nombreux exercices de conversion de pennies en shillings et six- 
pences et inversement et de petites opérations d'argent. 

L analyse des nombres de 1 à 100 fera lobjet de la première année. Les 
quatre règles et les tables se commencent dans la seconde année. Leur en- 
seignement, tel qu'il se pratique aujourd'hui, n'a pas la prétention d'être 
original, il n'est qu'une modification des méthodes déjà existantes et est 
adopté par des manuels bien connus. En voici les principaux caractères : 

1. L'analyse des nombres de 1 à 1000 est faite d une manière très com- 
plète. Chaque nombre est envisagé sous tous ses aspects, et les applica- 
tions sont nombreuses et variées (monnaies, poids et mesure, etc.). 

2. Les quatre règles sont introduites dès le début, à l'aide de petits pro- 
blèmes. 

3. Tout un appareil, spécialement imaginé pour les besoins de l'instruc- 
tion est à disposition. 

Cet enseignement ainsi caractérisé présente cependant certains inconvé- 
nients de sorte que les modifications suivantes ont été adoptées : 

1. On n'utilise pas l'appareil spécial cité plus haut ; car le jeune enfant 
aurait de la difficulté à séparer le fait qu'on tâche de lui inculquer de l'ap- 
pareil compliqué qui sert à sa démonstration. Il est préférable d utiliser à 
cet effet de simples objets tels que bâtons d'allumettes, boutons, etc. 

2. Les exemples en usage, quoi(|ue intéressants, sont souvent beaucoup 
trop difficiles. 

3. 11 est préférable de renvoyer à plus tard l'étude des tables de poids et 
mesures de temps et de longueur. 

4. Les signes X et 96 (est contenu dans) ne sont pas introduits avant la 
table de la multiplication, et l'on évite d'employer des termes tels que sous- 
trahende, addendc. 

5. On ne s'arrête pas si longtemps sur les nombres un peu élevés. Les 
enfants ne travaillent pas du tout à la maison et leur arithmétique se fait 
donc surtout oralement. 

Passons maintenant aux opérations proprement dites : 

Addition et soustrtiction. On débute par des exemples concrets sur des 
sommes d'argent, puis l'on passe aux opérations sur les nombres abstraits. 
L'analogie qui existe entre la transformation des pennies en shillings, shil- 

L'Enseigneinent mathém., 15" année 19i:!. 11 



154 y or ES ET DOCUMENTS 

lings en poiinds et celle des unit»-s en dizaines et dizaines en centaines facili- 
tera le travail. Certains exemples serviront à faire envisager la soustraction 
comme complément de l'addition ; c'est la meilleure façon de la présenter 
aux débutants. Pour cette dernière opération la méthode par décomposition 
s'explique aisément, cependant certains maîtres lui préfèrent la méthode des 
additions égales (Equal Additions), parfois plus rapide. Viennent ensuite 
diverses applications à des exemples concrets et abstraits. 

MullipUcntion et dh'ision. La multiplication s'introduira tout d'abord 
comme une extension de l'addition. Chaque enfant construira ensuite une 
table de multiplication, il se rendra ainsi mieux compte de son utilité. Il 
l'apprendra par cœur cl s'en servira pour la résolution de problèmes variés, 
en commençant comme précédemment par des questions de nature concrète 
et passant ensuite aux opérations sur les nombres abstraits. 

Avec la division, deux nouveaux points de vue s'introduisent : l'idée de 
soustractions consécutives et celle de parties aliquotes. On développera la 
première à 1 aide de problèmes de partage. L'autre aspect de la division, 
qui suggère l'idée de fractions, pourra s'aborder également au moyen 
d'exemples concrets; on introduira quelques fractions très simples, mais ce 
sujet ne sera qu'effleuré, car c est uniquement pour donner à lenfant une 
notion complète de la division. 

Poids et mesures. Le sujet constitue la lin du programme d arithmétique 
élémentaire. Les élèves qui i abordent commencent leur neuvième année en 
moyenne. L'enfant devra peser, mesurer et construire lui-même ses tables, 
en commençant par le système des poids et mesures anglais, et eu les appli- 
quant à de nombreux exercices oraux et écrits. On passe ensuite au système 
métrique. L'auteur fait remarquer combien l'adoption de ce système en 
Angleterre simplifierait les choses, étant donné son caractère plus rationnel 
et plus logique que le système anglais. 

Mesure des aires et des \-olumes. A l'aide du papier quadrillé il sera fa- 
cile de montrer à l'eufant comment on doit s'y prendre pour évaluer une 
surface. On lui fera construire une table de yards, feet et inches carrés, 
dont il se servira pour la mesure des aires. On procédera de même pour le 
système métrique. L'évaluation des volumes s'obtiendra tout d'abord à l'aide 
de petits cubes et se poursuivra d une façon analogue. 

Ce programme termine la quatrième année scolaire. Pendant la dernière 
année, il a commencé la géométrie d'une façon purement expérimentale et 
pratique. Pendant la sixième et la septième année qui se passent dans la 
classe L il s'est exercé à la confection de modèles géométriques en carton. 
Les leçons de géométrie comprennent tout d'abord de nombreux exerci- 
ces sur les points et les li>^nes droites ou courbes, évaluation de longueurs, 
dessins de plans à l'échelle, mesure des distances sur les cartes, etc. ; on 
s'occupe ensuite du cercle et des angles Durant toute cette première étude, 
on évite autant que possible les procédés euclidiens, le travail n'étant qu'une 
simple préparation aux démonsti-alions logiques des propositions. 

On peut constater deux tendances dans l'enseignement mathématique de 
ces dernières années qui consistent à 

1. Préparer le travail futur de l'élève et lui constituer une base solide au 
cas où il poursuivrait ses éludes mathématiques. 

2. Faire en sorte que. même dans le cas où le travail mathématique de 
l'élève finirait à sa neuvième année, son développement intellectuel lui soit 
un puissant auxiliaire dans sa vocation fului'c. 



NOTES ET DOCUMENTS 155 



N° 12. — Les mathématiques et les branches techniques 
dans l'enseignement moyen. 

Mathematics with relation to engineering n'ork in schools^. by Mr. T. S. 
UsHERwooD, Head of the Manual Traiuing School, Christ s Hospital, West 
Horsham. Dans la première partie de son rapport, l'auteur résume le tra- 
vail qui se fait actuellement dans une école secondaire ordinaire (seconda- 
ry school) possédant un laboratoire d'ingénieurs; dans la seconde partie, 
il en propose la réorganisation. L'école dont il s'agit ici plus spécialement 
est St-Dunstan's Collège, Catford, comprenant une division supérieure, 
avec sections littéraire, commerciale et technique, et une division infé- 
rieure renfermant une section latine et une section non latine. A son entrée 
dans la section technique (Technical lY) l'élève est âgé de 13 ans environ. 
Il est sensé connaître l'arithmétique, un peu d'algèbre et de géométrie ex- 
périmentale. Le fait d'être dans cette section ne constitue pas à proprement 
parler une spécialisation, car six ou sept leçons par semaine seulement 
sont consacrées aux branches essentiellement techniques (Engineering), les 
autres leçons se prenant avec les élèves des autres sections. 

Les branches techniques, enseignées par l'auteur, comprenaient le tra- 
vail des métaux, la mécanique expérimentale et le dessin mécanique. La 
principale diftlculté concernait renseignement de la mécanique expérimen- 
tale. Les sujets suivant furent choisis : Poids, mouvement, tension des fils, 
machines, frottement. La méthode de travail adoptée avait spécialement 
pour but de cultiver l'esprit scientifique de l'élève, chaque objet d'étude 
étant l'occasion de recherches analytiques et d'investigations appropriées. 
Pour nous donnner une idée plus précise des procédés employés, 1 auteur 
nous expose en détail les leçons sur le « mouvement ». Ou se rendra compte 
que dans cet enseignement le dessin mécanique et la mécanique expérimen- 
tale aussi bien que le travail manuel sont avant tout considérés comme 
l'occasion d'investigations mathématiques. L'élève comprendra l'importance 
de l'emploi des expressions algébriques, se familiarisera avec la notion 
de fonction et les représentations graphiques. L'étude des forces et de 
leur équilibre ainsi que celle du mouvement conduira à l'usage de la nota- 
tion vectorielle. Cependant toute incursion dans le domaine des mathéma- 
tiques pures se fait dans un but utilitaire, chaque problème étant posé de 
telle façon que 1 élève en réalise l'importance pratique. Toute question est 
abordée sous son aspect concret, les méthodes déductives n'étant pratiquées 
que lorsque le développement mental de l'élève s'y prête. La promotion en 
Technical VI se fait à 1 âge de 16 ans environ. A ce moment deux alternati- 
ves se présentent à l'élève : se préparer pour 1 un ou 1 autre des collèges 
techniques ou entrer directement dans quelque manufacture industrielle, 
chimique, ou autre, et poursuivre ses études théoriques dans les cours du 
soir. La première alternative est préférable, la seconde devant être considé- 
rée comme un surmenage. Le travail de la Technical YI consistait donc en 
une préparation à l'entrée d'un collège d'ingénieur. La répartition des heu- 
res était la suiv;.nte : branches d'ingénieurs 10, science 8, physique 4, chi- 
mie 4, mathématiques 7, branches littéraires 7. L'une des dix heures consa- 



1 i'asc. de 26 p. ; prix : 2 d., Wvninn ik Sons, Londres. 



156 NOTES ET DOCUMENTS 

crées aux brandies d ingénieurs fui affectée aux mathématiques pratiques, 
5 an dessin géométrique et mécanique, 2 à la mécanique expérimentale, 2 
au travail métallique. Durant les heures de dessin, certains détails de ma- 
chines furent abordés, nécessitant une étude plus avancée de géométrie 
pratique plane et solide. La géométrie descriptive fui développée expéri- 
mentalement sous forme de problèmes de dessin mécanique. La mécanique 
expérimentale fut envisagée à un point de vue plus systématique, en combi- 
nant le côté expérimental et le côté lhéori(|ue. Enfin le temps réserve aux 
mathématiques proprement dites fut principalement consacré à lintroduc- 
tion naturelle du calcul vectoriel et du calcul différentiel et intégral. A ce 
projios, le rapport nous fournit une foule de détails que nous ne pouvons 
reproduire ici. Disons seulement qu'au bout de deux ans de travail, en y 
consacrant une leçon par semaine en moyenne, les connaissances acquises 
dans ces branches furent suffisantes pour permettre aux élèves d en appré- 
cier l'importance et l'utilité. 

L'auteur présente ensuite quelques observations concernant le système 
actuel d'enseignement. Il arrive souvent, dans les conditions présentes, que 
le maître de mathématiques est obligé de négliger complètement certains 
aspects de son sujet ou de les introduire d'une façon purement mécanique sans 
que l'élève puisse se rendre compte de l'utilité de cette introduction. Or, 
au point de vue éducatif il importe au contraire que toute nouvelle question 
se présente naturellement à 1 esprit de l'élève et soit motivée par son tra- 
vail antérieur. Un autre fait à déplorer c'est l'usage des manuels dans les 
classes inférieures. Dans l'enseignement supéiieur les manuels sont indispen- 
sables, mais il n'en est pas de même lorsqu il s'agit d'élèves moins avancés; 
il est alors préférable que chacun fasse son propre manuel. Ce procédé a 
été adopté pour les branches scientifiques durant ces huit ou neuf dernières 
années et il en est résulté une amélioration sensible. On devrait aussi géné- 
raliser ce système dans l'enseignement mathématique des classes inférieures. Il 
faudrait également que les maîtres eussent une plus grande liberté dans le 
choix du sujet de leur enseignement et dans la façon de le présenter. 

L'auteur propose une réorganisation des jirogrammes où l'on réserverait 
une plus large place aux travaux manuels, spécialement dans l'enseignement 
inférieur. Par travail manuel il ne s'agit pas de simples exercices dans le 
maniement des outils, mais bien ^'un travail intelligent, où 1 esprit de l'élève 
est en jeu et dans lequel une certaine liberté lui est accordée dans le choix 
de ses méthodes. 

Le pi'Ogramme concernant raritlunéti(|ue pure devi-ail être simplifié et 
se réduire pratiquement à la multiplication, la division et aux proportions. 
En algèbre il serait nécessaire d insister sur la notion de fonction et d'uti- 
liser plus intelligemment les représentations graphiques. En géométrie, en- 
fin, il y aurait avantage à réunir la stéréométrie et la planiméirie. Il serait 
alors possible d'introduire dans les classes avancées certains sujets négli- 
gés jusqu'à présent, ou traités superficiellement par suite du manque de 
temps (calcul infinitésimal, calcul vectoriel, analyse harmoni(|ue, théorème 
de Fourier, équations différentielles simples, etc.). Il s'agit simplement 
d'écarter les restrictions artificielles, d encourager l'individualité et de favo- 
riser les méthodes d'investigation. 



IV O TE s ET DOCUMENTS 157 



N° 13, — L'Arithmétique dans les Ecoles secondaires. 

The teaching of Avithmetic in Secondary SchoolsK by Mr. G. \V. Palmer, 
Mathematical Master at Christs Hospital, Horsham. — Ce rapport concer- 
ne plus spécialement les Public Schools, mais s applique également d une 
façon générale aux établissemeuts secondaires. A son entrée à 1 école, i élève 
doit connaître au minimum la numération, les quatre règles, l'usage des 
nombres complexes, et les éléments des tractions ordinaires. Malheureuse- 
ment, dans bien des écoles préparatoires cet enseignement préliminaire 
laisse beaucoup à désirer, ce qui rend plus difficile la tâche du maître se- 
condaire. Dans les classes inférieures des écoles secondaires, l'arithméti- 
que est enseignée généralement par un non-spécialiste. Cette remarque est 
importante, car un non-spécialiste, tout en étant peut-être un excellent maî- 
tre, sera tout naturellement plus conservateur, moins enthousiaste des réfor- 
mes que le mathématicien. 

Afin de pouvoir mieux juger des tendances actuelles de l'enseignement de 
l'arithmétique, l'auteur nous fait une description de cet enseignement tel 
qu'il se piatiquait il y a 25 ans. puis il nous moulre ce qu'il est devenu à 
l'heure actuelle. Il y a 25 ans, l'arithmétique était à la veille d'uue impor- 
tante transformation. Avant cette époque, elle s'était développée à un point 
de vue presque exclusivement commercial. Sa valeur éducative n'était pas 
reconnue et son enseignement se faisait d'une manière fort peu raùonnelle : 
il suffisait généralement d'avoir appris les règles et de pouvoir les appli- 
quer. Plus tard, lorsque les mathématiques devinrent une partie importante 
de l'éducation générale, on cessa de considérer l'arithmétique comme une 
branche purement commerciale et l'on commença à tenir compte de son 
utilité comme base de l'enseignement mathématique futur et des services 
qu'elle est appelée à rendre dans d autres domaines, particulièrement la phy- 
sique. 

L'auteur passe ensuite aux détails de cet enseignement d il y a 25 ans et 
s'occupe successivement des différents chapitres d'une façon plus approfon- 
die (numération, les quatre règles, nombres complexes, plus grand com- 
mun multiple, fractions, fractions décimales, fractions décimales périodi- 
ques, pratique, aires et volumes, méthode de réduction à l'unité, pourcentage, 
profils et pertes, intérêts, escompte, etc., racines carrée et cubique, moyen- 
nes, alliages, partages proportionnels, etc.). 

Après cola nous abordons l'arithmétique moderne. C'est la « Mathemati- 
cal Association)), société de maîtres de mathématiques qui, en fait, a pris la 
direction des réformes récentes. En 1902, cette association publia un rap- 
port où étaient indiquées les transformations les plus urgentes à introduire 
dans l'enseignement mathématique. Dans la partie concernant l'arithmétique 
et l'algèbre, on signalait en particulier le danger qu'il y avait de sacrifier 
la compréhension claire du sujet à l'habileté mécanique, tendance fort nui- 
sible à la véritable valeur éducative de ces sujets. Four combaltre cet état de 
chose, on y faisait les recommandations suivantes : pratiquer fréquemment 
des exercices de vive voix, insister sur l'importance des principes fondamen- 
taux, généraliser les règles en s'appuyant autant que possible sur la propre 



* 1 fasc. de 33 p. prix : 2 ' s d. ; W.vnian & Sons, Londres. 



158 NOTES ET DOC UMEN TS 

expérience des élèves, appliquer la géométrie, en particulier les représen- 
tations graphiques, à l'ai-itlunétique et à 1 algèbre, remettre à plus tard les 
règles trop difficiles et les exercices trop compliques. 

Après diverses remarques concernant ces observations générales. 1 auteur 
s'occupe plus spécialement des différents chapitres de l'arithmétique mo- 
derne (numération, les quatre règles, les nombres complexes, système mé- 
trique et fractions décimales, facteurs et multiples, fractions ordinaires, 
parenthèses, méthode de réduction à l'unité, proportions, variations, pour- 
centages, racine carrée, aires et volumes de Cgures rectangulaires, mesures, 
approximation, logarithmes, méthodes de calcul, intérêts simples, intérêts 
composés, escompte, etc., représentations graphiques, problèmes|. 

En résumé, les tendances modernes concernant renseignement de 1 arith- 
métique sont les suivantes : Ecarter du programme bon nombre de chapitres 
dont on peut parfaitement se dispenser, éliminer également tout développe- 
ment compliqué et d'un caractère purement artificiel. Cette élimination per- 
mettrait d'insister par contre sur les parties plus importantes et d intro- 
duire plus tôt d'autres domaines des mathématiques, par exemple la trigo- 
nométrie. Rendre les notions nouvelles aussi réelles que possible à laide 
d'applications concrètes (point de vue géométrique, diagrammes, représen- 
tations graphiques, travail de laboratoire). 

Les commissions d'examens peuvent contribuer ponr une large part à la 
réalisation de ces réformes. Mais actuellement, il faut le constater, la majo- 
rité des questions d'examens constituent un sérieux obstacle aux changements 
qui devraient se faire dans l'enseignement mathématique. 



No 14. — Scholarships (Bourses d'études). 

Examinations for Mathematical Scholarships \ by Dr. F. S. Macavlay, 
Assistant Master at S' Paul s School, London, and Mr. \V. J. Grf.exstreet, 
Editor of the « Mathematical Gazette » and laie Head Master of the Marling 
Endowed School, Stroud. — Actuellement les universités, collèges et éta- 
blissements publics des Iles Britanniques ont à leur disposition des bourses 
permettant aux jeunes gens non fortunés de poursuivre leui's études s'ils 
ont fait preuve de capacités suffisantes. Autrefois ces bourses étaient dues 
à la générosité de certains donateurs particuliers, mais à 1 heure qu'il est, 
l'Etat lui-même y prend part de plus en plus. Ce sont naturellement les 
meilleurs candidats qui ont droit à ces facilités leur permettant l'entrée à 
Cambridge, Oxford, etc. Il en est résulté que l'obtention de ce.s bourses 
constitua de plus en plus un honneur pour l'école d où sortait le candidat. 
Peu à peu le travail même de l'école s'en ressentit, il se régla en vue préci- 
sément de ces examens d'entrée aux universités et l'on put dire que 1 école 
secondaire n'était que le vestibule de l'université. Cette façon de procéder 
présentait de graves inconvénients. Il n'était pas juste de sacrifier les inté- 
rêts de la majorité à ceux de quelques-uns se proposant d achever leurs 
éludes à l'université. Actuellement, grâce au « Board of Education » cet état 
de chose a été modifié. Dans le domaine des mathématiques, spécialement, 
une distinction est faite entre le mathématicien professionnel et les élèves 



* 1 fasc. de .53 p.; prix : 3 d.; \Vyin.in & Sons, Londres. 



NOTES ET DOCUMENTS 159 

qui n'ont pas l'intention de continuer à l'université ; le programme n'est 
pas non plus le même pour les garçons et les filles. 

Il existe plusieurs sortes de bourses : Foundation Scholarships. Scholar- 
ships, Major Scholarships, Minor Scholarships, Exhibitions, Sizarships, 
Bursaries, selon leur provenance ou leur montant. 

Cet argent est fourni par les universités elles-mêmes, par les écoles et 
par le gouvernement, les « County Councils » et autres corps publics. En 
Ecosse, les « bursaries » sont délivrées à la suite d'examens généraux com- 
prenant les mathématiques comme branche obligatoire. L entrée à l'univer- 
sité (Edinburgh, Glascow, Aberdeen, S^-Andrewsl se fait plus tôt qu'en 
Angleterre. En Irlande, la « Queen's University of Belfast « et la « National 
Universily of Ireland » disposent de quelques bourses ; l'Université de 
Dublin en délivre un plus grand nombre, mais le système qui en règle la 
distribution laisse plutôt à désirer ; ainsi les connaissances mathémntiques 
que l'on exige de la part des candidats sont insuffisantes. En Angleterre 
proprement dite, les petites universités et l'Université de Wales ne possè- 
dent qu'un nombre restreint de n Scholarships » ; l'Université de Londres 
n'en a aussi que relativement peu. En juin, des candidats âgés de moins de 

18 ans peuvent se présenter à un examen pour l'obtention de 5 bourses de 
40 1. par an, valables pour deux ans. L'une de celles-ci concerne les ma- 
thématiques combittées à une branche accessoire. En juillet également, 

19 « scholarships » de 50 I. valables pour une année sont mises en compé- 
tition, dont 3 pour les mathématiques. A Oxford et Cambridge, les examens 
qui permettent d'obtenir les « scholarships » sont pratiquement identiques. 
A Cambridge on délivre chaque année une cinquantaine de bourses diverses 
pour les mathématiques, dont le montant varie de 30 I. à 80 1.; à Oxford une 
trentaine. Les branches exigées sont la géométrie, l'algèbre, la trigonomé- 
trie, le calcul différientiel et intégral et la mécanique. 

A Cambridge, ces examens peuvent être divisés en deux groupes : le 
« ïrinily Collège group « comprenant cinq collèges et le « Pembroke and 
St-John's group » qui en comprend sept. Pour les deux groupes, les exa- 
mens se passent en même temps, au mois de décembre, de sorte qu'il n'est 
pas possible au candidat de se représenter la même année s'il ne léussit 
pas la première fois. 

Il y a vingt ou trente ans, les questions d'examen se réparlissaient à peu 
près également en questions théoriques et questions pratiques. Plus tard 
la théorie a été supprimée, car on pensait que ce n'était qu'une affaire de 
mémoire et que seuls les problèmes rendaient possible l'appréciation exacte 
de la valeur d'un candidat. Aujourd'hui on en est revenu, et Ion estime que 
certaines questions théoriques peuvent être introduites avantageusement 
dans les examens, car elles présentent de l'intérêt par la façon originale 
dont elles peuvent être traitées et parce qu'elles permettent de juger si 
le candidat est capable de s exprimer d'une manière intelligible. 

Dans le « Trinity group » les questions d'examens présentent une grande 
variété ; celles du « Pembroke group », par contre, sont plus uniformes. 
L'auteur formule quelques critiques personnelles concernant ces questions 
d'examens et relativement aux diverses branches sur lesquelles elles roulent. 
Pour l'algèbre, les questions sont en nombre insuffisant étant donné la 
grande variété de sujets qui s'y trouvent renfermés (convergence des séries, 
fractions continues, déterminants, probabilités, théorie des nombres, théorie 
des équations). L examen de géométrie ne devrait pas rouler exclusivement 



160 NOTES ET DOCUMENTS 

sur la géométrie moderne, mais devrait comprendre également des applica- 
tions géométriques du calcul diUéreutiel et intégral. Il faut féli(-iter Cam- 
bridge et Oxford d avoir refusé d'accorder aux méthodes graphiques plus 
d importance qu'elles n en méritent, et cela malgré l'insistance avec laquelle 
certains enthousiastes chantent leurs merveilles. Les méthodes graphiques 
appliquées à la résolution de questions de statiques sont utiles à l'ingé- 
nieur, mais ne présentent que peu d'importance pour le mathématicien. Les 
questions des examens de statique et de dynamique présentent un réel pro- 
grès sur celles du passé, car elles n'étaient autrefois qu'une source de per- 
plexité pour l'étudiant. 

Un point sur lequel l'auteur insiste tout spécialement, c est rinipnrlance 
de la géométrie pure dont les méthodes ne présentent pas l'aridité de celles 
de I analyse élémentaire. 

L un des inconvénients inévitables d'un systènie d'examens c'est la publi- 
cation de manuels écrits spécialement à leur effet. Il existe pourtant d'ex- 
cellents manuels n'ayant en vue aucun examen parliculier, mais ils n'ont pas 
obtenu jusqu'à présent le succès qu'ils mériteraient. 

Le jury chargé de la décision des questions d examens devrait être com- 
posé d'experts snlfisamment nombreux et vraiment capables. Toute question 
artificielle, ou dont la solution ne dépend pas de quelque méthode ou prin- 
cipe important, devrait être éliminée sans scrupule. 

On trouvera en appendice deux rapports publiés par la « Mathemalical 
Association », l'un, publié en 1904, porte le titre : Report on Ad\'anced 
School Malhernatics, et l'autre, paru eu 1907, intitulé : Report on Entrance 
Scholarships at the Universities. On y a joint également des spécimens de 
questions d'examens provenant des Universités de Cambridge, Oxford et 
Londres. 

N° 15. La valeur éducative de la géométrie. 

Tho Educational Value of Geonielry^, by Mr. G. St. L. Carson, Head 
Mathcmatical Master at Tonbridge School. — Comme le titre l'indique, ce 
rapport n'envisage pas la géométrie au point de vue de ses applications 
dans d'autres sciences ou de son importance pratique, ni même relativement 
à la place qu'elle occupe daus l'éducation mathématique proprement dite. Il 
se propose uniquement d'établir les raisons pour lesquelles cette branche 
est universellement acceptée comme un élément nécessaire de l'éducation 
générale. Pour cela, il est nécessaire d'expliquer d'une façon quelque peu 
détaillée ce qu'est réellement la géométrie. Cette branche est basée sur 
un certain nombre de faits fondamentaux qui résultent de l'expérience. Il 
importe d'insister sur cette nature particulière des principes fondamen- 
taux. Pour cela il s'agira : 

1. De distinguer ce qui est essentiel de ce qui est secondaire dans 1 ap- 
préciation des points, lignes et plans et dans leurs relations mutuelles. 

2. De baser sur cette appréciation des raisonnements logiques, sous forme 
d'enchaînements continus. 

3. De discuter la dépendance mutuelle des principes et de les établir 
d'une façon précise. 



' 1 tasc. de 17p.; prix: 1 ■ j cl.; VVvmann \ Sons, Londres. 



NOTES ET DOCUMENTS 161 

Cette façon de procéder est commune à toute forme de construction hu- 
maine, et, à ce point de vue, la valeur éducative de la géométrie est indis- 
cutable. 

Un autre facteur qui a son importance et sur lequel on n'insiste malheu- 
reusement pas assez, c'est la valeur esthétique de la géométrie. La contem- 
plation de systèmes logiques inattaquables tels qu on en trouve dans les 
mathématiques évoque en nous une idée de perfection différente de celles 
qu'on rencontre dans la littérature et dans les arts. 

Au point de vue éducatif, l'élude de la géométrie peut se diviser en trois 
périodes correspondant aux trois divisions citées plus haut. Dans la pre- 
mière, on cherchera surtout à stimuler et développer l'imagination. Dans 
la seconde c'est le raisonnement qui joue le principal rôle. Dans la troisiè- 
me on discutera les principes qui servent de base au corps géométrique 
et l'on recherchera leurs relations mutuelles. On ne s occupera pas ici de 
cette troisième division car -elJ£ ne rentre généralement pas dans le cadre 
des études scolaires. 

Dans la première époque de 1 éducation géométrique, il s agira donc de 
stimuler l'imagination de l'enfant en développant les impressions qu'il est 
capable de ressentir. Pour cela, il faudra faire appel à des notions qui lui 
sont familières (maisons, routes, montagnes, iles, etc.). Il n'est pas difficile 
de concevoir des problèmes répondant à cette condition, stimulant l'imagi- 
nation, développant l'esprit de recherche et le raisonnement géométrique 
dans ses formes les plus simples. On peut diviser ces problèmes en cinq 
groupes : 

1. Construction de triangles et de polygones, les données n'étant que des 
longueurs. 

2. Simples constructions pour déterminer la hauteur de bâtiments, la 
route de vaisseaux, etc., dépendant des indications de la boussole et d'angles 
d'élévation. 

3. Construction de triangles et de polygones, les données étant des lon- 
gueurs et des angles. 

4. Extension des questions précédentes à des problèmes comportant plus 
d'un seul pian. 

5. Détermination d'un point par 1 intersection de deux lieux géométriques 
ou de ses limites lorsqu'il est astreint à rester à l'intérieur ou à l'extérieur 
de plusieurs lieux géométriques. 

Les applications devront se faire d'abord relativement à des objets définis, 
puis sur des représentations mentales de classes d objets, ensuite sur des 
abstractions (point, ligne, couleur, etc.) et pour finir on considérera le pro- 
cédé lui-même dans toute sa pureté. Cette façon d'opérer peut être regar- 
dée comme une introduction aux idées de groupe et de fonction. 

La transition entre ce stage préliminaire et le premier cours de géomé- 
trie formelle se fera par l'introduction progressive du raisonnement déduc- 
tif et en cessant graduellement l'emploi d objets concrets servant à i-enforcer 
l'imagination. Dans un premier cours de géométrie toute proposition qu il 
est possible de faire accepter à l'enfant sans mesure d'aucune sorte devrait 
être adoptée comme un postulat. Cette définition comprend : 1. L égalité des 
angles opposés par le sommet, 2. Les propriétés des parallèles relative- 
mement aux angles, 3. Les propriétés des figures qui sont évidentes par 
symétrie, i. Les propriétés des figures qui peuvent être démontrées par 
superposition. Tout théorème proprement dit devrait démontrer une propo- 



162 yOTES ET DOCUMENTS 

silioa nouvelle qu'il n'aurait pas été possible d apercevoir par intuition 
directe, symétrie ou superposition. 

Si Ion se demande où les méthodes de la géométrie se présentent avec 
le plus d'unité, de simplicité et de beauté, il faut répondre que c'est en 
géométrie de position et en géométrie projective. Ces branches doivent-elles 
rester la propriété exclusive des mathématiciens de profession et sont-elles 
vraiment hors de portée de l'adolescent? L auteur pense que les notions et 
méthodes élémentaires de la géométrie projective peuvent être comprises 
par des élèves ordinaires, qu'elles présenteront un plus grand intérêt qti'une 
forme quelconque de la géométrie euclidienne et que leur valeur éducative 
est de beaucoup supérieure. Des expériences concluantes ont été faites à ce 
propos, soit sur des élèves individuels, soit sur de petites classes. 

En ce qui concerne la dépendance mutuelle des postulats, une discussion 
détaillée ou systématique serait déplacée dans un programme scolaire : cepen- 
dant quelques exemples de déduction de postulats les uns des autres pour- 
raient être traités; il serait alors possible de faire réaliser à l'élève l'idéal 
d'une géométrie basée sur le plus petit nombre d axiomes possible. L'au- 
teur est également convaincu que tout étudiant ayant lidée de poursuivre 
son éducation à l'université devrait avoir quelques notions sur la nature de 
la géométrie non-euclidienne. 

Pour bien se rendre compte des tendances actuelles de 1 enseignement 
de la géométrie en Angleterre, il suRil d'examiner les transformations qu'il 
a subies ces derniers temps. Il y a quelques années Euclide y était encore 
exclusivement en usage. Peu à peu, les différentes écoles se libérèrent de 
cette stricte obligation, et en 1903 l'Université de Cambridge publia un pro- 
gramme où il était spécifié que les examinateurs accepteraient toute démons- 
tration systématique des questions proposées. Il laut noter aussi deux 
points importants : l'introduction des cours préliminaires et la pratique des 
exemples numériques. Le but de ces préliminaires est de familiariser 1 en- 
fant avec les notions fondamentales du sujet ; ils consistent principalement 
en exercices de mesure et de construction ; il faut seulement regretter que 
la géométrie de l'espace n'y occupe pas une place plus importante. De tels 
cours devraient être basés sur l'extension graduelle de l'expérience et de 
liinaginatiou de l'enfant, ce qui n'est malheureusement pas le cas ; il est 
enfin regrettable d'y rencontrer cette tendance, dont il a été question plus 
haut, à faire intervenir des procédés numériques à propos des postulats. 

On trouveia dans une circulaire* publiée par le Boavd of Education 
(N» 711, 1909) d'intéressants renseignements sur les transformations de ces 
dernières années et quelques conseils pratiques concernant l'enseignement. 
C'est surtout dans les écoles secondaires modernes qu'on constate une amé- 
lioration sensible, beaucoup plus que dans les établissements de l'ancien 
type qui sont restés comparativement stalionnaires. C'est que les écoles 
modernes ont à leur disposition des maîtres qui non seulement connaissent 
bien leur^ujet mais savent également comment l'enseigner. C'est là surtout 
qu il faut chercher la raison de ce progrès, plutôt que dans les récents 
changements de programme. 



* Traduite dans l'iùts. math, du 1.") mai IHUl. p. 238-253. 



NOTES ET DOCUMENTS 163 



N" 16. — La géométrie dans l'enseignement moyen. 

A School Course in ad\'anced Geometiy^, by Mr. C. V. Durell, Assistant 
Masler at Winchester Collège. — Etant donné le rôle considérable que joue la 
géométrie dans les programmes scolaires, il est important d'assurer une 
coordination aussi complète que possible entre les diverses formes que pré- 
sente cette branche. Jusqu'à présent on n'a pas suffisamment tenu compte 
de l'unilé fondamentale du sujet. Ce manque de cohésion entre les différen- 
tes branches de la géométrie occasionne nécessairement de nombreuses 
répétitions et par suite une perte de temps considérable. 

Si l'on examine le champ de géométrie exigé de la part d'un candidat en 
mathématiques à son entrée à l'université, on se demande comment le maî- 
tre peut arriver au bout de son programme : 

a). Euclide, livres I-IV, YI. 

b). Principes élémentaires de stéréométrie et notions fondamentales de 
stéréométrie pratique. 

c). Etude plus approfondie des propriétés du triangle et du cercle et 
théorie des faisceaux. 

d). Géométrie analytique, coordonnées cartésiennes et polaires et quel- 
ques notions sur les coordonnées homogènes. 

e). Les coniques au point de vue géométrique en se basant sur la délini- 
nition relative au foyer et à la directrice. 

f). Projections orthogonales et coniques. 

g). Dualité. 

h). Homographie et involution. 

Si chacun de ces sujets doit être traité séparément et d une façon suffisam- 
ment complète, il est clair que le temps dont on dispose est tout à fait in- 
suffisant. Il en résulte que certains d'euti-e eux seront laissés complètement 
de côté ou envisagés très superflciellement. Ainsi, à part les spécialistes il 
n'y a que bien peu d'élèves qui abordent les sujets fj, g), h). 

Il s'agit d examiner ici s'il ne serait pas possible de modifier l'ordre géné- 
ralement adopté dans 1 étude de la géométrie, de façon à profiter plus 
avantageusement du temps dont on dispose. 

Ainsi, la question des projections présente un intérêt tout particulier car 
elle ouvre à l'étudiant des horizons nouveaux et constitue pour lui un 
précieux instrument d'investigation. Il serait donc fort regrettable d omettre 
ce sujet. Pour en commencer plus tôt I étude, deux changements seraient 
nécessaires : l'étude analytique des coniques devrait se faire en même temps 
que l'exposé des propriétés géométriques simples ; puis l'élude approfon- 
dies des coniques au point de vue géométrique, e), ne devrait se faire que 
plus tard, une fois que les résultats élémentaires de la géométrie projective 
auraient été établis. 

Si l'on mène de front les procédés' an^-klytiques et géométriques- on aura 
l'avantage de pouvoir choisir entre les deux méthodes dont on dispose pour 
résoudre les diverses questions qui se présenteront. Le mieux sera de se 
servir des moyens les plus simples, analytiques ou géométriques suivant 
les cas ; l'élève se rendra compte ainsi des avantages que présente l'une des 



' 1 fasc. de 14 p.; prix : 1 *,s il.; Wymano & Sons, Londres. 



164 NOTES ET DOCUMENTS 

méthodes sur l'autre selon le genre de la question ; sans parler de l'écono- 
mie de temps réalisée. L'introduction des éléments à l'iniini peut se faire 
d'une façon intéressante par l'un on par l'antre procédé ; étant donné 1 im- 
portance du sujet, on pourra avantageusement présenter les deux points de 
vue. 

Une autre cjuestion se pose : jusqu'à quel point doit-on avoir recours 
à l'analyse pour établir les théorèmes fondamentaux des projections. An 
poini de vue de l'enseignement, les démonstrations analytiques des théorè- 
mes fondamentaux seront plus accessibles que d'autres à l'ensemble des 
élèves, car si l'on exclut la méthode analytique, on rencontrera de grandes 
diflicultés lorsqu'il faudra identifier la définition des coniques obtenue en 
partant des projections et celle qui est basée sur les notions de foyer et 
directrice. 

L'auteur examine ensuite d une façon plus détaillée ces diverses modifi- 
cations touchant à l'enseignement de la géométrie. Le nouveau plan d études 
qu'il nous propose a été conçu conformément aux trois idées directrices 
suivantes : 

1. Economiser du temps en évitant les répétitions inutiles. 

2. .Mettre à la portée de l'élève moyen ces importantes notions de conti- 
nuité, projectiviié, transformation, si propres à stimuler l'intérêt et qui font 
de la géométrie supérieure un sujet d'une si haute valeui- éducative. 

3. Elaborer un programme qui, tout en étant accessible à l'élève n'ayant 
pas de dispositions spéciales pour les mathématiques, constitue cependant 
une préparation suffisante pour le spécialiste. 

Contentons-nous d indiquer les principaux avantages que présenterait ce 
nouveau programme qui, du reste, a déjà été expérimenté ces dernières an- 
nées : 

1. On économise un temps considérable en réunissant en un seul sujet 
les théories analytique, géométrique et projective des coniques ; on saisit 
mieux l'unité du sujet et 1 on a une idée plus nette de ses principes fonda- 
mentaux. 

2. Le changement de point de vue stimule I intérêt de l'élève, lui donne 
un sentiment de maîtrise et l'engage à pousser plus loin ses investigations. 

3. L'étude de la géométrie piojective ne restera plus un domaine exclusi- 
vement réservé aux spécialistes. 

N'J 17. — Ecoles navales. 

Matliematici at Oshurne and Darlmouth^. by .Mr. .). \V. Mercrk, Head 
of the Mathematical Department of the Royal Naval Collège, Dartinouth. 
with a Préface by .M. C. E. Ashfokd, Head Master of the Collège. 

Introduction. — Le Collège d Osborne a été fondé pour permettre aux 
cadets de commencer leur service plus tôt. Ils y entrent à 13 ans déjà et y 
passent deux ans. A Osborne et Dartmouth, la moitié des heures de travail 
environ est consacrée aux sciences et aux travaux d'ingénieurs ; le tiers ou 
la moitié de ce temps se passant à l'atelier. Durant les deux années d'Os- 
borne, les mathématiques se répartissent en 6 72 heures d'enseignement et 
2 heures de préparation par semaine. A Dartmouth, pendant la première 



' 1 fasc. de 41 p. ; 2 i/j d. ; Wvniiin and Sons, Londres. 



NOTES ET DOCUMENTS 165 

aûnée, 5 heures d'enseignement et 2 '/2 iieuies de préparation el, pendant \a 
seconde année, 6 heures d'enseignement et 3 '/a heures de préparation, mais 
ces heures comprennent le temps consacré à la navigation, c'est-à-dire 
3 '/2 heures par semaine durant la seconde année. Après avoir quitté Dart- 
mouth, les cadets passent 8 mois sur un croiseur spécial où ils reçoivent 
un enseignement pratique ; en outre, les élèves les plus capables y pour- 
suivent l'étude des mathématiques pures. D'une façon générale, la prépara- 
tion actuelle des officiers de marine est moins essentiellement mathématique 
qu'autrefois, mais la mécanique y joue un rôle plus prépondérant. Le temps 
consacré aux mathématiques étant moins considérable qu'autrefois, il im- 
porte de l'utiliser convenablement. A ce point de vue, les récentes transfor- 
mations de l'enseignement mathématique et l'élimination d'un bon nombre 
de chapitres inutiles et surannés permettent une sensible économie de 
temps. Une certaine partie des cadets (moins de la moitié probablement) 
n'ont pas l'occasion de poursuivre létude des mathématiques supérieures 
pendant les stages subséquents de leur carrière ; ils formeront le corps des 
officiers généraux (gênerai set'i'ice ofpcers). Mais ceux qui désirent devenir 
officiers spécialistes devront suivre, à leur sortie de Darmouth, des cours 
spéciaux à Greenwich et ailleurs. C est pourquoi il existe à Osborne et 
Darmouth, à côté du cours de mathématiques pratiques, un cours supplé- 
mentaire moins concret servant de préparation à ces cours spéciaux. 

Une fois leurs éludes théoriques terminées et après avoir accompli leur 
stage de 8 mois à bord du croiseur dont il a été question, les cadets doi- 
vent faire un service de 5 ans sur mer afin d'entrer dans l'activité même de 
leur profession. A la fin de cette période, les spécialistes devront suivre 
des cours de mathématiques avancées, il faudra qu'ils se remettent au tra- 
vail théorique après une interruption de 5 ans. Si l'on veut donc que cette 
interruption ne leur soit pas trop nuisible, il faudra tenir compte de ces 
•circonstances dans l'enseignement mathématique d'Osborne et Darmouth : 
insister plus particulièrement sur la méthode de travail plutôt que de cher- 
cher à acquérir une grande habileté dans la manipulation des symboles. 

Les mathématiques à Oshovne et Dartmouth. — Les mathématiques ne 
sont enseignées aux cadets de marine qu'en tant qu'instrument utile pou- 
vant servir dans la physique, la navigation, les travaux d'ingénieurs, etc. Il 
ne faudrait cependant pas en conclure qu'elles se réduisent à l'étude de 
quelques règles empiriques ; on insiste également sur l'enchaînement logi- 
que des idées et l'on développe l'esprit d initiative de l'élève afin qu'il soit 
à même d'utiliser ses connaissances à la résolution des problèmes. 

Le programme de mathématiques comprend : a) un cours mininuim qui 
doit être suivi par tous ; h) un cours de compléments pour les meilleurs 
élèves des classes inférieures ; c) un cours de compléments pour les meil- 
leurs élèves des classes supérieures ; d) un cours encore plus avancé pour 
un très petit nombre de cadets- ayant des aptitudes toutes particulières. 

L'auteur passe en revue les différentes branches de l'enseignement ma- 
thématique, tout eu remarquant qu'un même problème peut être envisagé 
généralement de différentes manières et qu'il est bon de laisser lélève libre 
de choisir telle ou telle méthode. 

Arithmétique. Les questions concernant les opérations financières et les 
problèmes dont la résolution exige certains artifices spéciaux étaient autre- 
fois beaucoup trop nombreux. L'enseignement actuel vise à l'exactitude et 
la facilite dans les opérations élémentaires, à une connaissance approfondie 



166 NOTES ET DOCUMENTS 

du système métrique et à l'usage courant des logarithmes à 4 décimales. On 
insiste particulièrement sur l'exactitude des calculs en habituant les élèves 
à de fréquentes vérifications, et sur le degré d'approximation des résultats. 

Algèbre. L'élève doit acquérir une habileté suffisante dans la manipula- 
tion des expressions algébriques, mais on lai.sse de côté tous ces exercices 
fastidieux sur la simplification des fractions, ou ces artifices spéciaux con- 
cernant la résolution des problèmes. Ici également, on insiste sur la vérifi- 
cation des solutions trouvées. On fait constamment appel à la notion de 
fonction et atix représentations graphiques. On habitue les élèves à saisir 
toute la portée d'un graphique et à en tirer tous les renseignements possi- 
bles. Le ciiamp d'études comprend en outre la résolution des équations du 
premier et du second degré, la détermination de maxima et minima, le 
calcul des racines et des puissances en se bornant aux règles fondamentales. 
La question des logarithmes est amenée progressivement de façon à en 
bien faire saisir la signification et la portée. L'étude de la variation d'une 
fonction d'une on plusieurs variables se fera à l'aide de nombreuses appli- 
cations pratiques tirées de différents domaines tels que la géométrie, la 
physi(|ue. etc. 

Géométrie. I^e but poursuivi peut se résumer brièvement de la façon sui- 
vante : 1. Doter l'élève d'un certain nombre de faits géométriques. 2. Le 
rendre capable d'appliquer ses connaissances géométriques à la résolution 
de problèmes. 3. L habituer à raisonner convenablement et à s'exprimer 
avec précision. Le programme comprend la géométrie plane et de l'espace 
et un cours préliminaire de géométrie sphérique servant d inti-oduction à la 
li-igon'imétrie sphérique et à l'astronomie de marine. Le travail est essen- 
tiellement d'ordre pratique, la théorie étant constamment illustrée d'appli- 
cations concrètes et de mesures effectives 

Trigonométrie. Les rapports trigonométriques sont introduits pi-ogressi- 
vement en commençant par la tangente et en motivant cette introduction à 
l'aide d'applications pratiques. Relativement à la résolution des triangles 
rectangles, les cadets étudient la « Traverse Table » qui présente pour eux 
une importance toute particulière. Les triangles quelconques sont tiaités 
tout d'abord comme somme ou différence de triangles rectangles puis on 
passe aux formules plus générales. 

Eu ce qui concerne la trigonométrie sphérii[uo. le nombre des formules 
absolument indispensables a été considérablement réduit, grâce aux simpli- 
fications introduites dans l'enseignement de l'astronomie nautique. 

Calcul différentiel et intégral, f^a moitié des cadets environ entrepren- 
nent l'élnde de cette branche durant leur rleruière année à Dartmouth. On 
attache beaucoup plus d importance à la compréhension du sujet et à son 
uiililé qu'à l'habileté du calcul. Avant d'inlroduii*e la notation du calcul 
(liU'érentiel, on s occupe assez longuement des notions de vitesse à un ins- 
tant donné et de pente en un point donné d'une courbe. Après avoir traité 
un grand nombre de cas particuliers, l'élève ressent lui-même le besoin de 
généraliser ces procédés. Comme application des dérivées, citons les maxima 
et minima, les propriétés géométriques des courbes, les questions de vi- 
tesses et accélérations, d'approximation, d erreur relative, cic 

Puis on passe au problème inverse, c'est-à-dire à la recherche de la (bnc- 
lion primitive, ot le calcul intégral est introduit par le problème des aires. 
Comme applicalion on s occupera de la détermination des surfaces, des 
volumes de révolulion, des centres de gravité, des moments d'inertie, etc. 



NOTES ET DOCUMENTS 167 

En somme, les cadets n éludienl le calcul infinilésimal qu en vue de son 
utilité pratique, et le but de ce cours élémentaire est de leur montrer les 
différents genres de problèmes auxquels on pourra l'appliquer. 

Géométrie analytique. Cette branche est abordée eu même temps que le 
calcul infinitésimal. On se propose uniquement d'exposer quelques principes 
fondamentaux pouvant être appliqués à I étude d une courbe dont 1 équation 
est donnée en coordonnées cartésiennes. On recherche les équations de 
nombreux lieux géométriques, entre autres de l'ellipse, de la parabole et 
d'autres courbes intér£ss^i«4:«s. ^L,a li^e droite est traitée d'une façon dé- 
taillée, et l'on s'occupe aussi quelque peu du cercle. 

On trouvera eu appendice un relevé des questions d'examens proposées en 
avril 1911. 

J.-P. DuMUR (Genève). 

N° 18. — Ecoles de jeunes filles. 

Mathematics in the Education of Givls and Women ', by .Miss Gwatkin, 
Miss Sara A. Burstall and Mrs. Henry Sidgwick. — Ce rapport se compose 
de trois parties distinctes : 

1. The i'alue of the Stiidy of Mathematics in Public Secondaij Schools 
for girls (15 p.) par Miss E. R. Gwatkin, Head Mistress of the Queen 
Mary s High School, Liverpool. 

2. The place of Mathematics in the Education of Girls and Women (7 p | 
par Miss Sara A. Burstall, Head Mistress of the Manchester High School 
for Girls. 

3. Iligher Mathematics for IVomen (9 p.| par Mrs. Henry Sidg\yick, late 
Principal of Newnham Collège, Cambridge. 

1. — Ecoles publiques secondaires de jeunes filles. L'importance donnée 
aux mathématiques dans les écoles de jeunes filles est assez satisfaisante, 
au moins pour les écoles publiques, mais cette position est menacée de 
divers côtés. Les programmes trop chargés, entre autres, sont cause que 
chaque branche d étude ne peut subsister qu'à la condition de justifier de 
son utilité. .M"« Gwatkin s est proposée de considérer cette question pour 
les matiiématiques, elle envisage à cet effet successivement les différentes 
objections faites à cette étude et les arguments qui peuvent être allégués 
pour sa défense. Les principales parmi ces objections sont : 

Le peu d intérêt (relatif sinon absolu I que le sujet semble inspirer à beau- 
coup de jeunes filles. 

La valeur négligeable de cette élude à un point de vue purement utilitaire 
(cette dernière objection pourrait peut-être expliquer la première). 

L'effort hors de proportion avec le résultat acquis nécessité de la part de 
l'élève par la difficulté du sujet. 

L'auteur réfute ces objections en se plaçant à divers points de vue. Plutôt 
que d'adopter le remède un peu radical consistant à supprimer une étude 
parce qu'elle semble n'intéresser que médiocrement l'élève, M"« Gwatkin 
estime qu'il faudrait surtout s'appliquer à employer des méthodes d'ensei- 
gnement plus propres à la rendre attrayante pour les jeunes filles. 
- De plus, bien qu'il soit possible que la majorité des jeunes filles préfè- 



* 1 fasc. de 31 p. ; 2 ^ 2 d. ; ^^■\ iiiann aiid Sons, Londres. 



168 NOTES ET DOCUMENTS 

rent le domaine littéraire au domaine niatliémati(|ue, il faudrait s'assurer 
que cela ne vient pas principalement du fait (|ue celui-là est bien donné de- 
puis plus longtemps que celui-ci. Quant à la question très complexe de 
l'utilité des études mathématiques, il faudrait pouvoir tenir compte non 
seulement de l'utilité directe et palente, mais aussi faire sa part au déve- 
loppement général des facultés. 

M"e Gwatkin n'est pas du tout persuadée qu'il y ait plus de différence 
entre un garçon et une lille pris au hasard qu'entre deux garçons ou qu'entre 
deux filles pris au hasard. 

La didiculté du sujet est loin d'être un obstacle à son maintien dans le 
plan d études, au contraire. 

Enfin M"c Gwatkin fait quelques remarques générales sur les relations 
qui devraient exister entre les enseignements des diverses branches, arith- 
métique, géométrie, algèbre, et sur la nécessité d'adapter constamment le 
programme aux aptitudes de chaque classe. 

Des adversaii-es de l'enseignement mathématique avaient proposé de sup- 
primer cet enseignement comme branche obligatoire à l'examen d'admission 
à l'université ; l'auteur estime que ce serait une erreur, car les jeunes filles 
incapables de satisfaire pour les mathématiques aux exigences de cet 
examen, sont généralement aussi inaptes à profiter d'une éducation univer- 
sitaire. 

L'auteur est d'avis qu'il existe un nombi'e plus considérable qu'on ne le 
croit comniunéraent de jeunes lîlles qui trouvent un plaisir intellectuel réel 
dans la connaissance des théorèmes de mathématiques pures tels que ceux 
que l'on rencontre dans la théorie élémentaire des nombres. 

2. — l.es mathématiques dans l éducation des jeunes filles et des femmes. 
L auteur de ce rapport débute par un exposé historique de la question, elle 
montre la place que les mathématiques occupent actuellement dans linstruc- 
tion féminine et la manière dont elles l'ont conquise. 

PtMidant fort longtemps 1 instruction donnée aux femmes était exclusive- 
ment littéraire, même l'arithmétique élémentaire ne faisait pas partie du 
programme pour un grand nombre d'écoles. L'introduction des mathéma- 
tiques dans les plans d'étude des écoles de jeunes filles, fut un des change- 
ments les plus caracléristiques effectué dans renseignement pendant la 
2°** moitié du XIX"^ siècle. Les premiers collèges de femn)es furent ceux de 
luniversité de C'-ambridge, créés en 1871. Les maihématiques sont mairite- 
nant obligatoires pour toutes les jeunes filles désirant poursuivre des éludes 
universitaires, alors que le latin est, dans certains cas, facultatif 

De complètement théorique qu'il était, l'enseignement mathématique, 
obéissant à une nouvelle réaction, tend actuellement à devenir plus pratique 
et la spécialisation à se faii'e de plus en plus tôt et de plus en plus complète. 
Mais il faut prendre garde que cette influence utilitaire ne devienne trop 
considérable ; ce qui risque d'arriver plus encore dans renseignement ma- 
thématique des jeunes filles que dans celui des jeunes gens : elle pouirait 
bien être une des causes du manque d'intérêt et d'aptitudes poui- les mathé- 
matiques manifesté par un certain nombre de jeunes filles. 

Le surmenage est également plus à redouter chez les jeunes filles ([ue 
chez les jeunes gens ; celles-là ayant ordinairement plus de devoirs sociaux 
et d'occupations accessoires que ceux-ci. En résumé M"'' Burstall estime 
qu'il faudrait, pour éviter ces écueils, considérer trois groupes de jeunes 
filles : 



NOTES ET DOCUMENTS 169 

l" Un groupe très important, quoique peu nombreux, de jeunes iilles et 
de femmes ayant du goût et de réelles aptitudes pour les mathématiques 
dont 1 étude leur semble par conséquent relativement facile. Les éludes 
mathématiques des écoles et des collèges seraient naturellement conservées 
pour ce groupe. 

2° Un autre petit groupe, un peu moins restreint cependant que le précé- 
dent est son antipode comprenant les jeunes filles et les femmes absolu- 
ment réfractaires aux mathématiques (catégorie qui existe également chez 
les jeunes gens) et pour lesquelles les mathématiques exigées dans 1 examen 
d'admission des collèges est une barrière infranchissable qu il faudrait peut- 
être supprimer. 

3° Le troisième groupe comprend la majorité des jeunes filles, celles qui 
peuvent arriver à étudier les mathématiques d'une manière relativement 
satisfaisante. Pour celles-ci la question se pose de savoir si les résultats 
obtenus sont en rapport avec les efforts et le temps nécessités de la part 
des élèves. Cette question se résoud dans 1 un ou l'autre sens selon le point 
de vue où l'on se place ; 1 importance capitale étant donnée soit à la quan- 
tité des connaissances acquises proportionnellement au temps employé soit 
au développement du pouvoir de raisonnement et de compréhension. 

M"e Burstall préconise un moyeu terme. Les mathématiques ne seraient 
pas obligatoires jusqu'à lexamen de matriculation, mais seulement pendant 
trois ans, de 12 à 15 ans, avec comme programme l'arithmétique, la géomé- 
trie élémentaire, 1 algèbre élémentaire telle que M. Godfrey la recommande 
pour la moyenne des jeunes gens et des jeunes filles '. Le développement 
intellectuel nécessaire à l'examen de matriculation serait alors garanti soit 
par les mathématiques, soit par le latin, au choix du candidat. Ou même 
par l'harmonie, étude que M"<^ Burstall voudrait voir se développer plus 
que ce n'est actuellement le cas dans les écoles. 

Il y aurait donc un cours très limité d'arithmétique générale et de géo- 
métrie élémentaire pour les jeunes filles ne se préparant pas à entrer dans 
un collège et dont les aptitudes sont plus pratiques qu'académiques : un 
cours moyen de mathématiques pour la majorité de celles qui poursuivront 
leurs études dans un collège, mais avec faculté de remplacer les mathéma- 
tiques par du latin ou de 1 harmonie dans 1 examen de matriculation et enfin 
pour un petit nombre d'entre elles les études mathématiques telles qu elles 
se font actuellement en y adjoignant seulement une branche d étude litté- 
raire obligatoire jusqu'au bout. 

3. — M"ip Sidgwick traite la question de renseignement des mathémati- 
ques supérieures pour tes femmes en comprenant sous le terme de mathé- 
matiques supérieures toutes les mathématiques enseignées dans les 
universités et ne taisant pas partie de linstruction générale des écoles 
secondaires. 

Elle estime qu'il est inutile de faire des comparaisons entre les facultés 
/uathématiqnes des femmes et celles des hommes, puisque l'expérience a 
montré qu'il y a des femmes ayant des aptitudes mathématiques sufQsantes 
pour justifier des études universitaires. 

L auteur base ses observations principalement sur les éludes mathéma- 
tiques de Xewnham Collège à Cambridge. 



* The Algebra ï^yllabus in the Secondarv School. By Mr. C. Godfrey. N« .") des publica- 
tions du Board of Education. 

L'Enseignement niathém., 15' année : 1913. 12 



170 NOTES ET DOCUMENTS 

En résumé elle conclut qu'il est nécessaire que les femmes ayant des 
aptitudes mathématiques d'un degré quelconque soient encouragées à les 
cultiver et à étudier cette science pour elle-même et non avec les limites 
prescrites par le point de vue utilitaire ; c'est ainsi qu'elles en retireront le 
plus de profit et de plaisir. 

Le plan d étude mathématique du concours mathématique de Cambridge 
iMathematica! TriposI est annexé au rapport. 

Renée Masson (Genève). 



ITALIE 

L'enseignement élémentaire. 

L'insegiunueiito délia matematica rielle .sriiolr infant lli ed elemeiilati '. 
Relazione di A. Conti prol. nella R. Scuola normale Marglierita di Savoia 
in Roma. 

Ecoles enfantines. A chaque école normale de jeunes filles est joint un 
jardin d entants, dont chaque maîtresse établit le programme, d'accord avec 
le directeur de l'école normale. Presque partout les programmes sont ins- 
pirés de la méthode de Frœbel, de sorte que les mathématiques y trouvent 
leur compte. 

Comme il n'e.viste pas d'instructions oflicielles spéciales, il est didicile 
de se renseigner au sujet des écoles enfantines séparées des écoles nor- 
males, et qui peuvent être organisées par les communes, par des associa- 
lions ou même par des particuliers. Le décret exigeant de toutes les per- 
sonnes qui y enseignent les titres établissant leur capacité ne peut pas 
toujours être appliqué rigoureusement à cause de la pénurie de maîtresses. 

Ecoles élémentaires. L école élémentaire complète se compose de 6 clas- 
ses. A la lin de la k^ les élèves peuvent subir un examen (maturité) qui leur 
donne accès à l'école moyenne. La loi de 1904 tolère un type transitoire 
d'écoles élémentaires à 3, 4 ou 5 classes. 

Les élèves sont admis à partir de six ans. Les classes sont mixtes si elles 
comptent moins de 50 élèves, au delà de ce nombre on les sépare par sexe. 

Les programmes de 1 école élémentaire ont été modifiés à plusieurs re- 
prises, en 1860 (Mamiani), en 1867 (Coppino), en 1888 (Boselli), en 1894 
(Bacelli) et finalement, en 1905, à la suite de la loi Orlando de 1904, (]ni a 
donné à l'école son organisation actuelle. 

Les programmes sont accompagnés d'instructions oflicielles qui ont da- 
vantage le ton de recommandations que de commandements. 

Dans les classes inférieures il importe que l'élève ait toujours une repré- 
sentation concrète des nombres, et que ceux-ci ne soient jamais pour lui 
de pures notions verbales. 

Le calcul mental doit avoir la priorité, il laul éviter l'abus des exercices' 
écrits de calcul qui deviendraient une mécanique de signes graphiques. 

Il faut éviter de continuer un exercice lorsque les élèves donnent des 
signes de fatigue et exiger toujours que les réponses soient énoncées cor- 
l'eclement. 



l'ii l'asc. (le '.W |>. ; les ramiorts ne seront mis en vente qu'une l'ois r«'iinis en voliniie. 



NOTES ET DOCUMENTS 171 

L'enseignement des nialhématiques doit contribuer à obtemr des élèves 
la précision et la clarté du langage. 

On enseignera le système métrique en mettant dans les mains des élèves 
les instruments de mesure avec lesquels ils feront de nombreux exercices 
pratiques. 

L'enseignement de l'arithmétique doit préparer l'enfant à résoudre les 
problèmes qu il rencontrera dans la vie, on évitera donc les énoncés énigma- 
tiques, les successions compliquées d'opérations trop longues. 

Dans les classes supérieures il est très utile de laisser les élèves proposer 
des problèmes relatifs aux questions traitées, c'est le meilleur moyen de 
constater quils ont compris. 

Le calcul des fractions ordinaires sera exclusivement pratique, on ne 
parlera que de fraction d'un objet déterminé (un champ, un capital à ré- 
partir, etc.). 

D'après la loi de 1911, ce sont les communes qui fournissent le matériel 
d'enseignement, on y rencontre les objets nécessaires à l'enseignement 
frœbelien. Collections de poids et mesures du système métrique. Modèles 
en carton et en bois : cube (décomposable en 8 parties), cylindre, cône, 
pyramide, sphère. 

Les manuels sont choisis par les maîtres dans une liste établie annuelle- 
ment dans chaque province par une commission spéciale. 

La promotion d'une classe à la classe supérieure a lieu à la suite d'exa- 
mens qui sont oraux dans les deux premières classes, oraux et écrits dans 
les autres. 

Les élèves ayant obtenu 7 (sur 10) pour leur travail durant l'année, sont 
dispensés de l'examen. 

Le maître fait toujours partie du jury d'examen. 

Les sujets d'examens sont choisis par le jury, entre un cerlain nombre 
proposés par le maître. 

La loi en vigueur ne datant que de juin 1911, il n'a pas pu se manifester 
encore de désirs de réforme. Il serait utile de connaître les résultats obte- 
nus en s'informant auprès des maîtres. Il semble que la plupart d'entre eux 
seraient partisans d'une simplification, s'il devait en résulter plus de clarté 
dans les notions acquises, plus de précision dans l'expression et plus d'ha- 
bileté dans l'exécution des opérations fondamentales. 



Ecoles normales. 

//insegnamento délia matematica nelle scuole normali. — Relazione di 
A. CoNTi, prof, nella R. Scuola normale Margherita di S-ivoia in Roma 
(1 fasc. de 70 p.). — Les écoles normales furent ci-éées par la loi Casati 
de 1859 et comportaient 3 ans d'études ordonnées, de telle sorte qu'à la fin 
de la 2e année les élèves pouvaient obtenir par examen un diplôme (patente 
inferiore) permettant d'enseigner au cours inférieur des écoles élémen- 
taires, tandis que les élèves de o^ année qui réussissaient le dernier examen 
obtenaient un diplôme (patente superiore) exigé des maîtres du cours supé- 
rieur. Depuis 1896, il n'existe plus qu'un seul titre d'aptitude à l'enseigne- 
ment, c'est la licence de 3» année de l'Ecole normale. 

A chaque école normale de jeunes filles sont joints : une écolo complé- 
mentaire (trois ans reliant l'école élémentaire à l'école normale) ; — un 



172 NOTES ET DOCUMENTS 

jardin d enfants ; — un cours élémentaire complet pour les exercices de 
pédagogie pratique. 

A chaque école normale de jeunes gens est joint un cours élémentaire 
complet. 

Il y a 80 écoles normales féminines et 32 masculines, ces dernières relé- 
guées pour la plupart dans de petites villes (beaucoup de villes importantes, 
Rome, Gênes, Venise, Bologne. Turin, en sont privées). 

Depuis 1909 et sous certaines conditions les écoles normales peuvent 
recevoir des élèves des deux sexes, quelques-unes se sont déjà mises au 
bénéfice de cette nouvelle ordonnance. 

Le corps enseignant est masculin dans les écoles de jeunes gens, il esl 
mixte dans les écoles de jeunes filles. 

Dans les écoles de jeunes gens le maître de mathématiques enseigne égale- 
ment la physique et les sciences naturelles. 

Dans les écoles de jeunes lllles le maître de mathématiques n'enseigne que 
cette branche, mais il l'enseigne encore dans les 3 classes de l'école com- 
plémentaire. 

Depuis la création des écoles normales jusqu à la réorganisation de 1896. 
les piogrammes ont été défavorablement influencés par 1 obligation de pré- 
parer des élèves à un examen en deux ans, tandis que d'autres restaient 
trois ans à lécole ; on s'efforça par exemple de faire terminer en deux ans 
l'étude théorique de la géométrie. 

Le programme de mathématiques, assez vaste, qui fut appliqué durant 
les premières années, demandait que l'étude des mathématiques fût dès 
l'abord rigoureusement rationnelle. 

L'expéi'ience montra que malgré l'âge d'entrée assez élevé (16 ans pour 
les jeunes gens, 15 ans pour les jeunes filles), les élèves ne possédaient ni 
la prépai-ation ni la maturité d'esprit nécessaire pour suivre ce programme. 
Les simplifications commencèrent en 1861 et furent accentuées en 1867. Le 
besoin de maîtres primaires était si grand, qu'il fallait accepter tous les 
jeunes gens simplement disposés à embrasser cette carrière, sans songer à 
leur imposer des programmes ou des examens qui en auraient trop éliminé. 

Pour la géométrie les méthodes graphiques intuitives prennent la place 
de la rigueur scientilique. 

[..'école complémentaire ou de préparation à l'école normale de jeunes 
filles fut créée en 1880, et permit d'enrichir un peu les programmes d'arith- 
métique des futures institutrices, d y introduire, par exemple, l'élude des 
progressions et des logarithmes, mais la même année marque le commence- 
ment d une période de réformation à outrance, durant laquelle les pro- 
grammes ne furent pas modifiés par moins de 5 décrets en une dizaine 
d'années. 

Par la loi de 1896, les écoles normales entrèrent dans une ère nouvelle. 
Il n'y a dès lors plus qu'un seul diplôme obtenu à la fin de la 3« année, ce 
qui facilite l'élaboration des programmes, ceux-ci se limitent, pour les 
mathématiques, à l'arithmétique, à la géométrie élémentaire et à la compta- 
bilité. 

Des objections venant de toute pari établissent que les programmes ne 
sont pas en rapport avec le nombre d heures trop restreint attribué aux 
malhémati(|ues (2 à 3 h. par semainel, il est impossible de parcourir le 
programme de comptabilité. Tandis que l'enseignement à I école complé- 
mentaire a un but particulièrement pratique, l'école normale doit à la fois 



NOTES ET documents; 173 

enseigner les m;»thématiques comme instrument d'éducation du raiponne- 
ment et préparer les futurs maîtres à enseigner les éléments d'arithmétique 
aux enfants. Ce double but ne saurait être atteint aussi longtemps que les 
professeurs devront se débattre entre les limites trop étroites de l'horaire. 
Il parait indispensable d'ajouter une année à la durée du cours normal. 

Au sujet des méthodes d'enseignement, les instructions officielles, sans 
employer toujours à propos les termes « déductif » et « inductif », recom- 
mandent d'enseigner \' Arithmétique à 1 école complémentaire en associant la 
méthode inductive et la méthode déduclive et à l'école normale par une 
méthode rigoureusement scientiGque. A l'école complémentaire on donnera 
expérimentalement des notions pratiques de Géométrie, tandis que cette 
science sera enseignée à l'école normale par la méthode déduclive dans la 
l''<= classe et par la méthode inductive en 2"^ et 3^. 

L'auteur de ce rapport préférerait voir recommander partout la rigueur 
scientifique dans la mesure du possible en tenant compte de 1 âge, des fa- 
cultés, de la préparation des élèves, et en rapprochant l'enseignement de la 
réalité objective pour fixer par des exemples et des expériences les princi- 
paux faits géométriques dans là mémoire des élèves. 

Dans une seconde partie M. Conti signale les vœux de réformes émis jjar 
les milieux compétents. Nous relevons tout particulièrement celui qui con- 
siste à prolonger les éludes d'un an et à répartir 1 instruction en deux 
cycles, le premier étant consacré uniquement à la culture générale, tandis 
que le second serait destiné spécialement à la préparation professionnelle. 

Pour ce qui concerne la préparation des maîtres à l'école normale, nous 
l'envoyons le lecteur au rapport du professeur S. Pincherle. |Voir f/Ensei- 
gnement mathématique, numéro de mars 1912|. 

Observations et propositions relatives à l'enseignement 
des mathématiques dans les écoles élémentaires, moyennes et normales. 

Osser\'azioni e proposte circa l insegnamento délia mateinatica iieUe scuole 
elementari. medie e di magistero. Relazione di A. Padoa Prof, nel R. Insti- 
tuto lecnico di Genova fl fasc. de 22 p). 

L'auteur se propose d'examiner les critères qui devraient présider à la 
détermination des programmes et des méthodes d'enseignement dans les 
différentes écoles en les subordonnant au but de chacune d elles. 

1. — Lorsqu'une école sert de préparation à une autre, ce sont les maî- 
tres de la seconde qui devraient établir le programme minimum à étudier 
dans la première, et il ne faudrait guère s'écarter de ce minimum. 

Par. exemple, les maîtres de l'enseignement secondaire demandent à l'école 
primaire d'habituer les élèves à exécuter avec assurance et rapidité les opé- 
rations fondamentales sur les nombres entiers et décimaux, et de bien les 
habituer au calcul mental, mais ils retrancheraient du programme primaire 
la géométrie, les mesures de volume, etc., dont l'introduction prématurée 
ne peut que décourager les enfants. 

2. — On pourrait craindre qu'avec un programme ainsi appauvri l'école 
élémentaire ne remplisse pas son rôle de préparation aux plus humbles 
manifestations d'activité agricole, indusirielle ou commerciale, mais il y a 
lieu de remarquer qu'elle ne le remplit pas non plus avec le programme 
actuel, il faudrait la compléter (pour ceux qui n étudieront pas davanlagel 
par des écoles professionnelles inférieures diversement spécialisées. 



174 iXOTES ET DOCUMENTS 

3. — A l'Ecole Moyenne les mathématiques devraient être enseignées en 
trois cours successifs : préparatoire, — déductif, — cuinplémentaire. 

Les deux premiers, de 3 ans chacun, devraient être communs à toutes les 
divisions de l'école moyenne, taudis que le programme et la durée du 3"^ 
devraient varier pour se conformer aux exigences des différentes rlivisions. 

4. — Au cours déductif qui doit formel- le noyau de la ciiltuio matiiéma- 
tique à Vécolc moyenne, on attribuerait le programme esquissé ci-dessous : 

Arithmétique et Algèhre. — /■"" année. l-]lu(le dédnctive complète des dif- 
férentes espèces de nombi'es (du ntunhi-e ualurel absolu au nombre rationnel 
relatif! et de leurs opérations. 

Nombreux exercices de calcul littéral. 

//" année. La division de seconde espèce (déleruiinaut le quotient et le reste) 
sur les nombres entiers absolus et sur les polynômes ordonnés suivant les 
puissances décroissantes d'une grandeur. Cas de divisibilité x'" + a'" par 
X zh ^- Quotient et reste de la division d'un polynôme par a* + a. Les nom- 
bres naturels considérés comme polynômes, justification des règles pour 
effectuer les opérations fondamentales. Changement de base de numération. 
Dépendances des critères de divisibilité et de la base. Nombres premiers. 
Théorie du P. G. C. D. et du P. P. C. M. 

///« année. Nombres décimaux et fractions génératrices. Nombres irra- 
tionnels, nombres complexes. Extraction de la racine carrée avec une ap- 
proximation donnée. Calcul des radicaux. 

Théoiie complète des équations du second degi'é à une inconnue. 

5. — Comme ce programme exige plus de maturité intellectuelle que de 
préparation spéciale, on utilisera le cours préparatoire à habituer les élèves 
au calcul arithmétique, ils devront y acquérii* beaucoup d assurance et de 
rapidité. 

Voici un schéma du programme qu'il faudrait parcourir uniquement par 
des exercices, par des problèmes nombreux et faciles. 

/'■e année. Règles pratiques de divisibilité. Notions sur les nombres 
premiers. Recherche du P. G. C. D. et du P. P. C. M, par les deux mé- 
thodes. Transformation de fractions et de nombres fractionnaires. Somme de 
fractions. Différence de deux fractions. Produit et quotient d une fraction 
par un entier. 

//« année. Transformation de fraction ordinaire en fraction décimale et 
inversement, fractions périodiques. Extraction de racine carrée. Propor- 
tions, recherche de la qualiiènie proportionnelle, de la moyenne propor- 
tionnelle. 

///« année. Nombres négatifs, application à la détermination d'un point 
sur une droite puis a\i thermomètre, dettes et crédits, gains et pertes, etc. 
— Addition et soustraction de nombics de mêmes signes et de signes con- 
traires. 

Usage des lettres pour résumei- en formules les l'ègles apprises dans le 
cours d arithmétique pratique. 

Durant tout ce cours le maîti'C ne donnera pas de (l<''uioiislrations rigou- 
reuses, mais seulement des explications intuitives (|u il ne fera pas répéter 
aux élèves, ceux-ci devront seulement faire des exercices, répéter les règles 
et résoudre des problèmes. 

6. — C'est à propos du programme de Cranictiii' ([iic 1 auleui- s ('■carte le 
plus de la tradition. 

A cause de rimpénélrabiiité de la matière, le » mouvement » ne [)ermet 



NOTES ET DOCUMENTS 175 

pas toujours de constater l'égalité géométrique, par exemple le sculpteui- 
qui veut constater l'identité de la statue qu il vient de prendre dans le mar- 
bre et du modèle qu il devait copier vérifiera, à 1 aide du compas d'épais- 
seur, que les paires de points de la statue et du modèle sont superposables. 

L'auteur n'accepte que le système de délinitions géométriques dans lequel 
on ne considère comme éléments primitils que les points et la relation 
d'égalité entre paires de points. 

Il a démontré eu 1900 la suffisance de ce système qui a reçu de notables 
développements dans les récents mémoires de G. Peano, B. Levi et 
M. Pieri. 

~. — Cette méthode, nécessairement fusionniste, supprime 1 ancienne 
subdivision de la Géométrie en Planimélrie et Stéréométrie, pour lui substi- 
tuer une répartition basée sur les relations que les ligures présentent. 

Projet de programme pour le cours déductif. — /■''= année. Conception 
d égalité géométrique. Idées primitives. Définitions. Postulats. Conditions 
d égalité. Relatious mutuelles de position Iperpendicularité et parallélisme 
de droites et de plans, points communs à des droites, des circonférences, 
des plans, des surfaces spliériques, etc.). Constructions géométriques fonda- 
mentales. Propriétés des triangles et Irièdres, des parallélogrammes et 
parallélipipèdes. des polygones et polyèdres réguliers. 

//^ année. Théorie de l'équivalence des polygones et des polyèdres. Théo- 
rie euclidienne des proportions entre grandeurs. Conception générale de 
similitude et application aux polygones et polyèdres. Transformation d'une 
proportion entre segments en équivalence de rectangles et inversement, 
application à 1 énoncé des deux manières possibles et à la démonstration de 
quelques propositions (perpendiculaii-e abaissée du sommet de 1 angle droit 
sur l'hypoténuse ; sécantes et tangentes, etc.). 

IIl^ année. Définition de la longueur de la circonférence comme grandeur 
intermédiaire entre les périmètres des polygones inscrits et circonscrits ; et 
de même surface d un cylindre, d un cône. Aire d'un cercle, volume d'un 
cylindre, d'un cône. 

Surface et volume de la sphère. Théorie de la mesure. 

Les fonctions sinus, cosinus, tangente, les égalités sin- a -|- cos^ a = 1 ; 
sin a : cos a = tg a. 

Relations trigonométriques dans le triangle i-ectaugle. Théorème du sinus. 

8. — Lorsque plusieurs propositions successives se démoutrent de la 
même manière, on pourra se contenter de demander aux élèves la démons- 
tration de la première, mais il serait utile que le livre de texte contienne 
néanmoins toutes les démonsti-ations pour que les élèves ne soient pas 
tentée d-e consi<lé4-«r comme, postulats certaines de ces propositions. 

9. — La tâche de l'enseignement géométrique préparatoire sera de déve- 
lopper 1 intuition géométrique, de faire saisir l'idée d égalité, de familia- 
riser l'élève avec les mouvements géométriques fondamentaux (translation, 
rotation) et avec les faits géométriques qu'il retrouvera comme postulats. 
Tout cela à l'aide du dessin (sur papier blanc et quadrilléi ; à l'aide de pa- 
pier plié, découpé, etc. 

Pour que celte tâche de renseignement préparatoire puisse être efficace- 
ment remplie, il faut que le maître de ce cours soit celui du cours déductif. 
La cohésion est plus nécessaire entre le cours préparatoire et le cours dé- 
ductif d une même branche qu'entre l'arithmétique et la géométrie dans un 
même cours. 



176 NOTES ET DOCUMENTS 

Il faut que le professeur puisse subordouner son enseignement du cours 
préparatoii'e aux exigences du cours déductif. 

Le cours préparatoire ayant ainsi reçu une tâche déterminée ne pourra 
plus servir de préparation aux écoles professionnelles île deuxième degré, 
ni former à lui seul une petite école de culture générale, ces deux derniers 
rôles devant être dévolus à d'autres établissements. 

10. — Les élèves de toutes les tendances auraient reçu le même ensei- 
gnement au cours préparatoire et au cours déductif, tandis qu il existerait 
un programme pai'liculier pour le cours complémentaire dans chacun des 
trois lycées : classique, — moderne, — scientifique. 

11. — Durant la 1'^ année, les élèves du lycée classique n'étudieront pas 
de mathématiques, mais ils en auraient 2 heures par semaine durant la se- 
conde année (dans la dernière classe, la 8»). 

L'enseignement serait philosophique, il faudrait examiner les principes 
de l'arithmétique et de l'algèbre, analyser la formation des premiers con- 
cepts, observer l'enchaînement des définitions, faire compiendre que les 
postulats sont nécessaires, mais aussi ce que leur choix a de relativement 
arbitraire. En reprenant quelques démonstrations caractéristiques on pour- 
rait faire sentir la valeur et la beauté de la méthode dédudive. Il faudrait 
ajouter quelques renseignements historiques. 

12. — Depuis quelques années des expressions, des symboles que les 
mathématiciens avaient seuls utilisées jusqu alors sont entrés dans tous les 
domaines et sont devenus nécessaires aux biologistes, aux économistes, etc 
C'est pour celte raison que le cours complémentaire au lycée moderne de- 
vra (en 2 ans et 2 heures par semaine) familiariser les élèves avec les 
notions de fonction, correspondance, limite, probalnlité, etc. On leur ensei- 
gnera les premiers principes de la géométrie analytique, du calcul différen- 
liel et intégral. 

13. — Au lycée scientifique le cours complémentaire comprendrait 'i h. 
durant deux ans. 

Le programme, à la détermination duquel les professeurs de l'Université 
devraient collaborer, contiendrait une partie obligatoire : 

Théorie des nombres irrationnels. Théorie et usage des logarithmes, 
progressions. Equations et systèmes d'équations réductibles au 2'" degré. 
Trigonométrie plane et sphérique. Application de 1 algèbre et de la tiigo- 
nométrie à des problèmes géométriques. 

Et une partie facultative, au choix du niailre . Fractions continues. Cal- 
cul combinatoire, puissance d un binôme. Probabilité. Analyse indéter- 
minée. Maxima et minima. Elén)ents de la géométrie du triangle. Plans, 
axes, centres radicaux. Géométrie de la sphère. Sections coniques. 

14. — Les élèves- des écoles normales devraient suivre aussi le cours 
préparatoire et le cours déductif, puis dans un cours complémentaire exa- 
miner les programmes de l'école élémentaire, commenter et comparer des 
manuels, préparer des séries d'exercices, donner des leçons, etc. 

Tout cet enseignement devrait être confié au maître de mathématiques 
plutôt qu'à celui de pédagogie. 

Eug. Chatki.aiiN (La (^haux-de-Konds). 



NOTES ET DOCUMENTS 177 



SUISSE 



Ecoles supérieures de jeunes filles. — Ecoles normales primaires 
Ecoles modernes 

Le fascicule '6 de la Sous-commission suisse de renseignement mathéma- 
tique contient 3 rapports : 

I. Der matheinatische Unteiricht an den hi'tlieren Mddchenschulen der 
Schweiz. (35 p.) D'' S. E. Gubler (Zurich). 

II. Der matheinatische Unteiricht an den Lehrer-und Lehrerinnensemina- 
rien der Schweiz (32 p.) F. R. Scherrek (Kùsnacht). 

III. Organisation und Melhndiii des inathematischen Unterrichts in den- 
Landevziehungsheimen ('il p.) D'" K. Matter (Frauenteldl. 

Nous donnons un compte rendu succinct de ces trois rapports : 

I. L'enseignement mathématique dans les écoles supérieures de jeunes 
filles en Suisse. — M. Gublei- a réuni des renseignements relatifs à l'ensei- 
gnement moyen, c'est-à-dire aux classes qui font suite au.K écoles primaires 
et secondaires, abstraction faite des écoles normales dans les cas où elles 
constituent des établissements distincts. Elles sont alors étudiées dans le 
rapport de M. Scherrer. 

M. Gubler a tenu compte dans son rapport, soit des réponses à un ques- 
tionnaire envoyé par la Sous-commission suisse, soit des renseignements 
qu'il a obtenus directement des directeurs des établissements considérés. 

Chaque canton étant autonome au point de vue de l'instruction, la diver- 
sité des organisations, des buts poursuivis, ou le manque de but et le rôle 
restreint donné aux mathématiques ont amené l'auteur à traiter la question 
sous une forme assez succincte. Il présente seulement les traits saillants 
communs à la majorité des écoles supérieures de jeunes filles. M. Gubler 
envisage d'abord la question au point de vue général, soit la place occupée 
par les écoles supérieur£3 de jeunes filles dans lorganisation scolaire can- 
tonale en Suisse et le but de ces écoles pour les principaux cantons. Enfin 
dans le 3™'' chapitre il aborde létude de l'enseignement mathématique dans 
la section de culture générale, les sections normales, gymnasiales et com- 
merciales et donne comme exemple quelques plans d'études mathématiques; 
ceux-ci sont trop souvent plus restreints que ceux des établissements coi'res- 
pondauls de jeunes gens. Relativement aux examens l'auteur reproduit les 
remarques qui lui ont été transmises. La fin du rapport est consacrée aux 
méthodes d'enseignement et à des remarques générales. 

II. L enseignement mathématique dans les écoles normales de jeunes gens 
et de jeunes filles en Suisse. — M. Scherrer donne un aperçu des relations 
diverses entre la Confédération et les cantons au sujet de l'instruclion à ses 
différents degrés. 

Au point de vue de l'organisation des écoles normales, il existe dans un 
grand nombi'e de cantons des écoles normales préparant le corps enseignant 
pour les écoles primaires, dans quelques-uns ce ne sont que des sections 
dans l'école moyenne, appelées sections pédagogiques ou de séminaire II y 
a également à côté de ces établissements des écoles normales privées géné- 
ralement avec une couleur confessionnelle. L âge d entrée dans les écoles 



178 NOTES ET DOCUMENTS 

normales varie entre 14 et 16 ans et la durée de scolarité eulre 3 et 4 aus, 
de sorte que l'âge moyen de sortie est 19 ans. 

Les ])lans d'études de ces établissements accusent des didércnces considé- 
rables spécialement pour les mathématiques. Tandis que les uns n atteignent 
même pas le niveau matliématiijue d'une bonne école secondaire, d autres 
peuvent parfaitement lutter avec les gymnases. Le nombre des heures afTecté 
à renseignement des branches mathématiques : mathématiques pures, arpen- 
tage, étude des projections, du dessin technique et géométrique, géogra- 
phie mathématique, arithmétique commerciale et comptabilité, oscille entre 
10 et 28 heures par semaine avec une moyenne de 19,36 pour l'ensemble des 
établissements. Elle est de 22,125 pour les institutions normales pour jeunes 
gens ou de coéducation, tandis qu elle n'est que de 11,6 pour les écoles nor- 
males pour institutrices. 

La comparaison des plans d éludes permet de distinguer 3 types d écoles 
normales. 

Ij Celles où Ion se borne à répéter le programme de l'école primaire et 
à enseigner son application méthodique. 

2} Celles où les mathématiques sont à peu près celles des gymnases, c'est- 
à-dire sont considérées comme une partie intégrante de l'instruclion générale, 
mais en appuyant sur larithmétique pratique et le calcul mental. 

3) Celles où l'enseignement mathématique est poussé plus loin que ne 
1 exigerait le programme à enseigner ultérieurement. Il n'y a encore qu'une 
faible moitié des écoles normales qui ait introduit la notion de fonction et la 
représentation graphique. 

Un chapitre est rései'vé aux méthodes d enseignement, un autre aux exa- 
mens qui sont soit des examens de promotion, soit des examens de capacité. 
Enlîn dans le dernier chapitre M. Scherrer traite la question de l'instruc- 
tion nécessaire au corps enseignant des écoles normales et du développe- 
ment de leur culture générale. 

IIL L'organisation et la méthodologie dans l enseignement mathématique 
des écoles nouvelles |Landerziehungsheime). — Ces écoles ont pour carac- 
tère piincipal d attacher une importance considérable au rôle éducatif de 
l'école, celle-ci ne doit pas, comme autrefois, s'occuper uniquement du cùlé 
intellectuel, mais développer simultanément le corps, l'esprit cl l'àme. don- 
ner dans toute l'acception du mot une éducation complète. 

Les écoles de ce genre, en Suisse, sont les imitations plus ou moin.^ 
directes des établissements similaires allemands, aussi M. Maller com- 
mence-l-il par exposer brièvement ce qui concerne les trois établissements 
allen)ands appelés « Lietzschen Landerziehungsheime « du nom de leur fon- 
dateur le D'' Hermann Lietz. Ce sont : celui de Ilsenburgam Harz (3 classes 
inférieures 11 à 13 ans) créé en 1898; celui de Haubinda in Thùringen (3 
classes moyennes 14 à 16 ans) ouvert en 1901 et celui de Bieberstein in der 
Rhon |3 classes supérieures, 17 à 19 ans) établi en 1904. 11 existe en Alle- 
magne toute une série d'autres Landerziehungsheime qui s'éloignent plus 
ou moins de.ceux^de M. Lietz et auxquels- sur la proposition de M. Klein. 
M. Matter a consacré un chapitre de ce rapport. 

En Suisse le plus ancien et le plus complet de ces instituts est celui de 
de Glarisegg à Steckboru au bord du lac de Constance, fondé en 1902 j)ar 
les IJ's Frei et Zuberbùhler sur le modèle de ceux du !)■• Lietz (7 classes, 
élèves de 12 à 19 ans). Les principaux parmi les autres sont ceux de Hof 
Oberkirch à Uznach (St-Gall| fondateur, M. Tobler, 1906 et celui du châ- 



NOTES ET DOC UME NT S 179 

teau de Kelikon pi-ès Frauenfeld établi par M. Bach, inspecteur scolaire, 
1906. 

Depuis 1906 il s'est créé en Suisse romande des « écoles nouvelles » sur 
des principes sensiblement analogues, soit celle du D"" Villoz à Chailly-sur- 
Lausaune, soit l'Ecole nouvelle de la Chàtaignerie-sur-Coppet, de M. E. 
Schwarz-Buys. Enfin il existe plusieurs écoles avec direction médicale pour 
les enfants physiquement ou intellectuellement anormaux. 

Pour les mathématiques les plans d'études des écoles considérées sont 
presque équivalents à ceux des écoles cantonal-es quant aux matières ensei- 
gnées, les méthodes par contre sont notablement différentes, raltention est 
poi'tée beaucoup plus sur le développement général permettant l'application 
des connaissances acquises que sur 1 acquisition de connaissances théoriques 
nombreuses. La méthode inductive est employée à tous les degrés. Les 
travaux pratiques jouent un rôle prépondérant dans toutes les branches 
scientifiques. Il n'y a pas d'examen au sens ordinaire du mot. Les élèves 
sortant de ces établissements et désirant poursuivre leurs études sont obligés 
de subir soit lexamen d'admission à l'Ecole polytechnique fédérale, soit celui 
de maturité fédérale soit encore un de ceux de maturité cantonale. 

Le corps enseignant de ces écoles a besoin non seulement de connais- 
sances solides, mais aussi de tact et d'un idéal pédagogique très élevé. 

M. Matter termine par des considérations sur les réformes à effectuer 
dans l'enseignement mathém^ilique des écoles ni.oyenaes en Suisse. 

Dans le cours de son rapport, M. Malter a intercalé un supplément par 
M. Wunder, relatif à renseignement des sciences naturelles dans l'école de 
Bieberstein. 

R. Masson (Genève). 



Cours universitaires ; semestre d'été 1913. 

BELGIQUE (suite) 1 

Bruxelles l suite). — P. Stroobant : Astronomie sphérique et astronomie 
mathématique, 2. 

Liège. — J. Deruydts : Equations différentielles, o ; Formes algébriques, 
2. — J. Fairox : Géométrie analytique générale, 2. — L. Meurice : Défor- 
mation et cinématique des milieux continus, hydrodynamique et théorie 
des tourbillons. 3. — G. lî: Paige : Compléments de mécanique analytique 
et mécanique céleste, 2. — P. De Heen : Théorie gyrostatique de l'élec- 
tricité, 1 : Travaux pratiques de physique, 4. 

Louvain. — C. de la Yallée-PoussiiN : P'onctions d'une variable com- 
plexe, 1 ; Fonctions elliptiques, 1 : Equations aux dérivées partielles non 
linéaires, 1; Méthodologie mathématique, 2; Histoire des sciences, 1. — 
G. Vekuiest : Formes binaires, 1 — E. Pasquier : Dynamique des solides, 
2 , Pei'turbations des planètes, 3. — A. de Hemptinne : Dissolutions, disso- 
ciation électrolyliquo, loi du rayonnement et théorie des Quanta, 1 . — a. 
— Demanet : Electricité et magnétisme, 1. 



> Non compris les coiii's des doux premières années ni les cours des écoles techniques 
annexées aux Universités. 



180 BIBLIOG liAPH lE 



FRANCE 

Paris ; Famlté des Sciences. Deuxième semestre (à partir du l"^'' mars 
19i;{). — Mécanique analytique et mécanique céleste, M. P. Appell : Des 
théorèmes tft'néraux de la mécanique analytique, 2 li. — Analyse supérieure 
et algèbre supérieure, M. E. Picard : De la tliéerie des fonctions analyti- 
ques, en particulier des rapports de celle-ci avec la théorie des équations 
intégrales et des problèmes relatifs à l'uniformisation, 2 li. — Calcul diffé- 
rentiel et calcul intégral, M. Goursat : l"]quations différentielles et équations 
aux dérivées partielles. — Mécanique rationnelle, M. C. Giichard, prof, de 
mathématiques générales, exposera les lois générales du mouvement des 
systèmes, la mécanique analytique, Ihydrosliitique et l'Iiydrodynamique, 
2 h. — Mathématiques générales, M. Vessiot, chargé du cours, exposera 
les éléments de l'analyse et de la mécanique, 2 h. Travaux pratiques, 1 h. 
— Astronomie, M. Andoyer, développera l'eusemble des matières compri- 
ses dans le programme du certificat d'études supérieures d' « astronomie 
approfondie », 2 h. Travaux pratiques, 2 h. — Physique mathématique et 
calcul des probabilités, M. Boussinesq, après avoir terminé l'exposé des ma- 
tières du !«'■ semestre, étudiera les ondes d'oscillation |houle et clapotis), 
les ondes liquides d émersion et d'impulsion, enfin les ondes sonores des 
fluides, 2 h. — Mécanique physique et expérimentale, M. G. Kœmgs, trai- 
tera de la théorie des moteurs thermiques, 2 h. Travaux pratiques. 

Cours annexes : Théorie des nombres, M. Cahen, chargé du voui-s, conli- 
nuera à traiter du « Grand théorème » de Fermât, 2 h. 

Conférences. — M. Leresgue, maître de conférences d'analyse mathéma- 
tique : Calcul intégral et ses applications géométriques, 2 h. — M. Drach, 
chargé du cours : Mécanique rationnelle, 2 h. — M. Andoyer : Astronomie, 
1 h. — M. Servant, chef des travaux, chargé de conférences de mécanique : 
Principes de la statique graphique et de la résistance des matériaux, 1 h. 

Ecole normale supérieure. — Gonférences de MM. Borel et Cartan pro- 
fesseurs, Lebesgue, maître de conférences et Vessiot et Drach chargés de 
cours. 



inBLlOGHAlMIlK 



Louis Bachilier. — Calcul des probabilités. 7'ome I, 1 vol. de VH-518 p.-, 

25 fr. ; Gauthier- Vil lars, Paris. 

Dans cet ouvrage, l'auteur expose le développement des théories qu'il 
professe depuis plusieurs années, dans un cours libre, à la Faculté des 
Sciences de Paris. Avec un soin méticuleux, il a écarté de son œuvre tout 
développement d'ordre analytique, toute méthode exigeant des connaissances 
étendues ou profondes sur les sciences purement mathématiques. Son but 



BIBLIOGRAPHIE 181 

a été d'écrire un véritable traité du Calcul des probabilités, de faire com- 
prendre les principes fondamentaux, les idées générales, les résultats réel- 
lement importants ; de montrer enfin que ce calcul constitue par lui-même 
une véritable science ayant un genre d'esthétique très spécial et ne tirant 
pas uniquement son intérêt de ses multiples applications ou des développe- 
ments analytiques dont elle peut être le prétexte. 

La notion d'intégrale, maintenant enseignée dans les éléments, suffit pour 
étudier ce livre; les méthodes employées sont toujours très naturelles et 
les problèmes les plus classiques ont presque tous été lobjet de simplitica- 
tions. La rédaction a été faite de telle sorte que l'ouvrage puisse être par- 
couru sans qu'il soit nécessaire de connaître les démonstrations ; ce sont 
surtout les résultats importants qui sont mis en évidence et commentés avec 
beaucoup de soin ; une classification très claire et très méthodique des 
matières étudiées facilite d ailleurs la lecture. Il en résulte que cet ouvrage, 
pour très élevé qu'il soit au point de vue des probabilités est, au point de 
vue mathématique, essentiellement simple et élémentaire. 

Ce livre ne contient pas seulement le développement des problèmes clas- 
siques, il renferme aussi les travaux personnels de 1 auteur. Plusieurs cha- 
pitres sont entièrement nouveaux ; d'autres sont présentés sous une forme 
originale. 

Parmi les résultats intéressants obtenus par les nouvelles conceptions, on 
peut citer la résolution complète et définitive du problème des probabilités 
dans les épreuves répétées. Ce problème, le plus important peut-être, du 
calcul des probabilités, n'avait été résolu par Lagrange, Laplace et Pois- 
son que dans des cas particuliers et, depuis les travaux de ces géomètres, 
sa résolution n avait en rien progressé. 

E. Bardey. — Aufgabensammlung fur Arithmetik, Algebra und Analysis. 

Reformausgabe ; A, fur Gymnasien. B, fur Realanstalten. 1. Teil : Un- 
terstufe herausgegeben von Dr. W. Lietz.mann. — 1 vol. in-8 ; VI-201 p.; 
2 M. ; B. G. Teubner, Leipzig. 

Sur la demande de M. Teubner. M. Lietzmann a entrepris de remanier 
les manuels de mathématiques de la collection bien connue « Bardeys Auf- 
gabensammlung » en vue d'une nouvelle édition conforme aux tendances 
actuelles de 1 enseignement mathématique. Ces manuels sont presque exclu- 
sivement des groupements d'exercices. Cela a facilité leur remaniement et 
permet de les utiliser pour les plans d'études les plus divers et suivant la 
méthode personnelle du maître et de la tradition scolaire. 

Dans le choix des exercices empruntés aux anciens manuels Bardey. 
M. Lietzmann a toujours eu en vue le double but de l'enseignement arith- 
métique, développement de la compréhension et acquisition d'exactitude et 
de rapidité dans les calculs. Un certain nombre des anciens exercices ont 
été laissés de côté comme étant soit trop compliqués, soit de données trop 
fantaisistes. Ces exercices qui paraissent souvent les plus intéressants pour 
les élèves ne sont cependant pas totalement exclus, des nouveaux ont même 
été introduits ainsi que des problèmes « des anciens temps ». 

La notion de fonction est introduite dès le début d'abord implicitement, 
puis à l'aide de la représentation graphique. Le rôle de la représentation 
graphique, soit des fonctions soit des données de statistique, est peut-être 
un des caractères principaux de ce volume. A partir des équations du 



182 B IB Ll OGliAPIII E 

l»^'' degré elle est conslamment appliquée. De plus, sous la forme ordinaire 
des courbes représentatives ou sous celle de figures géométriques propor- 
tionnelles aux données, elle fait l'objet d'un chapitre spécial comprenant en- 
viron 200 exercices touchant à tous les domaines. R. Masso.n iGenèvel. 

L. F. Braude. — Deber einige Verallgemeinerungen des Begriffes der 
Mannheimschen Kurve l Thèse Heidelbergi. — 1 fasc. in-8", 50 p. . 
W . Nenniaiiii. Pirniascns. 

Ce travail comprend quatre chapitres dont les points fondanienlaux peu- 
vent être exposés comme suit : 

I. La courbe générale de Mannheim. Y roule sur Y\ . on recherche le lieu 
des centres de courbure relatifs au point de tangence de chaque position 
de r. Fi est une droite, un cercle ou une courbe quelconque. Comme cas 
spécial l'auteur considère encore Y comme un cercle puis comme une con- 
choïde de Ti . 

II. Dé^-eloppées « intermédiaires » iZwischen Evolutenl. L auteur recherche 
le lieu d'un point P du rayon de courbure de A sur Fi tel que le rapport 
des segments déterminés par le point P sur le rayon de courbure est connu. 
Comme la base Fi dune part, et sa développée d'autre part, sont des cas 
limites de ce lieu, les courbes considérées peuvent être appelées « dévelop- 
pées intermédiaires ». 

III. Courbes générales d'ordre supérieur de Mannheim. Tandis que la 
courbe de Mannheim est le lieu des centres de courbure relatifs aux points 
de tangence dans le mouvement de F sur Fi , l'auteur désigne sous ce nou- 
veau nom les lieux des centres de courbure des développées de développées 
ou des développées d'ordre supérieur et il en expose la recherche avec de 
forts jolis exemples. 

IV. Extension et application des théorèmes de Steiner et Hnhich aux 
roulettes. Le premier de ces théorèmes s'énonce comme suit : « Soit une 
courbe K roulant sur une droite et <I> la trajectoire d'un point P du plan de 
K, chaque arc de «I> est égal à 1 arc correspondant de la podaire de «l» par 
rapport à P. » Le suivant s'appelle : « Soit une courbe K roulant sur une 
droite G, 't la trajectoire d un point P du plan de K et une podaire de K, 
si la podaire roule sur <I) pendant le mouvement de K, le pôle de cette 
podaire décrit la droite G ». 

Après avoir établi une démonstration plus générale de ces ihéoi-èmes, 
M. Braude en étudie diverses applications partiellement connues et très 
originales. (Voir l'article de M. E. Turrière cité plus loin). 

Dans tout sou ouvrage l'auteur utilise les coordonnées naturelles R et .s , 
ainsi que les équations intrinsèques R = fis) des courbes considérées. Il 
part des recherches de Mannheim, puis de Césaro et en dernier lieu de 
.M. Wieleitner et il les développe d'une manière fort intéressante. 

Dans le même ordre d'idées, nous croyons utile de rappeler ici 1 article 
publié par .M. E. Turrière dans l'Enseignement mathématique (1911 n" 1). 
» Sur 1 interprétation géométrique d après Mannheim de l'équation intrin- 
sèque d une courbe plane ». L. Crilier iBienne). 

FAG^•A^•o. — Opère Matematiche del inarchese Giulio Carlo dei Toschi di 
Fagnano, pubbiicale solto gli auspici délia Società Italiana per il Pro- 
gresse délie Scienze per cura dei professori Senatore Vito Volterra, Gino 



BIBLIOGRAPHIE 183 

LoRiA e Dionisio Gambioli. — 3 vol. gr, in-8o ; de VII -474. IX -471, 
XI-227 p.; 40 Lires; Soc. éditrice Danle Alighieri di Albrighi, Segali 
et C'e, Rome, Milan et Naples. 

Il faut savoir gré à la Société italienne pour 1 avancement des Sciences 
d'avoir donné son appui à la publication des oeuvres complètes du marquis 
de Fagnano. Les Produzioni Maleniatiche du savant mathématicien italien 
ne se trouvaient plus que chez de rares bibliophiles et il y a un véritable 
intérêt pour l'histoire de la science à posséder l'ensemble des travaux de 
Fagnano qui, comme on sait, a été l'un de» initiateurs de la Théorie des fonc- 
tions elliptiques. Les deux premiers volumes renferment les « Produzioni 
matematiche », le troisième contient divers écrits, la correspondance scien- 
tifique et une biographie du savant mathématicien, par M. Gambioli. 

A. F. Forsyth. — Lectures on the Differential Geometry of Curves and 

Surfaces. — 1 vol. relié, gr. in-8", XXlV-526 p.; 21 sh.; Cambridge Uni- 

versity Press ; C. F. Clay, Londres. 

On ne possédait pas, dans les pays de langue anglaise, de traité spéciale- 
ment consacré à la Géométrie inlinilésimale. Le pi"ésent ouvrage vient donc 
combler une lacune ; il permettra aux étudiants anglais et américains 
d'aborder plus facilemeut que par le passé, l'étude de lœuvre magistrale de 
M. G. Darboux. Comme le dit l'auteur dans sa préface, ce volume est en 
effet destiué à servir d'introduction à la Théorie générale des surfaces de 
l'éminent géomètre français. 

Dans une première section .M. P'orsyth traite de la théorie des courbes 
gauches et des notions fondamentales qui s'y rattachent. Puis dà^ns une 
seconde section, comprenant le chap II à VI, il aborde la théorie des sur- 
faces eu partant de la représentation paramétrique et étudie successivement 
les lignes ti-acées sur une surface, les ligues de courbures, les lignes géo- 
désiques, et la notion d'invariant différentiel. 

La troisième section est consacrée à l'étude de surfaces répondant à des 
conditions particulières ; on y trouve les .surfaces minima, les surfaces de 
Weingarlen, le problème de la déformation des surfaces, les systèmes tri- 
ples orthogonaux. Elle se termine par un intéressant exposé de la théorie 
des cougruences de courbes. 

Les démonstrations de M. Forsyth sont présentées avec beaucoup de 
clarté et de précision. Selon la tradition, fort bonne, des auteurs anglais, le 
texte est accompagné de nombreux exemples et de problèmes. Dans le do- 
maine de la géométrie infinitésimale il importe tout particulièrement que le 
lecteur s'assimile bien les théories nouvelles en les appliquant au fur et à 
mesure à des problèmes bien choisis. L ouvrage en contient plus de deux 
cents, dont un grand nombre ont été extraits de mémoires originaux. A ce 
titre il constitue un guide utile non seulement pour ceux qui veulent s'initier 
aux méthodes de la Géométrie infinitésimale, mais aussi pour tous ceux 
qui enseignent cette branche. - H. F. 

A. Gai.lf.. — Mathematische Instrumente. (SammIung Mathem.-physik. 

Schriften fiir Ingeuieure u. Studioreiide herausgegeben von G. JahnkeI. 
1 vol. in-8o, 178 p. ; relié toile, 4 M. 80; B. G. Teubner, Leipzig. 
L'emploi des instruments mathématiques s est beaucoup développé dans 
les sciences techniques. Il y avait donc intérêt à réunir dans une petite mo- 



184 BIBLIOGRAPHIE 

nograpliie les principales notions concernant la théorie et 1 usage des ins- 
truments mathématiques utiles à 1 ingénieur. L auteur examine notamment 
les instruments mathématiques basés sur les logarithmes, les machines à 
calculer, les planimètres, les anaiysatours harmoni(]ues et les intégraphes. 
Pour chacun des groupes d appareils il présente les différents types, leur 
théoi'ie et leur mode de fonctionnement. Tous ceu.x qui ont à utiliser les 
in.slrumeiits mathématiques consulteront avec fruit ce nouveau volume de la 
collection Jahnke. 

Œuvres de Ch. Hermite, publiées par Emile Picard. Tome III. 1 vol. gr. 
in-8", de VI-524 p.: 18 fr.; Gauthier-Villars, Paris. 

Ce volume renferme les mémoires publiés par Hermite de 1872 à 1880. Il 
commence toutefois par un travail inédit « Sur 1 extension du théorème de 
Sturm à un système d'équations simultanées », datant de la jeunesse d'Her- 
mite, retrouvé récemment dans les papiers de Liouville. On lira aussi dans 
ce Tome divers Chapitres empruntés au Cours d'Analyse de l'Ecole Poly- 
technique, une note publiée dans l'Algèbre supérieure de Serret sur les 
équations résolubles par radicaux, et enfin une Leçon sur l'équation de 
Lamé, faite à l'Ecole Polytechnique pendant l'hiver 1872-1873. 

En tête du volume se trouve un portrait représentant Hermite vers l'âge 
de 65 ans. 

Dans un dernier volume M. E. Picard publiera la (in de l'œuvre mathé- 
matique d Hermile, ainsi que divers articles et discours. 

Emil MijLLER. — Lehrbuch der darstellenden Géométrie fur technische 
Hochschulen. Zweiter Band, erstes llell. Mil l'iO Figuren. — 1 vol. in-8". 
129 p. ; 4 M. 40 : B. G. Teubner. Leipzig. 

Nous avons signalé, il y a quatre ans, le premier volume du cours de 
Géométrie descriptive que M. E. MûUer professe à l'Ecole technique supé- 
rieure de Vienne. Aujoui'd'hui nous pouvons ajouter qu'il a rencontré le 
même accueil auprès de tous ceux qui ont à enseigner la Géométrie descrip- 
tive aux ingénieurs et aux architectes. 

Sur la demande instante d un grand nombre de ses lecteurs, l'auteur vient 
de publier un premier fascicule du Tome II. Il expose d'abord la Géométrie 
des projections cotées et les applications à la topographie. A mentionner 
aussi le chapitre consacré aux applications, en architecture, à la représen- 
tation des fermes de toitures. La seconde partie du fascicule traite des mé- 
thodes et des problèmes de l'axonomélrie normale. 

A. Padoa — La logique déductive dans sa dernière phase de développe- 
ment. — 1 vol. gr. in-8" 106 p.; 3 fr. 25. Gauthier-Villars, Paris. 

L ouvrage de M. Padoa vient heureusement compléter la liste des livres 
français publiés durant ces dernières années sur la logique moderne. 
M. Couturat sans doute avait initié le public français à cette science nou- 
velle par deux ouvrages remarquables de simplicité et de claité ; mais l'un 
de ceux-ci, l'Algèbre de la logique, ne fait que résumer les idées de Schrœder 
et de son école, tandis que l'autre, les principes des mathématiques, a sur- 
tout pour but de faire connaître la conception de Russell et sa tentative de 
ramener les notions mathématiques à un nombre limité de notions logiques 



BIBLIOGRAPHIE 185 

Mais jusqu à ce jour il n'existait aucun ouvrage donnant un aperçu systé- 
matique des travaux accomplis par l'école italienne. Ce sont ces travaux que 
M. Padoa vient de résumer et de compléter sur plus d'un point en une cen- 
taine de pages d'une limpidité parfaite. 

On sait quel est le but poursuivi par l'école italienne dont M. Peano est 
le fondateur. Cette école ne se propose pas d'expliquer la nature et le con- 
tenu des sciences mathématiques, envisagées au point de vue logique. Elle 
cherche uniquement à analyser, d'une façon plus approfondie qu'on ne l'a 
fait jusqu'à maintenant, les diverses formes du raisonnement déductif et à 
découvrir les éléments nécessaires à cette déduction. De cette façon et en 
ce qui concerne plus spécialement les sciences mathématiques, les prémisses 
fondamentales sur lesquelles elles reposent, seront ramenées à leur forme 
simple et dépouillée de tout élément accessoire, tout en gardant loriginalité 
qui leur est propre. Une recherche aussi rigoureuse ne saurait être pour- 
suivie sans l'aide d'un langage spécial et c est pourquoi la logique symbo- 
lique utilise 1 idéographie, c'est-à-dire un ensemble de signes, analogue 
aux notations algébriques. De même que « le microscope permet de voir les 
bacilles qui, par leur petitesse, échappent à la vue ordinaire, de même 1 idéo- 
graphie logique nous permet de représenter des concepts qui, par leur 
subtilité, échappent à toute détermination précise par le langage ordinaire », 
p. 15. 

lia logique symbolique ainsi comprise offre au mathématicien comme au 
philosophe un objet d'étude du plus grand intérêt ; elle apparaît comme 
« une analyse approfondie de la pensée « et forme une introduction natu- 
relle et nécessaire aux mathématiques, car elle leur est comparable par la 
précision du langage et la rigueur des procédés », p. 19. Dans une étude 
de ce genre on ne saurait prendre un meilleur guide que M. Padoa ; « le 
but de vulgarisation qu'il a poursuivi, dit M. Peano dans la préface, me 
paraît atteint par son traité qui est clair, ordonné, complet : il contient l'ex- 
plication de tous les symboles logiques, l'étude de leurs propriétés, l'ana- 
lyse de leuis liens et leur réduction au nombre minimum, due à M. Padoa. 
Beaucoup d'exemples, tirés du langage courant et du langage scientifique 
en rendent la lecture plus intelligible et plus agréable ; et des notices histo- 
riques bien choisies permetteut de suivre les progrès de ces études depuis 
Leibniz jusqu'à nos jours ». 

Dans son avanl-propos, M. Padoa annonce qu'il publiera une méthodologie 
pure et applitjuée (aux principes de lArithmétique). Nous souhaitons l'ap- 
parition prochaine de cet ouvrage, suite du beau travail que nous venons de 
caractériser brièvement. Arnold Reymond (Neuchàtel). 

W. HiTz. — Œuvres de Walther RitZ, publiées pai- la Société suisse de 
Physique. — 1 vol. iu-S", X.\II-541 p., avec '«8 fig. et un portrait ; 18 fr.; 
Gauthier-Villars, Paris. 

En publiant les œuvres de Walther Ritz, la Société suisse de Physique a 
tenu à rendre hommage à la mémoire du savant physicien suisse, qu'une 
mort prématurée a enlevé à la science le 7 juillet 1909, à l'âge de 31 ans. 
Elle a estimé que ces mémoires méritaient d'être signalés à l'attention des 
mathématiciens et des physiciens en raison des idées nouvelles et hardies 
que renferment les remarquables travaux de Rilz. 

Le volume débute par une belle Notice de M. Pierre Weiss, sur la vie et 

L'Enseignenienl mathéni., I.î'? année; 1913. 1.3 



186 BIBLIOGRAPHIE 

les travaux de Ritz. Nous signalerons ici tout spécialement les recherches 
sur la méthode de calcul des problèmes dépendant des équations aux déri- 
vées partielles et celles qui sont relatives aux lois de l'électrodynamique 
générale et de l'optique. « Il s'était proposé, dit M. Weiss, d'écrire d abord 
une étude critique niOTitrant l'insuHisance des théories antérieures et de 
faire ensuite la synthèse d une Electrodynami(|ue nouvelle comprenant 
l'Optique. La partie critique seule est achevée... 

« Nous avons ajouté aux travaux sur 1 Electrodynamique le discours 
d'habilitation qu'il a prononcé le 5 mars 1909 dans sa leçon inaugurale. Il 
n a pu mettre la dernière main à cet exposé qu il avait l'intention de publier 
et nous avons dû le reconstituer d'après des brouillons. Il n'a sans doute 
pas la perfection de forme qu'il aurait su lui donner, et tout ce qu'il con- 
tient d essentiel est déjà énoncé dans ses autres travaux. Mais nous avons 
cru devoir le conserver, ne serait-ce que comme résumé en langue alle- 
mande d'une partie de son Œuvre écrite entièrement en français. 

« Il avait, -sur d'autres questions encore que celles qui sont traitées dans 
ses écrits, des idées neuves et sans doute fécondes dont il avait parlé à ses 
amis. Il était convaincu entre autres que les problèmes de la Mécanique 
statistique ne sont si difficiles que parce que les véritables méthodes de 
calcul restent encore à trouver, et il semble, d'après une de ses lettres, 
qu'il se soit occupé de ces questions avec uu commencement de succès ». 

Dav.-Eug. Smith. — The Teaching of Geometry. — l vol in-8", V-o40 p.; 

5 s. 6 d.; Ginn and Co., Boston-New-York-Chicago-London. 

Dans sa préface, l'auteur indique nettement le but qu'il poursuit. Son 
livre est destiné aux professeurs de géométrie élémentaire qui ne sont ni 
des révolutionnaires, ni des conservateurs à outrance. 

Avant d'aborder l'exposé de la matière à enseigner M. Smith traite des 
diverses questions pédagogiques, psychologiques et philosophiques qui s'y 
rapportent. Il appuie sur la raison d être de cet enseignement, donne un 
aperçu historique très suggestif soit de la géométrie elle-même, soit de son 
enseignemen(, de l'influence d Euclide, des perfectionnements apportés à sa 
méthode, de ce que doit être un manuel de géométrie pour les écoles d Amé- 
rique, des relations de cette branche avec l'algèbre. Quoique M. Smith ail 
eu en vue plus spécialement l'enseignement en Amérique, l'esprit très large 
dans lequel son livre est conçu rend ses suggestions utiles pour tous ceux 
qui sont appelés à enseigner la géométrie élémentaire ; tels les chapitres 
relatifs à l'introduction de la géométrie et la direction d'une classe de 
géométrie. Ils y trouveront des indications très précieuses pour surmonter 
les difficultés inhérentes à l'organisation et à l'application d un cours de 
géométrie élémentaire. 

La matière à enseigner en elle-même fait l'objet de la seconde moitié du 
livre. Le champ parcouru est celui des huit premiers livres d'Euclidc. 
M. Smith conserve cette division eu donnant les raisons pour et contre ce 
maintien. Pour ce qui concerne l'ordre et le choix des théorèmes, dans 
cliaque livre, M. Smith s'est occupé des exigences des écoles américaines 
d aujourd'hui et des exigences psychologiques et pédagogiques telles qu'on 
les conçoit actuellement. Il démontre les principaux théorèmes d'Iuiclidc en 
supprimant cependant ceux qui sont soit trop intuitifs, soit trop difficiles. Il 
y joint une séi-ie d'applications typiques, de renseignements et de conseils 
à l'usage des maîtres. R. Masso.n (Genève). 



BIBLIOGRAPHIE 187 

A.-VV. Stamper. — A History of the Teaching of Elementary Geometry. 

With référence to Present-day Problenis, submitled . in partial fulflli- 

ment of the requirements for the degree of Doctor of Philosophy, in the 

Faculty of Philosophy, Columbia University. — 1 vol. in-8o, X-163 p. ; 

Teachei's Collège Séries Columbia University. 

M. Stamper fait l'historique du développement de V enseignement de la 
géométrie en s'appuyant dans une certaine mesure sur les « histoire des 
mathématiques » classiques, mais surtout en remontant le plus possible aux 
sources originales. Il considère les diverses périodes déterminées par 
l'influence d'Euclide, l'apparition des écoles chrétiennes, la Renaissance et 
enfin l'époque moderne. 

Il s'arrête peu sur lépoque égyptienne, première période où l'élude de 
la géométrie est purement pratique, engendrée par les besoins de la vie en 
société et pour laquelle il n'existe que fort peu de documents. C'est chez les 
Grecs que naît la géométrie logique : elle atteint au reste un développement 
déjà assez considérable avant Euclide. L'auteur constate même que les 
méthodes employées actuellement en géométrie élémentaire se retrouvent 
presque intégralement dans les documents relatifs à cette époque. 

Le mérite d'Euclide est d avoir réuni, ofdonHé, perfectionné et complété 
l'œuvre de ses prédécesseurs parmi lesquels Pythagore et son école, 
Eudoxus et Thaetetus. En résumé M. Stamper estime qu Euclide a surtout 
systématisé la logique de la géométrie et qu'il faut le considérer comme le 
compilateur et non l'auteur de ses « Eléments ». Les traits caractéristi- 
ques de ceux-ci sont la suppression de toute application pratique et de 
toute construction hypothétique et l'exclusion de toute construction qui ne 
serait pas justiciable de l'équerre et du compas. Avec Euclide, chez les 
Grecs, l'apogée du développement logique était atteint. Après Euclide la 
géométrie n'est plus susceptible d'un développement réel que dans la direc- 
tion du domaine pratique. A Alexandrie, chez les Hindous et surtout chez 
les Romains la géométrie de cette époque a tendance à s'occuper beaucoup 
plus des applications. 

Quelques pages sont ensuite consacrées à renseignement de la géométrie 
depuis l'apparition des écoles chrétiennes jusqu'en 1525. La faculté de 
mémorisation semble avoir été alors le principal desideratum. M. Stamper 
s'occupe également des auteurs ayant exercé une influence sur l'enseigne- 
ment avant et après la création des universités, tel Leonardo de Pise qui a 
systématisé l'élude de la géométrie pratique. Les méthodes géométriques 
de l'enseignement universitaire avant l'invention de l'imprimerie donnent 
lieu à des détails intéressants ainsi que l'importance de cette découverte 
soit pour l'université, soit pour les écoles secondaires créées au XY1« siècle. 
L auteur montre comment l'étude de la géométrie s'insinue peu à peu dans 
ces dernières, mais dans une mesure et avec des tendances variables avec 
les pays. En Angleterre, par exemple, la méthode des Eléments d'Euclide 
s'implante lentement pour arriver à supplanter toute autre méthode au mi- 
lieu du XIX'= siècle ; tandis qu'en France, où elle s'était répandue plus rapi- 
dement, au XVIII* siècle déjà, avant Legendre, elle n est plus seule en 
usage. 

Ensuite M. Stamper étudie renseignement géométrique actuel dans les 
écoles secondaires des principaux pays avec les divers courants modernes 
de réforme et leurs causes souvent foi"t complexes. Dans le dernier chapitre 
il reprend le sujet dans sa généralité pour faire un tableau d'ensemble de la 



188 BI fi LIOGRAPHI E 

situatiou .actiielle et du développement historique des problèmes qui se 
posent aujourd hui. 

Il assimile la croissance mentale de lenfant au développement de la 
conscience géométrique de la race. L'élude comparative des méthodes de 
chaque pays à chaque époque lui suggère alors des renseignements utiles 
sur la meilleure méthode à adopter pour l'enseignement de la géométrie aux 
enfants et des réflexions d'ordre pédagogique terminent cette étude très 
documentée. R. Masson ( Genève i. 

Paul Tanneky. — Mémoires scientifiques de Paul Tannery, publiés par 

J. L. Heiberg et h. g. Zklthk.n. Tome 1: Srioiiccs l'xactfs dans iantiquité. 
— 1 vol. gr. iu-8", XIX-466 p.; avec 17 lig. et un porirail en héliogra- 
vure ; 15 fi-.: Gauthier-Villars, Paris. 

On sait la place importante que prennent les travaux de Paul ïaiinery 
dans 1 Histoire de la Science, et 1 ou n ignore pas que dans le domaine de 
la Philologie classique et de la Philosophie leur rôle n'est pas moins im- 
{jorlant. Le monde scientifique sera donc extrêmement reconnaissant aux 
professeurs Heiberg et Zelthex d'avoir entrepris la publication de ces mé- 
moires sur l'invitation et avec le concours de M™« Paul Tannery. C'est à 
leur dévouement que Ion doit ce monument scientifique, élevé par une main 
pieuse à la mémoire du savant histoi-ieu. 

Dans leur A^'ant- Propos MM. Heiberg el Zeulhea indiquent commeut ils 
comptent utiliser les matériaux réunis par M"i<^ P. Tannery ; 

« Sont exclus de la réimpression les Ouvrages publiés en volumes, les 
articles publiés d abord à part, puis remaniés et entrés dans quelques-uns 
de ces Ouvrages ; enlln les contributions peisonnelles aux grandes éditions 
de Fermât, Descartes, etc., dont Paul Tannery a été chargé par le Minis- 
tère de l'Instruction publique. 

« Ne sont pas insérées les questions et réponses données à \ Intermé- 
diaire des Mathématiciens et à la Bihliotheca maihematica. quelques rap- 
ports, notes préliminaires, dont on trouvera le détail complet dans la liste 
des travaux de Paul Tannery. 

« Un choix a été l'ait parmi ses comptes rendus critiques et ses articles 
biographiques compris daus la Gran<ie Encyclopédie. 

(' Ces derniers seront placés respectivement dans les sections auxquelles 
ils se rapportent. Il en sera de même des articles posthumes. Tout le reste 
de l'œuvre de Paul Tannery sera publié en sept sections, savoir : 

1° Sciences exactes dans rAnti(|uité. — 2° Sciences exactes chez les By- 
zantins. — 3° Sciences exactes au moyen âge et dans les temps modernes. 

— 4" Mathématiques pures. — 5" Philosophie. — 6° Philologie classique. 

— 7" Recensions. 

« Une huitième section sera ajoutée plus tard concernant la Biographie, 
la Bibliographie, et contenant en oulre un choix d extraits de la Corres- 
pondance scientifique. 

« La première section comprendra trois volumes ; chacune des autres en 
formera un. Chaque volume couliendia une Table des Matières spéciale el 
aura un numérotage particulier des articles ». 

Ce premier volume reproduit les mémoires allaul de 187r) à 188». V.w voici 
la liste : 

Note sur le Système astronomique d Ludoxe. Le Nonil)i< iin|)lial de Pla- 



BIBLIOGRAPHIE 189 

ton. L'Hypothèse géométrique du Ménou de Platon. Hippocrate de Chio et 
la quadrature des Lunules. Sur les solutions du problème de Délos par 
Archytas et par Eudoxe. A quelle époque vivait Diophante. L'article de 
Suidas sur Hypatia. L'Arithmétique des Grecs dans Pappus. Sur l'âge du 
pythagoricien Thymaridas. L Article de Suidas sur le Philosophe Isidore. 
Sur le problème des Bœufs d Archimède. Quelques fragments d'Appollonius 
de Perge. Les Mesures des marbres. et des divers bois de Didyme d'Alexan- 
drie. Sur les Fragments de Héron d'Alexandrie conservés par Proclus. Sur 
les Fragments d Eudème de Rhodes i"elalifs à 1 Histoire des Mathématiques. 
Sur Sporas de iVicée. Sur l'Invention de la Pi-euve par neuf. L'Arithmétique 
des Grecs dans Héron d Alexandrie. Sui- la mcsur-e du Cercle d Archimède. 
De la Solution géométrique des Problèmes du second degré avant Euclide. 
Un fragment de Speusippe. Séréuus d'Anlissa. Sur une Critique ancienne 
dune Démonstration d Archimède. Seconde Noie sur le Système astrono- 
mique M'Eudoxe. f^e Fragment d'Eudème sur la quadrature des Lunules. 
Arislarque de Samos. Stéréométrie de Héron d'Alexandrie. Etudes Héro- 
nieunes. Sur le « Modius Castrensis ». 



E. B. ^^ iLso.N. Ph D. Piofessor in the Massachusetts Institute of Techno- 
logy. — Advanced Calculas. A texl upon sélect parts of DiCferential Cal- 
culas, dilfeiential Equations, Intégral Calculus, Theory of funclions with 
numeroas exercises. — 1 vol. gr. in-8", IV-566 pages; 20 sh.; Ginn and C", 
Boston et Londres 

Il y a évidemment à l'heure actuelle une certaine réaction contre les 
complications et les subtilités qu'amena un souci exagéré de la rigueur dans 
l'enseignement de l'Analyse malhématique. On constate en même temps un 
désir assez général d'alléger cet enseignement de façon à le rendre acces- 
sible, — même dans ses parties les plus élevées, — aux futurs ingénieurs 
et physiciens. Plusieurs voies ont été choisies pour atteindre ce but. 

Les uns se borneront à exposer seulement ce qui est essentiel (mais tout 
ce qui est essentiel), à ne prouvei' les théoi'èmes fondamentaux que dans les 
cas pratiquement utilisés sans chercher à obtenir une généralité qui amène- 
rait des difficultés inutiles. C'est la méthode qu'a suivie M. Baire dans ses 
remarquables et excellentes « Leçons sur les théories générales de l'Ana- 
lyse ». Il a pu ainsi ramasser, dans moins de 600 pages, un exposé simple, 
clair et cependant parfaitement rigoureux de tout ce qui est nécessaire aussi 
bien au mathématicien qu au physicien, pour aborder les parties les plus 
difficiles de 1 Analyse. 

M. E. B. ^Yilson s'esl placé à un point de vue voisin mais un peu diffé- 
rent : il a eu surtout en vue les besoins du technicien. Il ne s est point 
soucié, dit-il dans sa préface. « d'écrire un traité artistique sur l'Analyse » : 
mais il a voulu donner- au lecteur le moyen d entrer le plus rapidement pos- 
sible dans la pratique du calcul et de se familiariser avec « ces grands algo- 
rithmes des mathématiques qui sont naturellement associés avec l'Analyse». 
Il a certainement atteint le but qu il visait, sans avoir négligé pour cela 
de mettre sou ouvrage à la hauteur dos récents progrès de la Théorie des 
fonctions. 

On trouvera dans son cours un nombre considérable d'exercices sur toutes 
les parties de l'Analyse. Ces problèmes ont été soigneusement choisis de 
façon à n'admettre que ceux qui seraient à la portée de la plupart des étu- 



190 Rlh LU) GRAPHIE 

diants, même de ceux pour qui les mathématiques sont un lî'io^eu plutôt 
qu un but. Ces derniers trouveront en outre un peu partout dans le texte 
même des applications du cours qui les rassureront sur 1 utilité des matières 
traitées ; citons au hasard : les dimensions des unités physiques, l'équilibre 
des fils, les vibrations d'un système matériel, le potentiel retardé. Le choix 
des matières purement mathématiques a lui-même été dominé par le souci 
de la préparation des futurs physiciens. C'est ninsi qu'on trouvera des sec- 
tions ou des chapitres entiers sur la notation vectorielle, les fonctions cylin- 
driques, les fonctions gamma et de Bessel, les fonctions elliptiques, les 
fonctions harmoniques. Par contre, la théorie des fonctions analytiques, 
qui occupe souvent une place exagérée dans les cours d analyse, est résumée 
en moins de trente pages. 

Ce compte rendu ne serait pas complet sans quelques critiques. Il y a 
dans le texte quelques imperfections inévitables que l'auteur pourra corriger 
dans une nouvelle édition que nous souhaitons prochaine. Par exemple, à la 
page 449, l'auteur fait ressortir un avantage de la transformation d'Euler 
qui consiste en ce qu'on peut parfois lutiliser pour transformer une série 
en une autre dont les coefficients sont petits. Or, dans l'exemple donné à 
l'appui, le calcul de log 2 par la formule 

log 11 -h XI = X - - + y — ^ + ••■ = .V + --^ + j + ^ + . . 

On observe que la nouvelle série en y a exactement les mêmes coefficients 

en valeur absolue et, ce qui la rend plus convergente, c'est essentiellement le 

X 1 

fait que pour .r = 1, y, qu'on a pris égal à , se réduit à la valeur — . 

' \ -\- X 2 

Mais je ne m'arrêterai pas à ces chicanes sans portée, et je terminerai en 
recommandant In lecture de cet attrayant ouvrage non seulement aiix étu- 
diants mais aux professeurs. .M. Fréchf.t (Poitiers). 



Taschenbuch fur Mathematiker and Physiker, herausgegeben von F. Auer- 

ha<:h uiid R. RoTHE. o Jalirgang 1913. — 1 vol. in-16. X-'i6.'J p.; 6 M.; 
B. G. Teubner, Leipzig. 

Le Taschenbuch publié par MM. Auerbach et Rolhe, avec la collaboration 
de nombreux savants, présente à la fois les caractères d'un annuaire et 
d'un aide-mémoire. Il constitue en i-éalité une véritable petite encyclopédie 
des sciences mathématiques et physiques. A côté de tables numériques, on 
trouvera de nombreuses notes fournissant un aperçu sommaire des diffé- 
rentes branches des mathématiques et de la physique. Les auteurs ont sur- 
tout insisté sur les travaux récents et donnent les renseigiuMucnt bibliogra- 
phiques les plus importants, (le troisième volume du Taschenbuch contient 
plusieurs nouvelles Notes, tandis (|uc les anciennes ont été remaniées ou 
condensées. Nous mentionnerons les suivantes qui ont été ajoutées dans 
cette édition : 

O. Knopf, astronomie; G. Hessenbkrg, la théorie des (Miscmbles ; W. 
BiEBEKBACH, la théorie des groupes et la théorie des équations ; A. Fleck, 
le dernier théorème de Fermai; A. Tœpi.itz, les équations intégrales; 
Bn;BEiiBA<;H. fonctions niiilliformes : VV. Lietzmann, enseignement mathéma- 



BULLETIN BIBLIOGRAPHIQUE 191 

tique; Liebmann, mécauique analytique; Sommekfeld, théorie des Quanta; 
Gast, géodésie élémentaire ; L. Milch, cristallographie ; Auekbach, chimie 
générale. 

L'annuaire se termine par une liste des périodiques et des publications 
récentes en mathématiques et en physique, puis viennent la liste des sociétés 
scientiliques des divers pays et celle des mathématiciens décédés en 1911 
et 1912. 



BULLETIN BIBLIOGRAPHIQUE 



1 . Pulilicaiions périodiques : 

Journal fur die reine und angewandte Mathematik, Georg Reimer. Berlin. 

Band 141. Heft. 1. — H. Weyi, Ueber die Abhiiugigkeit der Eigenschwin- 
gungen einer Membran von deren Begrenzung. — L. Lichtenstein : Ueber 
das Poissonche Intégral und iiber die partiellen Ableitungeu zweiter 
Ordnung des logarithmischen Polentientials. — A. Fk^kkel : Axiomatische 
Begriindniig von llensels y;— adichen Zahlen. 

Heft 2. — ■ R. Remak : Ueber eine von' Herrn H. -A. Schwarz angegebene 
Funktion. — L. Schlesinger : Ueber eine Klasse von Differetialsystemen 
beliebiger Ordnung mit festen kritische Punkten. — E. Buschk : Ueber die 
Théorie der biquadratischen Reste. 

Heft 3. — H. Weyl : Ueber das Spektrum der Hohlraumsrlralilung. — - 
J. HoRN : Zur Théorie der nicht linearen DifFerential-M. Difforenten- glci- 
chungen: — H. Bohr : die Funktion "Ç [s) : Hs) 



2, Livres nouveaux : 

W. H. Besant and A. S. Ramsey. — A Treatise on Hydromechanics, 

Part II. Hydrodynamics. — 1 vol. in-8", Xlll-SfiO p ; 10 sh, (i ; (i. Bell & 
Sons, Londres. 

H. BouAssE et E. Turrièke. — Exercices et compléments de Mathéma- 
tiques générales, faisant suile au cours de mathématiques générales de 
H. Bouasse. — 1 vol. in-S", XV-500 p.; 18 fr. ; Ch. Delagrave, Paris. 

F. Caldakera. — Trattato dei Determinanti. — 1 vol. gr. in-8". 255 p.; 

7 lires; Virzi, Palerme. 

G. Demartres. — Cours de Géométrie infinitésimale, avec une préface 

de P. Appell. — 1 vol. iu-8", X-418 p.; 17 fr. ; Ganthier-Villars, Paris. 

P. DiENEs. — Leçons sur les singularités des fonctions analytiques. — 

1 vol. in-8o, \TI1-172 p.; 5 fr. 50; Gauthier-Yillars, Paris. 

G. Kovi^ALEwsKi. — Einfûhrung in die Infinitesimalrechnung, mit einer 
historischen Uebersicht. — 2"'<= édition. (Sammlung « Aus Natur und Geistes- 
welt», No 197.) 1 vol. in-16. 106 p.; relié 1,25 M.; B. G. Teubner, Leipzig. 

E. Lebo.n. — Armand Gautier, Biographie, Bibliographie analytique des 
Ecrits. — 1 fasc. in-8", VIll-96 p.; Gauthier-Villars, Paris. 



192 BULLETIN B l R L I O i: R A P H I Q U E 

M. LiNDow. — Differential- und Integralrechnung, mit Beiiuksiclitigung 
der praktisclien Anvvendungen in Her Teclinik. — (Sammiung « Aus Natur 
und Geisleswelt », Xo:J87.) 1 vol. in-lfi, VII-lll p.; relié 1,25 M.; B. G. Teub- 
ner, Leipzig. 

L. MicH^ELis. — Mathematik fur Biologen und Chemiker. — 1 vol. in-S», 

VII-253 p.; 7 M. 80; ,1. Springer, Berlin. 

O. Perron. — Die Lehre von den Kettenbrùchen. — l vol. in-8°, XII- 

520 p.; prix, broché, 20 Mk.; B. G. Teiibnor, Leipzig. 

E. Pu.\KD. — Das Wissen der Gegenwart in Mathematik und Natur- 

wissenschaft, Autorisierle deutsclie Ausgabe mit er-lituleniden Anmerkuiigen 
vou F. und L. Lindemann. — (Sammiung « Wissenschafl und Hypothèse », 
No XVI.) 1 vol in-S», IV-292 p.; 6 M.; B. G. Teubner, Leipzig. 

A. Sainte-Laouk. — Notions de Mathématiques, avec préface de G. Kœ- 
NiGS. — 1 vol. in-8", VIl-512 p.; 7 Ir.; A. Hetiiiann cS: fils, Paris. 

Sghwabu. Lesser. — Mathematisches Unterrichtswerk tiii- hohere Lehr- 
anstalten. Unter Milarbeil von C.-H. Muli.ek iFrankfurt a. -M.) und Max 
LiNNiCH (Polsdam), herausgegeben von K. Schwab und O. Lessick (Frank- 
furt a. -M). 

Ausgahen fur hohere Knabensvhulen : Band I : Lehr- und Uebuugsbuch 
fijr den Unterricht in der Arithmelik und Algebra. I. Teil : Fur die mitt- 
leren Klassen samtlicher htiherer Lehranstalten. Dritte Auflage. 2 M. 80. — 
II. Teil : Ausgabe A : Fiir die oberen Klassen der Realanstalten. 3 M. — 
IL Teil : Ausgabe B : P"ûr die oberen Klassen der Gymnasieu. 2 M. — 
Band II : Lehr- und Uebuugsbuch der Géométrie. L Teil : Ausgabe A und 
B; 4 M. und 2 M. 50. — IL Teil : Ausgabe A und B; 2 M. und 3 M. — 
.III. Teil : Ausgabe A; 2 M. — Band III : I. Teil : Ausgabe A : Fur Real- 
anstalten. Lehr- und Uebuugsbuch fur den Unterricht in der synthelischen 
Géométrie der Kegelschnitte und der aualytischen Géométrie. — o M.; 
G. Freytag, Leipzig. 

Ausgahe fur hohere Màdchenschulen. herausgegeben von M. Linnu.h. 
Lehr- und Uebuugsbuch der Mathematik. Teil L und IL 2 M. le vol. 

Ausgahe fi'ir Lehrerinnenseminare, von M. Linnich. Teil 1 : Lehr- und 
Uebuugsbuch fur den Unterricht in der Arithmetik und Algebra, mit eiuem 
Anhang fur den Unterricht in der aualytischen Géométrie : 2 M. 50. — 
Teil II : Lehr- und Uebuugsbuch der Géométrie, Stéréométrie und Trigo- 
nométrie ; 3 M.; G. Freytag, Leipzig. 

D.-E Smitu et C. Goldziher. — Bibliography of the Teaching of Ma- 
thematics 1900-1912. — 1 fasc. in-8o, 95 p. — United States Bureau of 
Education, Washington. 

G. VivANTi. — Esercisi diAnalisi infinitésimale. — 1 vol. iu-8", IX-'ilO p.; 
15 L.; Mattei & C'^ Pavic 
V. Volterka. — Leçons sur les équations intégrales et les équations 

intégro-différentielles, publiées par M. Tomassetti et F. -S. Zaki.atti. — 
1 vol. i.1-8", Vl-172 p.; 5 fr. 50; Gaulhicr-Viliars. Paris. 
Taschenbuch fur Mathematiker und Physiker, herausgegeben von 

F. Auerhacu un<l K. KoruK. 3. Jahrgang 1913. — 1 vol. iu-lfj, X-'i63 p.; 
6 M.; B. G. Teubner, Leipzig. 



EXCENTRICITÉS ET MYSTÈRES DES NOMBRES^ 



(I L'a source de toutes les ma- 
thématiques se trouve dans les 
nombres entiers ". 

MlNKOWSKI. 

1. Durant uu séjour prolongé dans une station balnéaire très 
fréquentée, où les patients ne t'ont en général que de brèves cures, 
je fus frappé du très grand nombre de personnes qui défilèrent 
sous mes yeux. Ce nombre me paraissant énorme, j'eus la curio- 
-sité de m'informer auprès de la Direction des Bains et j'appris que 
•durant les meilleures saisons le nombre des visiteurs n'atteignait 
pas dix mille, de sorte que je ne pouvais en avoir vu plus de cinq 
mille : je conçus de ce fait un respect considérable pour le nombre 
cinq mille et je remarquai que je devrais assister à toutes les 
saisons d'un siècle entier pour voir un million d'hommes et me 
former une conception de ce nombre un million que beaucoup 
prononcent, croyant en avoir une idée précise alors qu'ils ne font 
que répéter un mot entendu dès leur enfance. Je reconnus que la 
Nature m'ayant assez libéralement accordé l'Intuition géométrique 
m'avait en revanche refusé le don correspondant en Arithmétique, 
•si bien que le regretté Georges Darwin n'eût pas manqué de 
•déclarer mon « œil mathématique « ouvert à moitié seulement. 

2. Je me suis aperçu depuis que cette incapacité de concevoir 
le nombre correspondant à une énorme totalité d'individus doit 
être un patrimoine commun de toute l'humanité et ceci explique 
les expédients auxquels on recourt pour aider à concevoir de 
nombres très grands. Ainsi lorsque l'administration du Palais de 
■cristal à Londres publia, en 1864, que, durant ses dix premières 
années d'existence, l'établissement avait reçu Quinze Millions de 
visiteurs, elle exposa un ruban de coton sur lequel Un Million de 
points noirs étaient régulièrement disposés. Un amateur de statis- 
tique ayant calculé approximativement combien l'ensemble des 
œuvres écrites par les hommes, depuis la Création, remplirait de 



1 Résumé d'une conférence présentée piir M. Gino Loria au 3« Congrès de la Société 
« Mathesis », à Gènes, le 22 octobre l'.)12. — Traduction de M. Eug. Ciiatki.ain, Dr es se, 
.La Chaux-de-Fonds (Suisse). 

L'Enseignement niiithém., !.")■= année ; 1913. 14 



194 (. . I.OHIA 

volumes in-<S", obtint un nombre si énorme que pour en donnei 
une idée il dut ajouter quune personne lisant un de ces volumes- 
par jour en aurait pour Trente Mille ans. 

3. Après m'ètre persuadé que les collections d'hommes ou 
d'objets ne facilitaient pas la conception des grands nombres 
abstraits (au contraii-e !1, je voulus recourii- à taire correspondre- 
aux nombres des intervalles de temps, ainsi que Hamilton me- 
paraît en suggérer l'idée lorsqu'il dit : « l'Algèbre, la science du 
temps pur ». Je me préparais une désillusion. Une minute passe 
si rapide qu'on est porté à penser qu'Un Milliard de minutes ne 
constituent pas une période très considéi'able et pourtant Ilermann 
Schubert a calculé que le 28 avril 1902, à 10 h. 40 du matin, \\n 
milliard de minutes s'étaient écoulées depuis la naissance du Christ. 
Passons en revue les bouleversements politiques et sociaux sur- 
venus durant ce temps, l'énorme travail accompli dans les Aits- 
de la Paix et de la Guerre, dans les Sciences, pures et appliquées,, 
dans l'Industrie et le Commerce, tenons compte des époques de- 
torpeur et de folie furieuse, où l'on a détruit ce que les ancêtres 
avaient bâti, nous devons reconnaître qu'un milliard de minutes- 
est un temps beaucoup plus formidable que nous n'aurions j)U le 
supposer et que Un Milliard est une totalité plus énorme que n'ont 
jugent même ceux qui en ont fait leur blason. 

On ne se heurte pas à de moindres dilTicultés si l'on aj^pelle- 
l'Espace au secours de la représentation des nombres. Qui saurait 
concevoir la plus modeste des longueurs considérées en Astro- 
nomie ? Ua distance qui sert de base, celle qui sépare la Terre du- 
Soleil est en moyenne de 150 Millions de Kilomètres. Une auto- 
mobile qui ne s'arrêterait pas pourrait parcourir cette distance eu- 
340 ans, à l'allure de 50 km. à l'heure. 

4. Cette difficulté à concevoir les très grands nombies a été 
observée dès la plus haute Antiquité. L'Ecriture Sainte ne cite 
jamais de nombre supérieur à Dix Mille. Les Babyloniens ne se 
risquèrent jamais au delà de Cent Mille. En écriture hiérogly- 
phique égyj)tienne Un Million est représenté par un homme (pii 
lève les bras en signe d'extrême étonnement. l>es (Chinois attei- 
gnirent le nombre formé de Un suivi de quatorze zéros, et les- 
Hindous allèient jusqu'à Un suivi de vingt et un zéros, mais il est- 
permis de douter (piils aient elfeclivement conçu des grandeurs 
aussi stupéfiantes. 

Les contemporains d'Archimède n'ont pas surmonté ces obsta- 
cles; épuisés par l'elfort immense qu'ils devaient faire pour aiiiver 
à une certaine limite, ils préfèi-ent ne pas la dé|)asser et s'abîmer 
dans l'infini; en efief, dans une de ses (itMivres, VArenariiis, Archi- 
mède s'elTorce de dénionticr (|u il est erroné de considérer comme 
infini le nombre des grains de sable (pii constituent le fond de la* 
mer. Dans ce but, l'illustre Syracusien imagina un système de- 



DES. NOMBRES 195 

numération excessivement ingénieux qui lui permettait de repré- 
senter giaphiquement tous les nombres jusqu'à celui que nous 
écririons Un suivi de 80 Mille Millions de zéros. 

5. Les énormes diflicultés rencontrées par la plupart de ceux 
qui veulent se faire une image claire de très grands nombres 
prouvent cjue l'intuition arithmétique est une faculté beaucoup 
plus rare cpie l'intuition géométrique. Les calculateui-s célèbres 
qui étonnèrent le monde ont sans doute développé par un savant 
entraînement une qualité latente tiès lare et l'on poujrail recher- 
cher et étudier les procédés développatit lintuilion arithmétique, 
correspondant à ceux que Ton connaît dans le domaine de la 
Géométrie. Pour comprendre limportance de cette action il suflit 
de se souvenir que la « myopie arithuiétique » si répandue cause 
Li stupéfaction et l'incrédulité que rencontrent les résultats d'opé- 
rations arithmétiques foit simples. C'est l'occasion de répéter 
avec Bacon : « l'Ltonnement est père de Science », mais c'est le 
cas d'ajouter cju'il est fils de l'Ignorance. 

Un des plus anciens exemples d'opération apparemment enfan- 
tine, mais à résultat stupéfiaut, est la récompense si connue que 
SissA Bi-:\ Dahei? l'inventeur du jeu d'échecs demanda à son roi : 
Un grain de blé sur la première case de l'échiquier, deux sur la 
deuxième, cjuatre sur la troisième et ainsi de suite en doublant le 
nombre de grains de case en case jusqu'à la soixante-quatiième. 
La quantité de blé demandée sous cette apparente modestie for- 
merait une couche de un centimètre d'épaisseur sur toute la sur- 
face de la Terre. Ce résultat merveilleux est devenu proverbial. 

D'ailleurs ce n'est pas sans scepticisme que beaucoup de per- 
sonnes apprirent en 1871 que la France eût possédé l'indemnité 
de guerre de cinq milliards si, en 1413 (peu après la mort de 
Jeanne d'Arc , le roi Charles VII avait eu la précaution de placer 
Ln franc à intéièts composés à 5 "/„ . 

L'analyse combinatoire conduit plus encore que les progressions 
à des nombres inconcevables. Le nombre de groupes que l'on peut 
former avec un ensemble assez restreint d'éléments est énormé- 
ment plus giand que le vulgaire n'imagine. C'est sur cette igno- 
rance que sont basés la plupart des tripots loto, etc.), officiels ou 
clandestins, qui distiibuent des sommes toujours dérisoires aux 
naïfs alléchés par le mirage de la fortune. 

C'est encore à cause de cette ignorance qu'on se demande quel- 
quefois si le nombre de motifs musicaux, combinaisons qu'on 
peut former avec les 7 notes de la gauime. ne sera pas épuisée 
bientôt; mais, que les jeunes compositeurs se rassurent , le nombi'e 
des combinaisons encore inédiles obéissant aux lois de lllarmonie 
est assez formidable pour (|u'on ose attendre encoie d innom- 
brables chefs-d'ceuvie. 

6. Pour faciliter la conception des nombres de la série nalurellf 



1 '.Mi a . I. () H I . t 

on a couluinc de les roprésenler par des points éqiiidistants d'une 
dioite indéfinie; ou est amené presqu'inconscienimeiit à choisir 
les intervalles de séparation égaux entre eux; mais tandis que les 
dillerents points diine droite ne se distinguent les uns des autres 
<[ue par leur position, les nomhies correspondants ne dift'èrent 
pas seulement par la grandeur, chacun deux possède des qualités 
spécifiques qui le caractérisent : on a donc fait correspondre 
rhomogène à Ihétérogène; par suite cette correspondance est 
grossière, infidèle, elle ne tient nul compte de Tessence même 
des notions à représenter. 

Comme exemple de ces propriétés distinctives , lappelons 
qu'l'^douard Lucas a démontré que Cinq est le seul nombre qui 
soit somme des carrés de deux nombres consécutifs et dont le 
carré puisse être exprimé de la même manière (5 := i- + 2"'' ; 
2.") = 3"^ + 4-). Il a démontré encore que Sept est le seul nombre 
égal au double dun carré moins un et dont le carré puisse être 
représenté de la même manièie 7 = 2.2"- — 1 ; 49= 2.5^ — 1). 

Cette grande diversité entre les propriétés des éléments de la 
suite naturelle des nombres a enrichi la Théorie des Nombres de 
tout un monde de propositions excessivement curieuses dont 
l'énoncé est intelligible à chacun, que chacun peut vérifier facile- 
ment sur d'innombrables exemples, que chacun croit pouvoir 
démontrer immédiatement, tandis qu'elles dissimulent des difli- 
cultés aussi graves qu'insoupçonnées. L'amour des généralisations 
audacieuses est si vif chez les mathématiciens que des savants 
pourtant perspicaces se sont laissé entraîner dans ce domaine à 
des allirmations que la postérité ne put conhrmer; aussi doit-on. 
en Théoiie des Nombres plus que dans aucune autre discipline, 
tenir en rigoureuse quarantaine toute proposition qui ne serait 
pas accompagnée dune démonstration impeccable. 

Dès les plus élémentaires recherches arithmétiques on perçoit 
l'hétérogénéité complète de la suite naturelle des nombres et la 
nécessité d'une classification. 

On attiibue à Pythagore la distinction entre nombres pairs et 
impairs, mais elle ne peut avoir échappé à aucun peuple tant soit 
peu civilisé. Cette distinction est fondamentale, non seulement au 
point de vue purement arithmétique, mais encore dans des do- 
maines bien éloignés. Ainsi les Quadrifiues d'un espace linéaire 
jouissent de propriétés toutes difféientes selon que les dimensions 
de l'espace sont en nombre pair ou impair; de même la Cinéma- 
tique d'un espace linéaire présente des phénomènes radicalement 
différents suivant que l'espace a un nombre pair ou un nombre 
impair de dimensions. Et dans la théorie des Déterminants d'ordre 
supérieur, on ne peut éviter de distinguer le cas oii cet ordre est 
indiqué par un nombre pair du cas oii il est désigné pai" un 
nombre impaii'. 



DES NOMBRES 197 

7. La distinction entre les nombres Pi-emiers et les nombres 
Composés est aussi ancienne et pins féconde encore que la précé- 
dente. Lorsqu'on parcourt la suite naturelle en soulignant ceux 
de ses éléments qui sont nombres premiers on s'aperçoit qu'à 
mesure qu'on avance les éléments soulignés deviennent de plus 
en plus rares et l'on peut se demander si, au delà d'une certaine 
limite ne se trouvent plus que des nombres composés. Cette ques- 
tion s'est posée aux Anciens déjà. puisqu'Kuclide a jug^é bon d'y 
répondre en montrant comment on peut constituer une suite illi- 
mitée de nombres tous premiers, ce qui permet de dire que la 
progression arithmétique ayant l'unité comme premier terme et 
comme raison contient une infinité de nombres premiers. En est- 
il de même de toute progression arithmétique ? 11 est évidemment 
nécessaire que le premier terme et la raison soient premiers entre 
eux, mais cette condition est-elle suffisante ? Legendre lavait 
admis et [.ejeune-Dirichlet la démontré en une impressionnante 
application de l'Analyse infinitésimale à l'Arithméticpie. La dé- 
monstration ne remplit pas moins de 26 pages in-4'' et ne révèle 
pas la raison intime de la vérité qu'elle établit, ainsi qu'il ariive 
toujours lorsqu'un raisonnement utilise des considérations n ayant 
pas de liens visibles avec le but qu'il se propose. On attend encore 
la démonstration arithmétique de la présence d'une infinité de 
nombres premiers dans toute progression arithmétique ou la 
preuve que cette démonstration est impossible par un raisonne- 
ment exclusivement arithmétique. 

D autres points de la Théorie des Nombres ont été longtemps 
ou sont encore entourés de mystère. En 1845, Joseph Bertrand, au 
cours de recherches sur la Théorie des Substitutions, fut conduit 
à admettre que <« si n désigne un nombre supérieur à 7 il existe 

toujours un nomt^ie premier entre -:^ ei n — 2 » ; bien que per- 
suadé de l'exactitude de cette proposition il ne réussit pas malgré 
ses ell'orls réitérés à la démontrer et il la publia sous le nom de 
Postulat. Une dizaine d années |)lus tard le géomètre lusse 
Tchebychefl' imagina une démonstration rigoureuse et fit de ce 
Postulat un véritable Théorème. 

\ ers le milieu du XVIII'" siècle Goldbach constata sur beaucoup 
de nombres pairs qu ils étaient tous décomposables en somme de 
deux nombres premiers. Léonard Euler se déclara persuadé qu'il 
s'agissait là d'une véritable Loi, absolument générale, mais il ne 
pai'vint pas à la démontrer. A la fin du siècle passé Geoi-ges Cantor, 
aidé par un de ses disciples, établit expérimentalement l'exacti- 
tude de la loi de Goldbach pour les nombres inlerieurs à .3000. 
Nous attendons de futurs chercheurs (pi'ils démontrent logi(pi('- 
ment cette loi ou qu'ils indiquent les cas oii elle serait en défaut, 
et encore qu'ils décident de la généralité de la proposition ana- 



IW G. 1.0 lu A 

lo<j;iio proposée par le piiiiee de I^olionae : Tout noinbie premier 
peut être considéré couinie dilîerence de deux nombres premiers. 

l'^n 187<S. un mathématicien anglais, Glaisher, examina les cou- 
ples de nombres impairs consécutifs tous deux premiers comme 
11 "et i:} ou 29 et 31 et constata qu'entre 1 et 100,000 il y a 1125 de 
ces couples, tandis qu'entie 1,000.000 et 1,100,000 il n'y en a que 
72Ô et même qu'entre 8,000.000 et 8,100,000 leur nombre n'est plus 
que 518. Cette observation nous amène à nous demander si à partir 
d'une certaine limite on ne trouve plus aucun de ces couples. C'est 
de nouveau une question qui n'a pas encore reçu de réponse. 

8. Pour faire pendant à ces Th(''orèmes dont l'énoncé paraît 
éb'inentaire mais tlont la démonstration est sinouUérement ardue 
nous avons des Problèmes d'apparence très simples et dont la 
solution présente des difficultés exceptionnellement graves lorsque 
les nombres donnés sont très grands. 

Dans ce genre, les deux questions connexes de la décomposition 
d un nombre en ses facteurs premiers et de l'établissement d'un 
critère sur pour reconnaître si un nombre est premier, sont typi- 
ques. L'Antiquité eut déjà conscience des dilficultés de la seconde 
Cjuestion et le géomètre Krastothène, de l'école d'Alexandrie, en 
proposa une solution empirique : son célèbre « Crible » établissant 
une table des nondires premiers. 

Tous les traités d Arithmétique, même les j)lus élémentaires, 
exposent la solution du premier pioblème. Cette méthode, dont 
1 origine se perd dans la nuit des temps, ne rend que des services 
d'une valeur discutable lorsqu'il s'agit de décomposer un très 
grand nombi'e en ses facteurs premiers, preuve en soit la curieuse 
erreur commise par Jean Bernouili le troisième de ce nom; en 
prétendant que 10^^ -j- 1 n'admet (pie les facteurs premiers 11 et T.\. 
alors ([ue ce nom!»re en possède encore 2 autres de 4 chilIVes 
chacun. 

On peut croire ([ue Fermât ait été en possession d'une méthode 
satisfaisant pleinement aux exigences de la pratique lorsqu'on 
songe à l'impressionnante désinvoltuie avec laquelle il répondit 
au Père Mcrsenne que le nombre de 12 cliilfres 100,895,598,100 
est le produit des 2 nombres de (> chiffres chacun : 898,423 et 
112,203. 

l n des plus intrépides calculateurs (jue riuimanité ait connu : 
Landry, à qui nous devons la décomposition en facteurs premiers 
de tous les nombres de la forme 2" zh 1 pour toutes les valeurs 
de n inférieures à G4, a déclaré que de toutes les décompositions 
elfectuées celle qui avait exigé le plus de patience est celle du 
nombre 2^*^-1- 1 dont les deux derniers facteurs ont chacun 9 chif- 
fres, leur produit cpi'il s'agissait de décomposer est le nombre de 
17 chidVes : 57,()4(i,O75,230,342,3't9. Voilii ({ui donne une idée de 
la dillicidh- du problème et (pii lit déclarer à Landry (pi'on ne 



DES NOMBRES 199 

rpounait retrouver ces facteurs de fort lougteuips s'ils venaient à 
se perdre. 11 y aurait matière à une monographie aussi intéressante 
•qu'utile à rassembler, à coordonner avec beaucoup d'art et de 
science les procédés utilisés pour venir à bout de ces difficultés 
pour des nombres d'une forme particulière. 

Les merveilleuses méthodes analytiques utilisées dans l'étude 
<le la répartition ou « fiéquence » des nombres premiers sont ex- 
posées dans les remarquables travaux de Gabriel Torelli et d'Ed- 
■mond Landau. 

Faute d'un critère certain permettant de reconnaître si un 
nombre est premier ou d'une expression analytique comprenant 
tous les nombres premiers et aucun autre, bon nombre de pro- 
blèmes très importants attendent en vain leur solution. Pour nous 
■conformer au précepte de Nevvton : Rxempla plus prosunt quam 
pra'cepta ! citons quelques faits. 

Gauss a démontré que les polygones réguliers que Ion peut 
■construire à laide de la règle et du compas sont ceux dont le 

nombre de côtés est premier et de la forme 2'' + 1; or pour 
fi ■:= i, 2 ou 3 la formule donne les nombres 5, 17, 257 qui sont 
premiers. Fermât croyait qu'il en allait de même pour toutes les 
valeurs de l'exposant, mais on ne tarda pas à s'apercevoir de son 
erreur, car en 1732 Euler démontra que 2-^- -\- 1 est divisible par 
'641. Eisenstein ailirma plus tard que la formule de Gauss em- 
brasse une infinité de nombres premiers, mais jusqu'à ce que ce 
fait soit démontré nous ignorerons si les polygones réguliers cons- 
tructibles élémentairement sont en nombre limité ou illimité. 

Les Nombres Parfaits (qui sont égaux à la somme de leurs divi- 
seurs) que nous connaissons sont pairs, on ne sait s'il y en a d'im- 
pairs, et Euclide a montré qu'ils sont de la forme (2" — 1)2"—', à 
condition (pie 2" — l soit un nombre premier. Si à partir d'une 
certaine valeur de // , 2" — f est toujours composé, il n'existe 
qu'un nombre limité de nombres parfaits; si la formule 2" — 1 
inclut au contraire une infinité de nombres premiers, les nombres 
parfaits sont aussi une infinité. Laquelle des deux propositions 
est vraie ? Mystère ! 

y. L'extraordinaire fécondité de la décomj)osition des nombres 
en leurs facteurs premiers a éveillé l'idée d'étudier des décompo- 
sitions basées non plus sur la multiplication mais sur l'addition. 

Le Théorème de Pythagore avait conduit à la découverte d'une 
infinité de cai-rés qu'on peut décomposer en une somme de deux 
carrés. Plur taid, le Grec Diophante montra la possibilité de 
transformer dans certains cas une somme de deux cubes en une 
différence de deux autres cubes, ce qui suggéra la question, dont 
Euler s'est occupé, de décomposer quand c'est possible un cube 
«en somme de trois autres cubes. 

La première décomposition additive applicable à tous les nom- 



200 G . I.ORl A 

bres est due à Fermât qui annonça que tout notnbre peut ètre- 
exprinié comme somme de quatre carrés. Lai,nanoe démontra cette- 
véiité. Fermât de plus formula les suivantes : Tout nombre est 
une somme de trois nombres triangulaires, ou de cincj nombies- 
pentagonaux, etc. Elles furent démontrées par (>auchy. 

A la fin du XVIIP siècle, le géomètre anglais Kdouard AVaring, 
signala que tout nombre peut être représenté comme somme d'un 
nombre déterminé N de pnissances /?-ièmes. — X a une valeur 
dt'lerminée pour chaque valeur de /*, ainsi pour n = 2, X = 'i 
Ibéorème de Fermât- f>agrange]. Le cas ds cette proposition 
relatif à n = 3 (alors X = 9) attira l'attention de .lacobi qui, faute 
dune démonstration procéda à la vérification expérimentale, avec^ 
laide du calculateur Dase, pour les nombres inférieurs à 12,00(L 
Un demi-siècle plus tard on leconnut rexacfitude de la loi jus- 
qu'au nombre 40,000. 

11 y a quatre ans seulement que David llilbeit a démontré en 
général le Théorème de Waring à laide de l'analyse infinitési- 
male ; il donnait ainsi une preuve nouvelle des liens intimes qui 
unissent ce domaine à l'Arithmétique, mais la postérité devra 
décider si cette intervention de l analyse infinitésimale est indis- 
pensable. 

Si important que soit le progrès réalisé par llilbert, il n'épuise- 
pas les questions ayant le « Problème de Waring » comme noyau : 
il reste à déterminer la plus petite valeur que peut prendre X 
pour chaque valeur déterminée de n. 

On s'est attaqué à ce pioblème en adoptant la tactique des 
approximations successives. Ainsi pour n = 3, Waring avait 
annoncé X ^ 9. Maillet trouva d'abord 17, plus tard Fleck abaissa 
ce nombre à 13 et finalement Wieferich établit définitivement que 
X = 9, de sorte que l'on peut dire avec certitude cpie » tout nombi-e 
peut être représente comme somme de neuf cubes ». 

De même pour ti = k on a obtenu successivement W.\, puis 47. 
4."), 41, 39, 38 et 37 ; au dire de Waring le minimum serait 19. Si 
l'on pouvait l'abaisseï' à 16, tout nombre serait décomposablc en 
une somme de 16 puissances (jualrièmes, ce (|ui donnerait à 
espérer (|u"un jour, sans doute terriblement éloigné, peut-être on. 
pourra dire: « Tout nombre est décomposablc en une somme de 
n^ puissances /î-ièmes ». 

10. Ces considérations décèlent l'existence d'une mine abontlant 
en résultats précieux et (pii n'attend (|ue d'habiles explorateurs. 
En effet, en démontrant que tous les nombres peuvent êtie 
exprimés par une somme de .X puissances /?-ièmes, on n'exclut 
j)as la possibilité cpie pour certains nombres de forme particulière 
il y ait moins de X addendes, ce qui pose le pioblème général tle 
la détermination du plus petit nombre d'addentes poui- des caté- 
gories sj)(''ciales de nombres. Par exemj)le : Va\ combien de |)uis- 



DJ;S NO M BUES 201' 

sances /«-ièmes peut-on décomposer toutes les puissances /«-iènies. 
Cette question est résolue pour n = 2, car on connaît des carrés- 
qui ne peuvent être représentés par moins de 4 carrés, mais on- 
ne sait pas s'il existe des cubes qu'on ne peut obtenir en addition- 
nant moins de 9 cubes. Si l'on arrivait à démontier que quand /i 
surpasse 2, ce minimum est toujours spérieur à 2 et ne peut s'abais- 
ser jusqu'à 2 pour aucun nombre isolé, on aurait démontré du 
même coup que la somme de 2 puissances /«-ièmes n'est jamais 
une puissance /î-ième (pour n supérieur à 2). C'est le grand Théo- 
rème de Fermât, la plus célèbre et la plus obscure énigme des 
mathématiques. Bien que son auteur se soit prétendu eu mesure 
de le démontrer eu quelques pages personne n'est parvenu à 
reconstituer sa démonstration et les plus émineuts cheicheurs 
n'ont pu qu'étendre le champ des valeurs de l'exposant pour les- 
(juels le Théorème est certainement valable et accroître la proba- 
bilité qu'il soit général. Existe-t-il un nombre original qui, choisi: 
comme exposant, mettrait en défaut l'assertion de Fermât'.* On 
n'est pas en mesure de le nier! Des myriades de mathématiciens 
s'efToi'cent de dissiper cette incertitude et d'atteindre le sommet 
du niAt de Cocagne'où la générosité du docteur ^^'olf"skehl a placé 
100.000 Marks. ' 

Dans ce qui précède nous n'avons guère célébré les splendides 
victoires des Mathématiques ; au lieu de nous élevei' sur les cimes 
déjà conquises, nous nous sommes attardés à contempler les 
abîmes inexplorés et nous ne saurions mieux conclure qu'en répé- 
tant avec Hamlet : « Horace, il est au ciel et sur la terre plus (\e~ 
mystères que ne l'imagine notre philosophie ! » 

(lino LoiîiA Gênes). 



srii Diviiiis piu)Ct:DES Db: i actohisationi 



P'robleiiin, iiiinieros prinios u 
composilis dignoscendi, hosque 
in iactoros siios primos reso- 
liiondi. ad gravissima ac iitilis- 
sinui iiiitliniL'tica^ pertinere. 

(tAUSS. 

Ilecomiaître si un lutinljie donne i[nelconqiie r/ est divisible par 
mn autre nombre donné h est chose facile : on n'a qu'à efTectuer 

la division de a par b. Même si a n'est pas donné explicitement, 

la chose est encore possible, en faisant appel à la théorie des 

congruences", d'après un procédé dû en principe à Enler. 

La question inverse : déterminer les nombres dùn'sant un nombre 

donné, c'est-à-dire résoudre l'équation .i// = n, est au contraire 
d'une dilliculté telle (|ue, — saut' j)our les nombres qu'on peut 

mettre sous certaines formes spéciales, — elle n'est pratiquement 
'soluble que pour des nombies n'ayant guère plus de dix ou douze 
cliiffres; et encore les calculs qu'elle nécessite sont-ils alors d'une 
•ellrayante prolixité. D'après une assertion de Gauss, il ne faut 

pas se flatter de trouver une méthode dont la difficulté dapplica- 
'tion ne croisse pas beaucoup plus rapidement que le nombre des 

chiffres à factoriser. 



1 Depuis une ({iiiDzainc d'aunces, on appelle ainsi, d'après les arillimcHIciens anglais, la di'-- 

■ coniposition d'tin nombre entier en ses facteurs premiers. 

* Ainsi soit a trouver le reste de la dUdsion de l.^ par 318li7 : on a, suivant le module HIRCiT, 

216 = 32768 = 901 , L^O =-. dojS = 1512c, . 2^5 = l.-,126 . 32 = «027 . 

On dénionlru de nu'inc que 7'*' 4- 1 est divisible par (!'il (Euler. voir F.tts. math., l'.td". p. 'i37|, 
.q„e :iiOOO_ :{ lest par l."{ (Gauss, tV.I, que 189" + ^ — 189" -f 189"—'' l'est par 191 (Desmarets, 
iU.). que i!'"' + 1 l'est par 2 748 779 0()9 'i41 (Seelhol'). 

Certaines identités algébriques fournissent très simplement une infinité de résultats de ce 
genre. Ainsi on connaît la factorisation algébrique des expressions a" — /'" , a-">' -\- &-" i", 
a* -(- il'* : tout nombre de cette deritiérc for/ne c.</ composé et égal au produit des deux sni- 
-vants a* ± 2ab -)- 2b* (Euler) : d'où trois théorèmes dus à Goldbach, i^opliie (Vermain et Auri- 
fi'uille, en faisant 

a^\ : h = \ : a ^ \ , h = l" ■ 

Kd. Lucas <'t 1<^ lient. -col. Cunningliam entre autres, ont fait de nombreuses reclierclies sur 

■ ce genre de lorniulcs algébriquement décomposables. 

La connaissance d'e.xpressions jouissant de celte propriété est du reste extrêmement utile : 
ipour factoriser un nombre donné, on cberclie d'abord à le diviser par les plus petits nombres 
-premiers, 3,5, 7, 11, 13, ...; on s'assure, par le calcul ou au moyeu de tables, qu'il n'est ni 
■carré, ni cube, ni triangulaire; et on essaie ensuite de le mettre sous la forme d'une de ces 
-expressions décomposables, ce ([ni — si on réussit — évite de longs calculs. 



PH oc II DÉ s DE FACTORISATION 203 

Les Anciens s'étaient probablement posé ce problème, mais 
•sans aboutir jnsqn'à Euclide, à d'autres résultats que la connais- 
sance de certaines propriétés des nombies premiers. Peu après 
lui cependant, un pas important fut ïà\\ dans celte voie, l'inven- 
tion du crible d'Eratosthene. 

Les Indiens et les Arabes ont dû éijjalement s'en occuper; tou- 
tefois c'est dans Fibonacci qu'on voit, pour la première fois 1202 , 
■cette règle toute théorique d'essayer la division du nombre à fac- 
toriser par tous les nombres premiers inférieurs ii sa racine carrée^. 



C'est seulement avec les Modernes qu'(ni est arrivé à reculer la 
limite des nombres qui peuvent être factoiisés. A Frénicle paraît 



^ L''s divisions à i-llecluer peuvent être facilitées par les consifli-ratioiis qui suivent : 

Il 1/ a a^'aiilagc à commeiuer les essais en partant de la limite I ii . En eilt-t. soit n=zpa-\-r: 
•si un diviseur </ de r ne divise pas a, il sera inutile d'ossavor la division par q (E. Lebon). 
Ainsi 'il71 ^ 68.61 + 23: il est donc inutile de diviser par 23. 

Si le quotient n'a pas plus de^quatre ou cinq chiiïres, on peut, avec Ed. Lucas, se servir 
(l'une table de logarithmes à sept décimales. 

Si le nombre à factoriser se termine à droite, par exemple par 7. les deux f.icteurs de ce 
nombre sont terminés l'un par T et l'autre par 1, ou bien l'un ))ar '.i et l'autre par ;i. On mettra 
sur une ligne les nombres premiers décroissants à partir de I h et sur une deuxième ligne, 
les nombres croissants également à partir de in et qui, multipliés par leurs correspondants 
de la première ligne, paraissent devoir produire le nombre n. .Ainsi soit le nombre n = 'ilTl : 
on considère les couples 

Cil.Tl , .î'.l.G'.l ou 59. TU , 53. TT , 47.93 . 43.87 ou 43.97 , ... 

La preuve ])ar 9 fait voir c(ue H = 4 Imod 9i : par l'addition des chiffres des différents couples, 
ou voit qu'on peut se borner à essayer seulement les produits 53.77, 43.97, ... dont le 
deuxième réussit. .Ainsi n se trouve décomposé en ses factem-s 43 et 97. 

Si a et j représentent les restes de la division de a et de h par p. celui de a^ + b divisé par p 
est congru ii r^ -)- jb . 

Snit n ^ a'' 4- b : cherchons le nombre impair -a tel que '- soit entier: a est divisible 

a — X 

par a — x. Par exemple, faisant «=14,6=1 et .r = 1, 3, ô, 7. 9, 11 : la formule qui pré- 
cède prend les valeurs 

15 43 71 9:1 127 15:. 

ÏÏÎ ■ H ' 17 ■ T ' "5" ' IT ' 

dont aucune n'est entière : le nombre 1'.' -|- 1 est donc |)remier. 

— , n — 9 n — 25 n — 49 n — 121 

Si n est composé et p <[ El n , l un des nombres 



13 



st entier: sinon n est pre/nie 



11 
ISS 172 



l'tS 711 28 ... 

~^^ . — , — n est entier; donc 19i est premier. 

Voici un autre procédé dû à M. E. Lebon: soit n = a'' + b : si aucun des nombres 

(a — 3,2 -I- b (a — 5)2 + b la — 7i2 + b 



.. n'est entier, n est premier. On |)eut ra])plii[uer 

à H = I 'i2 + I . 

M. Barbette {Les p'=^ puis., Liège, 1910), a remar([ué que la question revient a recherchoi' le 
p.g.c.d. de deux nombres des formes p — x et n — [p — x)', x prenant les valeurs 0, 1,2, 3, ... 

.\ signaler aussi : 1° cette remarque faite incidemment par Euler : soit p le plus petit nombre 
premier qui divise n, et soit n = pa : on trouvera les diviseurs de a en divisant ce nombre par les 
■nombres premiers compris entre / a et / n ; d'où il suit que, comme l'a observé Legendre, 
si p ]> / a , a est premier; 2» celle-ci: de Gauss : le nombre n ne peut avoir plus d'un facteur 
supérieur « / n . 



20i J. AU BUY 

due l'idée de l'édiiiie le nombre des essais, en classant les divi- 
senis sous ceitaines formes néoessaii-es qui montrent à priori 
l'inutilité de certains essais l-'ouvrai>e qu'il avait écrit sur cette 
(juestion est resté manuscrit xinv Dis'cis oin'raoes..., Paris, 1()*.»3. 
préface de Lahirej. 

Fermât a beaucoup cultivé cette féconde thi'orie de VcicZ/is/o/i, 
et semble avoir trouvé à ce sujet de nombreux tliéorèmes dont la 
plus orande partie est encore inconnue, malj^'ré les recbercbes des 
érudits et des savants. On peut résumer ainsi qu'il suit ce (pi'on 
sait des découvertes du célèbre géomètre sur celle (|U('stion. 

Dans ses Cogitata (1644), Mersenne, probablement d'après Fre- 
nicle, annonce quejusqii'à n ^257, les seules i>{ile///-s de n qui font 
de 2"~" 2" — 1) fin nombre par pt il, v'esl-à-dire de 2" — 1 un nombre 
premier, sont 1, 2, 3, 5, 7, 13, 17, 1!), 31. (37, 127 et 257. On peut 
voir dans le t. I de Hècr. math, de House-Ball (seconde édilictn 
française, 1{>09), quelques-nnes des tentatives faites pour démon- 
ti-er cette proposition. 

Dans le Comm. epist. de \\'allis l(i58i, on trouve, de Fermai, 
les suivantes, ((ui ont été le |)oinl de départ de nombreux travaux 
d'Euler: tout nombre premier 4+1 est, d'une seule manière, une 
somme de deii.r carrés. Tout nombre premier 3 -|- 1 divise y- -\- 3z"-. 

Dans les Varia Opéra (1G79), on voit celles-ci : 

Une somme de deux carrés premiers entre eux n'a aucun facteur 
de la forme 4 — 1, ainsi il est inutile d'essayer la division de 
10'° + 1 par 3, par 7, par 11, par 19, par 23, ... 

Si, p étant premier, a' est la plus petite puissance de a qui soit = i 
mod /> , t est un diviseur de p — 1 ' ; .sv' t est impair, aucun nombre 
de la forme a^ -(- J // V.s7 multiple de p. Si t est un nombre premier 
pair 2/. un a a' + i = 9. Si p = 4 — 1 et que a"""*"' = b-, on 
pourra écrire iv = 1 avec y impair, et par suite il sera po.ssible de 
trouver un nombre /. tel <jiie a' -|- I = 0. 

Aucun diviseur de n^ — 2 n'est de la forme \- -\- 2. 

Si p est premier, les diviseurs de 2'' — 2 .sont de la forme 2p\, 
et ceu.v de 2'* — 1, de la. forme 2px -|- I. Ainsi les diviseurs de 
2'' — 1 sont de la forme 74 + 1. Essayant la division par les 
nombres premiers de cette forme, 149. 233, ... l'cq^éralion rcMissit. 
au deuxième essai". A'icnn nombre 2^^ — 1 n' est premier . 

Tout nombre premier 3 -\- I est de la forme \- -\- Wy- . Tout 
nombre premier 8 -\- 1 ou 8 + .3 est de la forme x"- -\- 2y-. 



1 C'est lii lir llu-orcme de Fonniit. 

I.'i'xpos.iiil l s;ip|)i;llu. d'iipix'S lid. Liiciis. le ganssicii Ak p\ il sci-iiil. d'jipivs ce qui procède, 
plus oqiiitiible de le désigni;!- pHr un mot i-appeliint le nom i\<- Fciiiiat, qui l'a considi-ro le- 
premier. 

' (Jn démontrer.! de même que 2" — 1 est divisible piir 2M (Fermatl; qiio l'^ _ ]_ -^sii — ]_ 
2« — ). 2'' — I. sont respeelivemcnt divisibles par 'i7. llo:t, \\\. 439 lEiileri : et aiili-es l'aelo- 
risaliiins analogues. (Voir rioiise-HalJ. op. cil., p. 311. it F,<l. Lucas. Th. (/<\ ii.. p. :>\.} 



PHOcÉnÉs ni: factori sation 205 

Depuis, on a retrouvé et publié en 1880 et ISS^î quelques lettres 
■de Fermât, dont on eitera ce qui suit : 

Tout impair non carré est autant de fois de la forme x"^ — y'^ 
qu'il est de fois le produit de deux facteurs^ . Soit à trouver les 
facteurs de n = 2027651281 ; l'extraction de la racine carrée don- 
nera n = 45029"^ + 40440. Le carré immédiatement supérieur à n 
le surpasse de 2.45029 -|- 1 — 40440 ^ 49619, nombre non carré, 
<:e qu'indiquent suffisamment ses deux derniers ohid'res adroite'-. 
Le carré qui suit surpasse n de 49619 + 2.45029 -f- 3 =: l.'ô9680, 
nombre non carré. Continuant ainsi, on trouve à la dixième opéra- 
tion, 45041- :rz« + 1020^ de là la décomposition /? =r 46061.44021 •'. 



' A citer ces deux théorèmes analogues : 

M on peut écrire a* + 4n := f et a* — 4n = g^, te nombre n est de la forme xy (x^ - y^i. V.n 
•ellet. des deux relations données, on lire 

ce qui conduit a poser 

f + " f — " 

^z x^ — y^ et — -^=:'lxy , d'oii ;(=xyij;' — ,!/'i . (Auriteuillei 

Pour n. premier, v^ -|- 8m ne peut donner un carré que si v := '2n — 1 ou v = n — 2. En effet, 

tout entier n peut se mettre sous la l'orme xy — '■ , d'ofl 2x ^ 2y -\- \ -\- y' {'ly -\- 1)^ — Su ; 

donc, en posant 2y-|- 1 = u, u^ — S/i doit être un carré c^. qui doit être impair, caries nombres 
n -{- V et u — i' sont de même parité et par suite tous les deux pairs puisque leur produit 8h 
est pair. Si n est premier, on a les deux solutions uniques 



u -\- V = in , 


u- — i' = 2 . 


d"ou 


(' = 2h — 1 


M + i' ^ in , 


u — l» =: 4 , 


d'où 


i' = /j — 2 



Si n est composé, on a au moins les deux relations distinctes «* — v^ ^ Sn , u'^ — ^•'* =: Sn , 
•d'où, au moins, quatre solutions de l'équation u* — f*. = 8« I Barbette, op. cit.). 

(X 4- î/c\2 /x — v^ A"* 
— ;— ^ I — I '— I montre que si z est l'impair le 

plus voisin de — , zn sera une ditlerence de deux carrés dont le plus petit sera aussi petit 

que possible : on pourra ainsi appliquer à zn la méthode de Fermât. La recherche des divi- 
seurs de n est donc ramenée à celle de la valeur de z. Le plus souvent, z n'est pas très grand 
•et il suffira d'appliquer la méthode aux nombres «, :{;;, on. 'n. 

^ On sait qu'un carré est toujours terminé par l'un des vingt-deux groupes suivants : 

00, 01, O'i, 09, Ifi, 21, 24, 25, 29, 36, 41, 44, 49, &6, 61, 64, 69, 76, 81, 84, 89, 96. 
•î Dans ce cas particulier, les opérations sont peu nombreuses, les deux facteurs différant 
peu l'un de l'autre. Toutefois, on pourrait abréger et exclure souvent dix nombres d'un coup. 
Dans le même ordre d'idées, pour n = 4171, nombre examiné déjà plus haut, on a les deux 
relations 

4h = 129» + 43 = (3 . 43)2 _|. 43 
13« — I27t = (2323 + 399) — (2412 ^ :{i3) _ 473.;) _ «g ^ 

■dont chacune donne la solution. 

Plus généralement, la décomposition se trouvera de la même manière, si on peut écrire : 

A/( = fa* + gb^ + ha + jb + c , Bn = fb^ + g-a^ + hb -\- Ja + c . 

On pourrait assigner d'autres formules plus faciles a imaginer qu'à appliquer. Par exemple, 
■en combinant, par voie d'addition, les deux suivantes 

An =a(c + f} + b{d + f] , Bn = b[c + g) + a[d + g) . 

Mais souvent l'habitude du calcul suggérera des exclusions évidentes; ainsi pour n ^ 4171, 



206 A . A UB1{ Y 

Il convient de nientionnei- que ce procédé a été publié avant la 
lettre de Fermât, dans le Dut. de math, de Montfeirier Paris, 
1835), et réinventé également par Landi-y et Aurifeuille. 

. . 2*' + 1 
p désignant un nombre premier, l'entier — ^f^t de la forme 

Salifie cas on ab ... est de la forme 2^ . le nombre 2'^' ' " -f- 1 est 
composé. 

Aucun facteur de a'- + .^b' n'est de la forme 3 — 1. 

Enfin on citera la décomposition du nombre 100895598169 pro- 
posée par Mersenne à Fermât, qui la donna sans d'ailleurs indiquer 
la méthode qu'il avait employée^. 



H = l(Mt.41+Tl , 10/1 = 2042 + 2.47 , 3/i = lli»— 31 , 

ce qui fiiit iininédiateiiient voir qu'il est inutile d'essayer la division par 41. par 47 et par 31. 

Soit « =: a* -\- b ; posons n ^ \a -\- x)' — (x* + '2ax — b) : la question est réduite à amener, 
par diverses substitutions, l'expression x^ -\- 2ar. — 6 à èlre un carré. Supposons qu'on cherche 
seulement les facteurs premiers ^ 17 : on posera 

Il + 2Ô6 



a -\- X — \ x{x + 2a) — /) > 1« , d'où x < — — a . 

Soit, par exemple, il := 'il71. Par l'extraction de la racine carrée, on trouve n = 6'i' + 7,"i ; 
;r (a: + 128) — 7.5 doit donc être un carré. 11 faut éliminer foules les valeurs de a; inlërieiires- 
à 6'i et terminées .i droite par l'un des chiffres 3, 'i, 8, !t, car autrement le premier membre ne 
serait pas un carré. Pour le mémo motif, x ne peut être ni 3 + 2, ni 7+ 1. 2, 3, 4. ni8+0,l,3, 'i,.5. 
Les nombres inférieurs à 74 et répon<lant a toutes ces conditions sont 6, 42 et 70, dont le pre- 
mier donne le carré 27* ; en le mettant .i la place de x dans x^ + 2ax — h: on a ainsi 

;i = («4 + Ol» — 272 _ ,70 ^ 27) (70 — 27) = 'J7 . 43 . 

Si aucun do ces trois nombres n'avait donné de cai-ré, le nombre n n'aurait aucun diviseur 
premier ])lus grand que 16, et, eu divisant par 3, 5. 7, 11 et 13, il aurait été aise de voir s'il 
était premier. 

Souvent, comme on l'a vu plus haut, la décomposition se voit plus aisément sur un multiple 
que sur le nombre proposé lui-même. Ainsi, poui- h:=4171, on a: 8/i = 1 SL* — 11^, d'où 
n — 97.43. Pour n = 1Î80')7, on a : 3/i.= pOô" — 2» = 597. .593, d'où « = 199.593. 

On arriverait aussi à la solution si on pouvait trouver deux égalités de la former Ati = a" _|_ ^^ 
B/i = é" zt a. car il s'ensuivrait {A qz li) ii =^ {u + il (a — h). Ainsi soit n = 4171, il viendra : 

1^11 = 27'i2 + 2 , 33n = 3712 + 2 , d'où 15ii = 645.97 . 

Kn général, si X/i peut se reprc'senter par la iliderence de deux valeurs de la fonction onli'-re 

V\x) — Ax + li,T" + ... la décomposition est imuiédialc, car K(a) — Vlb) est divisible par 
a — b ; jiar exemple, on peut prendre pour F les carrés, les cubes, les bicarrés, les triangu- 
laires, etc., dont on possède des tables étendues. 

' On a émis diverses conjectures sur le principe dont s'était servi Format |>our obtenir celle 
factorisation. Ne serait-ce pas simplement la considération des triangulaires, telle que l'in- 
dique M. Barbette (np. cit.i et qu'on peut exposer ainsi : 

La factorisation est facile si n est un triangulaire, c'esl-ii-dire si on peut écrire 2/i = x(x + 1 1 
ou bien ïx ^ — 1 + t «o + i . Ainsi la condition pour n d'être un triangulaire équivaut <> 
celle, pour Su + 1, d'être un carré. Kssayant celle formule avec le nombre de Mersenne, on 
voit, en extrayant la racine de 8/i + 1, que ce nombre n'est pas carré, et que 

8;i = 89423*' + 898V;3 , 

d'où la décomposition demandée!. Cette égalité avait du reste été signalée antiricuiemonl par 
M. Pelersen (/. M., 190S). 



PROCÈDES DE FACTORISATION 207 

Euler a beaucoup étendu ces jDrocédés de Fermât'. 

Contrairement à ce que pensait celui-ci, il reconnaît que 2- + 1 
n'est pas toujours premier, même si n Test, car 2*^ + 1 est divi- 
sible par 641. 11 donne les diviseurs de 2^ — J, pour .r = 29, 43 
et 73; et diverses extensions ou conséquences du théorème de 
Fermât. 1732.1 

Il donne les formes linéaires des diviseurs de .<- -{-pi/-, pour 
les premières valeurs de p, et celles de a:i^ -\- bt/'^, pour diffé- 
rentes valeurs de ab. Il obseive que les formes ax^ + by- et 
x^ -\- aby- ont les mêmes diviseurs, de même que \- + ay^ 6t \'- -\- a. 
(1744.1 

Tout dii'i^eii/- de a'" + b'^" est de la forme 2" x + 1. De là, la 
démonstration de la divisibilité de 2^- + 1 par 041. ,1748.1 

Le produit de deu.v sommes de deux carrés est une somme de 
deux carrés"^. Si a. et h sont premiers entre eux, les diviseurs de 
a'^ -|- b'^ sont des sommes de deux carrés. Un nombre 4+1, qui 
ne peut se décomposer que d'une seule manière en une somme de 
deux carrés est premier ; dans le cas contraire, il est composé et 
on trouveia aisément sa décomposition^. (1752. 

Si un diviseur de a'^ + 2b'^ ou a' -|- 3b'- est de même forme, il en 
est de même du quotient. Tout nombre premier 6 -f- 1 divise 3x'^ -|- y'^ 
et il est de In même forme. (1759.) 

Il montre comment on détermine des nombres de la forme x- -\- i 
qui soient multiples du nombre premier p de la forme 4 -f- 1, ce 
qui facilite la recherche des conditions de divisibilité d'un nombre 
donné paryo,4ît permet de ti'ouver de très j^rands nombres immé- 
diatement décomposables. (1760.) 

On sait, d'après Fermât, qu'un nombre n, de la forme 4+1, 
est premier s'il est, d'une seule manière, une somme x^ + y'^ de 
deux carrés; mais, pour peu que n soit considérable, on avait 
ainsi à calculer un giand nombre de carrés. Euler montre com- 
ment on peut réduire le nombre de ces opérations, en détei-mi- 
nant les formes linéaires de y d'après celles de n. Ainsi si 
n = 16.r + 1 ou 16.r + 5, x est de la forme 8 ± 1 : le nombre des 
carrés à calculer est ainsi réduit au quart. On comprend combien, 
avec des coefficients plus élevés, comme 60.t' + 1, 240.r + 1, 



* Pour les détails et les démonstrations de ce qui a rapport à Euler, voir En.<. math.. 1909. 
p. 330 et seq. 

* Théorème déjà connu de Fibonacci et de Fermât, et peut-être de Diophante. 

f 
3 Soit, par exemple, /; := a* + i' = «' + ,i' : si — désigne la valeur de In fraction 

a + X !3 — b 
|; + (î» a — a 

réduite à sa plus simple expression, n est divisible par f^ -\- g^. 
Cette méthode parait avoir été connue de Frenicle. 



208 A . A U Hlî Y 

l'ji'iUO.f + 1, ... on auoiiientcrait le nombre des exclusions, et pai- 
suite la rapidité de la vérification de la divisibilité des ij^rands 
nombres. (1705.) 

Il vérifie ainsi que, comme l'avait annoncé Fermât, le nombre 
n^^ 2" — 1 est premier: 31 étant premier, tout facteur de n est 
de la forme 62 + 1 et, d'autre part, // divisant 2^^ — 2, il est des 
deux formes 8 d= 1 ". il est donc de l'une ou de l'autre forme 
l248 + 1, 63. Essayant la division de // par les nombres premiers 
compris dans ces deux formes, Euler s'est assuré que ce nombre 
est premier ^ (1772.1 

11 propose, pour la construction des tables de nombres pre- 
miers, la métbode suivante : soit considérée l'expression 30« + a, 
où a représente un entier quelconque, et a, l'un des 9>[30) nombres 
1, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 20, inférieurs à 30 et premiers avec lui. 
Les valeurs de cette expression comprennent entre autres, tous 
les nombres premiers avec 30; il faut en éliminer tous les mul- 
tiples de nombres premiers. Pour cela, on résoudra, dans chaque 
cas, léquation 30^^/ -)- a = ^y, ^ désignant l'un quelconque des 
nombres « - : la formule 30 (.r + k^} + a, où k varie de à co , 
donne la suite des nombres divisibles par j?. Classant toutes ces 
suites en une même table, les nombres absents de celle-ci sont 
premiers^*. (1774.) 

Euler montre que si x ê/rtn( premier cwec k, tous les nombres de 



1 Landry et Ed. Lucas, coiiunc on le verra plus loin, ont également vérifié cette assertion 
• de Fermât, à l'aide de méthodes particulières. Legendre l'a fait par une méthode tout à fait 

générale. 

2 Far exemple, soit 'M)x -\- l =z'y: on a 

2x 4- 1 

y = 'uv + J— ; 

ainsi les valeurs de x qui rendent :t0.r + ' divisible par 7 sont les termes de la progression 
-^ 3.10.17.24... 

' Cette méthode a été retrouvée et perfectionnée récemment par MM. Lebon et G. Tarry. 
Le premier prend 2310 = 2.3.5.7.11, au lieu de 30, ce qui lui donne y(2310) = 'i80 types de 
l'expression 2310x + a. Si on résout l'équation ^x — 2310)/ = a et qu'on pose y := a — bx, 
il viendra : 

2310a + a = (23106 + |3)x . 

Le nombre 23Kla -f- a sera donc divisible par le nombre 23106 -j- |B. En déterminant toutes les 
solutions, on obtiendra de même tous les multiples de 2310e -f- jî. 

M. Lebon a depuis perfectionné sa méthode et s'occupe de la construction de labiés qui 
■permettent de factoriser un nombre quelconque inférieur à cent millions. 
M, Tarry pose 

n = 20580a + a , a = 210* + ^ , 

d'où n = 20.ô80a -|- 2106 + [i . 

Soit le nombre premier p > 7, c'est-à-dire non diviseur de 20580, et soit h l'associé de 20580, 
c'est-a-dire le nombre tel que 2058(l/i = 1 ; on aura hii ^ a -{• 2\0hb -f- [ÎA, de sorte que, si «' 
•et ^' sont les restes de la division de ilOhb et de [ÎA par/;, on pourra écrire 

hn = a + tl' + {i'- 
Ainsi p divise n si on a : 

« -I- a' -f fj' = . 



PROCÉDÉS DE FACTORISATION 209 

forme x- + k e/ moindres que 4k sont premiers, ou des carrés de 
premiers, ou des puissances de 2, un nombre quelconque qui ne 
peut être représenté que d'une seule manière par la formule y- + kz* 
est premier. Il donne la liste des soixante-cinq valeurs de k, qu'il 
appelle numeri idonei, et qui sont : 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, ... 
1.365, 1848. 11776. 

Il enseigne, sur des exemples, différents procédés d'exclusion 
dans la recherche des solutions de l'équation n^=a^-\-h'^^=x^-{-y^, 
par la considération des formes linéaires possibles des inconnues ; 
et il étend sa théorie au cas où n est de la forme .r^ + %^- (i778.) 

Lagrange ne s'est pas spécialement occupé de la factorisation 
des nombres, mais il a démontré cette réciproque d'un théorème 
d'Euler : si k est positif, le nombre premier p ne peut être que 
d'une seule manière, de la forme x'- + ky'. En effet, soit 

p = 1^ ^ kg^ = r + kg'- ; 
on aura 

(al ir - hg'^' + k^fs' + f'sf = P' • 

Or 

rg"-rg' = p^r-s') . 

p diviserait donc l'un des deux nombres fg' ± f g, ce qui est im- 
possible, puisque, d'après (a), on a 

fg' -|_ fa <; p . [Mise. Taurin. 1766-69.) 

11 a démontré le théorème de Wilson [Mém. de Berlin, 1771) 
qui, comme on sait, fournit un moyen, malheureusement impra- 
ticable, de caractériser et vérifier les nombres premiers ^ 

Enfin il a donné le moyen de trouver les formes linéaires des 
diviseurs d'un nombre quelconque qu'on a pu mettre sous la 
forme ax'^ -\- bxy -\- cy''^. [Ici., 1775.) 

Legendre, dans sa Th. des n. dont la première édition est de 
1798, — outre une table des formes des diviseurs numériques des 
nombres de la forme .t^ ± ky-, jusqu'à k = 103, — a indiqué plu- 
sieurs voies qu'il serait bon de soumettre à de nouvelles explo- 
rations. 



' Ainsi 37 étant de la forme 4 + 1, on calculera ainsi : 

1! = 1, 2! = 2, 3! = 6, 4! =24, 5 ! = 9, 61 = 6.9=17, 71 = 7.17 = 8, 

81=8.8 = 27, 91 = 9.27 = 21, 10 1 = 10.21 = 25, ... 18! = 6.12 = 6 . } (mod 37) 

as 1)2+ 1 = c» + 1 = 

•donc 37 est premier. 

L'Enseignement mathém., l-i' ann<'-e ; 1913. 



210 A. AUBRY 

Soit il = af- + -^të + ^'S'i ^'' ^1 '" étant pi-eniiers deux à deux.. 
Posons 

n = ax^ + -''n' + '■.'" «l «c — // rr: A , 
il viendra 

(a) «" = [af + hg\' + \g' = \a.r + />vl' + Ar» . 

Donc « peut se mettre de deux manières diflerentes sous la forme 
§^ + Jtj^, et par suite, il est composé. 

^/est premier avec a et i, donc l'un des deux nombres '\af-\- bff] 
-h (rt.r + bi/i doit ètie divisilile par J, ce qui donne Téquation de 
condition 

af -I- />i' ip («,r + /^v — Ac) = ; 

d'où, en substituant dans {a\ la valeur de a.v -\- by, 

m à.= +2(fl/-+/;o)c.- A-c.= =/ 

et on aurait de même 

(y) r+ 2 (/>/•+ hgw- A..«=.r=' . 

Si on peut trouver des valeurs de z et de ir qui rendent les pre- 
miers membres de ij?) et de (/] des carrés parfaits, n est composé. 

Inversement si on ne trouve aucune de ces valeurs de z et de ir, 
il y a présomption que n est premier, mais il faut s'en assurer au- 
trement. Ainsi considérons la formule F =^ f- -\- f -\- 41 ; comme 
l'expression 1 -|- (4/'4- 2) s — 163c^ ne peut représenter un carré- 
positif que pour :3 = et qu'elle est négative pour kf -\- 2 <; IGo, 
ou /'<C 40, pour les trente-neuf premières i>ale/irs entières de f, 
l'expression F donne un nombre premier, comme l'avait annoncé- 
Euler. 

Pour voir si le premier membre de {§) ne peut devenir un carré, 
on essaiera toutes les valeurs entières de :: comprises entre les 

racines de l'équation g- -\- ... =0 : le nombre des essais est - \/on 

et pourra encore être réduit par l'examen des formes linéaires 
possibles de z. Legendre tire de ces remarques un moyen ingé- 
nieux — mais souvent illusoire — de trouver un nombre premier 
d'une forme assignée et supérieur à une limite donnée. 

Un autre pi'océdé de Legendre lonrnissant des lésultats certains,. 
sans nécessiter aucune connaissance préalable de la composition 
quadratique du nombre n-à factoriser, consiste à utiliser les pro- 
priétés des fractions continues pour la recherche de ces mêmes 
formes, en développant par ce moyen le nombre n ou un de ses 
multiples. 

Soient 

... /■'. ^'. h' ... 

..•r> ^". t'" ■■■ 



P HOC En É s I) E FA r TOHI S AT ION 211 

les deux séries auxquelles conduisent la décomposition de \ n . 

On sait qu'on a 

,, = I" ^" + <i'^ = o" I," -[- h'^ , 

ce qui fait que g'h' f — f"h"s:"- est un multiple de n. On trouvera 
ainsi plusieurs expressions de la forme .x'-^ — N?/^ dont n doit être 
diviseur. 

Appliquant ce procédé au nombre n =: 10091401 traité autre- 
ment par Euler, Legendre trouve qu'il est diviseur des formes 

a-îî + 3v^ .i" + :}lr', x= + 6)', x^ + hy\ x^ + 38v^ 

cherchant les nombres premiers inférieurs à \f ii et appartenant 
à la forme 1320 + 1, 7, 49, 103, ... combinaison des formes 

6 + 1 ; 24 + 1. 5, ly; 2:} ; 20 + 1- 3. 7, 9 ; 

44 + l, 5, 7, 9, 19, 25, 35, .37, 39, 43 : 

des diviseurs des formes quadratiques 

js + 3,5 , ,,.2 -(- fiv" , .1-' + ôf , .»■» — 55)-^ , 

et i-etranchant de ces nombres ceux qui ne peuvent diviser 

,,.2 +31)'. ni x^ + 38 v\ ni .t' — 46 1" , 

il reste, comme diviseurs possibles, les seuls noml)res 727, 142.3, 
2281, dont aucun ne divise n : ce nombre est donc premier^. 

Gauss, dans ses Disq. arith., a donné, sur le même sujet, plu- 
sieurs méthodes très ingénieuses, dont on donnera seulement le 
précis. La première (voir Ens. math., 1907, p. 36) s'appuie sur les 
propriétés des résidus, qu'on déterminera en remarquant que si 
hn ^ fcâ -\- g^- , — fg^^^ est résidu en même temps que — fg. 



' Tchebichei', dans son traité des congruences, publié en ISi'J. trouve par les mêmes moyens^ 
que le nombre 8520191, égalemenl considéré par Legendre. divise les formes 

^2_jy2, .j2_2y2, a-2_13y2, j^ — ^nj^ . X^— lOlly». 

De là les formules 

260 + 1, ', 9, 2'.t. .•Î3. ... 20+1. '.I, 11. 19 ... 520 + 1. 9, 29, 'i9. .51. ... 

Les nombres premiers de ces formes et inférieurs à r 8620191 sont 

521, fiOl, 12:tl, 1249, 1999, 2441, 2729, 2791.. 

Aucun d'eux ne divisant le nombre proposé, il est premier. 

Soit n — 4171 = 642 + 3.5^ = 65* — (i.3». Ses diviseurs sont de la forme 6 + 1 et de Tune 
des formes 24 ± 1. 2: 5. 11 s'ensuit que les diviseurs de n sont de l'une des forjiies 24+1. 19. 
On essaiera donc la division par 2:"i, 43, 49, dont le second seul est premier. 



■212 A. A l lili Y 

Ainsi, on a : 

9ît73Hl = 99^.* — 2 . 5 . r.: = 99i= + 5.11. 1.!» = 2 . 706= + 3.17.3' 
= 3.575' + 11.31.2' : 

donc les nombres — 2.5.67, 5.11, 2.0.17, 3.11.31 sont résidus, 
ainsi que 3. 5. 11". 31 ou 3.5.31, etr. D'ailleurs, de ces résidus, 
on déduit de nouvelles conditions qui permettent d'exclure cer- 
taines formes de facteurs, à la manière d'Eulcr. 

La seconde méthode de Gauss demande la résolution de deux 
équations impoitantes, qu'il montre à résoudre d'abord directe- 
ment et ensuite par des procédés indirects tout à fait élémentaires 
quoique beaucoup plus rapides. 

Soit d'abord à résoudre l'équation 

iai rt + ".V ^ a-= ; 

il est permis de supposer qu'on a <i r ^ ~ , car si x = 9 est 

une solution, .v = n — 9 en est une autre. La valeur de // est 

(I . Il a 
ainsi comprise entre — - et — . 

/; i II 

Soit Q un non-résidu du nombre premier p et soit ?/ =: a une 
valeur qui donne a -\- ny ^^ Q \ tout nombre congru à a donne à 
la formule a -\- ni/ une valeur qui est un non-résidu et à fortiori 
un non-carré. On peut donc exclure, des solutions de (a), les va- 
leurs de 7/ comprises dans la formule a -j- pz. 

La considération d'un autre nombre/?' fournirait des exclusions 
analogues. 

Ainsi, soit .v- =: 22 -|- !)7// : 

pour H = 3. p ::= 2 : a i^ 1 : ou exclura les nombres 3: -|- 1 -, 

» pz=4, p = 2, 3: a = 0, 1 : « » '\z et iz + l : 

)) p =zô, = 2,3; a = 0, 3 : » » 5: et 5; -j- 3 ; 

» yj = 7, p = 3, 5, 'i ; a = 2, 3,5: » » 7; -[- 2, 3, 5 . 

l^liminant des valeurs entières de y comprises entre — ■ ^- et 

9/ 

-^ — p^ , celles qui sont comprises dans les formules qui pré- 

cèdent, il ne reste que les nombres 0, 11 et 14, dont le second 
seul donne un carré. On a ainsi la solution ;/ ^ 11, .r = 33. 

On arrive ainsi, de la manière suivante, à la connaissance des 
non-résidus a, «', a!' ... de p : soient f, f, f" ... les solutions des 
congruences 

(?) /n = ç , =:/ . = p", ... 



PROCÉDÉS DE FACTOli ISATION -Uo 

et g, celle de la congruence nij ^ n\ on aura a^ f -\- g. Si n est 
résidu de p, f,f',f"... sont non-résidus d'après i/5 et se con- 
fondent avec les nombres a, a', «" ... Si n est non-résidu, /", /'. ... 
forment l'ensemble des résidus : de là, les non-résidus. 

Soit en second lieu à mettre n sous la forme a.i'- -\- bij'-. On 
cherchera les valeurs de z qni rendent n — az divisible par b, et 
on posera .v ^=z bw ± z, iv prenant les valeurs 0, 1, 2, 3, 4, ...; 

.r sera une solution quand l'entier — ^ sera un carré parfait 

positif. Cette dernière condition montre qu'il n'y a pas lieu d'exa- 
miner les valeurs de .v supérieures à \/ — • 

On peut encore réduire le nombre des essais, en remarquant 
que z doit être un résidu de b, puisqu'autrement on ne pourrait 
écrire 

x' =: z , ni p;\v siiile // — r/jf^ = >t — - (iz = (mod h\ 

De même que plus haut, on limitera le nombre des essais, au- 
tant qu'on le voudra, en remarquant que si q est un non-résidu 
de yy et qu'on détermine ; tel que az = n — bg, si on a en outre 

1 // — ti.r^ • i ■ I • -Il 

A' = 3, sera = p, c est-a-(iire sera un non-residu de p. 

La résolution de l'équation a.i- -\- 'Ibxij -f- iy'' = n se ramène- 
rait à la précédente, en remarquant qu'on peut l'écrire '(i.v -\- b// - 
-\- \ac — bry'^ = an. 

Maintenant remarquons d abord que toot résida de n est en 
même temps résidu des diviseios de n. Soit kn = A"^ — aa: si (t 
est non-résidu des nombres premiers p, q, r ... n n'est divisible 
par aucun de ces nombres; la question revient donc à trouver les 
résidus de /*, comme on l'a dit tout à l'heure. 

Si n est résidu de /j>, il l'est de p'^, car, en posant A- z=^ n — ph 
et résolvant l'équation 2A.fc- — py ^ h , il vient [k -\- p.v]- ^ n 
[mod p'^ . De là le moyen de mettre n sous la forme B — C//-, 
qu'on rendra d'autant plus utile que n — B^ sera plus petit. 

Soit — a un résidu de n\ cherchons les racines de l'équation 
.r'^ -[-''' = i^y et soient f'^-\-az=z ng' , f- -\- a = ng' ; il viendra, 
en soustrayant, puis en multipliant, 

1/' + /"l </■ — /"l = "/' - "'a^^;' = (ff — 'M' + a \f + /-'i^ 

D'un autre côté, soit 

// = ,i.r' + In^ z=i ax"" + hy'^ : 

il viendra d'abord la relation 



214 A . A un H y 

la(jiielle l'ail voir (jiie n divise ruii on raiitre des deux nombres 
.<■//' ±.i'ij, ou qu'il a avee ehaeun d eux un laeteur eonimun. Ku- 
suite on a cette autre 

{ax.i' — //vv'i' + fil'in' + .r'vi^ = n^ , 

qui donne .<//' + .r'// <^ n. On n"a donc qu à chercher le p. \x- ^ ■ ^• 

de n et de r//' -|- .<'//. 

Tchebicheta donné en 1851, dans le ,/. L., une ingénieuse mé- 
thode de vérincation des nombres premiers, dont voici le résumé : 
« désignant la plus petite \<aleur de x qui satisfait à l'équation 

x- — ky'^ =r 1, si lesjionibres positifs a et a', inférieurs à * /'_ ^i= , 

sont des i>a leurs de x satisfaisant à l'équation x"- — ky- = ±11, (?t 
que h et h' soient les ç>ale/i/s correspondantes de y, le nombre n est 
composé, et on en troin>eia deux diviseurs en cherchant le p.ij;. c.d. 
de n et de chacun des deux nombres ab' rh a'b '. 

Le nombre n ne peut être premier que dans le cas oii il n'est 
qu'une fois représentable par la forme x'- — ky- = zh n, x étant 
inférieur à la limite donnée plus haut. Si en outre les diviseurs de 
x'^ — ky"^ sont tous de la forme Ix- — my", et si n est premier 
avec k, et de la forme des diviseurs de x- — ky-, la condition est 
en même temps suffisante'-. 

Il applique ce théorème au nombre n = 8520Ii>l. de i^egendre ; 
ce nombre, qui est 12 — 1, est donc de la forme quadratique 

3//- — .r-, ce (|ui conduit ;i cliercher // entre t/— et t/— *• l^-^s 

hypothèses laites sur // relativement aux modules 2. 5, 7... font 
voii' ((ue // est de lune des formes de chacun des groupes suivants : 

i . 16 ± 1 ■• 5 + n , ± 2 : 7 ± 1 . ± 2 : 11 ± 1 , ± 2 . + 5 ; 

13 + <i . ± 1 . + :! , ± fi ; 17 ± 1 . ± 2 , ± :j . ± 4 , ± 7 . 

La valeur // = 1937 répond seule it toutes ces conditi<»ns. ce 
(|ni montre (pie /i est premier. 

J.andiy Procédés nouveaux..., i^aris, 185!> a posé les premiers 
jalons d'une voie nouvelle aussi féconde qu'élémentaire, celle de 
l'assimilation du nombre à factoriser au piodtiit de deux fonctions 
linéaires convenablement choisies. 



' Voir, pour la doinonslralion de ce théorème, lins, math., l'.llJ. i>. 2(H. 

" Pour la dcmonslrntion de ce second théorème, Iroi) longue jiour pouvoir être reproduite 
ici. voir Inc. cit. 
5 Cette deuxième limite résulte de ce <pie 3i/* — .v" = « et x ]> 0. 



PROCÉDÉS DE FACTORISATION 215 

Les facteurs, s'ils existent, du nombre n = 2" — 1 appar- 
;tiennent aux formes 248 + 1, 63 ^ Posons en conséquence 

n = {6-2x + 1) (62v + 1) =: 3844.rr + 62 (,r + v) + 1 
= 3844.. 558658 -f 62. 37 + 1 
= 3844(558658 — A) + 62|62/< + 37) + 1 , 

■doù les formules 

lai .xj = 558658 — // (|i) .r -j- v = 62// + 37 , 

ou, t désignant collectivement les nombres :v et y, 
(y) t = (52// + 37 + 1/3844//' + 4592// — 2233263 . 

Le plus petit, y, des deux nombres :v et // diminue à mesure 
que h augmente, puisque .ly diminue et que l'autre nombre ,r ne 
cesse d'augmenter. 

D'après a; et (j3), h est pair, et d'un autre côté, le nombre sous 
le radical dans [y] est ^ h- -(- 2h — 3 (mod 0) ; *de là, on conclut 
que h est de l'une des formes 18 + 2, 6, 8, 10, 14. Or d'après (a) 
«t /5 on a : 

.rv =1 — // et X -\- y = ih + 1 (mod 3) 

d'où, pour h = Z -\- 2, 

xy = 2 , .r -f- V = 2 (id.i 

-congruences auxquelles on ne peut satisfaire, car il faudrait, pour 
la première, .i = 1 et /y ^2, ou ,r ^ 2 et //^l, d'où .r -|- // ^ 
^mod 3). Ainsi h ne peut être 3 + 2; il doit donc appartenir à 
l'une des formes 18 + (>, 10. 

De même (a\ et {§' font voir que h ne peut être 5 + 0, 1, 2, car 
autrement on aurait 

.*■ + V = 3 — // , X + r = 2// -f- 2 (mod 5) 



d'où, pour 








// = 5 , 


.»;v = 3 , 


X + y = 2 


(id 


5 + 1 , 


xy = 2 , 


X + y = 4 


(id. 


5 + 2 , 


xy = 1 , 


X + V = 1 


(id 



résultats qui conduisent à des contradictions. Les seules formes 
admissibles sont donc 5 + 3, 4, ou, comme h est pair, 10 + 4, 8. 
.Ecrivant les formes possibles relatives aux deux modules 18 et 10, 

^ Voii' plus haut. 



216 J. Al'BRY 

et ne conservant qne celles qui sont coniniunes aux deux suites., 
on verra que h ne peut être que de Tune des formes 90 + 24, 28,. 
(54, 78. 

Remplaçant successivement h par 90A- + 24, 28, 64, 78, dans 
l'expression sous le radical; les suppositions A -1=0, 1, 2, 3, 4, 5. 6 
fourniront — en calculant à laide des différences premières et 
secondes — vingt-huit nombres dont aucun n'est un carré : ainsi, 
jusqu'à h = 90.6 -}- 78 = 618, il n'y a aucune valeur de h propre 
à conduire à la connaissance d'un facteur de n. 

La valeur de t correspondant à h =^ 168 est inféiieure à 1(> et 
diminue quand A augmente ; d'autre part, les nombres premiers 
de la forme 62+1 et plus petits que 62.16 + 1 sont 311, 373, 
683. dont il y a lieu d'éliminer les deux derniers, qui ne sont pas 
de la forme 8 ± i; il reste donc seulement à essayer le nombre 
311, auquel correspond la valeur 5. Or dans ce cas, la formule 

558658 — t{31 — /) 

loi h = - 



62t + 1 

558498 
donne // = — — — - , valeur non entière : le nombre proposé est 
511 f f 

donc premier. 

Autrement. Remplaçons dans 'd\. t successivement par 90/i" -)- 24. 

28, 64, 78, ce qui donne 

(5580/ + 90)/. = 558634 — /|i525 — /) 
= 558630 — /(1773 — /) 
= 558594 — /(4005 — /) 
= 558580 — /(4873 — /) . 

(lomme t\a — t] augmente, (juand t varie de à — , et (]iii' 

d'autre part, dans les seconds nombres des quatre égalités qui 
précèdent, les nombres 1525, 1773, 4005 et 4873 sont supérieurs a 
la limite de t déterminée par la relation (52^ + 1 -< V n , limite 

qu'on trouve être éarale à ^ " — = 748, on voit que /.■ diminuc- 
"62 ^ 

(juand l augmente; donc, comme pour ^ =: (iO, k <i'l. et ((iic 
pour L = 80, /.• < 1, il est inutile d'essayer des valeurs de /.• su- 
périeures à 80. Faisant k= i et = 2, dans ces mêmes égalités, 
on n'aboutit à aucun résultat utile. On essaiera donc les valeurs 
de t inférieures à 60, mais seulement celles qui, mises dans la 
formule 62/ -|- 1. donnent des nomijres premiers de l'une des 
deux formes 8 ± 1. i^e calcul est, comme on le voit, très réduit: 
d'autres lemarques de Landry permettraient de le r(kiuire encore,. 



P R C E D E S D E FA G T O R I N A TI ON 217 

mais ce qui piécède suffît pour faire sentir l'importance des idées 
nouvelles qu'il a introduites dans la théorie de la factorisation. 

Genocchi [Anaîi di Matemtitica, 1868), dans un mémoire sur 
certaines formes de nombres premiers, s'appuie sur les proposi- 
tions suivantes. 

Posons (/7 + V^) = A« -f B,j V (^ , on aura, d'après Euler, 

[a — yT]" = A„ — Ba ylï , d'où 

(a) 2A„ = (rt + /IT)" + (rt _ ^/77)" , 2[/rBn=:{a+\/T>]" — [a-\/T>f . 
Si n est multiple de k, Bn sera initlliple de Bu ^ On a aussi : 

Bin = 2An Bn . 

Soit p un diviseur premier de Bn , et k, la plus petite ^>aleur de x 
qui rende Bx dif^isible par p ; k divise n '^ . 

Si Bi = Bg = 0, f et <;■ sont multiples de k, ainsi que leur p.g.c.d. 

Si p est premier, vV,, ^ a et B,, = ( - ) , ce symbole désignant 

le caractère quadratique de h. 

On a : Bp±i = 0, selon que b est résidu ou non-résidu \ 

On a : Au,> = Ak et Bu,, ^ ('-ij') Bk . 

Ed. Lucas a exposé, de 1875 à 1878, une méthode de vérifica- 
tion des nombres premiers aussi originale que féconde en théo- 
rèmes particuliers simples; elle s'appli({ue surtout quand on con- 
naît la composition d'un des deux nombres voisins du nombre 
considéré. On peut la présenter ainsi : 



* Ciir les termes du quotient algébrique de ces deux nombres peuvent s'écrire deux à deux, 
ainsi : 

(a + v't/ (a — {/T/'^' + \a+ v'T)^'^\a — V~b/ = ■l[aP' ~ b/ h , , 

II 

ce qui montre que le quotient est un nombre rationnel et même entier. 
' Supposons n =^ />i/ + '% on aura ; 



H„ = Il et H;. = d'où 



H; 



Or si dans l'identité 



,'■ _ l-^') ^kq ^ ^^h, ^ r^kq^ y ^ ^r+kq _ y+k., 



on l'ait a =: rt + \ b et fî = û: — t 6 - il viendra : 

(a2 _ h]'"i B,. = (a — i'T)'"! B„ - [a - \^~bf B^.,^ . 

Le premier membre étant entier, on a B,, = 0. Par suite k ne serait pas la plus petite valeur 
de X qui rende Bj. = 0, ce qui contredit l'hypothèse. 

2 Cette proposition est de Lagrange. On la dc-monlre. ainsi qu»- la précédente, en d<-v<'lop- 
pant les relations (a) à l'aide de la formule du binôme. 



:2I8 A. A UBR Y 

1. Lemme. Selon que a esl résidu on non-résidu de p. p di\'ise 

2. Tout diviseur de 2" -j- J g^I de la forme 16li + 1. Voir 
Ens. math., 1907, p. 440. 

3. P et Q représentant des entiers positifs ou négatifs premiers 
entre eu.v, si on pose : 

rt + A =r t> , <,h = {l. a — h = ?j = (/T , 
iif. = a'- — //■ , c^. = rt*-' + //' , 

u,^ et V|^ sont des nombres entiers, qu'on peut calculer de proche en 
proche, par exemple à l'aide des formules de récurrence suivantes : 

j r, = P . ., = F - 2Q . r,^, = P., - Q.,_, , 

4. u,.|j est algébriquement, et à fortiori arithmétiquement, divi- 
sible par Un, d'après la définition de ()//„ . 

Cor. Si n est le p. g. c. d. de f, g, h, ... Un est le p. g. c. d. des 
termes u, . il , u. , ... 

I g ' n ' 

5. Soit f ^ g ; tout diviseur de Uj. et de Ug divise Uj_^-. 

6. Les termes de la série des u comprennent tous les facteurs 
premiers contenus dans celle des v. En ellVt. on a \isiblenient 

(2) »,^. = u,.s'^ . 

Celte forninle et la suivante 

<3) .,, = .i - 2Q*^ . 

permettent de calculer rapidement les termes de la série //, , //,, . 
//, . u^^ u^^, ... dont il sera fait grand usage plus loin. 



' Pal- cxeniplc ii est résidu des nombres premiers 8 — 1 el non résidu des nombres pre- 
miers 8 3= 3. Donc si k est plus grand cpie 2, et si le nombre p =: i^ ± l est premier, il di- 
vise 2"' — 1 : si /» = 2* it ."i est premier, il divise 2'" + 1. La lettre m est mise pour ^ ~ . 

Ainsi 2* -|- 1 = 17 est un nombre premier 8 + 1> donc 17 divise 2^ — 1. De môme, 2" — 3 = (il 
■est un nombre premier 8 — 3: donc (il divise 2'" -f- i, ce quon vérifie aiusi : 

2C = :i 012 = ;i. 2« = 81 = 20, 280 = 2l'.22< = (Ut |mod,61). 

* Cola résulte de l'identité suivante 



PROCEDES DE FACTORISATION 219 

7. Les nombres u,^ et Vj^ n'ont d'autres facteurs conimuns que 
-ceux de Q, car on a : 



ce qui jDi'ouve en outre que //.,/.,, divise .< - — Q^'- 

8. u,. et \\ sont premiers entre eu.v. Autrement, comme P' — v^ 
est divisible par Q, tout diviseur de ^', et de Q diviserait P. qui 
est. par hypothèse, premier avec Q. 

9. Soit Çl = 2q^\ à cause de ^3 ., ^',^1^,.^ peut, dans ce cas, se dé- 
composer en deux facteurs assignables : c'est une généralisation 
do ridentité d Auril'euillo. 

10. // en est de même pour \,^ si J =- — f-, ou si ()^J= — 2f- 
pour v^,. , ., . 

11. De méuie c.,,. divise x'- + -^.V" 6t v.,]^ , , divise x- -j- Q/^y"" : d'oii 
les formules linéaires de c^. 

Ed. Lucas considère particulièrement les quatre cas suivants : 
P = :>, Q = 2, rt = 2, 5 = 1, J =z i, d'où les séries de Fermât 



u 



2'' - 1. ^', = 2^ + 1. 



;.- — ^ "-■ ' L 



P = l, Q = — 1, 2^/ = 1 + V 5 , 2b = l — ^/ô , J=:y, d'où 
la série de Fibonacci 1,1,2, .3, 5, S. ... //y,. , , = //^ + "a-i • 

P = 2, Q = — 1. r/ =z 1 + VT, b= l — yT, J= S, d'où la 
-série 1, 2, 5, 12, 29. 70. 167, ... Uj.,^ = 2u^ -\- ///._i , qu'il nomme 
très improprement série de Pell, car d'une part Pell ne s'en est 
pas occupé, et d'autre part elle était connue bien avant lui. Voir, 
par exeuiplc, Tliéon de Smyrne. 

P = 4. Q =1. a = 2 + yy, b = 2— yy , J= 12, d'où la 
série 2, G, 14, 34, 82, 198, ... <'^,, j = 2»'^. + t^^._, , quon pouriait 
appeler série d'Kd. Lucas. 

Ainsi, d'après 11, les termes //.,^., [ des suites de Fibonacci et 
de Théon, et les termes v.^j. de celle de Fermât n'ont que des divi- 
seurs premiers de la l'orme 4 -j- 1 ; ceux des termes ii<,,.,^ . de la 
suite de Fermât, et »'.,^ , , de celle de Théon sont de la forme 
8 ± i: etc. 

12. D'après le théorème de Fermât, si a et b sont entiers, c'est- 
<i-dire si J est un carré, Un— i est divisible par n quand n est pre- 
mier et s'il ne divise ni a ni b. Donc si Un est divisible par p, n est 
égal il p — 1 ou (i un diviseur de p — 1. Réciproquement les 
nombres preniieis qui divisent u„ , sans diviser aucun des termes 
précédents, sont de la forme nx + 1- 

De même .s/ v„ est le premier ternie divisible par p, p est de la 
forme 2nx -\- 1. 



•2-20 A. A lliR Y 

13, Si a et b sont irrationnels et réels, Up±i est divisible par p 
selon que J est un non-résidu ou un résidu K 

Donc si Un est divisible par p, n est divisible par p + 1 ou par 
\) — 1 suivant les cas. 

14. Le nombre n est premier si ii„h_, est divisible par ce nombre, 
sans qu'aucun des ternies dont le rang est un diviseur de n -h 1. 
soit divisible par n. Supposons n égal au produit des deux nombres 
premiers p et q : p divise //^. et q divise »;, k et /désignant rcspec- 
livement des multiples (juelconciucs de /-> zh 1 et de q ± 1. Donc 
n divise ft^p±\)i(j±\)- ^'" il divise //^^±i d'après renoncé; donc, en 
appelant /le plus grand des deux nombres [p± i^<q± 1), [pç ^- 1) 
et ^ le plus petit, n divise Hf—g'- or /" — g<ifi conchision contra- 
dictoire avec l'hypothèse; n est donc premier. 

Cor. 1. Nombres de Merscnne. Soit /;=:2' — 1; les diviseurs 
de p -\- i sont les puissances de 2, de la première à la kh -\- 1^°'". 
Mais p = (2''^+' + 1) — 2 = 3 + i. Or p est en même temps 4 — 1. 
de même que 3; donc on peut écrire 

et o est noii-ièsidti de p de même, en géïK'ral, que o.i'-. 
Prenons la série d'Ed. Lucas, (jui fournit J =^o.'ï^ \ 

et la série se calculcia ainsi : 



u, Z= 1 



*'i 



lia =: 4»i l's =^14 



' Posons /Il = 



f>-\ 



= ,;, + ,l,p^' + PA'", EH 1'^' + l'A'" ~ P + VI'" . 

■2'"'uj, = </,,,''''~' + '■•;,.:. '^''"' A + ^■r.ô^'"'''^' + •■ + A'" 
=H A'" . 
.\iiisi. si A osl iKiii-ri'sidu. // £^ — 1 cl "„_i.i = <•• Coiunu' on ii : 

on peut dire que si A est ri-sidii, //_ = 1 et h„ j = 0. 

La ])reniière partio de ce théorème est de Lagrange, la seconde de Genocclii. 

Considérons, par exemple, la série de Théon. Comme A = S, on peut dire <iue A est résidu 
ou non-résidu selon que p est de l'une des formes 8 ± 1 on de l'une des formes 8 ± ^f : donc 
dans les mêmes cas ;? divise « [ ou «„ i i . 



PROCEDES DE F A C T O R I S A T f O N 221 

■Comme z/est un non résidu, iip^\ est divisible par/?. De là, cette 
règle : ctilciiler la suite de nombres 1, 4, 14, 194, ;^7t)34, ... dont 
chacun est égal an carré du précédent diminué de 2; le nombre n 
est premier si le [kh -\- 1,^™'= terme de cette suite est le premier qui 
soit divisible par n ^ 2* — 1. 

Au lieu de cette suite, on peut, puisque n est impair, employer 
la suivante 1, 2, 7, 97, 18817, ... dont chaque terme est égal au 
double du carré du précédent diminué de 1^ 

II. Nombres de Fermât. Soit p ^= 1 +1, // désignant une 
puissance de 2. Si h est ^ 2, /? est de la forme 8 + 1 et 2 est 
résidu. Prenons la série de Théon \ J=z?t est résidu de p, et la 
série est 



u, = 1 


s; = 2 


»2 = 2//i 


r, = 6 


Ui =: 6z<2 


k'4 = 34 


i(% r= o'iiu 


*'e = m; 



On a ainsi cette règle : /(' nombre n est premier si le h™" terme de 
la série 1, 3, 17, 577, ... dont chacun est égal au double du carré 
du précédent — 1 est le premier qui soit divisible par n '^. 

III. Réciproque du théorème de Fermât'^. Si ^ — 1 est divisible 
par n pour x = n — 1 et non pour x <C n — 1, n est premier. 

Soit rt = 3, n =1 'ï^^ -\- \ \ les diviseurs de n — 1 sont 1, 2, 4, 
<^, 16, ... et chaque reste s'obtient en divisant par n le carré du 
précédent, ce qui donne 3, 9, 81, 6561, — 11088, ... 1. II n'y a au- 
cun reste égal à 1 avant le dernier terme de cette suite : le nombre 
2*^ + 1 est donc premier. 

Comme le remarque Ed. Lucas, cette méthode se distingue des 
autres en ce qu'elle ne demande pas la construction préalable 
d'une table de nombres premiers, et qu'au lieu d'effectuer des di- 
visions par des nombres différents, on divise, par un nombre fixe, 
dilférents nombres se déduisant les uns des autres par une loi 
très simple. 



* Par exemple, soit A = 1, n = 31 ; on aura : 

1=1, 2 = 2, 7=7, 97 = 4. 2.42 _ i = o (mod 31 1 

donc 31 est premier. 

* Ainsi soit /i = 3, h = 257; on aura : 

1 = 1, 3 = 3, 17 = 17, 577 = 63, 2.{;:,2 — 1 = 227 = — 30, 2.30' — 1 = (mod 2571 
on a ainsi u^^ = : la question reste indécise. 

' Trouvée presque on même temps par Protli (C. /{., t. 57). 



•2-1-2 A . A V lîR Y 

15. Pour // inipaii'. on a : 

+ ... +c „_,Q - u . 

Comme //^g. est divisible par u„ et que C„„^0, on voit, en 
remplaçant n par le nombre premier p, que */ Uj^ est divisible 
par p', Upk est divisible par p'+' et non par une puissance snpê- 
rietire. 

16. La série de Fibonacci étant celle dont les termes croissent 
le moins rapidement, Ed. Lucas la étudiée d'une façon particu- 
lière. Voici en résumé son étude. 

i9/ p =1 5 zh 1, le terme Up_i de la série de Fibonacci est = (),. 
et si p :^ 5 ± 2, on a : Up+i = 0. En effet : 

1" Soit yo := 5 ±: 1, on a :/?'- = 5 + 1 ou p~^ = 1 mod 5 ou 
liien f.^j = 1, d'où (^ j — - i, ou encore .V" — 1 = 0. Or on a : 

= - (1 + 5 + 5^4- ... +5'"-') 

puisque Cp-i,k + C;, -i,a:— i = Cp,/, =0, d'où Cp-i.k^ — Cp-\.K-i 
^ Cp—\,k—-2 =^ ••• = C;,— 1,1 = — 1. On peut donc écrire 

2''-'u^_, = 1 - 5'" = . 



d Où 



2" Soit yw = 5 ± 2 ; on a : ;;'^ = 5 — 1 ou U) = — i 
i-]:^ — 1. Ainsi p divise .")'" + 1. Or on a : 

-'"P+I = S+'.- + ^S+.::' + ••• + '"' ^ ^ + ''"' ^ ^ ■ 

Cor. I. Tant nombre premier p =:^ 5 ±; 1 dis'ise et divise seule- 
ment les termes u^x, k désignant un certain diviseur de p — J. 
Tout nombre premier p = 5 dr 2 divise et divise seulement les 
termes Uj-^, k désignant un certain diviseur de p + L Par exemple, 
//.,,, = 51^i229 n'est divisible — puisque 29 est premier — par au- 
cun des facteurs pi-emiers contenus dans les termes précédents, 
et tous ses diviseurs sont de la forme 29 ± 1 : d'ailleurs 20 étant 
un nombre impair, ces mêmes diviseurs sont 4 + 1 et par suite 
il faut les chercher dans les deux formules 116 + 1, .")" ; on ar- 
rive ainsi à conclure (juc ce terme est un nombre premier. 



PROCÉDÉS DE FACTORISATION 223: 

Réciproquement, si n divise u„_i sans qu'on ait ii^ divisible par n 
pour aucune valeur de k diviseur de n h= 1, n est un nombre pre- 
mier, qui est de la forme 5 zb 1 ou de la forme 5 rb 2, suivant 
le cas. 

II. La série //._,, «^ , //^, ... sert comme au n" 14, dans la vérifi- 
cation des nombres premiers de Mersenne. Soit /? := J27; on a : 



(mod 127) 



v'2 = 3 , r4 = 3^ — 2 = 7 , t's = 7== — 2 = 47 , y^, = 47''— 2 = 'j8 , 
»'j, = 48* — 2 = 16 , to4 = 16» — 2 = . 

Donc le nombre 127 est premier. 

De même on trouve, suivant le module 2^' — 1, 

l'î = 3 , i'4 = 7 , »'g = 47 , t'io = 2207 , ... 

le reste zéro arrive à la trentième opération et pas avant : 2" — 1 
est donc premier. 

Soit n = 2'-" — 1. Ce nombre est terminé par 7 : s'il est pre- 
mier, il doit diviser u„j^\ et un de ses facteurs doit diviser //^., /.• dé- 
signant un facteur de n -\- 1, c'est-à-dire un nombre de la forme 
2^. Ce facteur serait un nombre premier 2^^ ± 1 diviseur de n, ce 
qui est impossible puisque 127 est premier. Ed. Lucas a vérifié 
que n ne divise u^h que pour h = 127 : donc, s'il ne s'est pas 
trompé dans ses calculs, n est premier. 

17. On terminera par ces deux théorèmes analogues à ceux. 
d'Ed. Lucas. 

1" h désignant une puissance de 2, pour que le no?nbre n = 2^ -\- l 

n — l 

soit premier, il faut et il suffit que 5 ' -f- i •'^oit divisible par n. 

5—1 

En effet, pour /< >> 2 , on a /i = 5 = 2 ', d'où n ' =5 — 1 ; 
donc {-\z=i — 1, et, si n est premier, ( - 1 .^ — 1 , c'est-à-dire 

n — \ 

que n divise 5 " +1. 

Cette condition est suffisante : admettons en effet que n n'est 
pas premier et que/> est un de ses diviseurs premiers; on aura 

n—\ 
(a) 5 -' +1 = d où 5"-' = 1 : 

or 5^~ = 1. Le p. g. c. d. de n — 1 et de /? — 1 est une puis- 



' En eir.ît si on remplace la puissancu h par la suivante, /; devient (n — 1,' + l : ce qui fait 
voir que si n ^z 5 -\-'i, il en est de même de la nouvelle valeur de n. Or pour /i =: 4, 
;i = 17 =; 5 + 2. Il en est donc de même en général. 



•22'» J . AU fi R y 

sance // de 2, donc 5''= 1 ', et comme — 5 — ^^^ '^"^ multiple 

n — \ 

de k, on peut écrire 5 ■ = l, ce cpii est en contradiction avec •« . 
I^e p. g. c. d. est donc n, et n est premier. 

De là cette règle jilus précise que celle dEd. Lucas : pour véri- 
fier la luittire du nombre n, on fornieid la suite 5, 5-, 5^, 5^, 5*", ... 
dont cluKun est le carré du précédent, en négligeant à mesure, les 

(Il — IXème 
— :j — 1 terme divisé par n donne le reste 

— 1, n est premier^. (Pépin, C. H., t. 85.) 

2" Pour que le nombre n = "2^ -\- i oii h désigne une puissance 
de 2, soit premier, il faut et il suffit qu'il dii>ise 3- + i (Proth). 
Démonstration de M. Hurwitz. Supposons /z un nombre premier/?; 
comme yo = 4 + 1, on a : 

3 est donc non-résidu ' et /:> divise ,3-''~^ + 1. 

Supposons maintenant que 32''"' _|_ 1 soit divisible par le 
K— 1 

nombie n ; on aura 3 ~ = — 1 (mod n) ; donc n — 1 est le plus 
petit exposant /"pour lequel on ait 3^^ 1 (mod/?). Donc, d'après le 
théorème d'Euler, n — 1 divise ^[n], ce qui ne peut avoir lieu que 
si (p ti] = n — 1, c'est-à-dire si n est premier. 

Landry a fait connaître sa méthode définitive dans le vol. de 
VA. F. de 1880. Elle est très élémentaire, très générale et a été le 
point de départ de tout ce qui a été fait depuis sur ce sujet. 

Un nombre premier avec 6 est de lune des formes 6 ± 1 et on 
peut le supposer pouvoir se décomposer ainsi : 

(6x ± 1) (6r ± 1) ou (6.r ± 1) (6v 4=1). 



1 En effet, soit A' = A^ =1, et soit dlep.g.c. d. de fd et de gd ; f et g- sont premiers 
■entre eux ; on peut donc écrire fx — S'y = 1, d"où, en posant A" = a , 

af'^ = a^= 1 = «S- = aS'i' = a^+f"^ ; 
donc A** = a = 1. 

' Ainsi soit li ;= S, n z^ 257, on a : 

5 = 5, 5« = 25, 25»=111, 1112= — 15, ija = _ 32, 32» = _ 4 1 

} (niod 257) 
42= 16, 1G» = — 1 ) 

Donc 257 est premier. 

« 2^1^+ 1 =2(2-/""^ _|- 1) _ 1 =3_ 1. 

* Tchebichef avait fait voir ainsi auparavant que, i>lus généralement, 3 est non-résidu de 
p = 2^ + \. 



PROCÉDÉS DE FACTO lilS AT ION 225 

Soit, par exemple, 

// = (v/ -f- i r{ il z:r 6r/ + /• : 



posons 
il viendra 



Il = (6x + l)|6v + 1) (.r > ri 



(.3) exr-\-x+y=a 

(y) X + _r = 6: -|- /• (0) xy =z f/ — z 

■cFoù, en éliminant .r, 



6r + 1 

Qnand z augmente, le plus petit ?/ des deux nombres .r et // 
diminue et le plus grand augmente'. La valeur supérieure de t/ 

étant , cette valeur, mise dans (e), donnera une limite su- 

D 

périeure de z. On essaie les valeurs entières de z jusqu'à cette 
limite; le nombre des essais est trente-six fois moindre que celui 
qu'exigerait la méthode classique, puisque n^o6q. On réduit 
«ncore ce nombre par diflerentes considérations sur les formes 
linéaires de :i\ y, z, r par rapport à différents nombres premiers. 
Cette méthode a été grandement perfectionnée par MM. Bar- 
bette et Gérardin, comme on le verra plus loin. 

r>e P. Pépin [Mein. acad. nuovi lincei, 1880] a voulu faire pro- 
fiter la méthode d'Euler des perfectionnements que Cïauss a ap- 
portés à la théorie des formes; mais la moindre simplicité théo- 
rique et pratique qui en résulte rend ses procédés peu avantageux. 

11 a aussi utilisé la théorie des racines primitives, pour le cas 
de II -.=■ a^ — 1 : considérons le nombre premier /j et soit a^=- a\ 
si g est une racine primitive de /?, on peut toujours poser g-'^ = a 
■et A est donné par le C-/./10/1 malheinaticus de .lacobi. Si /? — 1 est 
un multiple de A-, on peut ainsi écrire 






* A mesure que ; augmente, xi/ diminue d après (d*) ot x -{■ y augmente, d'après (7). Si 
x' et y' sont les nouvelles valeurs di» x et de 1/ correspondant à une valeur plus grande de c, 
on aura 

{^) xy > x'y' [0 , X + !/ <^x' + y' . 

Elevant au carré ("!) et ajoutant à l'inégalilé — 'la-y < — 'ix'y', il vient celte autre relation 
X — y <^x' — y', laquelle ajoutée à (ïJ), donne x' ^ x. et, en comparant avec [Z), xyx' ^ x'y'x, 
d'où y > y'. 

L'EnseigiiemenI inalliém., 1.")- aiinre ; l",(i;t. IG 



226 A . A r HH Y 

et cette congruenre iruliciuc ))ar conséquent que n est divisible 

par/?. 

11 a montré conimenl on peut ressenei- les limites des essais en 

mettant n sous la forme .r//, .v > y, et cherchant les valeurs de // 

inférieures à dillereiites limites /, /', ... ce qui renferme les valeurs 

... — n 

.r -\- // entre les limites 2 y /« et / -f- y . 

Lawrence Mes. ofnuU/i., 1<S1)4, Omni. ./., J.SUG, et Proceed., 1897,,. 
a donné, pour préciser les régions où peuvent se trouver des fac- 
teurs du nombre n. une méth()de d'exclusion aussi simple qu'in- 
ji[énieuse, et consistant dans l'examen des liypothèses faites sur la 
valeur de la somme des deux facteurs supposés de n ou d'un mul- 
tiple de n. On peut l'exposer ainsi. 

Posons n = xy, 2X = x -|- y, x >» y. Si on a : X >. a >> \ n v 
on n également celte autre relation 

x~y- (I -\- [/fi^ — Il > l/'r> a — \/a'' — /; > v ' . 

Cor. 1. Si aucune valeur de X n'est possible entre a et \' n . il 
n't/ a aucun facteur de n entre V n et a — Va"'' — n. - 

II. Posons kn = x'y' et 2X' =: x' 4" >' • •*>' (aucune \'aleur de X' 
n'est possible entre h 'et Vkn . // n'ij a aucun facteur de kn entre 
h -\- ^Jh^ — kn et h — y'b'' — kn , et par conséquent aucun fac- 
teur de n entre 

b + ^W~^ kn b — |/b» — kn 



Par exemple, si n est 9 + 4, x et // sont, l'un d'une des formes 
9 + 1, 2, ô, 7 et l'autre 9 + 4, 2, 8, 7, d'où 2X = 9 + 5, 4, 13, 14 
ou 9 + 14, 4, 4, 14 et X = 9 + 2, 7. Agissant de même avec 
d'autres modules, on connaîtra de nouvelles conditions que doit 



• Cette relation est uni- eonséqiience de ce que : en ])reniii'r lien, on peut écrire 

S' xy ± \ a* — xy ^ a , 

connne on s'en assurera en ('levant les deux membres an carré: en second lieu, on a 

x > X > a > V'' H > y ; 

et enfin, que de l'inégalité x -f- .(/> 2X, on tire, eu multipliant para:, puis par y. et ajoutant a*- 
«ux deux membres <le chacune des deux inégalités ainsi produites, les deux suivantes 

\x — a)^^ cfi — xy , (a — .'/i* > a* — xy . 

* (^e corollaire peut s'énoncer ainsi : posons x — y = 2V ; si. jusqu'à la limite X =: a > I ' n , 
l'ri/ualion X^ — \^z= a ne peut avoir lieu, on a y <^a — l'a* — n . Par exemple, soit n =; 118(10" : 
on peut rechercher cllrecteuienl ainsi la limite do .X : on a :i4i* — h =; 3.J'J et 2.3Vi + 1 = t)8!l : 
ajoutons successivement à 32 1 les termes de la progi'cssion 689, (iill, t!'J:t, ... on oblicn Ira les 
valeurs des termes de la suite 34'i' — /;, 3'i5* — n, 34(;' — n, ... 381' — n. dont aiicim n'est un 
carré. On peut écrire par conséquent a = 380, d'où X > 380 et y < 380 — /38ti* — n = 2l8 ;. 
on essaiera donc la division de h par les nombres premiers 213, 21 1. 219. ... dont le troisii-nuî 
réussit. 

On a ainsi un perfectionnement notable de la méthode de l'ermat. 



P R C E 1) E .S IJ E PAC T H ISATION 



22: 



remplir le nombre X, lesquelles serviront à dëterminei', peu à peu, 
la limite a de ses valeuis possibles '. 

On comprend dès loi-s la construction etTusaoe du tableau sui- 
vant, (|u"on pourrait étendre autant qu'on voudrait. 



Formes de /). 


Konnes de X. 


Formes de ii. 


Formes do X. i 


3+ 1 


3+1, 


2 




13 + 1 


13 + 0, 


1, 2, 6, 7, 11, 12 


2 


3 






2 


1, 


4, 5, 8, 9, 12 


4+ 1 


2 + 1 






3 


0, 


2, 4, 5. 8, 9, 11 


3 


2 






4 


0, 


1, 2, 4, 9, 11. 12 


5 + 1 


5 + 0, 


1, 


4 


5 


J, 


2, 3, 10, 11, 12 


2 


J, 


4 




6 


3, 


4, 6, 7, 9, 10 


3 


2_ 


3 




7 


2 


4, 6, 7, 9, 11 


4 


0, 


1, 


3 


8 ' 


2 


3, 5, 8, 10, 11 


7+ l 


7+ 1. 


3. 


4, (5 


9 


0, 


3, 5, 6, 7, 8. 10 


2 


2, 


3. 


4, 5 


10 


0, 


1, 3, 6. 7, 10. 12 


3 


0, 


2 


5 


11 


1, 


5, 6, 7, 8. 12 


i 


1, 


2 


5, 6 


12 


0, 


3, 4, 5, 8. 9, 10 


5 


0, 


3, 


4 


8 + 3 


4 + 2 




t) 


0, 


1, 


«5, 


; 


4 




11 + 1 


11 + 1, 


2 


4, 7, y, 10 


9 + 1 


9 + 1, 


8 


2 


0, 


4, 


5. 6, 7 


4 


2 


7 


3 


1, 


2. 


5, 6, 9, 10 


7 


4, 


5 


4 


2, 


3, 


4, 7, 8, 9 


12 + 5 


6 + 3 




5 


3, 


i. 


5, 6. 7, 8 


■" 


4 




6 


0, 


2, 


3, 8, 9 


11 





1 


"' 


0, 


1, 


4, 7. 10 


15 + 2 


15 + 6. 


9 


8 


0, 


1, 


3, 8, 10 


8 


3, 


12 


9 


1, 


3. 


5, 6, 8, 10 


11 


0, 


6, 9 


10 


0, 


2 


5, 6, 9 


14 


0, 


3, 12 



' Soit le nombre déjà plusieurs ibis traité n =: 4171, qui est des formes 3+1,5+1 et 
7 + l) : X doit ètj^ <lc l'une des formes 3+ 1, 2, -de l'iine de celles-ci 5 + 0, 1, 4 et de l'une 
de celles-ci 7 + 0, 1, C. Le plus petit nombre à la fois de ces foi-mes et supérieur à i^lï est 70, 
ce <tui donne \.\ limite Hv — \^-JW— n = 43. Essayant la division de n pour les nombres pre- 
miers 41!, 41. .37. ... elle réussit avec le premier de ces nombres. 

t^oit n — 4177 =3+1=4+1=6 + 2 = 7 + 5. Le plus petit nombre > i^lï et apparte- 
nant .i chacun des grou))es de fojMiics 3 + 1. 2: 2+ 1; 5+1,4; 7 + (l,3,4; est 91. Ainsi il 
n'y a aucun fadeur de n entre 1' n et 'Jl — l'9l=' - ;; , ou entre fi4 et 20. De même 1 1;/ est dos 
formes 3 + 2. 4 + 3, 5 + 2, 7 + 4; donc X' est 3, 2. de 1 une des formes 5+1. '* et de lunedes 
suivantes 7 + I. 2. 5. C. Le plus petit nombre > f"!!/; des formes jiossibles pour X' est 2'i(; : 
il n'y a pas par consé<pient de facteurs de n entre les deux nombres 



V\'n rt l/24(,='— ll;i 



ou entre 30 et 0. Il rosle donc les seuls nombres 7, 5 et 3 à essayer. 

Voici un autre pmcédé assez i)ratique. Si h = 24 + 23, on a X = 12. Si n n'est pas de cette 
forme, on la um'itipliera par 23, 19, 17, 13, 11,7 ou h, suivant qu'il sera de l'une ou de l'autre 
des formes 24 + 1, -i, 7, 11, 13, 17 ou 19, et on agira de même sur le produit, ce qui exclura 
■jjour X tous les nombres non multiples de 12. D'autres modules 5, 7, ... donneront de nou- 
velles exclusions. 



■2-2H A . A V un Y 

Dans certains cas, on connail nne forme linéaiie des factenrs, 
ce qui peut donnei- des moyens dexclusion plus rapides. Ainsi, 
si on sait que .v et // sont tous les deux = « (mod h\ en j>osant 
.T — y :^'1\ , il viendra 

2X = 2a d'où X = a et Y = (mod li\ 

par suite, comme X- — ^"- = /<, X- = n (mod h' . 

Soit n = 2"-''+' + i ; /? est de la forme 2//- -(- «'-, et ses diviseurs 
sont donc de la forme 8 + !< <»" <le la forme 8 + 3- '^es deux 
facteurs .r et // sont tous deux 8 + 1 ou tous deux 8 + o ; de là, 
la relation 

X- = 64 + // = 64 + 1 

si /.■ >> 2. et par suite 

X = 32 ± I • . 

Soit n = 2-''+' — l: n est de la forme 2//- — i'- et n'a par suite 
que des diviseurs de la forme 8 ± 1 : les diviseurs .v et y sont 
donc l'un <SJ + 1 et l'autre 8^ — 1, d'où 

ï + // est de la parité de § — // et par suite de celle de — ^ — ; 

donc 2X = .{■ -)-// = 8i| + 17/ ^st de la forme /? -(- 1 -|- 16 = 16 
et X = 8. 

Ainsi les diviseurs de « = 2"'^^! étant de la lorine 71+1. 
on a 2X = 71 + 2 et X = 71 + 1. Kn outre, on a : 

X» = /? = 1 + '» . 7 1 - 1 

■ (mod / l'i 
X = ± 1 + 2.71 . ) 

11 faut prendre + 1, d'après ce (jui précède, c'est-à-dire que X 
est = lAliîmod ô041). 

De plus, comme X est divisible par S et que /> est des deux 
formes 9 + 't et 5 + 2. X est également des deux formes 9±:2 
et 5±: 1. 

Lawrence a en outre j)roposé la solution mécanique suivante: 
on représentera, à une même échelle, les valeurs de X sur des 



' Si le nombre H = alv' -\- -Ibch + c* est un carré piirlail, avec /' et c < h, la raciue 1 H est 
de la forme zh* ~ bli + c. Posons, en effet, 

(a, n = [zh* + sh -{■ t]^ 

s et t étant siipposi-s < h, ce (|iii est toujours possible. On verra, en développant, que r^ — fl 
doit être multiple de h, ce (jui, à cause de c et i <^ h. demande qu'on ait i = ih c . 

Introduisant cette valeur d(! ; dans (ai et simplifiant, il s'ensuivra que bc — tn doit être 
divisible par h, ce qui conduit à la relation s =■ diz b. 

En particulier, si ah -\- b^ est un carré parfait, avec b <^ h, sa racine est de la fornu' zh ± /'. 

» liic = :i.l3 + 712, ,|'of, :i84 = 7-j (inod Tl^i, O'» = 1 + 2.71 lid.), i^i - 1 = 1 + 4.71 (id). 



PROCÉDÉS DE FACTORISATION 229 

l)andes de papier quadrillé faites une fois pour toutes; soit deux 
bandes pour le module 3, quatre pour le module 5, dix pour le 
module il, etc. On indiquera, par exemple, pour X = 9 + 4, les 
longueurs 0, 2, 3, 5, 7, 8, 10, 12, 13, ... Pour l'application, on 
n'aura qu'à aligner convenablement côte à côte les bandes corres- 
pondant aux diverses expressions demandées pour X, et à noter 
la première division se trouvant à la fois dans toutes les bandes; 
le nombre ainsi déterminé donnera aisément la limite cherchée a. 

MM. Kraïtchik et Gérardin ont réalisé et montré comme elle est 
pratique. (Voir S. Œ., 1912, p. 62, ainsi que le compte rendu du 
Congrès de l'A. F. à Nîmes.) 

Ce qu'on vient de dire de l'important travail de Lawrence n'en 
contient que le principe théorique. Pour les détails et les applica- 
tions pratiques, voir les recueils cités ou la traduction française 
publiée en 1910, dans le ^S'. Œ. de M. Gérardin. 

M. Barbette M., 1899) met le nombre à factoriser sous la forme 
100a + loi + f. Pour trouver les facteurs de forme 10.r±l, il 
pose 

lOO.r'' ± '»(5/> + c].r + (// — 'utc) = ;)" , 

et pour trouver ceux de la forme JO.r H- 3. 

lOO.i' ^p 'il5/^ — 'tO.r + (/.' + c* + 2/^c + :i6ac} = i» . 

La question est ramenée à résoudre des équalions de la foime 
A'^.<"^ -f B.r -}- C = //"-. Cette équation se résout, soit par la mé- 
thode de Gauss donnée plus haut, soit par tâtonnements, en éli- 
minant en bloc les formes linéaires de .r qui donnent, au premier 
membre, des valeurs pouvant se mettre sous l'une des formes in- 
applicables à un carré, 3-1-2; 8— 1, dz2, it3; 5 ±2; 7 -|- 3, 5.(5 ; 
etc.; ce qui se trouve aisément, en faisant successive;:ient i :^ 3 
-j- 0, 1, 2; 5 + 0, I, 2, 3, 4; etc. 

M. Géraidin [S. (K., 1900) a d'aljord proposé d'écrire, suivant 
que n est 10 -f- 1 , 3, 7, 9% 

« = 1 1 0.r ± 1 ) ( 1 ())■ ± 1 1 (,Li ( lO.r + o ) I lOi — :{i 

// ■=! I lO.r + Il ilUr ± ."Jl 

n = Il0,r ± DMO.v Ijl 3) 

M = llO.r + llflOv — Il ou (lO.r ± oIllOv ± .•!! 



' On pouri'iiit <;onsid(!rc;f les loi'incs 12 ± I. ±5, éj^alcineiit au iKiiiiliic de (inalic et ([iii 
ri'diiiraieiit cncoi'o le n<)iiil)ii' des diviseurs a ossavL-r. 



•2:j0 A . A IHU y 

soit n — lOOr/ + lOA + 1 = lO.r -|- 1 10// + J . co (|iii cU.nne 

lO.rv + .»• + _v ■= \(\a ■\- h 
.V + r =!>-{- lOc , xr = a — z 

(a) .»* — (h 4- I0:|.r -f « _ c = . 

l.e minimum de r. et, en même temps, celui de .r + //- sont dé- 
terminf's par la relation connue .i -f // >» 2 V.Tîy, dont le second 
membre est sensil)lement éi^al à 2 \' a et (pi'on leprésenteia ainsi 
H\(( -\- fi. On posera donc : 

h + 10: = lUa + '; . 

\a' mininuim de ; est donc éjjal à a puiscpie A et fi sont des 
nombres <; 10. 

D'après cela, on résoudra l'équation i« et on ayira de même 
sur les formes (lO.r — 1 fiO^ — 1) et lO.r + 3) (10// — ;^!. 

P<Kir des nombres très i>iands, on décomposerait ainsi le 
nombre donné : 

fi = 120V< + l-iOA -h c = |l-20.r + f){V20r + gf , 

c désignant l'un des trente-deux nombres inférieurs à 120 et pre- 
miers avec lui; /' ei g deux nombres dont le produit est ~ c 
(mod 120 ^ On trouvera la liste des nombi-es r, /'. i,»- dans le t. III 
de A'. Œ. 

.Vnsi, par exemple, pour le nombre /? = 2<Si>.")2'i7i)i, on j)osera : 

// = 20105.120' + 100.120 + 71 = (120.» + :m120v + li:!i 

= rl20.r +11) ll20v + (ih 
= |120.r -f 1:J| |120v + 107) 

ce <pii amènera autant déquations de la forme A'-.<"-' -}- '^-f + ^ = //" 
il résoudre. L'examen des formes linéaires des coellicients amè- 
nera d'ailleurs de noml)reuses exclusions dans ces équations. (,)n 
réduira également le nombre des essais en cherchant, pai- divers 
m()yens, les limites supérieures ou inférieures de .r, soit fixes, 



* En };énéi-;il. ))Oson.s 

Il — {ax + Ç) (a;/ + ^} = u^xii + oi^?/ + ij.c) + ;»î 
= aU + aU + C . 

a. \^, c sont donnés. Le nombre C est congru à un des ç m nombres inl'erieiirs à n el \trc- 
miers avec lui. F'aisons Çt] = « — C (mod a), prenons pour ^ un i|uelconqtie f de ces mêmes 
nombres; fl en sera un autre g, et on pourra poser : 

aA + B = axji -\- fij -f- gx , />/ -f- gx = I* <'""'' x el >/ . 

(In ;iiiia a ri'Soiidre f'ci' é(|untions de ce genre. 



LE TRENTE ET QUARANTE 231 

soit obtenues en resserrant de plus en plus l'intervalle à examiner. 
Ainsi, soit à déterminer les valeurs de .r supérieures a B et à C. ; 
on a, romme on peut le vérifier aisément. 

.- A.» > 



2A + 1 



Or // est de la forme A.f + D. D étant <,r. On a donc de la sorte 
circonscrit une région dans laquelle doit se tr(Hiver D; de là .r, 
«n égalant Al<^ + Bj -f- C au carré de A.r + D. 

On trouvera du reste dans ce recueil de nombreux et intéres- 
sants exemples de cette méthode, ainsi que des aperçus de toutes 
sortes sur la conduite des calculs auxquels conduit le ditricile 
problème qui fait l'objet de la présente étude, laquelle a été en- 
treprise comme une application de la théorie «élémentaire des 
nombres, et comme suite aux articles de VEns. math, sur le même 
sujet publiés en 1907 fp. 24, 286 et 417 , en 1909 p. 329 et 430;, 
en 1010 (p. 457i et 1911 p. 187 . 

A. AuKuv Dijon . 



SLR QUELQUES PROBLEMES 
CONCERNANT LE JEU DE TRENTE ET QUARANTE 



Les problèmes fondamentaux concernant le jeu de trente et 
quarante ont été traités pour la première fois, à ma connaissance 
du moins, par Poisson en 1820, dans un beau mémoire inséré 
dans le t. 10 des Annales math, de (iergonne. Quarante-sept ans 
plus tard le i>éomètre allemand (ErriNfiEU retrouvait en les com- 
plétant en plusieurs points la plupart des résultats donnés par 
Poissox ; mais son travail, inséré clans le t. 67 du Journal de Crelle 
€t cité par H. Laliiext dans son traité du Calcul des Probabilités, 
semble avoir passé inaperçu. 

Bien (jne les déductions de Poisson et d'(Kttinger présentent 
des lacunes, je naurais pas cru utile de revenir sur ce sujet, si 
BEnrnAXD, en traitant dans son Calcul des Probabilités l'un des 
problèmes déjà résolus dans les mémoires cités, n'était arrivé à 
des résultats ne concordant pas entièrement avec ceux d'Œttinger 
et de Poisson ; le désaccord n'est pas grand, il est vrai, mais il 
existe, et cela sullirait pour justifier une étude nouvelle. 

U était facile de refaire les calculs, dans le cas particulièrement 
simple envisagé par Bertrand, .le dirai tout de suite qu'un certain 



2.{2 1) . M IHI M A y O FF 

nombre de résultats donnés par Bertrand contiennent des déci- 
males inexactes ; la même remarque s'applique au n" (il) des Leçons 
i'h'inentaires sur le Calcul des Probabilités, de M. \\. de Montessi s, 
mais je dois ajouter que ces erreurs, peu importantes du reste, 
ne sont que des eri'eurs de calcul. 

Pour simplifier le jiroblème, Bertrand a introduit une hypo- 
llicse qui modilie les conditions du jeu. Bien plus compliquée est 
léUide des problèmes réels ; il n'est pas facile de se rendre compte 
du degré d approximation fourni par les procédés de calcul de 
Poisson et d'Oittinger. .le montrerai comment on pourrait com- 
pléter l'analyse d'Clilttingei-. Quant à celle de Poisson, elle exige- 
rait des développements trop longs pour trouvei' place dans cette 
communication. 

I. Le jeu de trente et quarante se joue avec six jeux de .")2 cartes 
(et non avec 8, comme le dit j)ar eneur Bertrand . Le ban(piier 
abat une. deux, trois... caites jusqu'à ce que la somme des points 
ait dépassé trente (les figures valant dix . Cette première rangée 
est suivie par une seconde. Le joueur parie pour l'une des ran- 
gées et gagne si le nombre des points de sa rangée est plus petit 
que celui de l'autre. Si les deux rangées ont 31 points cliacune. 
le banquier a droit ;i la moitié des mises. Tel est le seul avantage 
du bantjuier. Pour le calculer, il sutlit donc d'évaluer la pi'oba- 
bilité d'abattre deux i-angées de ol points chacune et d'en prendre 
la moitié. 

D'où le problème fondamental suivant : ( hielle est la ])r()l)al)ilit(^ 
d'abatti'e une rangée de / points .' 

Désignons cette probabilité par/?.. Il est utile de réunir les 
rangées en groupes (jue j'appellerai familles, .le dirai que deux 
rangées appartiennent à une même famille, si elles se comp(»sent 
de cartes de même valeur. 

Désignons par n^ le nombre des familles de / points, .lai cal- 
cidé /Jj pour tous les / ne dépassant pas ,'îl. Comme le calcul de 
iii revient à la solution d'un |)rol)lème de la partition des nom- 
bi-es, j'aurais pu me servir des formules de Sylvester et de Cayley 
ou du calcul des résidus, mais j'ai préféré calculer les //,■ de pi-ochr 
en proche. Rn particulier j'ai trouve (pi'il existe '\ï.\\ familles de 
rangées ayant chacune 'M points. 

Pour lésoudre le problème fondamental, il suffirait de calculer 
la somme des /?, probabilités partielles relatives à chacune des 
/«,- familles de / points ; mais ce moyen direct serait é'videmmeiit 
trop long. 

Dans le jeu de trente et (piarante les caites ne sont pas remises 
dans le jeu ; la probabilité /;, dépend donc du nombre et de la 
valeur des caites senties. 

Mais considéions le cas hypothéti{|ue où les cartes sorties se- 
raient i-emises dans le jeu et soit P, la probabilité d'abafti'e une 



LE TRENTE ET QUARANTE 233 

rangée de i points dans cette hypothèse. Bertrand s'est borné à 
ce cas limite déjà envisagé par l-*oisson et (Ettinger, mais, comme 
je l'ai déjà dit, la plupart des valeurs des Pj calculées par lui 
contiennent des décimales inexactes. En particulier P^, =0,148061 
(plus exact. 0,14806086) et non 0,148218; par conséquent l'avan- 
tage du banquier dans cette hypothèse serait — . 0,0219220 et non 

1 
-^ . 0,0219686. Poisson a trouvé pour valeur approchée de P.,, . 

0,148062 et (Ettinger 0,14806092. .le compte publier prochaine- 
ment le tableau complet des valeurs des Pj . 

2. C'est dans l'étude du problème réel que la notion de famille 
m'a été particulièrement utile. Pour évaluer la probabilité pi il 
suffît de calculei- le coeflicient de ^' dans le développement de 

Il 4- ut\-'^[i + ut-fi ... Il + itl'^fin , 

.*, , .V.-, v^Q désignant le nombre des as, des deux, etc., au mo- 
ment où Ton abat la rangée. Ce coeflicient est un polynôme de la 
forme a^n -f- a.^ii''^ -f- ... -\- a^n'^ • Posons .s z=l .v^ -\- .r., -|- ... -|- .r^, 



et soit b,n le coeflicient binômial ( j ; la jirobabilité d'abattre 
une rangée de m cartes et de / points est égale à j^ , d' 



ou 



A- 

Pi^ = ^\ ,— . Mais est-il nécessaire de calculer toutes ces frac- 

fn=z\ , 

lions ? 

Œttinger néglige celles dont l'indice est supérieur à une cer- 
taine limite. J'ai cherché à me lendre compte du degié d'approxi- 
mation qu'on obtient de cette manière. (^)uelle est la borne supé- 
rieure de l'erreur possible .' • 

a 

.le ferai remarquer que -, — est une probabilité totale, somme 

de probabilités partielles relatives aux dilleientes familles de />/ 
cartes et de /points; or il est facile de calculer la borne supc'- 
rieure f,„ de ces piobabilités ]>artielles ; en la multipliant par le 

nombre des familles de /// cartes on aura une borne pour ,— ■ . on 

' h 

en déduira l'erreur possible atTectant le résultat final, .l'ai réussi 
ainsi à justifier le procédé d'd'lttinger, mais je n'ai pas eu le temps 
de vérifier ses calculs. On rencontre dans les mémoires d'CKttin- 
ger et de Poisson d'autres points obscurs <|u'il serait utile de 
mettre en lumière, .le compte le faire prochainement. 

31 août 1912. l). MiiuMAxoi I Cenèvei. 



APPLICATION DISE TRANSFORMATION DK 

M. BROCARD A LA CONSTRUCTION DE CERTAINES 

COURBES TRANSCENDANTES 



Poiii (xMi (|iie 1 (»ii s'occupe de la théorie et de Ihistoiie des 
courbes partieulièi-es, des courbes transcendantes notainiuent, 
on ne peut manquer d'être frappé ])ar la multitude des travaux les 
concernant, et par l'absence de tout lien entre ces diveis travaux. 
C'est qu' « une grande application et l'étude opiniâtre d'une 
» courbe peuvent y l'aire voir des propriétés singulières : linven- 
>' teur en est redevable à son génie et souvent ii la fortune ' » 
plutôt qu'à des recherches systématiques. Ayant été amené à 
constater combien cette théorie des courbes transcendantes par- 
ticulières a besoin d'idées générales, j'ai fait, sous l'influence de 
la lecture du magistral ouvrage de M. Gixo Loiua sur les courbes 
planes, quekiues remarques que je ciois utiles de faire connaître : 
c'est à cet ordre d'idées que se rattache le présent article. 

I. — En ce (pii concerne les courbes algébriques, les notions 
de degré, classe, geni-e... la notion de construction géométrique 
et celle de transformations rationnelles, ponctuelles ou tangen- 
tielles. permettent d'établir des coordinations et des classifica- 
tions siniples. Il n'en est pas de même pour les courbes transcen- 
dantes. A la suite des rechei-ches de M. Cixo Loiua sur les courbes 
ptduilgèbiùjiies, j'ai montré dans un article Sur la classificalion 
cl lu construction des courbes transcendantes ( Enseit^ne/nent nia- 
//i('/nut/f/ue, lOl.'i . qu'il y a le plus gi-and intérêt à introduire la 
iKttioii du nombre o) qui repi'ésenle l'ordre de l'équation difïeien- 
tielle rationnelle la plus simjîle satisfaite par hi courbe transcen- 
dante envisagée. Plus profondément encore, il y a lieu d'étudier 
les courbes du point de vue de leurs constructions : Une courbe 
transcendante particulière iC; étant supposée donnée, et mente 
matériellement réalisée, quelles sont les courbes transcendantes 
qui en dérii'ent par des constructions élémentaires ? Vax se posant 
et en rés(dvanl une telle question, on constitue des familles net- 
tement distinctes entre elles de courbes transcendantes; lapins 



' G. Chamkk. Intrudm lion ri l'aitalise ile.i liifiics miirhcs (ilf^rbriqui-x, Geni've, 1750, piig»' VI 
(lo lii prét'itce. 



COURBES T 1{ A N S C E N D A X T E S 2:J5 

«grande connexion existe entre les diverses t-ouibes particulières 
dune même famille : toutes les courbes ont nécessairement le 
même ordre oi: lu ne d'elles, quelconque d'ailleurs, étant sup- 
posée matériellement réalisée, la ronsti-uction de toute autre en 
résulte; récipro(juement, poui' que lune de ces courbes puisse êtie 
construite élémentairement. il est absolument nécessaire de se 
donner matériellement 1 une d elles. 

'1. — Parmi les courbes transcendantes, les spirales et les qua- 
dratrices ()ccupent une place particulièrement importante, ce qui 
résulte principalement de leur «rand intérêt historique. Les plus 
anti([ues courbes transcendantes planes connues sont, en elTet, 
la quadratrice de Dinostrate et la spirale d'Archimède. 

Supposons matériellement védA'xséeX'A si>ir(ile d'Archimède. [>'in- 
version permet de lui rattacher la s/;//r//e lu/perboliqiie ; des trans- 
formations rationnelles simples, opérant sur le seul rayon recteur, 
permettent de faire dériver les spirales de Fermai et autres spirales 
d'ordre supérieur de la spirale d'Archimède. \a\ développante de 
cercle et la spirale tractrice compliquée de Côtes appartiennent 
elles aussi à cette même famille, puisque la première de ces cour- 
bes est lantipodaire de la spirale d'Archimède (Clairault) ou la 
polaire récipro(jue par rapport à un cercle de la spirale hyperbo- 
lique Mox(;f. , tandis que la seconde est l'inverse de la dévelop- 
pante du cercle ou lantipodaire de la spirale hyperbolique COhes 
et Xi:i isKiiG ; G. Loiua, Spczielle Kurçeii II, p. 202 . Je vais main- 
tenant, et c'est le principal objet du présent article, établir ciu'à 
cette même famille de courbes panalj^ébriques se l'attachent la 
quadratrice de Dinostrate et la cochléoïde de Falkexbviu;. 

On sait que M. Biîocard ^ a imaginé une transformation géomé- 
tri(pie simple pour faire dériver le thifolium ofîlioie du cercle ; 
cette construction géométrique se définit ainsi : étant donné un 
point M. quelconque sur la courbe primitive Cl, on lui fait cor- 
respondre l'un des deux points P,, P., d'intersection de la parallèle 
à Taxe O.v menée par M et de la circonférence de centre M qui 
passe par l'origine O ; en d'autres termes, on prend sur la paral- 
lèle à O.r menée par M deux points P, P^ tels que : 

Ml", = .Ml'2 = OM . 

Cette transformation aurait pu d'ailleurs être découverte en 
cherchant à déduire dune parabole de foyer O sa directrice: si la 
courbe à transformer C est, en effet, une parabole de foyer et 
d'axe O.r, l'une des courbes transformées (Cjl est la directrice 



^ n. Bkciiiari) : l.e tiifoliuin. Journal de nMlhr-inati(|iies spéciales. 18;tl. 
il. LORIA : SpezielU Kurveii, I. p. 1(18. 

H. BouAssE et E. Tlrrikuk : Exercices et coinplé/neitts de inathimatiqites giiiéralfs. Paris, 
Delagrave. édileur. VHi, 5§ W\-'iW. 



2:u] E. ri' H m EUE 

tandis que la seconde C.^) est une seconde parabole. A une droite 
C cori-espond une hyperbole équilatère ; à une ellipse de foyer 

() correspondent deux ellipses 

Cette définition étant rappelée, supposons (pie la courbe primi- 
tive (C) soit une spirale hyperbolicpie ; il lui correspond deux 
courbes ((>|) et ((]._jl qui sont {\ey\\ rochlèoïdes <>;éncinlisi'cs : \e dé- 
signe sous cette dénomination (i. leiieiid. Traité des combes 
spéciales. II, j). .{.SO les courbes d'cMjuatiiui jiolaire : 

siniO — Oj 



— Oi 



en particnliei-, pour un choix convenable de Taxe O.r, on peut 
ainsi construire la cochlèoïdc de Fai.ki-inbuiu; d équation polaire : 



s in 

et la si/ncochlèoïde LlIoi-UAUEit, Intei'médiaire des mathématiciens, 
100."). j). I.")(S1, courbe dont 1 é(|uation polaire est: 

cos 

Par inversion opéi'antsui' ces cochléoïdes, on construit la cjuddid- 
trice (le Dino.strate et les courbes |)lus générales étudiées par 

(^IIASI.KS. 

3. — La même transformation de M. HiiocAiu) appliquée à la 
spirale logdriUimique, rattache à cette spirale une courbe d'écpia- 
tion polaire 

)■ ■= a . fos . r-'"" . 

cpii jouit (le la pro])iiélé impoitante d'cMrc la podaire de la lo^d- 
rithmoïde de M. K. K()S'ii,i\. (letle ((uirbe curieuse, découverte en 
1907 par cet auteur, à propos de ses intéressantes recliei-ches sur 
les Arciiides ((ii.\o LoitiA, Spezielle Kurven II, p. 2^tO), a été con- 
sidérée de nouveau par M. Kosri.ix lui-même' comme étant len- 
vdoppe d un rayon vecteur invariablement lié à une spirale lo^a- 
rilhmi(pie (pii roule sans glisseuKMit sur une dioile. I.interèl ipie 
prf'sentenl d'une part les Arcuides et daulre |)arl l'imporlance 
cinémati(pie du roulement de la spirale logarithmi(ni(' sur une 
droite [(h^scription dune ligne droite pai' roulement sur une base 
lecliligue placeni la logai'ilhmoïde |)armi les courbes transcen- 
dantes remar(|ual)h's. hllle s(î rattache donc, du |)()inl de \iic de sa 



* Ileber eino tr:ins7.ciHli'iilo Knrvi' von <1(m- die /.\<'l(iï(i<' oiri (lioii/liill isl i Matlniiialii, hf 
ynturn'i^sciicha/'leii Mitlcilini/^cii, Wiirtcmhirg, \-l\. \'I. l'.lll!) i pp oo-Ci'i il fiCi-T.Si. 



COURBES TRANSCENDANTES 237 

construction géométiiqiie, à la spirale looaridimitiiie (de même 
que la spirale de Poinsot et autres courbes remarquables), puis- 
qu'elle est la podaire négative d'une transformée de la spirale 
logarithmique. 

4. — Dans un article sur lea coK/hes transcendantes et interscen- 
dantes (Enseignement ma thématique, mai 1912, pp. 209-214), j'ai 
montré que, dans bien des cas, il est possible de considérer une 
courbe transcendante particulière comme étant la limite d'une 
famille dépendant d'un paramètre de courbes algébriques ou in- 
terscendantes : la spirale logarithmique est, par exemple, une 
limite de spirales sinusoïdes. J"ai même spécifié que la spirale 
hyperbolique est la limite d'une famille d'épis interscendants ^: 



sin /hO 

¥a\ appliquant à un épi àç^ M. Aibiîv, d'i-quation polaire 



siii /«O 

la transformation de M. Buociaiîd, on est conduit à une courbe 
algébrique, ou interscendante suivant les valeurs de ni, d'équation 
polaire 

2rt cos 
sin 2/hO ' 

en appliquant, en second lieu, à cette courbe la transformation 
en éventail de M. Hatox de la GoupiLLn-:nE.^, transformation qui 
consiste à conserver le rayon veeteur et à multiplier les azimuts 
par un facteur constant, on rattache donc, par une double trans- 
formation géométrique, une certaine famille de courbes d'écpia- 
tion polaire 

sin /?0 

'■ = rt . -. -. 

sin pH 

aux épis de M. Aubhv. C'est là une famille de courbes, générali- 
sant les rosaces et les épis, appelées courbes d'intersection de deux 
moin'ements de rotation, algébriques, panalgébriques ou d'ordre 



' A ce sujet, je signale que l'abbé Aoust, dans son Analyse iitfinitcsiinale des courbes plains 
(Paris 18731, p. 143, cite une courbe particulière 

6 

r X i^in -rm = const . 

à laquelle il est conduit dans la résolution d'un certain problème : c'est là un épi particu- 
lier et cet épi est interscendant. 

^ Note sur le procédé le plus général de transformation des engrenages de roulement 
cylindriques ou coniques, Annales des Mines, [6|, v. p. 333. 



238 E . Il l{ It l K H i: 

M ^2 suivant les cas. Ainsi que je l'avais déjà inditiué dans nior» 
article antéiieuieinent cité p. 213\ elles permettent de définir 
comme combes lin)ites la cochléoïde et la (juadiatrice de Dinos- 
tiate '. 

D'une manière analogue, puis(|ut' la loi^arilhmoïde de M. \]. 
KosTLix peut être rattachée par une transformation «éométrique 
à la spirale logarithmi(iue, il est donc possible de former une 
famille de couibes algébriques ou interscendantes admettant la 
logarithmoïde pour courbe limite : il suflit d'appliquer à la famille 
de spirales sinusoïdes, considérée pour définir la spirale logarith- 
mique, la transformation géométrique qui fait dériver de cette 
dernière courbe celle de M. Kostlin. 

Jaurai prochainement l'occasion de rattacher la construcli(»n 
de la cycloïde ordinaire à celle de la spirale d'Archimède. La 
transformation de M. Bhocaiu) appliquée en effet à la spirale d'Ar- 
chimède définit une nouvelle courbe transcendante dont la cy- 
cloïde est une courbe arttipodaire. 

K mile .T r it it i ku e ( Foi tiers; . 



* La l>il>li<)giMphie de ces courbes no se trouviinl |)as indiquée dans les ouvrages sur les 
courbes spéciales, je note ci-dessous les principaux niénioircs où elles sont citées ou 
étudiées. 

ItociKi (Philos. Transactions. 182.Ô, p. 131). — Lk I-'rançois ((Correspondance mathémati- 
que et jjhvsique de Quételet, 1829, t. V. p. 120etp.3"it. — G. V. D. Mi:N>iUiu;ii(.K (Mémoires 
couronnés et Mémoii'es des savants étrangers de l'Académie royale <ie Itclgique, t. XVI, 
18(i3i. - Cm. Lauoulayic : Traité de Cinématique, 1S78, p. 'ilK et p. m". — .1. I'i.atkau (Cor- 
respondance niathémalique et physique de Quételet : 182S, l. IV, p. 393 et 1829, t. VI. p. 121. 
~ Annales de chimie et de physique de Paris, 1831. t. XLVIU, p. 281. — Bulletin de l'Aca- 
démie royale de Belgique : 1836, t. III, p. 7 et 1849, t. XVI, p. 1). — D. (iAi Tiicu iMesure des 
angles. Hyperboles étoilées et développantes. Paris, 191 li. Les llyperholc.t cloilées de cet 
auteur sont précisément identiques au.\ courbes précédentes et son hyperbole développante 
n'est autre <iue la courbe trascendantc qui est la limite d'une famille d'hy)>erboles étoilées : 
la quadratrice de Dinoslrate. J'ai déj.i signalé ce fait ( Enfeigiicincnt mathématique 1912. 
p. 213i. 



UN THÉORÈME SUR L'HYPERBOLE KQUILATERE 



Soient K une hyperbole équilalère et un triangle inscrit ABC. 
Soit G un point quelconque de la courbe, menons ()A, OB, OC et 
abaissons d'un point quelconque S de l'hyperbole les perpendi- 
culaires sur les droites OA, OB, OC; ces perpendiculaires cou- 
peront les côtés BC, AC, BA du triangle ABC en trois points 
«, j3, y, situés en ligne droite. 

Le théorème résulte du théorème généial que nous avons publié 
dans ce journal n** 3, 10" année, mai 1908], et tlont voici l'énoncé : 

Soient une conique K et un triangle insciit \, B, (]. Soit M, une 
droite quelconque prise dans le plan de la conique ; déterminons 
sur cette dioite deux divisions homographiques telles que les 
points d'intersection de la droite avec la conique en soient les 
points doubles. Nous prendrons pour les points de la première 
division les intersections c, a, b, de la droite M avec les côtés 
AB, BC, CA du triangle; «, , b^, f, sont les points correspondants 
de l'autre division. Soit D un point quelconque de la conique : 
Les droites D/^/,, D/?, , Dr, coupe/ont les calés BC, CA, AB d/i 
triangle en trois points a, /S, y, situés sur la même droite. 

Nous établirons d'abord le lemme suivant : 

Soient S le centre de deux faisceaux S («, b, c.) et S(<7, b^ c,...), 
en involution, et n et «, deux rayons correspondants perpendi- 
culaires. Si dans l'un de ces faisceaux, soit S [a, è, r,...) nous 
faisons correspondre aux rayons a, b, c,... les i-ayons a..^ , b.,, r^, ... , 
qui sont perpendiculaires aux rayons a^, b^, c^, ..., nous obte- 
nons un nouveau faisceau S [a^, è^, r^, ...), et les faisceaux 
S (a, b, 6-, ... ) et S(«5, b^, c^, ... ) sont homographiques et les 
rayons doubles de ces faisceaux sont les rayons n et n^ . 

La démonstration du théorème de l'hyperbole est facile. 

Dans le quadrilatère OABC, les rayons OA et BC, OB et AC, 
0(] et AB forment sur la droite de fuite une involution et les 
rayons perpendiculaires, qui correspondent lun à l'autre, en 
cette involution déterminent les directions asymptotiques de 
l'hypeibole équilatère passant par les points O, A, B, C. 

Si nous menons par le point O les rayons OA, , OB, , OC, paral- 
lèles aux droites BC, AC], BA et les rayons OA^, OB^, OC^ peipen- 



■2 \o M /■: I. A y G E s I-: t ton n i: s p o n n a n c e 

(liciilaires à OA, OB, OC, il résulte du lemme cité que les layons 
doubles de deux laisceaux hoinogiaphiques O ^A.^, B., , C,. ...' et 
0(A,, B, , C^,...) déterminent les directions asynipt()ti({ues de 
l'hyperbole. Ces faisceaux détei'uiinent aussi sur la droite de 
Alite deux divisions honiogiaphiques et les points doubles de ces 
divisions sont les points d'intersection de la droite de fuite avec 
l'hyperbole ; nous pouvons donc appliquer le théorème général 
cité et on obtient le théorème proposé. 

Problème, l.e théorème permet de résoudre le problème sui- 
vant : Soient ABC un triangle et un point () ; trouver les points 
tels que les perpendiculaires abaissées de ce point sur les droites 
OA, OB, OC rencontrent les côtés BC, AC, BA en points situés 
sur la droite. Le lieu de ces points est l'hyperbole équilatère pas- 
sant par les points A, B, C, 0. 

(^as particuliei". — Nous savons que l'hyperbole équilatère, pas- 
sant par les sommets d'un triangle ABC, passe aussi par le point 
d'intersection des hauteurs de ce triangle ; cette remarque fournit 
le théorème suivant : 

Soient un tiiangle ABC et un point O. .loignons OA, OB, OC et 
menons par le point S, qui est l'intersection des hauteurs du 
triangle, les perpendiculaiies aux droites OA, OB, OC. Ces per- 
pendiculaires couperont les côtés BC, CA, BA en trois points 
situés en ligne droite. 

Ant. Plkskot (Pilsen, Bohème). 



MELANGES ET CORRESPONDANCE 



Sur les rayons de courbure principaux en un point d'une quadrique. 

A propos (l'tttti' Note de M. Tikrikre. 

Cette Note m'a été inspirée par la lecture d'un très intéressant 
article de M. Tuiuukkk [Enseignement mathématique du. 15 mars 
1!)11) et par la correspondance que j'ai eue avec M. Turrière à 
cette occasion. 

M. Turi'ière rappelait un théorème de Steiner (jui peut s'énoncer 
ainsi : Soit C le centre de courbure d'une conique pour un point M, 
soit M' le conjugué de M sur le cercle MC par rapport au cercle 
orlhoptique on a 

MM' + MC = . |I) 



MELANGES ET CORRESPONDANCE 241 

M. Tunière a établi une relation analogue pour une quadrique 
en considérant la sphère de Monge de cette quadrique comme la 
généralisation du cercle orthoptique d'une conique. Or on peut 
■considérer aussi, comme généralisation de ce cercle, la quadrique 
lieu des points d'où on peut mener à la quadrique donnée 3 tan- 
gentes rectangulaires 2 à 2. On obtient ainsi, en considérant les 
deux quadriques correspondant au cercle orthoptique, deux for- 
mules qui donnent des relations généralisant la relation (I). 

Si on rapporte une quadrique à un système d'axes formé des 
•directions principales de l'indicatrice en un point M, et par la 
normale en ce point, l'équation de la quadrique peut s'écrire 

A.r^ + AS' + A":'' + 2Bv,- + 2Wzx — 2: = . (Q) 

Si on désigne par CetC'les centres de courbure principaux on 
a facilement 

-L - ,^ J_ - A' 

MC ~ ^ ' MC ~ 

L'équation du cône circonscrit à la quadrique (Q, et ayant pour 
sommet un point (0, 0, h] de la normale en M, est 

(A"//^ — •lh]^kx' + AV + A"c' 4- 2Bj- + 2Wz.x — 2;) — 

[h[Wx + Bv + A":; — \) — zf — Q . 

Les coefficients des ternies du 2^^ degré dans cette équation sont 
respectivement 



A^= (A"/(' — 


2/0 A 


- B'V,^ 


2B = 

1 


— IBh , 


a; = ia"//' — 


2/mA' 


- bV.^ 


2B' = 

1 


— 2B'/« , 


a" = — 1 , 






2b;' = . 


- 2BB'//' . 



Pour que le cône puisse être inscrit dans un trièdre trirectangle 
(autrement dit que son sommet soit sur la sphère de Monge], il 
faut et il suffit que 

(AA'A" — AB'^ — A'B'^/r — 2AA7( — (A + A'i = . 
Cette condition s'obtient en écrivant que l'invariant 

(A'a" — b"| + (A"a — B'*j + (A a' — b"*) 

est nul, et en supprimant le facteur h!'Ji^ — 2h qui annule les trois 
binômes à la fois. Si M' est le conjugué de M par rapport à la 
sphère de Monge, on a, en désignant par h^ et h^ les racines de 

L'Enseignement niathéiii., 15»ann(;e; 1913 1" 



242 MÉLANGES ET C O li R i: S P (J ,\ ]) A y C E 

léquatioii en h. 



donc 



2 __}_,_[___ 2AA^ _ 2 

mm' ~ h, h\ ~ A + a' ~ MC + MC' ' 



MM' + MC 4- MC = 



illt 



Pour que le cône puisse être circonscril :i un trièdre trirectangle^ 
il faut et il suHit que 

A^ + A[ + A^' = [lA + a') a" — if — B"j/i' — 2(A + A'i /; — 1 = U . 

Soit M" le point conjugué de M par rapport à la quadri({ue, lieu 
des sommets des trièdres trireetangles dont les arêtes sont tan- 
gentes à la quadricjue Ql ; on doit avoir, en désignant par h'[ et Ii'l 
les racines de la dernière équation en h, 

^. = J, + I = _„A + A',= -2('-L+A^ 
MM h, h^ \MC MC/ 



MM" "^ MC "^ MC 



. 



(III) 



Les relations II) et 111; donnent respectivement la relation I; : 
lune lorsque la quadrique s'aplatissant, un des rayons de cour- 
bure devient nul; l'autre lorsque la quadrique devenant un ly- 
lindre, l'un des rayons de courbure devient infini. 

Enfin, en rapprochant les relations (II) et (III) on ol^tient la sui- 
vante 

MM' X MM" = MC X MC 



que m'a fait remarquer M. I uriière. 



Ch. BiocHE (Paris) 



CHROMQUE 



Commission internationale de l'enseignement mathématique. 

Congres de Paris. — La prochaine réunion de la Coin mission 
aura lieu à Paris, dans les premiers jours d avril 1914. Comme 
pour les réunions précédentes, le Comité central mettra à l'étude 
une question concernant l'enseignement moyen et une question 
appartenant à renseignement supérieur. L ordre du jour com- 
prendra notamment : 

A, pour ï enseignement moyen : les résultats obtenus dans lin- 
troduction des premières notions de Calcul dilïerentiel et inté- 
gral dans les classes supérieures des écoles moyennes. Confé- 
rences et discussion ; 

B, pour l'enseignement supérieur : les mathématiques dans l'en- 
seignement technique supérieur. Conférences et discussion. 

Alleniag'ne. — La Sous-commission allemande vient de pu- 
blier deux nouveaux fascicules de ses Ahhondlungen. L'un, le 5""' 
et dernier fascicule du tome I. par J. ScHP.oDEn. traite du dévelop- 
pement actuel de renseignement mathématique dans les écoles 
supérieures de jeune filles en Allemagne et principalement de 
l'Allemagne du Xord. L'autre. 2"'' fascicule du tome IV, par 
K. Ott, concerne les mathématiques appliquées dans les écoles 
techniques moyennes allemandes. 

Band 1, Hefl 5 — Die neuzeitliche EnU^'ickliing des luathematischen Uii- 
terrichts an den hùheren Madchenschulen Deutschlarids inshesoiidere Aord- 
deutschlands, von Prof. Dr. J. Schrôdek. Mit einem Schlusswort zu Band I 
von F. Klein. |XII et 183 p.) 

Band lY, Heft 2. — Die aiigen'andie Mathematik an den deutsvken uiill- 
leren Fachschulen der Maschinenindustrie. von Dipl. Ing. K. Ott. IYI et 
158 p.; 4 M.: B. G. Teubner, Leipzig.) 

La Sous-commission vient en outre de faire paraître un nouveau 
fascicule de ses Bei-ichte ii. Mitteiliingen (Heft VIII, 58 p. . Il con- 
tient un article de M. P. St.t:ckel sur P. Treutlein et le compte 
rendu du Congrès de Cambridge, par W. Lietzmanx d après le 
compte rendu détaillé publié par le Secrétaire-général de la Corn- 



24'» CHRONIQUE 

mission. Un 9"" lasciciile, actuellement sous presse, traitera des 
collections de modèles destinés à rcnseii»iiement secondaire su- 
périeur, par H. Dkessleh. 

Ces nouveaux mémoires se trouvent dans la Zeilschrift f. math. 
II. naturw. Unterricht, année 1913, sous la rubrique « Berichte u. 
Mitteilungen, veranlasst durch die intern. math. Unterrichts- 
kom mission ». 



Le III"** Congrès international d'Etudes historiques. 

Le 111""' Congrès international d'Etudes historiques a eu lieu à 
Londres du 3 au 9 avril 1913. Comme dans les Conorès précédents 
une Section a été consacrée aux communications sur l'histoire de 
la médecine et des sciences physico-mathématiques ; voici les 
titres de celles qui peuvent intéresser nos lecteurs : 

W. W. Rouse Ball : Newton's Principia Magic. 

G. LoiuA : Les gloires mathématiques de la Grande-Bretagne. 

Silvanus Thompson: Origin and development of the compass 
card. 

H. TuRNER : Aristarchus of Samos. 

Clifford Albutt : Palissy, Bacon and the revival of natural 
science. 

Enfin M. N. Boubnov fit une communication à la Section d'His- 
toire du moyen âge, sur Guillaume de Malmesbuiy et la légende 
de Gerbert qui a rapport avec l'importante question de l'invention 
de nos chiffres. 



Académie royale des Sciences de Bologne. — Concours de 1914. 

L'Académie royale des Sciences de Bologne met au concours le 
sujet suivant : Exposer la théorie des fonctions elliptiques dans 
son développement historique en tenant compte des dilférents 
points de vue sous lesquels cette théorie a été envisagée depuis la 
fin du XVIIL" siècle. 

« Esporre, cou metodo storico-critico. lo sviluppo organico délia 
teoria délie funzioni ellitliche ed i vari punti di ç>ista solto ai quali 
cjiiesta teoria- e stata considerata dalla fine del secolo XVIII fino 
ai nost/i giorni. Indicare l'inflnenza che anno ai>uto, su altri raini 
deir analisi, le vedtite pieseiitatesi siiccessivamente nella noniinata 
teoria. » 

Le prix est de 500 L. Les mémoires devront être rédigés en 
italien et être inédits. Les auteurs ne mettront point leur nom au 
mémoire, ils indi(]ueront seulement une devise qu'ils reprodui- 
ront sur un pli cacheté renfermant leur nom et leur adresse. Le 



CHRONIQUE 245 

prix est indivisible. Les mémoires devront être adressés, avant le 
31 décembre 1914, au Secrétaire de la Classe des Sciences physiques 
de TAcadémie royale des Sciences de Bologne, via Zamboni 33. 



Académie royale de Belgique. — Concours de 1914. 

La Classe des Sciences met au concours la question suivante : 
Apporter une contribution à l'étude des propriétés des fonctions 
analytiques qui ne prennent pas certaines valeurs dans un do- 
maine donné. — Prix : 1000 fr. — Délai : l*^'' août 1914. 

Pour les conditions du concours, voir le Bulletin de la Classe 
des Sciences de l'Académie royale. 



Prix Lobatschewsky. 

La Société physico-mathématique de Kasan vient de décerner 
pour la sixième fois le Prix Lobatschewsky. Dans une séance 
tenue le l""" (14) décembre 1912, après une conférence de M. 
D. N. Seeliger, MM. Killixg (Miinsterl et Mlodzejewski (Moscou; 
ont rapporté, le premiei- sur l'ouvrage de M. Coolidge, The élé- 
ments of non-euclidean Geometry, le second sur le volume de 
M. F. ScHLR, Grundlagen der Géométrie. La Société a décidé 
d'attribuer le prix à M. Schur Strasbourg et d'accorder une men- 
tion honorable à M. Coolidge Cambridge, E.-U. ; elle a conféré 
en outre la Médaille d'or Lobatschewsky aux deux rapporteurs. 



Les travaux de la Section de Mathématiques et d'Astronomie de 
l'Association Française pour l'Avancement des Sciences \ 

Congrès de Tunis, 22-27 mars 1913. 

Le congrès de l'Association Française pour l'Avancement des 
Sciences s'est tenu cette année à Tunis, du 22 au 27 mars. La 
section de Mathématiques, Astronomie, Géodésie, Mécanique, a 
élu comme président M. Mourcxot, ingénieur, chef du service 
topographique à Tunis, et comme secrétaire M. A. Gérardix, 
correspondant du Ministère de l'Instruction publique, à Nancy. 
Les communications, au nombre de 28, furent réparties sur trois 
séances. 



1 ("e compte rendu n i-té rédigé d'après des notes très complètes que nous devons a 
l'obligeance de M. A. Gèhahdin (Nancyl. Faute de place nous devons nous limiter à un 
résumé très concis. Pour plus de détails, consulter le Compte rendu annuel de l'Asso- 
ciation française, congrès de Tunis. — (J(éd.j. 



2'iG CniiONIQi'K 

1. — M. A. GÉiiAiiDix. de Nancy, présente nne coninuinication 
sur des Tables de nombres premiers successifs de iiiiit et neuf 
chiffres. Voici le bref résumé de ce travail : 

La quesliuM des iiomlx-es premiers attire les elierclieurs depuis 1 auli- 
(|iiilé, <'l elle est toujours d'aet iialité. IVotr-e nouveau procédé est aussi 
siuipie que les précédents, mais il n opère pas pai- résidus quadratiques. 
Ou obtieut par simple écriture la suite illimitée des nombi'es piemiers suc- 
cessifs ayant au plus quatorze chiffres. C est notre limite actuelle comme 
condition nécessaire et suffisante. Mais. théorit|iienienl. on peut établir des 
tables plus loiiirues encore, et l'on obtient en même temps, pai" simple lec- 
ture, au moins un facteur des nombres composés intermédiaires ; lorsque 
la condition nécessaire et sudisaule est établie entre deux limites imposées, 
on a la décomposition complète de tous les nombres composés, et le pro- 
cédé ne peut être entaciié d'aucune erreur. 

Les tables de nombres premiers successiis, à partir de l'unité, (|ui sont 
acinellemcnt inipvimées, ne vont que jusqu'à 10,017,000; ce sont celles de 
Lelimer. Les tables manuscriles de M. Ern. Lebon, offertes par l'auteur à 
1 Institut, permettent la recherche des nombres inférieurs à cent millions, 
mais il faut faire certains calculs pour chaque nombre, et le temps employé 
à établir une liste complète serait encore excessif, ce qui u enlève d ailleui's 
aucun mérite à ce fort beau travail. 

Malu^ré les immenses calculs de nos devancieis, sans oublier Kùlik, nous 
pouvons dire que le nombre des nombres premiei-s connus ne dépasse pas 
500,000, et c'est dans celte petite liste (jne l'on s efforce do trouver des lois 
générales. Il faut remarquer que ces petits nombi'es doivent contenir beau- 
coup d'exceptions aux lois supposées, et c'est seulement lorsqu'on aura 
quelques niillious de nombres premiers successifs, que l'on poun-a faire des 
essais sérieux, sans être enlisé d'avance dans des calculs inextricables. 

Nous présentons une méthode absolument simple et générale qui nous 
permet, poui' nous limiter, de donner très rapidement la liste complète et 
définitive de tous les nombres premiers supérieurs à dix millions ; et si les 
mathématiciens intéressés à la question veulent bien souscrire à cette publi- 
cation *, je vais éditer successivement les nombres premiers de chaque mil- 
lion, à partir du onzième, jusqu'à une certaine limite à fixer ultérieurement. 

J'ai montré à nos collègues le moyen d obtenir, à simple lecture, des 
nombres premiers de huit chiffres, et par exemple les douze nouveaux nom- 
bies premiers compris entre 11,000,001 et 11,000,249 qui sont: 11,000,000 
-f a , avec a égal à 27, 53, 57, 81, 83, 89, 111, 113, 149. 159, 179, 189 ; le 
temps employé à étudier ces douze nombres par les méthodes classiques 
peiU être évalué à huit heures, tandis que la méthode actuelle donne la 
solution à simple lecture, une fois le travail préliminaii'e du million imposé 
établi sans gi-ande peine, comme on va le voir. 

Ceci nous donne, en passant, une liste minima île 61 nombres consc-cutifs 
composés à partir de 11,000,190. 

Pour ne pas abuser de la patience du lecteur, nous tlii-ons seulement 
quehjues mots de la méthode employée. Pour établir des tables de nombres 
successifs ['cemiers et composés, nous employons des bandes périodiques 
contenant une case initiale colorée, et le reste d'une teinte uniforme ; \)o\w 



' I^nvdver iidln'sion a M. A. Gérardin. 'M, ((iiai (.natido-lc-I^oiTain, Naiwv. 



CHRONIQUE 247 

-étudier dos nombres de formes spéciales, nous aurons des bandes périodi- 
ques avec p cases colorées par période, et il nous suffira de connaître la 
place initiale de la première pour avoir tous les nombres du million consi- 
déré multiples du module étudié. 

J'ai élabli, pour les tables complètes iiîférieures à un milliard pai- exem- 
ple, une liste que j'appelle table fondamentale du million, et que je compte 
publier prochainement. Elle se compose simplement de 2d nombres, condi- 
tion nécessaire et suflisanle pour la limite considérée. La première colonne 
donne le module premier étudié ; la deuxième donnera la case colorée 
initiale. 

Par exemple, cette table fournit 471 pour le module premier 34,499 ; pour 
trouver le plus petit nombre impair du cent vingtième million divisible par 
ce module, c'est-à-dire représentée par la case colorée de notre bande 
périodique, il sulfit de multiplier 471 par 119, et le résultat cherché est 
119,056,049. 

J ai présenté des exemples de tables pour des nombres des formes 

.i» 4_ 1, ,r* _ 2, a:* — 8, 100 x -f 1. 22 x + 1, etc obtenues d'une 

iacon semblable, très rapidement, et avec un nombre de bandes bien infé- 
rieur à la théorie classi([ue. 

J'étudie un modèle de machine automatique peu encombrant (ressorts, 
index, roues dentées) donnant la liste indéfinie des nombres premiers. Ce 
n'est plus qu'une simple question de mécanique et de frais d'établissement. 

2. — Présentation par M. A. Gérardix, du jeu ma thématique 
« Je sais Tout » dont l'atiteur est inconnu. Ce jeu sert à deviner 
un nombre quelconque inférieur à 100. 

3. — Présentation jDar M. A. Gérardix d'un calendrier découvert 
par M. Harold Tarry. Il se compose de deux tableaux de conver- 
sion des années chrétiennes en années miisulmanes, et récipro- 
quement. 

4. — Notice de iM. Krnest Lebox extraite de la collection 
« Savants du Jour ». Le président présente la Notice sur Armand 
Gautier, dont M. Ernest Lebon vient d'enrichir sa Collection 
bien connue des Savants du Joui-. 

5. — M. MouR<;xoT, président de la section, attire l'attention 
sur une communication de M. G. Darboux, Secrétaire perpétuel, 
qui a présenté à l'Académie des Sciences le 10 mars 191.3 une 
« Notice » sur la vie et l'œuvre de Henri Poincaré. 

Ce travail, dû à M. Ernest Lebon et inséré dans la 2e édition des Leçons 
sur les Hypothèses cosniogoniques, est divisé en deux parties. La première, 
relative à la vie du grand disparu, est surtout un portrait intellectuel et 
moral. L'auleui- y fait ressortir les idées et les sentiments qui ont imprimé 
à la vie de Henri Poincaré, vie « aussi simple que belle et noblement rem- 
plie », ce caractère si séduisant d'harmonie, de grandeur morale et de haute 
poésie. Dans la seconde partie, M. Ernest Lebon a eu pour but de montrer 
les progrès que Henri Poincaré fit faire à la Science, et aussi de faire sentir 
quelles qualités exceptionnelles il fallait que ce grand mathématicien pos- 
sédât pour édifier l'œuvre difficile et puissante qui lui assure l'immortalité. 

M. Gaston Darboux a terminé en faisant remarquer que cette Notice 



2 '«8 CHRONIQUE 

devra être consultée par les personnes qui, dans l'avenir, se proposeront 
d'écrire une Etude sur Henri Poincaré. 

(). — M. Ch. Halphen, de Paris, présente ensuite une intéressante 
note 

Sur un problème d éiiumération. — Etant donnés n points dans 1 espace, 
on considère tous les plans déterminés par trois quelconques de ces points ; 
quel est le nonabre de leurs droites d'intersection ? 

J'ai déjà résolu ce petit problème; j'y reviens par une autre méthode cjui 
m'a été suggérée par M. Andoyer, la méthode de récurrence. On trouve très 
aisément le résultat principal, à savoir que le nombre des droites d'inter- 
section des plans deux à deux, ne passant par aucun des points donnés, est 

La recherche du nombre des points communs à ces plans trois à trois, 
f|iif'stion un peu moins facile que je m'étais également posée, paraît au con- 
traire moins simple en appliquant la méthode de récurrence. 

7. — M. G. Tariîy, du Havre, envoie un intéressant travail sur 
les égalités à n degrés. 

8. — M. MouitGNOT, président de la Section, parle ensuite de 
l'organisation des travaii.v cadastraux en Tunisie. 

9. — M. CuÉNOD, élève au lycée de Tunis, présente une note sur 
un moyen pratique pour trousser rapidement le jour de la semaine 
correspondant à une date donnée, grâce à une combinaison nou- 
velle des calendriers de Moret et d'Inaudi. 

10. — M. DuREL, de Tunis, adresse des théorèmes sur quel(|ues 
propriétés nouvelles du quadrilatère inscriptihle et M. Balitrand 
m'a remis presque immédiatement les démonstrations complètes. 

11. — M. Em. Belot envoie une critique de l'hypotJii'se de 
G. Darwin sur l'origine de la Lune. 

G. Darwin a cru pouvoir en s'appuyaiil sur 1 liypotlièse très hasardée de 
l'action prépondéi-ante des marées internes, soumeltre à l'analyse la ques- 
tion de savoir comment la Lune aurait pu être produite par une excroissance 
de la Terre éjectée par elle. 

Des astronomes américains Stockwele, IMoullon, T. Sée, ont déjà soulevé 
de graves objections contre cette théorie; on peut en présenter d autres 
tirées de la comparaison de la Terre avec ses voisines Mars et Vénus. La 
cosmogonie tourbillonnaire, en expliquant dans le détail le mode de forma- 
tion de la Lune, réfute complètement la théorie de Darwin qui a omis de 
considérer le cas où primitivement la Terre aurait eu plusieurs satellites 
dont les actions de marées se seraient en grande partie détruites nnilueile- 
Mient. 

12. — M. E. N. Bauisien envoie un /louvcau critérium pour lecon- 
naitre si un nombre est premier. 

13 et 1^1. — Ee même auteur adresse deux autres inléressa?ite& 
communications : a) sur deux ellipses dérii'écs du cercle de Joa- 
chinisthal. — b) Extension du limaçon de J*ascal. 



CHRONIQUE 249 

15. — M. R. RissER, chef du service de l'actuariat au Ministère 
du Travail, envoie une Application de V équation de Volterra à 
divers problèmes d'assurance sur la vie. Le problème des tables 
par âge à Tentrée, qui attire depuis un certain nombre d'années 
l'attention des actuaires, peut être traité analytiquement, car il se 
rattache directement à la résolution de l'équation de première 
espèce de Volterra ; il en est de même du problème des tables par 
âges à l'entrée dans l'assurance invalidité. 

16. — M. Gardés présente une note relative aux calculs néces- 
saires pour trouver la concordance des dates du calendrier julien 
ou grégorien avec celles du calendrier musulman. 

17 et 18. — M. Balitrand, de Tunis, expose deux intéressantes 
Notes sur la construction du centre de courbure de l'ellipse et de la 
développée de V ellipse, et sur un théorème sur la développée de 
l'ellipse. 

19. — M. le C'" LiTHE, de Toulouse, envoie une communication 
sur le Pendule de Foucault, les amplitudes. 

20. — M. J. Richard, de Chàteauroux, envoie une note sur Yen- 
seignenient des mathématiques. 

Pour bien enseigner une branche quelconque des connaissances humaines, 
il faut d'abord faire voir clairement aux élèves le but à atteindre. D'autre 
part, il y a dans toute branche de l'activité humaine une sorte de méca- 
nisme à saisir, une technique. Tant que l'élève n"a pas saisi ce mécanisme, 
il apprend d'une façon passive, à l'aide de la seule mémoire. 

Pour l'enseignement des mathématiques, en particulier, on examine 
d'abord quel est le but, ou mieux quels sont les buts à atteindre, en donnant 
plusieurs exemples. On montre d'autre part la technique, c'est-à-dire le 
mécanisme dans ses diverses branches des mathématiques. On insiste sur- 
tout sur la géométrie. 

Le mémoire se termine parles moyens de rendre l'enseignement attrayant. 

21. — M. Kesselmeyer, de Bowdon, Angleterre, envoie un mé- 
moire sur un st/stème de mesure unissant le temps et l'espace. 

22. — M. Risser adresse une nouvelle communication intitulée: 
Etablissement d'une table provisoire de mortalité des ouvriers mi- 
neurs dans les mines de combustibles minéraux et dans les autres 
mines. 

2.3. — M. A. AuBRY, de Dijon, le toujours dévoué chercheur, que 
nous sommes heui:eux de remercier ici de sa communication si 
intéressante, avait envoyé une notice sur l'arithméticien Frenicle. 

« Persuadé que l'avenir d'une science est intéressé à un haut degré par 
la connaissance de sa philosophie et de son histoire, il m'a paru que ce 
serait faire œuvre utile de donner un aperçu, sinon des origines de la 
théorie moderne des nombres, tout au moins des travaux d'un de ses pro- 
moteurs les plus directs : je veux parler de Frenicle. 

« On pourrait taxer cette entreprise de témérité, s'il s'agissait d'autre 
chose que d'une analyse des quelques travaux laissés par ce trop peu connu 



250 ClIPiO.XIQUE 

aiilhmt'iicieii, accompagnée des rapprocliemcnts avec ceux do Fermât que 
suggère la lecture de la correspondance de ces deux savants. Aussi mes 
romnienlaires sont-ils assez sobres et plutôt des explications. 

« Il était ce|)endanl tentant d essayer de combler quel(|ues-unes des 
nombreuses lacunes des documents venus jusqu'à nous ; je n'ai peut-être pas 
résisté à cette tentation au degré qu'il eût fallu : le lecteur jugera si les 
quelques conjectures que je me suis peiMiiises sont justifiées. » 

l'i- — M. Faiid BoLi.Ai), (lu C.aiio. envoie une commuiiicalioii 
stii' la xS'oiiiographie. 

25. 26 et 27. — M. \\ ki.sch adiesse à nouveau tiois méinoiies 
(jui 11 ont pu troiivei' j)laee clans les comptes rendus de l'an dernier. 

28. — M. .Moman(;f.r.vnu, de Toidotise, adresse de même tm inté- 
ressant travail dastronomie. 

Si-^tialons en outre lélude présentée à une autre section j>ar 
M. .Iules IIf.muf.t, inyénieiir à Marseille, sur ///i projet de transfor- 
mation du calendrier usuel en an calendrier rationnel, perpétuel 
et universel. 

Le prochain congrès se tiendra au Havre, en août t!)i4: le prési- 
dent de la section sera M. Ri-iniiiu:. professeur agrégé au Lycée, et 
le secrétaire, M. A. Gi-:rahdin, de Nancy. 



Société mathématique suisse; réunion de Neuchâtel. 

La Société mathéinaticjue suisse a tenu sa réunion d hiver à 
Neuchâtel, le dimanche 9 mars 1913, sous la présidence de M. Ft:iiit, 
prol'esseur à l'Université de Genève. La séance a eu lieu à lAudi- 
toire de l^hysique de l'Université. 

^L Ch. Jaccottet (Lausanne) a fait une conférence très docu- 
mentée sur l'existence des potentiels et de leurs dérivées, en exami- 
nant la question dans son développement historique. La théorie 
des potentiels peut être subdivisée en deux parties se rattachant, 
l'une à la théorie des intégrales définies, l'autre à la théorie des 
écpiations partielles. Le conférencier s'est placé au premier point 
<!(' vue. Il a passé en revue les principaux problèmes qui se pré- 
sentent dans cette théorie et a donné un aperyu de létat actuel de 
leur solution. ],'Iùiseigne/ne/it niat/u'/nati(/ue publiera cette confé- 
rence dans l'un de ses prochains numéros. 

La Société a ensuite consacré un premier débat à V enseignement 
mathématique dans les universités suisses d'après les propositions 
de la Sous-commission suisse de l'enseignement mathémaliciue. 
La {{uestion a été introduite jjar M. Fehiî, rapporteur. La Sous- 
com mission suisse estime qu'il est désirable que renseignement 
mathématique à l'université soit développé de manière à ce qu'il 
réponde aux besoins modernes de la science et de l'enseignement. 
Il doit non seulement initier les étudiants à l'état actuel des ma- 



CHRONIQUE 251 

thématiques pures et appliquées, mais il doit aussi, mieux que 
par le passé, contribuer à la préparation scientifique et métho- 
di((ue des professeuis de renseignement moyen. En outre, l'uni- 
Aersité doit aussi fournir un cours de mathématiques générales 
destiné à cette catégoiie toujours plus nombreuse d'étudiants 
ayant besoin du minimum de connaissances des éléments de ma- 
thématiques supérieuies en vue de l'étude de la chimie et des 
sciences naturelles. ^lais ce triple but ne peut être atteint qu'en 
augmentant le nombre des cours et par suite le nombre des pro- 
fesseurs, et en créant des séminaires qui soient organisés les uns, 
en vue du travail purement scientifique, les autres en vue de 
l'examen méthodique et pédagogique des différentes branches des 
mathématiques. 

Faute de temps la Société a diî se limiter à une première dis- 
cussion surl'ensemble des propositions en, se réservant de revenir 
sur certains points dans une réunion idtérieure. Par un vote pris 
à l'unanimité elle a exprimé sa reconnaissance à la Sous-commis- 
sion suisse pour l'ensemble de ses travaux sur l'enseignement 
mathématique en Suisse et pour ses efforts en vue de compléter 
l'organisation des études mathématiques dans les universités. 

Dans le courant de l'après-midi les mathématiciens ont visité 
l'Observatoire cantonal sous la direction de M. Ahxdt, directeur. 
A la suite du legs important fait par l'ancien directeur M. Hirsch, 
décédé en 1901, l'Observatoire de Neuchàtel est doté des installa- 
tions les plus modernes. 

Université d'Edimbourg. — Laboratoire mathématique. 

Le Conseil de l'Université d'Edimbourg a décidé de créer un 
laboratoire destiné à la fois aux travaux pratiques concernant les 
calculs numériques, graphiques et mécaniques qui interviennent 
dans les mathématiques appliquées et aux travaux de recherches 
en corrélation avec la section mathématique. 

Ce laboratoire s'ouvrira en octobre de l'année courante (1913) 
soUs la direction du professeur E. T. Whittaker et des « lectu- 
rers » de la section mathématique. Le plan ci-dessous permet de 
se rendre compte de la nature de cet enseignement. 

Course of Practical Work in ihe Mathematicat Lahoratovy. 

Différences and inlerpol.ilion : computalions with labiés of logarithms, log 
sines, nalural sines, products, quarler-yquares, etc. : numerical solulion of 
trigonométrie problems. 

Controls for clieci<ing accuracy of computations : design of coniputing- 
tbruis. 

Melhod of least squares: numerical solutions of Systems of iinear équa- 
tions : numerical évaluation of deterniinanls. 



252 CIIRONIQVE 

Curve-lîlling. Calculation ot correlalion-coefficients. 

Aiialysis of a fuiiction iiilo sine and cosine terms (practical Fonrieranalysis). 

Analysis lor the discovery of periodic constilnents in a function (perio- 
dogram analysis). Practical spherical hannonic analysis. Other nielliods oï 
analysis of functions empirically given. 

Construction of curves and surfaces : linkages : roulettes. Projections : 
piiotogranimetry : map-niaking. (iraphic solution of nuincrical équations : 
graj)liic and meclianical solution of problenis in spherical tiigonornelry : 
noniography. Applications of triangle of vectors. 

Use of instruments employed in calculation, especially slide rules, arilh-, 
niometers, planimcters, integraphs, and harmonie analysers. 

Numerical évaluation of deiiiiile intégrais. 

Numerical solution of differeutial équations. 

Numerical évaluation of roots, etc., of transcendental functions. 

Caiculalions * pcrformed witli elliptic functions : arcs on spheroids, etc. 

Formation ' and use of tables of Legendre's and Bessel's functions, the 
Gamma function, Error-function, and olher transcendental functions. 

Construction^ of tables of iiew functions, and functions uol previoiislv 
tabniated, including antomorp'iic functions, and the parabolic-cylindcr and 
elliplic-cylindcr functions. 

11 sera accoidë toutes facilités pour les recherches originales 
dans cet ordre d'idées. A ce sujet on peut attirer l'attention sur 
les tables de K. San(,, déposées à Edirnboiiro- et comprenant 
47 volumes. 

Les personnes (autres que les étudiants actuels dKdinibouro, 
désirant suivre ce laboratoire ou faire des recherches originales 
s'y rapportant sont priées de s'annoncer, le plus tôt possible, au 
Prof. \\ nrrTAKEii, 35 George Square, Edimbourg. 

Un enseignement pratique, tel que cehii <pii est projeté à Edim- 
bourg, est appelé à jouer un rôle utile dans l'enseignement supé- 
rieur, à l'Université comme dans les Ecoles polytechniques. Il 
répond à un véritable besoin, comme cela ressort de l'intéressante 
discussion qui a eu lieu à Cambridge dans l'une des séances orga- 
nisées par hi Commission internalioiiale de renseignement mathé- 
matique "". l/enseignement supérieur doit tenir conipte, pUis cpiil 
ne l'a fait par le passé, des besoins des mathématiques appliquées ; 
il doit fournir aux étudiants l'occasion de s'initier aux méthodes 
pratif[ucs de la science (\\\ calcul, par les procédés numériques, 
graphiques ou mécanicpics. 

A côl('' (h; leur utilité praticpie les laboiatoircs de mathémati(|ues 
permettront en uKMne temps de maintenir le contact entre les 
mathémali<|ues pures et les sciences appli(iuées. 

11. F. 



' Sur(ii-i(;iit Uieoreticiil cxplanalion will lie i;iven to rentier this part of the course inlcl- 
li(>il)le lo those who hâve ni)t previoiisly studiod the functions of higher analysis. 

* Séance du 20 aoiU l'JI2. — Voir la conférence de M. C. liunge, professeur de niallié- 
niatiques appliquées à l'Université de Gœtf,ino;un, The mathcmatical Trainiiig i)f the Ph;/- 
suisl in the i'iiix'ersiti/ ; discussion. — l.'f-jis. math, du 1.") ikiv. 1012, i>p. 'i!t.")-.")(l7. 



CHRONIQUE 253 



L'Enseignement des Mathématiques dans les Lycées modernes 

en Italie. 

On vient d'instituer en Italie, à côté de l'école classique latin- 
grec) un lycée moderne (latin-langues modernesj où l'enseigne- 
ment scientifique est plus développé. Monsieur le Ministre de 
rinstruction a chargé M. Castelnuovo, président de la Société 
Mathésis, de rédiger, d'accord avec le bureau du Ministère, les 
programmes des mathématiques pour les deux dernières classes 
de ce lycée qui sont fréquentées par des élèves âgés de 16-18 ans. 
Dans la rédaction de ces programmes M. Castelnuovo a dû tenir 
compte naturellement des traditions de l'enseignement italien, 
conformes aux Eléments d'Euclide, et des tendances de la plupart 
des professeurs favorables à la méthode exclusivement déductive. 

Cest donc avec prudence qu'il a introduit dans ces programmes 
les idées modernes de l'enseignement mathématique moyen, en 
attendant que l'expérience laisse voir l'opportunité de faire une 
part plus large à ces idées. Les programmes proposés par M. Cas- 
telnuovo représentent cependant une innovation vis-à-vis des 
programmes adoptés jusqu'ici en Italie. C'est pourquoi nous pen- 
sons qu'il convient d'en donner un aperçu à nos lecteurs '. 

Le programme de l'avant-dernière classe du lycée (4 h. de math., 
élèves de 16-17 ans) commence par la mesure approchée des gran- 
deurs ; la comparaison entre ces mesures et les mesures théoriques 
conduisent à la question des incommensurables et des nombres 
irrationnels. On introduit ensuite les notions des coordonnées 
cartésiennes, de représentation graphique et de fonction ; celle-ci 
déduite d'abord des sciences d'observation est précisée plus tard 
par l'expression mathématique dans les cas les plus simples. Les 
notions de limite et de dérivée, avec leurs principales interpréta- 
tions mathématiques et physiques, sont placées à la fin du pro- 
gramme de ce cours. 

Le programme de la dernière classe du lycée (3 h. de math.) 
comprend la théorie des logarithmes, la trigonométrie plane avec 
ses applications élémentaires, la mesure approchée des surfaces 
planes par la division en petits carrés ou rectangles, à laquelle se 
rattache la notion d'intégrale définie, et l'évaluation des surfaces 
et des volumes des solides les plus simples. 

Les programmes sont suivis de considérations générales, dont 
nous extrayons ici quelques passages : 

« Les exigences de la vie moderne et une vision plus large de la 
science dans son ensemble obligent à resserrer les liens qui unis- 



^ On trouvera les programmes dans le BoUettino deUa Mathésis de décembre 1912. 



254 CIIliONlQUE 

sent les mathématiques aux sciences expérimentales et d'observa- 
tion. Il faut qu'au sortir du lycée l'élève soit peisuadé c[u'entreces 
sciences et les mathématiques il existe un lien intime, que l'expé- 
rience et le raisonnement sont tous deux nécessaires, bien que 
pas toujours dans la même mesure, à l'enrichissement de n'im- 
porte quel domaine tle la science. Il faut qu'il sache que les di lie- 
rentes sciences se sont toujours prêtées un secours réciproque et 
que la renaissance des mathématiques au XVII"" siècle est liée 
à l'essor des sciences expérimentales. 

« Le maître saisira les occasions offertes par notre programme 
pour faire remarquer aux élèves cpie quelques conceptions fonda- 
mentales des mathématiques modernes (celle de fonction en parti- 
culier) suggérées par les sciences d'observation, puis précisées par 
le mathématicien, ont à leur tour rendu des services à ces sciences 
expérimentales. 

« Le maître devra éviter deux dangers : celui de tomber dans 
un empirisme grossier, et celui de satisfaire les caprices d'un 
sens critique exagéré. La méthode empirique laissant ignorer les 
liens qui unissent les faits observés et les théories qui s'y rappor- 
tent, enlèverait aux mathématiques leur valeur éducative et dimi- 
nuerait l'attiait qu'elles doivent exercer sur les élèves chez les- 
quels les facultés logiques prédominent. Un enseignement oii 
s'introduiraient toutes les subtilités de la critique moderne ne 
serait accessible qu'à fort peu d'élèves et leur donnerait une idée 
unilatérale de la science. 

« l^a. Juste /nesii/-e \o'\\ii la qualité qu il faut avant tout recom- 
mander, dans l'application de ce pi'ogramme, aux maîtres qui en 
seront chargés. Ils devi'ont s'assurer constamment par des inter- 
rogations et des exercices en classe et à la maison, qu'ils sont 
suivis par la majoi'ité des élèves, et adapter leur enseignement à 
l'intelligence moyenne de la classe. » 

Une nouvelle revue: 'Isis». 

Sous le titre J.si.s, rei'i/c co/isacrée à l'Iiisloire de la science, 
M. C.eoi'ge Sahtox, à W ondelgem-lez-Gand, publiera une revue 
dans laquelle il se propose de réunir et de soumettre à la critique 
les études relatives à l'histoire de la science. 11 s'agit d'une revue 
de synthèse historique, mais ce sera aussi une revue critique. Il 
n'est pas besoin d'ajouter ([ue celte publication présente un caiac- 
tère tout à fait international, et à ce titre nous lui souhaitons la 
bienvenue au nombre des périodicjues consacrés à la philosophie 
et à l'histoire des sciences. 

M. Sarlon espère que ce nouveau journal rendra possible l'éla- 
boration d'un manuel d'histoire de la science vraiment complet 



CHRONIQUE 255 

et synthétique et favorisera la création de manuels scientifiques, 
où les matières seraient exposées, autant que possible, dans Tordre 
historique. Au point de vue philosophique, c'est Teffort tendant 
à refaire l'œuvre de Comte sur des bases scientifiques et histo- 
riques plus profondes et plus solides. 

La tâche entreprise par la revue « Isis » est très grande et elle 
est de nature à intéresser les savants et les philosophes. I] faut 
espérer que M. Sarton trouvera le concours de bonnes volontés 
pour une collaboration active. 

Le premier numéro contient les articles suivants: George Sartox: 
L'histoire de la science. — le. Guareschi (Torino) : Nota sulla storia 
del movimento browniano. — G. Milhaud (Paris) : Note sur les 
origines de la science. — Em. Radi. (Prag): Paracelsus. Elue 
Skizze seines Lebens. — Puis viennent des notes de chronique, 
des analyses bibliographiques et une bibliographie analytique 
des publications relatives à l'histoire de la science. 

H. F. 



Tricentenaire des logarithmes. 
J. Bcii«;i et J. Xepei!. 

Chacun sait que le calcul logarithmique a été inventé, à peu 
près en même temps, par deux voies différentes, il y a trois siècles, 
par le mathématicien suisse Joost BOrgi et le géomètre écossais 
Jean Neper. 

Né en 1550 à Merchiston, près d'Edimbourg, Jean Neper (ou 
mieux Napier), décéda dans cette ville en 1617. 11 publia ses tables 
en 1614, chez Hart, à Edimbourg, sous le titre Descriptio tnirifico 
logarithmorum canonis (86 p. de texte et 90 p. de tables). La 
Société royale d'Edimbourg se propose précisément de célébrer, 
l'an prochain, le tricentenaire de la publication des premières 
tables de logarithmes. Nous ne doutons pas qu'à cette occasion 
elle ne rende également hommage à la mémoire de Burgi. 

D'origine suisse Joost Burgi était né à Lichtensteig, St-Gall 
(Suisse) et mourut à Prague en 1632 (ou 1633). Il resta d'abord 
comme astronome et mathématicien au service du Landgrave de 
Hesse à Cassel, puis il passa une partie de sa vie à Prague où il 
entra en relation suivie avec Kepler. Calculateur habile, il avait 
imaginé un système de tables et, selon le témoignage de Kepler 
et de Bramer, s'en était servi longtemps avant l'apparition des 
tables de Neper. La base de ses logarithmes este, tandis que celle 
de Neper est 1 : e. Ce ne fut qu'en 1620 que Biirgi publia ses tables 
à Prague sous le nom de Progress Tahulen. 

Nous empruntons ces Notes à l'ouviage magistral de M. Caxtor, 



256 CHRONIQUE 

Geschichle dev Mathcinatik t. 11, ch. 74 : Rechnen. I.ogarithmen) 
auquel nous lenvovons le lecteur poui' plus de développements^. 

H. F. 

Bibliothèque mathématique internationale. 

A l'occasion du Conirrès international des Mathématiciens, tenu 
à Cambridge en août 1912, un certain nombre de mathématiciens 
appartenant aux principaux pays, ont examiné la création d'une 
bibliothèque mathématique internationale. Ils se proposent d'éla- 
borer un projet complet qui sera soumis au prochain Congrès 
(1916). [/organisation projetée comprendrait, non pas une biblio- 
thèque isolée, mais un grand nombre de groupements de livres et 
de manuscrits sur divers points du globe, dans tous les pays oii 
sont cultivées les Sciences mathématiques. Les correspondances 
qui s'établiraient entre les sections de la bibliothèque internatio- 
nale permettraient de faire profiter des avantages île cette institu- 
tion les mathématiciens de tous les pays. 

Il est certain qu'une organisation de ce genre rendrait de grands 
services, notamment à tous ceux qui sont éloignés des grands 
centres, f^es mathématiciens qui sont disposés à appuyer ce projet 
sont priés de se mettre en relation avec M. A. Gérardix, quai 
Claude Le Lorrain, Nancy. 



P. H. Schoute. 

La Hollande vient de perdre l'un de ses meilleurs géomètres, 
M. P. H. Schoute, professeur à l'Université de Groningue. Né à 
Wormerveer le 21 janvier 1846, Pieter Hendrik Schoute est décédé 
à Groningue le 18 avril 1913. Après avoir suivi les cours de l'Ecole 
polytechnique de Delft oii il prit le diplôme d'ingénieur, et de 
l'Université de Leyde, oîi il obtint le grade de docteur es sciences 
mathématiques, il débuta dans l'enseignement, en 1871, en cjua- 
lité de professeur à l'Rcole réale supérieure d'abord à Nijmegen, 
puis à La Haye. Depuis 1881 il enseigna les mathématiques à 
l'Université de Groningue. Ses travaux se rattachent plus parti- 
culièrement au domaine de la géométrie synthétique. On lui doit 
un important traité de Géométrie à n dimensions '. 

Schoute laissera un vide sensible non seulement en Hollande, 
mais dans le monde des mathématiques de tous les pays. Depuis 
(piinze ans il faisait partie du Comité de Patronage de YEnsei- 



* Voir .Tussi .loli. Troi'I'KK, Geschichte der Elementar-Mathematik in xyslematischer Dar- 
steliiing, B. II, l'.M)3. 

* MehrdimcDsionale Géométrie, 2 volumes, J. G. Gœschen, Leipzig, 1902-05. 



CHRONIQUE 2^1 

.fixement mathématique; il était membre de la Commission per- 
manente internationale du Répertoire bibliographique des sciences 
mathématiques, et l'un des rédacteurs de la Reçue semestrielle des 
publications mathématiques, ainsi que du iSieuw Archief i>oor 
Wiskunde. 

H. Fehu. 

Nouvelles diverses. — Nominations et distinctions. 

Alleiuagiie. — M. F. Hausdorff, professeur à l'Université de 
Bonn, a été nommé professeur de Mathématiques à l'Université 
de Greifswald. Il sera remplacé à Bonn par ^\. 1. Schur (Berlin . 

M. H. Jung, de Hambourg-, a été nommé professeur de Mathé- 
matiques à l'Université de Kiel. 

M. MoHRMANX (Cai'lsruhe) est nommé professeur à l'Ecole supé- 
rieure des mines de Clausthal. 

Priçat-docent. — ]M. E. .Iacorsthal a été admis en qualité de 
privat-docent de Mathématiques à l'Ecole technique supérieure 
de Berlin. 

Autriche. — M. II. Tietze, professeur extraordinaire à l'Ecole 
polytechnique de Brûnn est nommé professeur ordinaire. 

M. W. Blaschke, privat-docent à l'Université de Greifswald, 
est nommé professeur extraordinaire à l'Ecole polytechnique alle- 
mande de Prague. 

Privat-docent. — M. A. Rosexulatt a été admis en qualité de 
privat-docent de Mathématiques à l'Université de Cracovie. 

France. — Académie des Sciences. — Le prix biennal Petit 
d'Ormoy iO,000 fr.) est décerné à M. Claude Guichard, Professeur 
de Matliématiques générales à la Faculté des Sciences de Paris. 

M. BouLVix, professeur de construction de machines à la Fa- 
culté des Sciences de Gand, est élu membre correspondant dans 
la section de mécanique, en remplacement de Amsler. 

Faculté des Sciences de Paris. — M. le Professeur Mittag- 
Leffler, de l'Université de Stockholm, a commencé le 22 avril 
une série de conférences intitulée : Exposé des principes de la 
théorie des fonctions analytiques suivant les idées de Weierstrass. 

— M. E. Picard, membre de l'Institut, a été élu membre corres- 
pondant de l'Académie de Hongrie à Budapest. 

— M. H. -A. Deslaxdres a obtenu la médaille d'or de la Société 
royale d'Astronomie de Londres. 

Italie. — M. U. Cisotti, privat-docent de Mécanique ration- 
nelle à l'Université de Padoue, a été nommé professeur extraordi- 
naire de Physique mathématique à l'Université de Pavie. 



L'Ensein;neinent malhùm., 15= année lOl.'t, 



NOTES ET DOCLMENTS 



Commission internationale de l'Enseignement mathématique. 

Coiiiplc leiidit dea travaux des Suus-coininissiuns iialioiuth's. 



(12c arlidel 



ALLEMAGNE 

Enseignement commercial. 

Rechnen and Malheinatik iin Unierriclit de?- kaiifmcinnischen Lelnanstalten,^ 
von D>' B. Penndorf. — Les mathématiques telles qu'elles sont actuellement 
données dans renseignement commercial allemand forment l'objet de sept 
chapitres d'inégale importance. Après avoir montré, dans le l»'" chapitre, 
le but de l'enseignement des mathématiques, l'auteur passe rapidement en 
revue les subdivisions de l'enseignement commercial. De ces subdivisions 
dépendent, tout naturellement, les autres chapitres de 1 ouvrage à lexcep- 
tion des trois derniers qui sont consacrés : le premier, à l'enseignement 
commercial destiné au sexe féminin ; le deuxième, aux écoles privées et, le 
troisièms, aux manuels d'enseignement et à la littérature relative au com- 
merce. 

Le reste de 1 ouvrage traite spécialement de renseignement commercial 
mis à la disposition du sexe masculin. Pour acquérir des connaissances 
théoriques eu matière de commerce, le futur négociant allemand a à sa dis- 
position : 

1° les écoles complémentaires (die kaufmannischen Lehrlingsschulen) 
caractérisées par le fait qu'elles enseignent la théorie pendant la durée de 
l'apprentissage ; 

2" les écoles donnant la mllui-e générale et spéciale avant 1 a])pienlissage 
(die kaufmiinnichen Yorbercituiigsschulen). 

Ces dernières se subdivisent, à leur tour, en écoles préparatoires 
(Handelsvorschulen) ; en cours supérieurs de commerce (Holiere llandels- 
kurse) ; en écoles réaies de commerce (Handelsrealschulen) ; en écoles de ■ 
hautes études commerciales ou universités commerciales (Ilaiidelshoch- 
schulenl. 

Pour chacune de ces .subdivisions, .M. Penndorf donne, tout d abord, un 



' I vol. in-S» de 100 pages, .\l)liancll. iiljer den inathom. l,"nlerriclit in Detilscliland. B. IV. 
♦ Hcil. 6; :t Mk.; B. G. Tcubner. Leipzig. 



NOTE s -ET DOCUMENTS • ' 259 

lapide aperçu historique ; puis, au moyen de tableaux et de statistiques, il 
met en évidence les rapports qui existent soit entre les diverses branches 
appartenant aux mathématiques elles-mêmes, soit entre le groupe des ma- 
ihématiqiies et les autres groupes de l'enseignement commercial ; enfin, il 
fait une mention détaillée du programme enseigné dans chaque catégorie 
d'écoles. 

Il faut féliciter M. Penudorf d'avoir complété ce programme par le texte 
des épreuves exigées des élèves à leur entrée et à leur sortie de l'école ; à 
elles seules ces épreuves indiquent à peu pi-ès le résultat de l'enseignement 
des mathématiques. Pour les écoles complémentaires les épreuves de sortie 
ne sont pas données ; il faut le regretter car elles auraient permis d'utiles 
comparaisons entre pays ayant institué les cours complémentaires. 

Les 26 Etats composant l'empire allemand, les différentes législations en 
usage dans ces Etats, la manière de comprendre l'enseignement commer- 
cial sont des facteurs qui ne permettent pas de caractériser, en quelques 
lignes, renseignement des mathématiques. Comme dans d'autres pays, en 
Suisse en particulier, les programmes les plus homogènes appartiennent 
aux écoles complémentaires ; ceux des écoles secondaires de commerce le 
sont déjà moins et enlin dans les écoles de hautes études commerciales ou 
en est à la période des essais et des transf'ornialions. La logique des choses 
le veut ainsi, d'ailleurs. 

La lecture de ce fascicule fait ressortir l'importance et la valeur de l'en- 
seignement commercial en Allemagne ; elle permet aussi d'appi-écier gran- 
dement le travail clair et concis de M. Penndorf. 

L. MoRF (Lausanne). 



ILES BRITANNIQUES 

N'^ 19. — L'enseignement moyen en Ecosse. 

Matheinatics in Scolch Schaols,^ by George A. Gibson. — En Ecosse on 
distingue : 

L'Ecole primaire l Priinary Sc/iool), fournissant une éducation entièi-e- 
ment basée sur 1 étude de l'anglais. Les élèves ont généralement moins de 
14 ans. 

L'Ecole intermédiaire { InterinocUate School), comprenant au moins trois 
ans d'éludés (langues, mathématiques, sciencesl. 

L'Ecole secondaire ( Secondary School), où les élèves reçoivent une iustiuc- 
tion plus avancée pendant une période d au moins cinq ans. 

La « Primary School » comprend 3 divisions : a) V « Infant Division » 
(enfants au-dessous de 7 ans), hj la « Junior Division » (enfants de 7 à JO 
ans), cl la « Senior Division » (enfants de 10 à 12 ans). A la fin de cette 
troisième période, les élèves ont atteint le « Qualifying Stage » (degré de 
capacité). A partir de cette époque, les programmes divergent et les élèves 
ont choix entre le « Suppleraentary Coui-se », 1' « Intermediate Course » et 
le '( Secondary Course ». Les « Supplementary Courses » sont destinés aux 
élèves qui (juittent l'école à l'âge de 14 ans et forment les degrés supérieurs 



1 1 lasc. de 4y p.; 3 d.: Wyniann .ind Sons, Londres. 



260 NO TE S ET DO C UMEN TS 

de 1 Ecole primaire. Les « Inlermediate el Secoiidarv Courses » se font aux 
« Inlermediale et Secondary Schools ». 

Les examens les plus importants sont ceux qui conduisent au « Leaving 
Cerlilicate » délivré par le « Scotch Education Department » ; le rapport en 
expose les règlements. 

L'auteur examine l'enseignement niathémalique dans ces trois groupes 
d'établissements. Nous nous bornerons ici aux écoles secondaires. 

Les plans d'étxides de la « Secondary Scliool » tiennent compte des « In- 
terniediale and Leaving Cerlificales » délivrés par le « Scotch Education 
Department ». L' « Inlermediale Cerliticate » est un diplôme attestant la 
bonne éducation générale des élèves (juittant l'école à 15 ou 16 ans ou leur 
permettant l'admission aux « Posl-intermediate Courses », d'un genre plus 
spécialisé, qu'ils suivent jusqu'à l'âge de 17 ou 18 ans et qui conduisent au 
'< Léaving Certificate ». 

Il en résulte qu'à la « Secondary School », les mathématiques, la science 
expérimentale et le dessin sont enseignés, durant les 3 premières années, 
comme faisant partie de l'éducation générale. Pendant les 2 années suivantes, 
l'un des deux sujets, mathématiques ou science expérimentale, doit consti- 
tuer l'une des branches principales et l'on voit fréquemment figurer ces 
deux branches au programme de l'élève. 

On trouvera dans le rapport le règlement des examens pour l'oblenlion 
du (( Leaving Certificate », règlement qui sert de base à l'enseignement 
mathématique des n Secondary Schools ». Il existe 2 degrés d'examens, le 
degré inféi-ieur (ai'ithmétiqne, algèbre, géométrie) et le degré supérieur 
(algèbre, géométrie, trigonométrie). Les candidats peuvent aussi, dans cer- 
taines conditions, passer des examens sur des sujets spéciaux (éléments de 
dynamique, les sections coniques au point de vue géométrique, géométrie 
analytique, dynamique plus avancée). Citons enhn les examens sur la tenue 
de livre et l'arithmétique commerciale. 

A lili'c d'exemples, l'auteur nous décrit ensuite trois types d'écoles four- 
nissant l'enseignement secondaire, une « Public Higher Grade School » 
(5 ans d'études), une « Secondary School » préparant les élèves an « Leaving 
Certificate » (7 ans d'études), et une « Science School» (6 années), dont 
l'enseignement est du type commercial, industriel et professionnel. 

Les élèves qui désirent poursuivre leurs éludes à l'université doivent 
passer un « Preliminary Examinât ion ». Les connaissances exigées, en ce 
qui concerne les mathématiques, dépendent de la faculté dans laquelle 
l'élève se propose d'entrer. La possession du o Leaving Certificate » degré 
supérieur dispense de ce « Preliminary Examinaliou. » 

Signalons encore les examens pour l'obtention de bourses universitaires. 
Dans la plupart des cas, les mathématiques ne forment qu'un des sujets 
d'examen ; pour certaines bourses, cependant, les élèves ne sont examinés 
que sur cette branche. 

En terminant, l'auteur insiste sur l'importance qu'ont prise les malhùma- 
tiques comme élément d'éducation générale. 

On trouvera en appendice les questions proposées à divers examens en 
1911 («Leaving Certificate, Preliminary Examinalion, Bursary Examina- 
tion » ). 



NOTES ET DOCUMENTS 261 



No 20. — Le calcul différentiel et intégral dans l'enseignement moyen. 

The Calculus as a School Suhject^ by Mr. C. S. Jackson, Instruclor lu 
Mathematics at the Royal Military Aeademy Woolwich. — En Auglelerre. 
les élèves qui éludient le calcul infinilésinial peuvent être réparlis en 3 caté- 
gories : A. Ceux qui continuent plus tard les mathématiques à l'université 
(17 à 19 ans). — B. Les élèves de 12 à 14 ans qui n'abordent que les éléments 
du sujet. — C. Euliu les élèves de 16 à 18 ans qui font leurs classes de 
mathématiques et pour qui le calcul infinitésimal constitue une branche 

ordinaire. 

Le rapport concerne plus spécialement cette dernière catégorie et ne parle 

que très brièvement des deux premières. 

A. Relativement à celte catégorie on peut signaler les réformes suivantes 
accomplies durant ces dernières années : 1. Ou attache plus d'importance à 
la rigueur des démonstrations. 2. On s'arrête moins longtemps sur les 
courbes planes de degré supérieur et l'on introduit quelques applications 
plus directes à la mécanique. 3. L'étude plus avancée du calcul différentiel 
est remplacée par les procédés plus simples du calcul intégral et de ses 
applications. 4. Pour ne pas rester dans les généralités théoriques, on exige 
des applications numériques. 

B. On sait qu'à diverses occasions le professeur Perry a vivement recom- 
mandé l'introduction du calcul infinitésimal dans les plans d'études de tout 
jeunes élèves (12 à 14 ans). Un mouvement semble s'opérer dans cette direc- 
tion, cependant, jusqu'à présent, les tentatives faites d'aborder ce sujet 
avant Tàge de 16 ans ont été assez rares. Suivant l'opinion de la majorité 
des maîtres et d'après les expériences faites à cet égard, un élève ordinaire 
ne paraît pas capable de saisir la portée du calcul inlinilésimal avant I âge 
de 15 ans. 

C. De nombreuses tenlalives ont été faites d'introduire le calcul infinité- 
simal comme branche ordinaire dans les classes supérieures des écoles. On 
peut signaler diverses raisons motivant cette introduction. Tout d'abord 
limportauce du sujet au point de vue de l'histoire de la pensée humaine et 
la beauté de ses principes. Puis son utilité dans divers domaines (biologie, 
psychologie expérimentale, statistique, physique, chimie, électricité, bota- 
nique, art militaire). Enfin il sera possible d'ép;irgner un temps considé- 
rable dans l'étude des autres branches de mathématiques du programme 
scolaire.- Ainsi, l'élude du calcul infinitésimal nécessite de nombreuses 
applications algébriques et trigonomélriques, on pourra donc alléger quel- 
que peu le travail préliminaire d'algèbre. En géométrie analytique, on pourra 
établir l'équation de la tangente aux coniques par une seule méthode géné- 
rale, sans passer par tous les cas particuliers comme on est obligé de le 
faire lorsqu'on utilise les méthodes algébriques. En mécanique, les notions 
de vitesse et d'accélération ne peuvent être présenlées d'une façon claire 
qu'en faisant appel à la méthode infinitésimale. 

Diverses questions surgissent relativement à l'introduction du calcul 
différentiel et intégral à l'école : Comment faut-il disposer du programme 
scolaire pour constituer une préparation suffisante en ce qui concerne ce 



IS p. ; Piioo 1 1 2 (1- : ^^"vIn;lnn iV Sons, I.onJri 



262 H l[{ Ll O C n A P II I E 

calcul ? Quelles parties du plan d'étude Iradilionnel peut-on supprimer sans 
inconvénient ? Quels sont les sujets dont l'élude doit se faire avant celle du 
calcul infinitésimal et quels sont ceux qu'il est préférable de trailei" après ? 
Ces questions sont très discutées actuellement et les avis sont assez par- 
tagés. L'auteur signale également un certain nombre de points touchant à 
l'enseignement même du calcul infinitésimal et lelalivement auxquels 
diverses opinions ont élé émises |la rigueur des démonstrations, les 
logarithmes népériens, les leprésentations graj>liiqnes et la question des 
notations). 

En résumé, l'enseignement du calcul didérentiel et intégral à des élèves 
de 16 à 18 ans s est fait jusqu'à présent à litre d essai. L'introduction de 
cette étude, en y comprenant de nombreuses applications simples, s'est 
trouvée avantageuse lorsqu'elle s'adressait à des jeunes gens d'intelligence 
supéi'icure à la moyenne. Il faut être moins affirmatif en ce qui concerne 
l'enseignement du même sujet à de bons élèves de 13 ou 14 ans ou à tous 
les élèves de 16 ans. Ces nouvelles notions doivent être précédées d'un 
travail préliminaire dont il ne faut cependant pas exagérer la portée. Il 
faut illustrer cet enseignement de nombreuses applications à des problèmes 
de mesure et de mécanique ; les applications géométriques ne devraient 
occupci- qu une place relativement restreinte. La mesure des volumes est 
utile comme introduction à 1 intégration. Les notions telles que fonction, 
limite, coefficient différentiel, intégrale, doivent èti-e introduites tout d'abord 
à l'aide d'exemples concrets, mais il ne faut pas craindre de les appeler 
ensuite par leur nom. Un certain degré de rigueur dans les définitions et 
les démonstrations est essentiel ; car les élèves se rendent facilement 
compte du défaut de telle ou telle définition ou démonstration, sans qu'il 
leur soit peut-èli'e possible de le préciser, et cela pourrait leur être une 
cause de découragement. Les diverses conventions doivent être suflisam- 
menl expliquées. I! serait désirable que le maître eût quelques connais- 
sances historiques du sujet : il serait peut-être utile également de donner 
aux élèves (|uelques aperçus historiques, ce qui reliaussciait la valeur du 
sujet en tant que partie de l'éducation générale. 

En appendice, on trouvera quelques questions d'examens |)our les d .lunior 
Appoinlmenls » dans le « Civil Service )). 

J.-P. Dv.MCK I Genève). 



HlBi.lOGHAPIIlli 



Gerrit Bakkik. — La couche capillaire des corps purs. — 2 vol. in-H» 

(Collection Scienlial. 2 fr. le volume ; (iaulliier-\ illars, l'aris. 

M. G. BakUer (de La Haye) esl un |)liysicien bien connu eu l''rauce pour 
ses études de la couche capillaire toutes ]nibliées dans le Jaiiiiuil de Physique. 
Les deux petits volumes d'aujourd'hui résument ses précédents travaux 
avec do nombreux compléments qui font de l'ensemble un ouvrage homo- 



BIBLIOGRAPHIE 263 

gène. Cet ouvrage a peut-être déjà été jugé comme ua peu compact, ce qui 
tient au grand nombre de faits et d'expériences qui sont décrits et calculés. 
Mais il est cependant bien simple d'apercevoir les idées directrices de l'au- 
teur. Il se tient presque continuellement dans ce qu'on pourrait appeler la 
géométrie des courbes isothermes, géométrie dont le plus zélé créateur fut 
sans doute Van der Waals. Ainsi, pour les systèmes liquide-vapeur, on a, 
à température constante, des courbes élégantes qui indiquent comment sont 
liés le volume et la pression dans les phases en présence. M. Bakker discute 
d'abord soigneusement, sur ces courbes, les points où la densité est égale 
à celle de la couche capillaire (ou en relation simple avec la densité ou 
l'épaisseur de ladite couche). Mais on sait que certaines parties de ces 
courbes n'ont qu'une e.xistence théorique correspondant à des équilibres 
instables qu'aucune expérience ne semble réaliser. Il y a là une difficulté 
que reconnaissait James Thomson eu cherchant une explication (qu'il était 
cependant loin de pouvoir vérifier) dans la mince couche de passage qui 
sépare le liquide de la vapeur. C'est ici qu'ont porté les efforts personnels 
de M. Bakker. La partie irréalisable de l'isotherme théorique se met à 
jouer un rôle très réel dans l'étude des coudilious d'existence de la couche 
capillaire. C'est pour l'ouvrage une idée très grande et très claire. 
D'ailleurs on en trouve d'autres qui relèvent du même esprit. Ainsi quand 
les isothermes changent, les points remarquables dont je parlais tout à 
1 heure ont des lieux également remarquables. 

Au point de vue analytique bien des calculs intéresseront les mathéma- 
ticiens. Ainsi l'énergie dans la couche capillaire se représente naturellement 
par des intégrales de surface et comme cette énergie est en relation, de 
manières diverses, avec celles du liquide et de la vapeur pour lesquelles il 
faut écrire des intégrales de volume, les relations entre ces différentes inté- 
grales rappellent bien des égalités se rencontrant en d'autres branches de 
la Physique, notamment dans les théories maxwelliennes de l'électricité. 
Ajoutons aussi que le physicien néerlandais a su, avec ses méthodes, 
retrouver les théories déjà connues, telle celle de l'ébullitiou, en les met- 
tant sous des formes originales. Il y a là de précieuses vérifications. 

Bref, le nouvel effort, semblant d'abord très spécial, que vient de donner 
M. Bakker après une longue suite de travaux, est de nature à avancer et à 
éclairer bien des points encore obscurs de la physique et de la physico- 
chimie. A. BuHL (Toulouse). 

Ed. B.\RBETTE. — Les carrés magiques du /«« ordre. — 1 vol. in-S», auto- 
graphié, 244 p. ; 7 fr. 'M : chez l'auteur, 18, rue Darchis, Liège. 

Rangeons en carrés //- jetons portant chacun une des n premières lettres 
et un des n premiers entiers, de manière que chaque rangée et chaque co- 
lonne présente toutes les n lettres et les n nombres : nous aurons ce qu'on 
appelle un carré d'Euler de module n, et l'autre un carré symbolique. 
^l. Barbette construit ainsi des carrés de modules 4, 8. 16 et 32, ainsi que 
ceux des modules 5. 7, 9, 11, 13, 15, 17. Sa méthode a moins de portée que 
celle d'Euler, mais elle est plus simple, quoique présentée d'une manière 
un peu embarrassée. 

Il aborde ensuite la théorie beaucoup plus dill'icile des carrés de modules 
«le forme 4.r -f- 2 mais avec moins de succès, et la démonstration qu'il donne 
de l'impossibilité du célèbre problème des treute-six olficiers ne semble pas 



2Gi BIBLIOGRAPHIE 

absolument convaincante et il serait à désirer que 1 auleur la développât? 
dans un article à part. 

Si on attribue aux lettres des valeurs 0, /;, 2n, 3«, ... [a — 1)«, et qu'où 
fasse la somme des nombres correspondant à chaque jeton, on aura un cotre 
iiKiiitijue. Parmi les dispositions des carrés symboliques à choisir pour la. 
conslr-uclion pratique des carrés magi(jues, IM. Barbette choisit celle des 
Indiens. 

Il donne ensuite; des carrés inagicjuefi composés des modules 9, 12. IG. 18, 
20, 24, 25 ; puis il traite des carrés magiques à enceintes, des carrés pan- 
magiques, des carrés hypermagiques et des carrés biniagiques, c'est-à-dire 
ceux qui restent magiques quand on élève tous leurs termes au carr(-. 

Notons cà et là quelques problèmes intéressants. 

Troit^'er le nombre des permutations symétriques d un arrangement. 

Déterminer les groupes de n nombres inférieurs à n' et ayant pour somme 

n I u" + I ) ,, , .11 !• • , 1 • 1 
. 11 donne une méthode permettant d arriver de proche en pi-oche 

à la solution. Pour /i = 3, 4, 5, on a respectivement 8, 86 et 1394 solutions. 

la somme des puissances fn*)^""^" des n — 1 premiers entiers est comprise 
entre n""~' et n'" . 

Aucun carré magique des modules 3, 4, o et Ç) ne peut être bimagique. 

Etude des produits terme à terme de deux carrés magiques de mêmes 
modules ; d'oii un moyen d'obtenir une toule d'identités du second dehré. 

Si un carré est magique aux n premiers degrés, il conserve ses propriétés 
quand on ajoute à chaque terme un même nombre. Ce théorème donné par 
Ed. Lucas pour « = 2, l'a été généralement par M. G. Tarry, qui en a tiré 
de nombreuses conséquences. 

En somme, travail considérable pouvant servir d'un excellent guide dans 
cette théorie encore peu connue ; beaucoup d'exemples intéressants ; beau- 
coup d'aperçus et de résultats nouveaux. Il semble toutefois que l'auteur 
eut dû traiter moins à fond certaines parties accessoires : les ouvrages de 
vulgarisation — tels que celui-ci — devraient s'astreindre à ne parler que 
de choses simples, générales et immédiatement fécondes. 

A. AuBKY (Dijon). 

H. BouAssi; et E. Turrièrk. — Exercices et Compléments de Mathéma- 
tiques générales. — 1 vol. gr. in-8" de 500 pages et 374 tig. ; 18 Ir. 
(^Ii. Delagravc, Paris. 

Le gigantesque cycle de connaissances embrassé par M. Bouasse n'ani ait 
pas été complet sans ce nouveau volume qui, aj)rès les six volumes de 
Physique et les Traités de Mécanique et de iMalhémaliques générales, est 
bien le neuvième tome dune immense encyclopédie. Inutile de revenir sur 
ces productions précédentes qui ont décelé en leui- auteur un esprit j)éda- 
gogique de première force se superposant au physicien déjà bien connu sur 
le terrain de la science pure. Insistons plutôt sur la collaboration de 
M. Emile Turrièi-e, connu aussi des lecteurs de l Enseignement matltéma- 
tique puisqu'il a publié et publie encore ici-même des recheiches géointlri- 
ques aussi profondes qu'élégantes. 

De cette heureuse i-éunion nait nu ouvrage IVappaiit par ses (|ualités 
originales. Le plus extraordinaire est que toutes les choses connues et 
anciennes que l'on y retrouve semblent comme rajeunies pour la jeunesse à 



BIBLIOGRAPHIE 26S 

laquelle le livre s'adresse. Ce sont d'abord des conslruclions de courbes- 
dont je ne me lasse point d'admirer les dessins. Elles sont prises parmi 
celles rassemblées par des géomèlres tels que MM. Brocard, Loria, Wie- 
leitner, Teixeira, etc., du moins sous les aspects où on peut immédiatement 
les saisir, les tracer par les procédés géométriques ou cinématiques les 
plus simples, les faire vivre et leur attribuer les plus harmonieuses pro- 
priétés. Ce sont aussi les courbes physiques telles les isothermes de Yan 
der Waals dont une droite partage l'aire en déterminant sur la courbe les 
points qui correspondent à la vaporisation et à la liquéfaction d'un système 
liquide-vapeur, telles celles de Perot et Fabry qui correspondent à la distri- 
bution de la lumière dans les franges résultant des phénomènes d'interfé- 
rence, telles les filets fluides des liquides en mouvement permanent autour 
d'obstacles donnés, etc., etc. Au point de vue purement géométrique, il y a 
des réciprocités merveilleuses auxquelles cependant on ne songe pas dordi- 
naire. Ainsi, eu coordonnées cartésiennes, il est immédiat et élémentaire 
d'associer toujours les courbes exponentielle et logarithmique. Mais on 
n'associe pas toujours, en coordonnées polaires, la spirale logarithmique 
r = e^ et la spirale exponentielle /■ = log 6, courbe très élégante ici tracée. 
Une autre idée, que j'ai été amené à beaucoup apprécier personnellement 
mais qui n'est pas encore suffisamment classique, consiste à rectilier les 
courbes dont l'arc dépend d'une intégrale elliptique de seconde espèce en 
donnant simplement les demi-axes a et h de l'ellipse dont le périmètre (ou 
une partie simple du périmètre) est égal à tel ou tel arc de la courbe envi- 
sagée. Si je ne me trompe toutes les courbes de cette nature ont été déter- 
minées par Serret et l'on conuaît vulgairement les sinussoïdes et toute la 
famille épi ou hypocycloïdale. Mais on connaît moins de jolies spirales ou 
rosaces qui, rectifiées ainsi, n'apprennent peut-être pas la théorie des 
fonctions elliptiques mais montrent tout de même qu'il n'y a pas rien que 
des fonctions à propriétés mystérieuses et difformes au delà de celles qui 
s'expriment élémentairement. 

Souvent les auteurs ont une idée qui stupéfie parce qu'elle intéresse avec 
rien. Ainsi l'aviateur qui fait de parfaits virages, dans un vent uniforme, 
décrit une cycloïde par rapport au sol. Ce n'est pas difficile à démontrer. 
Mais c'est captivant pour 1 étudiant qui attend peut-être avec impatience la 
tin d'un cours pour aller voir voler un pilote plus ou moins célèbre. 

Dans l'espace où les surfaces ou courbes gauches intéressantes forment 
un monde beaucoup plus clairsemé que celui des courbes planes, nous trou- 
vons quelques problèmes empruntés à l'Astronomie et l'ouvrage se termine 
par les calculs approchés, les permutations et arrangements opérés sur 
objets tangibles (piles de bouteilles et de boulets) et conduisant au Calcul 
des probabilités où le Calcul intégral reparaît très habilement avec la loi de 
Gauss. Signalons un dernier Chapitre sur le Calcul vectoriel considéré 
comme plus curieux que pratique mais qui sert tout au moins à présenter 
quelques synthèses avantageuses. 

Je n'ai signalé ainsi que quelques idées semblant peut-être prises au 
hasard. Mais comment faire autrement sans tout citer.' Il y a naturellement 
une préface où M. Bonasse (probablement sans la collaboration de M. Tur- 
rièrel égratigne légèrement ses collègues ! Mais c'est alerte et spirituel. 
Qui se plaindra de trouver une leçon un peu sincère, mais faite cependant 
avec belle hiinienr. à enté de lant et tant d'intérêt ? 

A. Bi'ui. (Toulousel. 



•261) Ji I H 1. 1 () (. Il A P 11 1 1: 

Fr. Cai.dakeka. — Trattato dei Determinanti. — 1 vol. gr. in-8», 255 p. ; 

7 livres; Slabilimciilo Tipogialito \'iz/.i, Palcfmc. 

Ce nouvel ouvrage de M. Caldarcra se présente sous la forme modeste 
d'un cours didactique, alors qu il contient siiffisaniment de matières pour 
constituer un véritable traité, qui ne lardera pas à prendre place parmi les 
ouvrages classiques sur les déterminants. Comme les volumes précédents 
il se dislingut! par la clarté de l'exposition qui caractérise les travaux de 
lauteur. 

M. Caldarera commence la théorie de la manière classique, par la réso- 
lution d'un système d équations linéaires avec un nombre égal d'inconnues. 
Il considère ensuite les détei'minanls pour eux-mêmes et présente, par une 
mefliode nouvelle, les théorèmes fondamentaux concernant les déterminants. 

Dans le 3""= chapitre (N^s 41 et 42), l'auteur établit la règle de multipli- 
cation (le deux déterminants en faisant intervenir deux systèmes d'équa- 
tions linéaires, ce qui rend la démonsiration très simple et évidente. Il ne 
supprime cependant pas la marche élémentaire ordinairement suivie dans 
les cours (N^ 51 du H'^e chapitre). 

Il étudie ensuite les propriétés des déterminants en général, leurs mi- 
neurs, des déterminants multiplies naissant de matrices rectangulaires et de 
la caractéristique de ces dernières. 

Dans le 5"'"= chapitre l'auteur s'occupe des déterminants de formes parti- 
culières : Déterminants réciproques, symétriques, hémisymélriques, pseudo- 
symétriques ; déterminants avec les éléments principaux binômes, ayant un 
terme commun; déterminants de Vandermonde généralisé; circulant; déter- 
minant de Hankel. 

Le 6"ie chajjitre traite des dérivées et des diflérentielles des déterminants, 
et le 7™« des déterminants fonctionnels, Jacobiens, Hessiens. 

Dans le chapitre suivant on trouve un ex|)Osé synthétique de la théorie 
très moderne des déterminants d'ordre infini. 

Après avoir épuisé toute la partie théorique dans les huit premiers cha- 
pitres, l'auteur consacre trois chapitres aux principales applications des 
déterminants à l'analyse algébrique et à la géométrie du plan et de lespace. 

Pour ces dernières applications il emploie les systèmes de coordoimées 
triangulaires et tétraédriqucs dont il fait une exposition à la fois simple et 
claire. Parmi les autres applications, signalons celle des moments d'un 
système quelconque de forces appliquées à un point, dans le plan et dans 
l'espace, qui est développé par une méthode purement géométi'ique. Men- 
tionnons aussi la remarquable formule qui exprime 1 angle de torsion des 
courbes gauches. 

En résumé, lauteur a su réunir dans ce volume les propriétés essen- 
tielles de la théorie des déterminants, et malgré les nombreuses publica- 
tions dans ce domaine, il a su en faire une a;uvre originale qui est digne 
de 1 attention des mathématiciens. Giov. Russo (Catanzaro). 

Th. Caronnkt. — Cours de Trigonométrie, à l'usage des Candidats au Bac- 
calauréat, à l'iOcole (le Sainl-(]yr et à l'Institut agronomique. — 1 vol. 
in-8o de IV-217 p. et 111 ligures. Prix: 4 fr. 50. Gauthier-Villars, Paris. 

Ce nouveau Cours élémentaire est remarquablement ordonné. L'applica- 
tion jiKlicicuse des équipollences rend uniformes toutes les applications du 
lliéorènic des projections. Les fonctions circulaires sont définies sur le 



BIBLIOGRAPHIE 267 

-cercle trigonomélrique : c'est la vieille méthode, toujours bonne cependant 
ne serait-ce que pour le tracé immédiat des courbes représentant les dites 
fonctions. Celles-ci sont immédiatement suivies d'une sobre étude des fonc- 
tions inverses. Les équations trigonométriques sont heureusement groupées 
et résolues par nn petit nonibi-e de méthodes; les inéquations ont une place 
importante. Après les résolutions de triangles nous trouvons des exemples 
numéi-iques très bien disposés au point de vue typographique, les applica- 
tions usuelles relatives aux problèmes sur le terrain et même un complé- 
ment qui nous donne la formule fondamentale de la trigonométrie sphérique. 
De nombreux problèmes à résoudre s ajoutent à ceux qui sont résolus 
dans le texte. A. Buhl iToulousei. 

G. Df.maktres. — Cours de géométrie infinitésimale, avec une préface de 

P. .\pPELL. — 1 vol. gr. in-H'J de X-418 pages et 111 figures ; 17 fr. ; Gau- 
thier-Villars, Paris. 

Il est bien didicile d analyser louvrage de .M. Domarlres mieux que 
yi. Appell. Peut-être est-il préférable de reproduire ici quelques lignes de 
la préface où l'éniinent doyen de la Faculté des Sciences de Paris montre 
toute sa sympathie pour le bel exemple de décentralisation que donne 
l'excellent professeur de Lille. 

i( Ce Livre plus élémentaire que celui de M. Darboux, peut être consi- 
déré comme une sorte d'introduction aux hautes recherches que M. Dar- 
boux a exposées successi\ement dans son Coui's et f[u il a résumées dans 
son beau Traité. 

Depuis la création des ceitilicats d'études supérieures, l'accroissement 
-des programmes d'analyse a donné lieu à une extension notable des appli- 
cations géométriques : mais Tordre où, dans les Traités d Analjse, ces 
notions sont présentées est, non leur ordre logique et nécessaire tel qu'il 
résulte des définitions géométriques, mais Tordre des théories analytiques 
auxquelles elles servent d'application ; c'est ainsi, pour ne prendre qu'un 
exemple, que la définition des ligues géodésiques, qui devrait logiquement 
être donnée dès le début de la théorie des surfaces, est rejetée le plus sou- 
vent au Chapitre où Ton traite du calcul des variations. 

y\. Demartres a cherché à combler ces lacunes, à remédier à ces imper- 
fections en rédigeant, dans leui- ordre logique, les développements des 
questions qui forment le fond essentiel du certificat de Géométrie supé- 
rieure. Il a réussi, tout en conservant à ce cours une forme relativement 
élémentaire, à le conduire assez loin pour que ses lecteurs puissent eiîsuite 
aborder l'étude des Mémoires originaux et des Traités d'ordre plus élevé 
comme celui de M. Darboux. 

La première Partie, qui précède le cours proprement dit, comprend sept 
Chapitres ou les différentes questions du programme sont traitées géomé- 
triquement et sans recourir à l'analyse dans leurs parties essentielles ; on 
pourra, sans inconvénient, la laisser de côté dans une première lecture, la 
théorie générale ayant été reprise, à partir de son début, dans les Chapitres 
suivants ; elle pourra surtout servir à comparer dans certains cas les deux 
solutions fournies par l'Analyse et par la Géométrie, comparaison qui ne 
pourra être qu intéressante et utile. Le Volume se termine par un choix 
d'exercices nombreux, classés en c[uatre séries correspondant aux quatre 
Sections de TOuvrage. 



268 RI HLIOGRAPIIIE 

En résumé, le Livre de i\I. Demartres comble d'une façon très heureuse 
une lacune daus notre Enseignement supérieur ; il rendra de grands services^ 
à tous ceux (jui sont attirés par la variété et l'élégance de la Géométrie 
supérieure, à tous ceux qui, par profession, doivent les connaître : mathé- 
maticiens et chercheurs de vocation, professeurs de l'Enseignement supé- 
lieur ou de l'Enseignement secondaire, candidats à 1 Agrégation, candidats 
aux Certificats de Géométrie supéiieure el de Mathématiques pures, ou au 
Diplôme d'études supérieures; il fera honneur à la Science française. » 

Qu'il me soit permis d'ajouter, ajjrès ces lignes, qu'ayant à mou tour 
parcouru 1 ouvrage j'ai été frappé de la simplicité et de 1 élégance des 
démonstrations. Le grand ouvrage de .M. Darbonx repose surtout sur la 
méthode du trièdre mobile, méthode merveilleuse, il faut eu convenir. Mais 
si l'on traite ainsi, par exemple, les questions de courbure et de torsion 
géodésique, on peut redemander, pour certaines recherches, des solutions 
aussi élémentaires que possible par rapport au triède fixe Oxyz. Ou trou- 
vera cela dans l'ouvrage de M. Demartres. J'observe de même que l'auteui 
n'est jamais embarrassé par dos questions de signes, : ceux-ci sont choisis, et 
bien choisis, une fois j)Oui' toutes. Pas de foi-uniles encouibiantos el c'est 
avec de la belle géoinélrie cinématique que nous leveiions vers les travaux 
de M. Darboux. 

Grâce à ce livre, bien des chercheurs s'initieront sans peine à la haute 
géométrie et y trouveront l'objet de réflexions fécondes. 

A. lauHi. iToulousel. 

Paul DiENEs. — Leçons sur les singularités des fonctions analytiques, 

professées à l'Univer'sité de Budapest. — 1 vol. in-.S'^ de VJ 11-172 p. el 
19 fig. ; 5 fr. 50; Gauthier-Villars, Paris. 

\oici un petit livi-e si clairement écrit que les idées fondamentales s'en 
peuvent dégager en (juelques lignes. Il s'agit d'atteindre les singularités des 
fonctions analytiques en partant des représentations régulières de ces fonc- 
tions. 

Dans cet ordre d'idées la voie a été incontestablement ouverte par M. 
Jacques Hadamard qui a résumé ses recherches (ainsi que beaucoup d'autres) 
dans son admirable petit volume de la collcclion Scieiitia inlilulé La série 
de Taylov et son prolongement analytique. 

On part de la série de Taylor lorsqu'elle converge le plus i-égulièremenl 
ilu inonde dans son cercle de convergence et l'on essaye de s'approcher de 
la circonférence limitrophe pour reconnaître l'existence du ou des points 
singuliers (jui déterminent son rayon. Ces points trouvés on étudie la série 
dans leur voisinage. 

Or les travaux de MM. Horel et Miltag-Lelfler augnuMilent de beaucoup 
la portée de cette première idée. On pi-endra pour la fonction analytique 
des expressions telles, par exemple, que des séries de polynômes, exjires- 
sious d'abord unicjuement construites pour représenter la ioucliou m ses 
points non singuliers mais dans des domaines plus étendus que le cei-cle 
taylorien. Va ou essayera ensuite, avec ces expressions, d'appioclier des 
singular-ités. 

Les iustrumenis employés ici, à côté du déveloj)penieul layloricu sont, 
tout naturellement, les séries de polynômes, formées par .M. lîorel par la 
méthode de moyenne aujourd'hui bien connue, puis les séries de polynômes 
plus générales imaginées par M. Mittag-I^effler. 



BIBLIOGRAPHIE 269 

M. Dienes a suivi, dans sa rédaction, des idées tellement personnelles 
<[uil semble avoir un peu oublié quelques travaux parallèles. Mais quel est 
le géomètre qui peut aujourd'hui tout connaître, même dans la branche 
qu'il travaille particulièrement? Ceci n'est donc pas une critique. Peut-être 
même est-ce l'unicité du point de vue qui assure, dans cet ouvrage, la clarté 
dont je parlais.au début. 

Et si beaucoup d'artistes attribuent leurs inspirations k des influences fé- 
minines, n'oublions pas la délicatesse du géomètre qui, dans sa préface, 
rend hommage à la collaboration de M'"'' Valérie Dienes. 

A. BuHL (Toulouse). 

E. Fabky. — Problèmes d'Analyse mathématique. — 1 vol. gr. in-8f de 

460 p.; 12 fr. : A. Hermann, Paris. 

M. E. Fabry qui, entre autres ouvrages, a déjà publié un Traité de ma- 
thématiques générales et un Recueil de problèmes s'y rapportant, nous 
donne maintenant des problèmes qui sont manifestement destinés au.K can- 
didats au certificat de Calcul différentiel et intégral. Tous ces problèmes 
ont été proposés aux examens; ils nous en reviennent avec des références 
exactes de date et de lieu. C'est dire que les élèves auront d'excellents ma- 
tériaux pour leur travail de préparation. 

Voici un premier chapitre sur les quadratures suivi immédiatement d uu 
second sur leurs applicalions géométriques (aires planes ou gauches, vo- 
lumes|. Je remarque certaines questions de cubature où les volumes sont 
limités par des surfaces se coupant de manière particulièrement ingénieuse. 
Viennent ensuite les intégrales curvilignes soit dans le domaine réel, soit 
au point de vue de Cauchy. Les développements de Mac-Lauriu s'y ren- 
contrent sur de très simples exemples. 

Les équations différentielles, d'abord traitées sur quelques types abs- 
traits, résultent bientôt de l'élégante détermination de nombreuses courbes 
devant présenter quelque propriété exacte par les nombreux segments rec- 
tilignes itangente, normale, sous-tangente, sous-normale, etc.) qu'on peut 
associer à 1 un de leurs points. Puis nous sommes tout naturellement con- 
duits aux problèmes de la théorie des surfaces qui exigent aussi l'intégra- 
tion d'équations différentielles : détermination de géodésiques, d'asympto- 
tiques, de lignes de courbure. Ici beaucoup d'élégance géométrique quant 
aux lignes de courbure planes ou circulaires. 

Un chapitre spécial est consacré aux surfaces réglées en y comprenant 
toutefois les développablss. Il n'est point naturel, à coup sûr, de noyer dans 
les autres surfaces celles formées d'éléments aussi remarquables que la droite. 

Pour les équations aux dérivées partielles même marche que pour les 
équations différentielles ordinaires. Tjpes abstraits puis détermination de 
nombreuses surfaces. A côté des équations linéaires, il faut en signaler de 
tout à fait quelconqiies en x, v, z. p, q. Quelques exercices sur les fonctions 
elliptiques terminent ce cycle que beaucoup de jeunes travailleurs devront 
parcourir pour le plus grand succès de leurs examens. 

A. BcHL (Toulouse!. 

Auguste Glille.mi.n. — Tables de logarithmes à trois quatrades. — I vol. 

gr. in-8o de XXIV-loO p. ; 6 fr. ; Gauthier-Villars. Paris. 

Bien qu un jugement sur ces nouvelles tables ne puisse probablement 



270 B l H I.IOGH AP II l E 

être donné on toute connaissance de cause que pur le praticien qui les uti- 
lisera, il faut reconnaître qu'elles sont bâties sur une idée extrêmement in- 
génieuse qui séduit tout de suite le théoi-icien. Soit 

log- = 0.4971 '.987 2694 

où les groupes de quatre cljiUVrs uni qualradesi de la mantisse sont en évi- 
tlence. Ou peut dire 



Qi — 0,4971 


0000 


0000 


est log d'un nombre N 


Q2 = 0,0000 


4987 


0000 


» n 1 + ^ 


Q.s = 0,0000 


0000 


2694 


» » 1-1- ;i 



a et [î étant très petits puisque Q2 et Qs sont très voisins de zéro. Donc le 
logarithme de - est 

Qi -f Q2 + Qs = log [Nil -I- al (1 + ,'i)] = log iN + Xx + N.3i . 

Par suite, si r. est mis sous la forme X(l -f a -f- '",]. uous pouvons ti-ouvcr 
son logarithme comme somme de ceux qui, dans une table, correspondraient 
à la connaissance des quantités N, a, [3. Or ce sont précisément de telles 
tables que construit le D'" Guillemin. On conçoit qu elles puissent donner 
des résultais très précis sous un petit volume puisqu'elles reviennent à 
manier des nombres pouvant avoir jusqu'à 12 décimales au moyen de frag- 
ments qui n'ont que quatre chiffres. L'auteur paraît avoii- trouvé des encou- 
ragements, ne serait-ce que près de 1 Association française pour l'avance- 
ment des Sciences. 

D'ailleurs, bien des gens ont senti que le système logarithmique ordi- 
naire, avec ses approximations par parties proportionnelles, n'était peut- 
être pas le comble de la perfection. Il y a certainement de la marge pour 
mieux faire, ce qui, dans ce livre, est tenté avec beaucoup d élégance. Les 
tables proprement dites y sont matériellement exécutées avec un talent typo- 
graphique de tout premier ordre. A. Bini. iToulousei. 

W. L KiNG. — The Eléments of Statistical Method. — ;i vol. in-80 relié, 

250 p.: 1 Doll. 50; 1 lie .NLioniillau (^ouipany. Xew-York et Londres. 

Depuis une cinquantaine d'années les métiiodes statistiques ont pénétré 
dans les domaines les plus divers. Elles jouent aujourd'hui un rôle impor- 
tant dans les sciences d'observation et dans les sciences économiques et 
sociales. Elles forment un instrument précieux pour l'économisle et le pu- 
bliciste, mais encore faut-il savoir s'en servir. Le présent volume a préci- 
sément pour but d'exposer les méthodes, d'ailleurs très simples, sur les- 
(juelles ou base la statistique scientifique. L'auteur s'adresse à des lecteui's 
n'ayant pas de coimaissances spéciales en mathématiques. Il les initie aux 
|jroblèmes de la statistique scienlilique, à la conslructiou et à l'emploi de 
tables numériques et de graphi(|nes, à l'établissemiMit des moyennes et aux 
méthodes de Pearson. 

P. Lan(.i vin II i)i; Broglie — La théorie du rayonnement et les Quanta. 

1 vol. in-S" de 462 pages, 15 fr.; (iaulhier-Villars. Paris. 

Dans les Dernières pensées d'Henri Poincaié on trouve une allusion à un 
Congrès scientili(|ue tenu à Bruxelles, où Ion se préoccupait d une Méca- 



BIBLIOGRAPHIE 271 

nique tellement nouvelle que 1 ancienne n'était pins celle de Xewiou mais 
celle de Lorentz I 

Le présent volume est un compte rendu des travaux de ce congrès qui 
eut lieu, en effet, à Bruxelles, sous les auspices de M. E. Solvay, du 
30 octobre au 3 novembre 1911. Nous trouvons là les mémoires les plus 
stupéfiants dus à MM. H. -A. Lorentz, J.-H. Jeans, E. Warburg, H. Rubens, 
Max Planck, M. Knudsen, .1. Perrin, W. Xernst, Kamerling Onnes, A. Som- 
merfeld, P. Langevin. A. Einstein. 

D autre part, les plus hautes personnalités scientifiques, parmi lesquelles 
Je relève encore avec tristesse le nom d'Henri Poincaré, s étaient jointes 
aux précédentes. Leurs observations figurent en détail dans ce livre à côté 
des mémoires précédents suivis généralement d'importantes discussions. 

Le point capital de ces travaux commence à se vulgariser; l'énergie, 
notamment dans les phénomènes de rayonnement, n apparaîtrait plus comme 
pouvant toujours varier de manière continue. Des sauts brusques seraient 
possibles, indispensables même; elle varierait par Quanta! Les équations 
des phénomènes cesseraient d'être canoniques et on ne pourrait même 
tenter de les corriger en leur laissant cependant leur forme diHérentielle. 
Il faudrait recourir à des équations fonctionnelles I 

Il ne m'est pas possible de discuter ici en détail chacun des mémoires 
dus AUX savants précédents. Celui qui a été placé eu premier lieu et dont 
l'auteur est M. Lorentz pose admirablement la question. Pourquoi un mor- 
ceau de fer, par exemple, absorbe-t-il toujours de l'énergie et ne peut-il en 
émettre sous forme de lumière qu'au delà d'une certaine température .' Ce 
sont les hypothèses de discontinuité de Max Plauck qui semblent jusqu'ici 
donner la réponse la plus satisfaisante. Qu'il me soit permis de relever, 
en particulier, le travail Sur les preuves de la réalité mulécnlaire, de 
M. J. Perrin, travail particulièrement saillant, comme semblant d abord ne 
pas s inspirer exactement des questions qui précèdent. Son auteur part de 
ses recherches sur le mouvement brownien et les quantités élémentaires 
d'électricité. C est avec ces points de départ qu'il arrive finalement à la 
théorie du corps noir et à celle de lénergie rayonnée par quanta. 

A. Bl'hl (Toulouse i. 

Ern. Lebo.n. — Armand Gautier. Biographie, Bibliographie analytique des 
écrits. — 1 vol. in-S" de VllI-96 p.. papier de Hollande, avec un portrait 
en héliogravure, 1.5 novembre 1912 : Prix : 7 fr. ; Gauthier-Yiilars, Paris. 

En présentant à l'Académie des Sciences, dans sa séance du 25 novembre 
1912, la Notice sur Armand Gautier, dont M. Ernest Lebon vient d'enrichir 
sa Collection bien connue des Sai-ants du Jour-. M. Gaston Darboux, Secré- 
taire perpétuel, s est exprimé en ces termes : 

« J'ai déjà eu l'honneur de présenter à l'Académie différentes Notices qui 
font partie de la belle Collection des Savants du Jour et que M. Ernest Lebon 
a consacrées à quelques-uns de nos confrères. Tout récemment, quelques 
jours avant la mort à jamais regrettable d'Henri Poincaré, j'étais heureux 
de signaler la seconde édition de la Notice si complète, si documentée, con- 
sacrée à notre illustre confrère. Encouragé par un succès bien mérité, 
M. Lebon a voulu élargir le cadre de ses études et la Notice que j ai aujour- 
d'hui la bonne fortune de présenter à l'Académie relate la vie et les travaux 
de notre illustre confrère, Armand Gautier, qui nous appartient depuis 1889,. 



■2: -2 a I II Lioc n.i v m i: 

qui a été le président de 1 Académie en 1911 el qui demeure aujourd'hui le 
doyen, aimé el honoré de tous, de notre Section de chimie. Notre confrère 
a beaucoup travaillé et beaucoup écrit. Le nombre, relevé par M. Ernest 
Lebon, de ses écrits do toute nature dépasse 600. Il laissera une trace in- 
elFaçable dans l'étude de plusieurs des chapitres les plus importants de la 
chimie et de la philosophie naturelle. Dans ces matières, si nouvelles pour 
lui, M. Lebon a apporté les mêmes ([ualités, les mêmes soins que dans les 
?sotices précédentes. « 

Cette Notice porte à six le nombre des volumes de la collection des 
Scu'ants du Jour. Les cinq premiers sont consacrés à Henri Poinc.vré, 
Gaston Darboux, Emile Picard, Paul Appell, Gabriel Lipp.mann. 

.M. LiNMCH. — Lehr- und Uebungsbuch der Mathematik i Collection ScmvAu- 
Lessek). B. Ausgahe fiir hù/icre MaJcIienuchuleii. I et II. 2 vol. in-S", 
149 et 130 p.; 2 M. le vol. — C. Ausgahe fur Lehrerinnensemiuare. I : 
Lehr- und Uebungsbuch fur den Unterrichl in der Arithmetik und Algebra 
mit einen Anhang fur den Unterricht in der analytischen Géométrie. — 
1 vol. iu-B", 177 p. ; 2 M. 50. II : Lehr- und Uebungsbuch der Géométrie, 
Trigonométrie und Stéréométrie. 1 vol. in-S", 228 p.; 3 M.; G. Freytag, 
Leipzig, et F. Tempsky, Vienne. 

A côté des manuels bien connus destinés aux établissements de garçons, 
la Collection Sclmah-Lesser compi-end aussi des petits traités spécialement 
destinés aux écoles de jeunes filles. Cette nouvelle édition a été revue et 
complétée par MM. Klatt et Linxich pour les degrés élémentaires (A) et 
par M. Linnich pour les degrés supérieurs (B) et les écoles normales (C), 
afiu de les adapter aux nouveaux plans d'étude des écoles de jeunes filles 
(1908). Ils embrassent le champ complet des études mathématiques des 
classes X à I des écoles de jeunes filles en Allemagne, ainsi que celui des 
écoles normales. 

Les deux volumes B en sont respectivement à la o'"» et à la 2ra« édition ; 
ils concernent les classes IV à 1 des écoles supérieures de jeunes filles. La 
l^c partie, classes IV et III, comporte des éléments d'algèbre y compris les 
équations du 1<^'' degré avec applications à l'arithmétique et à la géométrie 
et les théorèmes de géométrie plane les plus susceptibles d'applications 
simples. Les lieux géométriques sont fréquemment em]>loyés. La notion de 
fonction est introduite, soit en algèbre, soit en géométrie, toutes les fois 
que cela est possible. 

La seconde partie, classes II et I, traite pour l'algèbre, des équations à 
deux et plusieurs inconnues, des équations du 2™« degré, de la représenta- 
tion graphique avec des applications à l'arithmétique. La géométrie plane 
el les éléments de stéréométrie font l'objet des deux derniers tiers du volume. 

Les deux volumes C « arithmétique et algèbre » et « géométrie, trigono- 
métrie et stéréométrie >. sont destinés aux écoles normales pour institutrices 
et embrassent un champ plus vaste que les précédents. Le premier reprend 
l'algèbre à partir des théorèmes sur les puissances et radicaux et traite des 
équations du 2me degré, des progressions arithmétiques el géométriques el 
de leurs applications, du binôme, des nombres complexes, des équations du 
;jnie degré et de degrés supérieurs. La représentation graphique y est fré- 
quemment employée. Un chapitre est réservé aux dérivées de fonctions 
rationnelles avec application aux courbes. Une trentaine de pages sont con- 
sacrées à des notions élémentaires de géométrie analytique. 



BIBLIOGRAPHIE 273 

La géométrie, la Irigoiiométrie et la stéréométrie font l'objet du 2i'e vo- 
lume. Il est conçu suivant les tendances modernes ; la notion do fonction, 
entre autres, tient une place importante. L'auteur insiste sur les sujets don- 
nant lieu à des e.xemples pratiques applicables dans les écoles, sans cepen- 
dant se limiter aux théorèmes présentant des propriétés métriques directe- 
ment utilisables. En géométrie, par exemple, il réserve plusieurs cliapitres 
aux théorèmes relatifs à la division harmonique aux pôles et polaires du 
cercle et aux transversales. Un aperçu historique termine le volume. 

Ces volumes, quoique ne contenant que des notions élémentaires indis- 
pensables à une instruction secondaire représentent, sous une forme succincte 
un cours suivi de mathématiques et seront par là appelés à rendre des ser- 
vices également en dehors des écoles auxquelles il sont spécialement des- 
tinés. Renée Masson (Genève). 



H. von Mangoldt. — Einfûhrung in die hohere Mathematik fur Studierende 
u. zum Selbststudium. Zweiter Band : Differeiitialrechtiung. — 1 vol. in- 
8°, 566 p., 101 lig. : 14 M. 40: S. Hirzel, Leipzig. 

En annonçant le premier volume de ce traité d Eléments de Mathématiques 
supérieures, nous avons signalé l'esprit dans lequel l'auteur a conçu le plan 
général de son ouvrage. S'adressant à de futurs physiciens ou ingénieurs, 
il tient à leur fournir non pas un « abrégé », mais un véritable traité con- 
tenant 1 ensemble des connaissances mathématiques indispensables à ceux 
qui auront eifectivement à s'en servir comme instrument^ de travail. Nous 
signalons donc à nouveau cet ouvrage à tous ceux qui sont chargés de l'en- 
seignement des mathématiques générales dans les universités et les écoles 
techniques supérieures. 

Le second volume est entièrement consacr-é au Calcul différentiel: il com- 
prend cinq parties : 1. Le calcul différentiel des fonctions d'une variable. — 
2. Des séries infinies. — !^. Fonctions de plusieurs variables. — 4. Appli- 
cation du Calcul différentiel et intégral à la Géométrie. — 5. Introduction à 
l'étude des fonctions de vai-iables complexes : représentation conforme. 

L auteur a eu soin d accompagner son exposé d un grand nombre de pro- 
blèmes et d'exercices numériques. 

L. MicHAELjs. — Mathematik fur Biologen und Chemiker. — 1 vol. in-8o, 
253 p. ; relié ; 7 M. 80 : J. Springer, Leipzig. 

Dans un cours de mathématiques destiné spécialement aux étudiants en 
chimie et en sciences naturelles, le professeur doit nécessairement se borner 
aux notions essentielles et les faire suivre immédiatement de problèmes se 
rattachant aux études que poursuit l'étudiant. Le temps généralement ac- 
cordé à cet enseignement ne permet pas de faire de longs développements 
et il s agit de trouver un minimum adapté aux besoins des sciences naturelles. 

C est ce qu'a lait M. L. Michaelis, privaf-docent à I Université de Berlin. 
Son petit traité débute par un rappel des éléments de mathématiques ensei- 
gnés dans les gymnases, puis il .iborde la notion de fonction qu il développe 
en même temps que les éléments de Géométrie analytique. Viennent ensuite 
le Calcul didérentiel et intégral, les séries et les équations différentielles. 

Dans ces flilTéreuts domaines, l'auteur se borne aux notions les plus 
simples et montre comment elles interviennent dans les problèmes qu'ont à 

L'Enseigne ment niathém. , 15" année ; 1913. l'J 



274 m RLIO(. RAPIIIE 

résoudre les chimistes et les biolotfues. A ce titre, ce petit manuel mérite 
d cire signalé toul particulièrement à cette catégorie d'étudiants. 

Rev. .John J. Milm:. — An Elementary Treatise on Cross-Ratio Geometry. 

— J vol. in-8o relié, XXI11-28.S p. et 1:29 iig. ; University Press, Cambi-idge. 

Depuis Clifford les Anglais désignent le rapport anharmonique sous le 
nom de cross-ratio. L'ouvrage du Rev. .John Milne est donc un traité élé- 
mentaire de la Géométrie du rapport anharmonique. Il constitue une excel- 
lente introduction à la Géométrie projective. 

Après avoir établi les propriétés du rapport anharmonique, 1 auteur tait 
une étude approfondie de l'homographie et des propriétés projeclives des 
sections coniques. L'exposé, qui est très clair, est accompagné de nombreux 
exercices et d'intéressantes notes historiques. A ce titre il forme, non seu- 
lement un guide précieux pour les étudiants, mais il sera également con- 
sulté avec intérêt par les professeurs. 

H. DE MoRiN. — Les appareils d'intégration. — 1 vol. in-S» de IV-208 

pages et 119 figures ; 5 fr. Gautliier-Viilars, Paris. 

Au moment où les préoccupations de calcul mécanique s'introduisent 
partout, jusque dans les cours de mathématiques générales, cet élégant 
ouvrage est certainement destiné à recevoir le meilleur accueil. Naturelle- 
ment il vise surtout le problème de l'évaluation des aires et l'auteur a eu 
le talent de toujours mettre en relation, de manière simple, les appareils 
d'un aspect souvent délicat et compliqué avec les jjrincipes de calcul intégral 
qui ont permis de les imaginer. 

Et si parfois il nous fait admirer des merveilles de mécanisme, combien 
il nous stupéfie d'autre part avec des appareils, tels que le planimètre de 
Prytz. qui ii ont aucun mécanisme. Cet instrument est une sorte de compas. 
d uwt'erture constante, dont 1 une des pointes est remplacée par un petit fer 
de hache dont le tranchant est dans le plan de l'instrument : si, avec la 
véritable pointe, on décrit un certain contour, le fer de hache, pour peu 
qu on lappuie un peu sur le papier, y trace un sillon dont la rectification 
est en relation très simple avec la quadrature à effectuer. Evidemment je ne 
puis décrire aussi simplement les autres ap])areils mais ceci suffit justement 
à faire pressentir l'intérêt extrèinemenl varié qu'on rencontrera dans l'ou- 
vrage de M. de Morin. 

Après les planimètres proprement dits il étudie ceux qu'on appelle, peut- 
être un peu improprement, planimètres sphériques puis les intégromètrcs 
permettant d'intégrer ^" d.f |)Our n zn 1, 2, U. 4. Viennent ensuite les inlé- 
graphcs, c est-à-dire létude des cas où Ion peut obtenir non des valeurs 
numériques représentant des aires mais une construction gi-apiiique de ces 
valeurs. .Je signale quelques mots intéressants sur les dériy.iteurs, appareils 
infiniment |)lus difficiles à réaliser que les intégrateui's, à un point tel même 
qu'ils n ont jamais jju avoir de véritable existence pratique. La raison de la 
difficulté est celle déjà donnée ici-même, par M. I^aisant, dans notre premier 
volume (1899, p. 24Ï). 

Les analyseurs hai-mouiques terminent cette œuvre d'une érudition facile 
et cependant très complète qui fait grand honneur à son auteur. 

A. B'JHL (Toulouse). 



BIBLIOGRAPHIE 275 

O. Perkon. — Die Lehre von den Kettenbrùchen. — 1 vol. gr. in-S», XII- 
520 p. ; 20 M. (relié 22 M.) : B. G. Teubner, Leipzig. 

La littérature iiKithématique vient rie s enrichir d'un important ouvrage 
qui comble une lacune que l'on sentait vide. Tous ceux qui se sont occupés 
de la théorie des fractions continues connaissent les recherches, souvent 
très longues, auxquelles on avait à s astreindre pour avoir un aperçu de 
l'état actuel de cet intéressant domaine. Ils sauront gré à IM . O. Perron, 
professeur à l'Université de Tubingue, d'avoir rédigé un traité sur la théorie 
des fractions continues. Par ses importants travaux dans cette partie des 
mathématiques, l'auteur était bien qualifié pour faire un exposé de l'état 
actuel de la théorie des fractions continues. 

Louviage est divisé en deux parties. La première comprend l'étude des 
fractions continues envisagées au point de vue arithmétique. Ce sont les pro- 
priétés devenues classiques complétées des recherches plus récentes, no- 
tamment de celles de M. Hurwitz et de M. Tietze. La seconde partie donne 
l'étude analytique des fractions continues dans leurs liens avec la théorie 
des fonctions, lorsque les éléments de la fraction sont des fonctions d une 
variable. A signaler spécialement l'exposé de critères de convergence et de 
divergence et les chapitres consacrés aux fractions continues de Sticlljes 
el aux tables de Padé. 

E. PicAKD. — Das Wissen der Gegenwart in Mathematik und Naturwis- 

senschaft, AutoHsierte deulsche Ausgabe mit erlauterndcn Anmcrkungen 
von F. und L. Lindemann. — (Sammlung « Wissenschaft und Hypo- 
thèse », No XVI.) — 1 vol. in-8«, IV-292 p. ; 6 M. ; B. G. Teubner, Leipzig. 

La plupart de nos lecteurs connaissent le beau livre que M. Emile Pjcard, 
membre de l'Institut, publia il y a quelques années dans la Bibliothèque de 
philosophie scientifique sous le titre La science moderne et son état actuel. 
En voici une traduction allemande rédigée el annotée avec beaucoup de soin 
par M. et Mme Lindemann (Munich), qui ont également publié l'édition alle- 
mande de Science el hypothèse d'Henri Poincaké. 

L ouvrage de M. Picard a pour but de donner une idée d'ensemble sur 
l'état des sciences mathématiques, physiques et naturelles dans les pre- 
mières années du XX<^ siècle. Envisageant les sciences daiis leurs pénétra- 
tions et leurs influences réciproques, l'auteur s'efforce d indiquer les divers 
points de vue sous lesquels on peut envisager la notion d'explication scien- 
tifique, et il insiste sur la valeur et le rôle des théories établies pai* les sa- 
vants modernes. Cet ouvrage est donc de nature à intéresser tous ceux qui 
tiennent à suivre le mouvement scientifique contemporain. 

L'auteui- examine d'abord les théories mathématiques et leur consacre 
trois chapitres : I. Sur le développement de l'analyse mathématique et ses 
rapports avec les autres sciences. — II. Sciences matliématiques et astro- 
nomie. — III. Mécanique et énergétique. 

Puis viennent les théories qui forment la base de la physique de 1 éther 
(IV), et de la physique de la matière et de la chimie (V). Les sciences natu- 
relles font l'objet des trois chapitres suivants : VI, minéralogie el géologie : 
Vn, physiologie et chimie biologique ; VIII, botanique et zoologie. 

Enfin un dernier chapitre traite des théories modernes en médecine et 
tout particulièrement des théories microbiennes. 

Grâce aux annotations très documentées des traducteurs, 1 édition aile- 



276 lilB LIOGRAPIIIE 

mande devient indispensable à ceux qui désirent avoir plus de développe- 
ment sur les théories exposées par M. Picard. 

Thoodor Scu.mid. — Darstellende Géométrie, Band I \Sammhtng Sduihert. 
LXVl. — 1 vol. in-8". 279 p. et 170 lig. ; relié, 7 M.; G. J. Gœschen, 
Leipzig. 

Le traité lie M. Th. Schmid, prolcsseui- à l'Ecole technique supérieure de 
tienne, a pour but de présenter les notions fondamentales et les applica- 
tions des principales méthodes de projection de la Géométrie descri|)tive. 
Ce premier volume contient, dans une premièie partie, l'étude de la projec- 
tion orthogonale sur ti'ois plans rectangulaires d'après Monge. La seconde 
partie est consacrée à la sphère, au cylindre et au cône. L'auteur ne se 
borne pas aux notions que Ion donne généralement dans les cours élémen- 
taires, mais il étudie aussi les propriétés qui sont utiles dans les construc- 
tions et les applications; on y trouvera, par exemple, les propriétés de la 
polarité et de 1 antipolarité par rapport à un cercle ou une ellipse, la cour- 
bure d une courbe et en particulier de l'ellipse et les triangles sphériques. 

La troisième partie traite des courbes planes et des courbes gauches : 
courbure, inflexion, singularité des courbes planes, développantes, hélice, etc. 
Puis vient, dans une quatrième partie, 1 étude des propriétés essentielles de 
la perspective axonométrique orthogonale et de ses applications à la repré- 
sentation des solides géométriques. 

H. \\'ebek. — Lehrbuch der Algebra. Kleine Ausgabe in einem Bande. — 
1 vol. in-8", X-528 p.; 14 M,; ^ r. Vieweg u. Sohn, Braunschweig. 

Le beau traité d'Algèbre supérieure de M. H. W'eber est bien connu des 
mathématiciens. Il en a été publié une 2» édition (o volumes) il y a quelques 
années et l'édition française, limitée à la première partie, a obtenu un succès 
bien légitime. Toutefois l'ouvrage s'adresse plutôt aux professeurs cl aux 
jeunes mathématiciens, qu'aux débutants. C est à ceux-ci que s'adresse cet 
abrégé qui forme en réalité un nouveau traité d'Algèbre supérieure et qui 
leur sera un guide précieux dans une première étude. 

L auteur a réuni dans ce volume les principales notions qui sont à la base 
de 1 Algèbre supérieur£ dans son développement moderne. Après un pre- 
mier chapitre consacré aux déterminants et aux substitutions linéaires, il 
étudie les fonctions entières et les fonctions symétriques. Puis viennent les 
chapitres consacrés aux éléments de la théorie des équations algébriques. 
La théorie des groupes prépare ensuite à l'étude de la division du cercle et 
à la résolution algébrique dos équations. Pour terminer, 1 auteur donne une 
introduction à la théorie des corps algébriques à laquelle il a fourni tant 
fie belles contributions. 

H. W'i BEii u. J. Wi-Li.sTLi.N. — Encyklopàdic der Elementar-Mathematik. 
— Ein Handbuch fiir Lehrer u. Studiereude. III. Ang^'uandte Elementav- 
Mutheinatik : 1. Mathemalische Physik (2'e AuHage) ; 2, Darstellende Géo- 
métrie, graph. Statik, Wahrscheinlichkeitsrechnung, polit. Arithraetik u. 
Astronomie (2te Auflagc). — 2 vol. reliés, gr. in-S", 536 et 671 p. ; 12 M. 
et 14 iM.; B. G. Teubner, Leipzig. 

Tandis que M. Weber a été amené à condenser son Algèbre, comme on 
l'a vu d'après le compte rendu ci-dessus, les auteurs du traité publié sous 



BULLETIN BIB I.IOGRAPH [QUE 111 

le titre d'Ency/dopddie der Elementnr-Mathematik ont doublé le tome III 
consacré aux Mathématiques appliquées en introchiisaat de nou\eaux cha- 
pitres ou en développant certains paragraphes. 

On sait que les auteurs ont pris le terme de Mathématiques élémentaires 
dans son sens le plus large ; ils ont réuni dans leui* traité tout ce qu ils es- 
timent devoir être acquis par les candidats à l'enseignement moyeu dans 
nne revision approfondie des mathématiques élémentaires. Les tomes I et II 
sont consacrés l'un à 1 Algèbre, laulre à la Géométrie. Le tome III em- 
brasse les différentes branches des Eléments de mathématiques a|>pliquées. 

Cette nouvelle édition comprend deux volumes. Le premier, publié sous 
la direction de M. Rod.-H. Webkr (Rostock), contient la mécabique, l'élec- 
tricité et le magnétisme, les maxima et minima et leurs applications à la 
théorie de la capillarité, et les éléments de roplii|ao géométrique et de la 
théorie des ondes. 

Le 2« volume comprend la Géométrie descriptive et les applications à la 
Statique graphique, par J. Wellstein ; le Calcul des probabilités et la 
théorie des erreurs, par J. Weber et J. Bauschi.ngek ; les éléments de la 
théorie des assurances, par H. Bleicher ; lAslronomie, par H. Bauschinger. 

Tous ces chapitres peuvent être abordés par des lecteurs possédant seu- 
lement les mathématiques élémentaires telles qu'elles auront été approfon- 
dies dans les deux premiers volumes. Par une étude attentive des notions 
élémentaires développées dans cet important traité, les futurs professeurs 
«aisiront toute la portée des propriétés qu'ils seront appelés à exposer dans 
les écoles moyennes. Nous leur recommandons vivement de compléter leuis 
connaissances dans les parties élémentaires des mathématiques en prenant 
pour guide l'Encyclopédie de MM. Weber et ^^'ellstein. H. Feur. 



BULLETIN BIBLIOGRAPHIQUE 



1. Pvil>licatioiis périodiques : 

Atti délia Reale Accademia dei Lincei. Rendicouti. — Rome. 

!«'• semestre 1912. — Mathématiques : L. Godeaux : Sur les transforma- 
tions des surfaces algébriques laissant invariant un système continu de 
courbes. — L. Amoroso : Sopra un'estensione del leorema di RiesE-t'isher. 
— L. BiANCHi : Sul gruppo automorfo délie forme ternarie quadratiche sus- 
celtibili di rappresentare lo zéro. — |Id.): SuUe superficie minime cerchiate 
di Riemann. — (Id.) : Sopra certi sistemi die superficie pseudosferiche colle- 
gati ai sistemi di Weingarten. — C. Bompiam : Sopra una trasformazione 
classica die Sophus Lie. — P. Eisenhaht : Sopra le deformazioni continue 
délie superficie reali applicabili sul paraboloide a paramètre puramenfe 
immaginario. — F. Enriques : Sopra una involuzione non razionale dellu 
spazio. — (Id.i : SuUe superficie algebriche con un fascio di curve ellitiche. 



278 BULLETIN H I H L 1 OG R A P H I Q U E 

— G.-C. Evans : SuU cquazione inlegro-difïerenziale di lipo parabolico. — 
G. Fi'BiM : Sulle equazioni inlegrali di lei-z;i specie di limilo Picard. — 
G. GioKGi : Sulla coinmiilabililà dcl segno lim col segiio intégrale, nei 
campi finiti. — (Id.| : Sulla leoi-ia délie equazioni iutegrali gencializzate. — 
(i. LAUKiciiLLA : Suila cliiusula dei sistemi di funzioni orlogoiiali e dei niulei 
délie equazioni inlegrali. — E.-E. Lkvi : Snlie condizioni suHicienli per il 
niinimo nel calcolo délie variazioni (Gli inlegrali sollo forma paramelricai. 

— A. -M. MoLiNAKi : Siil vanlagg'io clie présenta un'eslensione délie funzioni 
di Green. — L. Oklando : Sull inlegrabililà délie funzioni di due variabili. 

— (Id.) : Sopraun teoreuia relativo agli insiemi. — (Jd.| : Sopra una queslione 
lecnica che si connette cogli inlegrali di Lebesgue. — M. Pannelli : Sopra 
alcune questioni riguardanti due fasci di curve dati in una superiicie alge- 
brica. — G. Peako : Sulla defiuizione di probabilità. — G. Ricci : Dclla 
trasformazione délie forme differcnziali quadraliclie. — L. Tom:lli ; Sugli 
inlegrali curvilinei dei calcolo délie variazioni. — M. Torelli : Sulle .super- 
ficie algebriche contenenti due fasci ellillici di curve. — V. Voltkkka : 
Vibi-azioni elasticbe nel caso delleredità. 

JM. Abraham ; Suila tooria délia gravilazione. -^ (Id.): Sulla legge 
elementare délia gravilazione. — (Id.) : Sulla couservazione dell'energia 
e délia maleria dei campo gravitaziouale. — U. Cisotti : Sopra 
l'effluso a slraniazzo. — (Id.) : SuH'iutumescenza dei pelo libero nei cauali a 
fondo accidentato. — (Id.) : Sulle onde superficiali dovule a parlicolare confor- 
mazione dei foudo. — (Id.): Onde brevi causale da accidentalilà pei-iodiche 
ilel fondo. — G. Colonnetti : Sul principio di reciprocità. — A. Del Re : 
Le equazioui generali per la statica e la dinainica dei sislenii maleriali au n 
dimensioni ed a curvatura costanle, nellanalisi di Grassmann. — E. Laura : 
Sopra le vibrazioni normal! di \\n corpo elastico immerso in un fluido. — 
G. Lauricella : Sulla risoluzione délie equazioni inlegro differcnziali 
dell'equilibrio dei corpi elaslici isoti-opi per dali spostamenli di superlicie. 

— T. Levi-Civita : Sulle onde di cauale. — (Id.) : Sul teorema di \\'hillaker. 

— O. Tkuone : Suila deforinazione di un cilindro di rolazione. 

Bulletin of the American Mathematical Society. — New- York. 

^ ol. .WIll, fasc.iSà 10. — D. C. Gillespie : Uefinile Intégrais Containing 
a Parameler. — S. Lefschetz : On the Y3 wilh Kive Nodes of the Second 
Species in S4. — J. B. Schaw : VVhat is Malliemalics. — G. R. Ci.i:.vie>ts : 
Implicit Funclions Defined by Equations wilh Vauishiiig Jacobian. — E. VV. 
Browin : Darwin s Scientilic Papers. — E. B. W'ilsox ; Malhemalical Eco- 
nomies. — V . N. C01.E : The April Meeting of the American Malhemalical 
Society. — \V. R. Lon(;li:y : Proof of a Theorein Due lo Picard. 

Vol XIX, fasc. 1 et 2. — E. J. Miles : Surfaces of Révolution of .Minimum 
Résistance. — F. N. Cole : The INineleenlh Summer Meeling of the Ameri- 
can Malhemalical Society. — G. A. Miller : A Few Theorems Helaling to 
Sylow Subgroups. — A. R. Schweitzeu : Theorems on Funclional I'](iualions. 

— S. Lefschetz : Double Curves of Surfaces Projecled from Space of Four 
Dimensions. 

Journal fiir die reine und angewandte Mathematik. — G. Reimer, Berlin. 

Band l'il, n" '1. — R. Je.msch : Ueber Inlegralgleichungen mil pcjsilivem 
Kern. — R. Remak : l'eber die Zerleguug der kommulaliven Gruppen in 



BU L LE T IX BIBLIOGRAPHIQUE 279 

zyklische teilerfrede Faktoren. — L. Fœppl : Stabile Anoidiuuigen von Elek- 
troneii im Atom. — W. Vogt : Metrische Untersuchungen der kubischen 
Hypeibel, iusbesondere der gleichseitigen. 

Band 142, n" 1. — L. Lichtexstein : Raadwertaufgabcn der Th^oiie der 
linearen partiellen Dilfereiilialgleichungen zweiter Ordnung vom elliptischen 
Typus. I. Die ërsle Randwerlaufgabe. Allgemeiue ebone Gebiele. — P. Bach- 

■)^— * — 1 ^. • , 

MANX : Ueber den Rest von '- (mody;>|. — G. Bvkrau : Aumerische 

P 

Liisung der Gleiclmng --^, = >^ -; ^ • wo p,, die Reihe der 

o 1 2 — - •■^ 1 P — 

Primzahlen von 3 an durchlauft. — R. Remak : Neuer Beweis eines Salzes 
des Herrn Burnside ùber spezielle endliche Gruppen. — J. Rosanes : Ein 
Satz uber konjûgierte Fornien. — H. W. E. Jumg : Ueber die ausgezeich- 
netoii Kurven algebraischer Fiacben. 

Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo, Direitore G.-B. Glccia. 

Tome XXXIII — BuitAH-FoRn : Fondamenti perla geometria differenziale 
su di una superlicie col metodo vettoriale générale. — Plancherel (M) : Sur 
la sommation des séries de Laplace et de Legendre. — Sannia (G.) 
Su due forme dilferenziali che iudividuano una eongruenza o un com- 
plesso direlle. — L. Amoroso : Sopra un problema al contorno. — 
P. Appell : Sur des fonctions se rattachaut aux fonctions (-) du quarième 
degré. — R. Mattsox : Sur les fonctions entières d'ordre zéro. — 
D. PoMPEiu : Sur une classe de fonctions d'une variable complexe. — 
L. Bellesim : Generalizzazione di un teorema di Segre. — F. Giudice : 
Teorema fondamentale per la risoluzione assintotica delle equazioni alge- 
briche numeriche. — A. P. Grouzinzeff : Sur la transformation de Lorentz 
et son application aux milieux quelconques. — H. Villat : Le problème de 
Dirichlet dans un aire annulaire. — A. Terkacini : SuUe Va che rappresen- 

tauo più di equazioni di Laplace di linearmeute indipendenti. — 

A. SiGxoRiM : Esistenza di un'estremale chiusa dentro un contorno di 
Whittaker. — G. Ricci ; Di un metodo per la determinazione di un sistema 
completo di invarianti per un dato sistema di forme. — L. Lichtenstein : 
Beitrage zur Théorie der Linearen partiellen Differentialgleichungen zweiter 
Ordnung vom Elliptischen Typus. Unendliche Folgen positiver Lôsungen. — 
A. Rosenblatt :'Algebraische Flachen mit diskontinuirlich unendlich vielen 
birationellen Transformationen in sicK. — M. Pieri : SuUa rappresentazione 
vettoriale delle congrueuze di raggi. — W. Blaschke : Ein Beitrag zur 
Liniengeometrie. — E. Picard : Sur les couples de fonctions uniformes d une 
variable correspondant aux points d'une courbe algébrique, de genre supé- 
rieur à l'unité. — P. Appell : Sur les liaisons non linéaires par rapport aux 
vitesses. — G. Yivanti : Sull'equazione di Eulero per gli integrali multipli. 
— A. Terracini : Sul carattere invariantivo di alcuue espressioni vettoriali. 
P. Levy : Sur les équations aux dérivées fonctionnelles et leur application à 
la Physique mathématique. — F. Sevi.ri : Sur principio délia conservazione 
del numéro. — G. Sanma : Xuovo metodo per lo studio delle congruenze e 
dei complessi di raggi. — F. A. Dall'acqua : Le equazioni di Hamillon- 
Jacobi che si integrani per separazione di variabili. — J. Pal : Beweis des 



280 BULLETIN R I H L lO G R A P H I Q U E 

Lebesgue-Young'schen Satzes. — T. Levi-Civita : Sulla gravilazioue di un 
lubo soltile con applicazione all'anello di Saturno. — H. Poincaké : Sur un 
théorème de Géométrie. 



2. I^ivres nouveaux : 

C. BouKLET. — Cours de mathématiques, lilléments d'analyse et de géo- 
métrie analytique à liisagf des élèves arcliitecles et ingénieurs. 2« éditicui. 
— 1 vol. in-S". VI-252 \,.. (iaiitliier-Villars. Paris. 

C. BoiRLET. — Eléments de Statique graphique. — I vol. in-8'*. I.ô'i |). ; 
7 fr. 50; Hachetle c^ C'^, Paris. 
C. GoDFREY and A. \V. Siddo.ns. — Elementary Algebra. Volmue II. — 

1 vol. relié, 530 p. (avec solutions 44 p.) : 2 s. 2 d. ; L'niversity Press, Cam- 
bridge. 

C. GoDFREY and A. \V. Siddoxs. — Four-Fiqures Tables (Tables à 4 dé- 
cimales). — 1 vol. de 40 p. ; Xine pence: Univeisity Press, Cambridge. 

J. L. S. Hatton. — The Principles of Projective Geometry. — 1 vol. 

relié, gr. in-8°, 336 p. ; lU sli ij , l'niveisil y Press, Cambridge. 

R. Mf.h.mke. — Vorlesungen ûber Punkt- und Vektorenrechnung. — In 

zwei Biinden. Erster Band ; Pnnktrechnung Iirster Teilband. Uas Reclmeii 
mit Punkten, Geraden und Ebeuen |ei-sle Halfte) Grundzuge der projektiven 
Géométrie, Auwendungen und Lebungen. — 1 vol. in-H»; VIlI-o94 p. : 
14 M.; B. G. 'Jenbner, Leipzig. 
H. PoiNCAKÉ. — Leçons sur les hypothèses cosmogoniques prolessécs à 

la Sorbonne. — I vol. in-^-J. 2'^ édition avec un porti-ait en héliogravure et 
une Notice sur Henri Poincaré par E. Lebo.n. — 1 vul. LXX-294 p.; 12 tr. : 
Hermann & fils, Paris. 

C. RuNGE. — Graphical Methods. Ernest Kempton Adams Research Fund 
1909-1910. — 1 vol. in-«'', IX-l4.S)j.: Columbia University Press, New-York. 

L. ScHRLTKA. — Elemente der hôheren Mathematik fïir Studierende der 
Technischen und Nalurwissensdiatlen. — 1 vol. in-Ho, X.\n'-5G9 p.: 10 M.: 
F. Deuticke, Leipzig et Vienne. 

P. Stackel und H. Beck. — Losungen der Aufgaben ans Borel-Stackel 
Elemente der Mathematik. — I. .\iilhmetik nnd .\lgebra. II. Géométrie. — 

2 fasc. in-80, 44 cl :!9 j). : l .M. 5(1 le fasc. : B. G. Jeubner, Leipzig. 

H. YoGT. — Eléments de mathématiques supérieures. Edition rédidti'. à 
1 usage des élèves chimistes et des élèves des écoles industrielles. — 1 vol. 
in-8'\ VI-357 p.; Vuibert & Nony, Paris. 

Ahhaiidlintiicn iihcr dcn niathemritischi'ii l nterricht in Dcutschland : 

K. ^)tt. — Die angewandte Mathematik an den deutschen mittleren 
Fachschulen der Maschienenindustrie. — 1 lasc. in-,S". YI-15S p.; 4 .M 

.1. ScuRouFK. — Die neuzeitliche Entwicklung des mathematischen Un- 
terrichts an den hbheren Màdchenschulen Deutschlands insbesondere 

ÎS'orddenlschlands. — I fasc. in-8", XII-l."{."i ji. ; (j .M. ; B. G. Tenbner, Leipzig. 



SUR L'EXISTENCE DES POTENTIELS 
ET DE LEURS DÉRIVÉES' 



1. Introduction. La théorie du potentiel peut être subdivisée en 
deux parties qui se rattachent, l'une à la théorie des intégrales 
définies, l'autre à la théorie des équations aux dérivées partielles ; 
les potentiels sont, en effet, certaines intégrales définies multi- 
ples qui ont la propriété de satisfaire aux équations de Laplace 
ou de Poisson. 

Dans la théorie de ces équations diff"érentielles, la démons- 
tration de l'existence, dans un domaine donné, de solutions sou- 
mises à certaines conditions aux limites du domaine constitue un 
premier pas vers la solution des problèmes d'intégration (pro- 
blèmes de Dirichlet et de Neumann, par exemple). Quelque vif 
que soit aujourd'hui l'intérêt qui s'attache à ces questions, ce 
n'est pas d'elles qu'il s'agit dans cette conférence. 

Si l'on se place au point de vue de la théorie des intégrales 
définies, les fonctions sous le signe somme, dans les intégrales 
qui expriment les potentiels et leurs dérivées, sont souvent infi- 
nies dans le domaine d'intégration ; on se trouve en présence 
d'intégrales généralisées (ou impropres) dont il s'agit d'établir la 
coni'ergence, ou si l'on veut Ve.vistence, en même temps qu'indi- 
quer les limites dans lesquelles elles vérifient les équations diff'é- 
rentielles mentionnées. Je voudrais passer en revue les principaux 
problèmes qui se présentent dans cette théorie et noter l'état 
actuel de leur solution, sans viser à être complet-. 

2. Définition. Considérons l'attraction newtonienne exercée sur 
une masse ponctuelle M par plusieurs autres m. Lagraxge a re- 
marqué le premier (1773) que les composantes de l'attraction, 
X, Y, Z, suivant les axes d'un système de coordonnées rectangu- 

!• .1 ,,., .•11 ôû ôQ ôQ 1. A 

laires. sont les dérivées partielles — - , —, — , a une même 



' Conférence faite par M. Ch. Jaccottiît (Lausanne) à la réunion delà Société mathématique 
suisse, le 9 mars 1913, à Neuchàtel. 

" Les compléments et la bibliographie du sujet seront donnés dans l'article que prépare 
l'auteur pour Y Eiicyclnpédie des sciences mathématiques pures et appliquées, édition fran- 
çaise, tome II, vol. 4, 24. 

L'Enseignement mathéni., 15» année; 1913 20 



282 €. JACCOTTirr 

fonction Si des coordonnées du point P \.v. y, z), où est située la 

masse. M. La fonction Si a pour valeur Si =^ 2 . la somme 

{m) ''m 

s'étendant à toutes les masses ni, r^^^ désignant la distance de la 
masse m considérée à la masse M . 

Pour exprimer l'action exercée sur une masse ponctuelle M par 
un corps continu K, Lagrange suppose ce corps décomposé en 
masses élémentaires dm et fait la somme de toutes les actions 
élémentaires. Les composantes de Faction totale sont encore les 
dérivées partielles d'une fonction Si (.r, y, r , 

,' /• ,' r 

K K 

/• désigne la distance de l'élément dm au point polentiè P .r, y, z\ 
siège de la masse M ; /"est un facteur constant dépendant du choix 
des unités, qui peut être pris égal à 1. Si, de plus, nou« faisons 

M = + 1, nous avons Si := \ = j —;- . C'est à cette fonction V 

K 

que Grekx a donné le nom de fonction potentielle et Gauss celui 

de potentiel du corps K par rapport au point potentié P. La fonc- 

. . , . .^ . . ,, i>V -. i^V 

tion \ a ainsi la signification suivante : a -— ,— , i = :^ , 

L :^ — sont les composantes de 1 attraction exercée par le corps 

K sur la masse -|- 1 située en P [.i\ //, z). 

3. Hypothèses physiques. Le fait de considérer l'action totale 
comme la somme des actions élémentaires et d'exprimer le poten- 
tiel par une intégrale implique l'hypothèse que la matière est 
divisible à l'infini et cpie chacujie des parcelles de matière, si 
petite soit-elle, possède la propriété d'attirer suivant la loi de 
Newton d'autres parcelles analogues, à toutes les distances quel- 
(jue petites que soient ces distances. Or ceci paraît en contradic- 
tion avec l'hypothèse de la constitution moléculaire de la matière 
et l'existence des forces intra-moléculaires. 

Mais il y a plus. Dans le but de pouvoir traiter commodément 
l'intégrale V, on fait d'autres hypothèses sur la répartition des 
masses à l'intérieur du corps K. On admet en général la conti- 
nuité et la dérivabilité de la fonction qui mesure la masse, de 
manière à assurer l'existence de la densité. On sait que la densité 
en un point N du corps est la limite de la densité moyenne d'un 
élément de volume entourant le point N, lorsque cet élément de 
volume s'évanouit en ce point. La densité au point N est ainsi 

,. /A/h\ (fin y , . • , 1 

Q ■=. lim \ TT- ) ^^ TC- 1 '^'/'' désignant la masse contenue dans 



SUE L'EXISTENCE DES POTENTIELS 283 

l'élément de volume JK. En introduisant dans l'intégrale V cette 
fonction o, le potentiel prend la forme habituelle \ ^ / ■ . 

K 

On peut se demander si, dans ces conditions, le potentiel ne 
perd pas sa signification physique ou si, tout au moins, V repré- 
sente avec une approximation suffisante l'action réelle du corps K. 

Avant d'aller plus loin, il faut remarquer que les physiciens 
n'ont pas les mêmes idées sur la constitution de la matière. Les 
avis oscillent entre ces deux conceptions extrêmes : une matière 
continue au sens exact du mot, et une matière formée de corpus- 
cules très petits isolés les uns des autres, les molécules. L'opinion 
la plus généralement admise aujourd'hui est intermédiaire. Je 
rappelle seulement, à ce propos, la superbe conférence dans 
laquelle M. le professeur P. Weiss^ nous montrait l'atome comme 
un complexe encore peu connu de particules de nature très diffé- 
rente, parmi lesquelles on distinguait les particules «, les élec- 
trons et les magnétons. 

Les mathématiciens, comme le fait remarquer M. F. Kleix dans 
son cours de Calcul différentiel et intégral avec applications à la 
géométrie (autogr., Leipzig 1902), n'ont pas à décider laquelle de 
ces hypothèses renferme la plus grande part de vérité. Leur rôle 
est de montrer jusqu'à quel point ces différentes hypothèses peu- 
vent conduire aux mêmes résultats. Et c'est là, dit-il, l'un des 
grands problèmes de ce qu'il appelle la « mathématique des 
approximations. » 

4. Approxi?natioii des potentiels phi/siqiies par des intégrales 
définies. C'est dans cet ordre d'idées que se place J. G. Leathem, 
dans sa brochure » Volume and Surface intégrais used in physics » 
'Cambridge 1905 . Il admet la constitution moléculaire de la ma- 
tière et, exagérant volontairement son point de vue, considère un 
corps comme une agglomération de corpuscules extrêmement 
petits séparés les uns des autres par des espaces vides. Non seule- 
ment cette matière ne peut être subdivisée à l'infini, mais il existe 
un dernier degré de subdivision au delà duquel les parcelles de 
matière n'ont plus la propriété d'attirer d'après la loi de Newton. 
Il appelle particules les plus petites parcelles possédant cette 
propriété. Rien n'empêche de se figurer ces particules comme 
étant du même ordre de grandeur que les molécules. Le potentiel 

se présente alors sous la forme d'une somme, 2- , que l'auteur 
veut représenter approximativement par 1 intégrale / ^—7- . L eva- 

K 

luation de cette approximation ou, si l'on veut, l'examen de la 



^ Société helvétique des sciences naturelles, session dAltdorf 1912. 



28'i C. JAC COTTE T 

f(iiesti()n si les deux hypothèses de la continuité et de la disconti- 
nuité de la matière conduisent approximativement au même résul- 
tat, fait l'objet du premier chapitre de la Jjrochure. 

Dans ce but, il doit tout d'abord définir la densité q et veut 
s'arranger de manière que cette fonction soit en général- continue. 
Il introduit pour cela la notion de petitesse phi/sique (physical 
smallness). Un corps, pai- exemple, sera considéré comme physi- 
(juement très petit lorsqu il sera imperceptible à nos sens, mais 
non pas tel cju'il doive être considéré comme ayant les propriétés 
physiques d'une molécule ; il doit au contraire renfermer un 
grand nombre de molécules. On estime qu'un gaz, à pression et 
température normales, renferme 4 X 10'^ molécules par cm^. Un 
cube dont le côté serait égal à la longueur d'onde de la lumière 
de sodium, soit 6 X 10~^ cm., renfermerait encore 8,000,000 de 
ces molécules. Si l'on considère 8 millions comme un grand 
nombre, on pourrait prendre cette longueur d'onde comme spé- 
cimen de petitesse physique et désigner son ordre de grandeur 
par f. La densité en un point N du corps est alors définie comme 
la densité moyenne dune partie de ce corps entourant X et dont 
toutes les dimensions sont de l'ordre f. 

Dans cette hypothèse, Leathem cherche Tordre de grandeur de 

,,.„., ^'« /»prfK . . . , , . 

la diirerence entre 2,- et / et il arrive a la conclusion que 

K 

cet ordre est e ; tandis que l'ordre de grandeur de la différence 
entre les composantes des attractions correspondant à ces poten- 
tiels est f log f <^ y f . La question posée plus haut peut donc être 
considérée comme affirmativement résolue. Il faut cependant 
remarquer que la définition de la densité est quelque peu impré- 
cise ; l'auteur ne s'en défend pas ; il s'adresse à des étudiants en 
physique et n'a pas l'intention d'entrer dans des discussions 
mathématiques délicates. Ainsi, il ne fait que rendre plausible 
la continuité qu'il attribue à la fonction q. 

5. Comportement des potentiels en deJiors des masses attirantes. 
Considérons maintenant les potentiels mathématiques exprimés 

par des intégrales de la forme \ =^ j - — s'étendant à certaines 

K 

masses. Celles-ci peuvent être distribuées dans un volume, sur 
une surface ou une ligne, ou encore en des points isolés. On 
obtiendra, suivant les cas, des potentiels de corps, de surface, de 
ligne ou de points. Nous considérerons aussi les potentiels de 
double couche qu'il est superflu de définir ici. Si le point potentié 
P se trouve à une distance finie de toute masse potentiante, la 
distance /• ne devient jamais infiniment petite et, pourvu que la 
densité q soit une fonction intégrable, l'intégrale V existe et 
représente une fonction des coordonnées du point 1*. 



SUB L EXISTENCE DES POTENTIELS 285 

PoiNCARÉ ' a démontré directement que ce potentiel V est déve- 
loppable aux environs d'un point {a, b, c), extérieur aux masses po- 
tentiantes, en une série entière 2\^_r^ {.v — o-)'^{y — b)^{z — c)T ; 
cette série converge absolument dans les environs du point [a, b, c) 
sous la seule condition que / | ^ | dK existe. 

K 

Un potentiel a, par suite, des dérivées de tous ordres, que l'on 
obtient en dérivant sous le signe somme. Les dérivées premières 
satisfont à la relation suivante : Soit s une direction donnée par 

ses cosinus directeurs a, 8, y ; soit -- = « — + p — -\- Y ~r , et 

désignons par X.s- la composante, suivant la direction s, de l'attrac- 
tion qu'exerce le corps sur la masse + 1 située en P, on a 

(1) 'i=ro'M,K = x,. 

K 

Les dérivées secondes satisfont à l'équation de Laplace : 

d^w ù'-v .y-v 

(2) AV =—+—, + — = . 

fi,*' ov i»; 

Ces propriétés appartiennent à tous les potentiels mentionnés, 
dans l'hypothèse que le point P est à une distance finie des masses 
potentiantes. 

Dans tout ceci la densité q n'a joué qu un rôle très effacé, elle 
aura sa revanche tout à l'heure. Mais auparavant, je voudrais 
signaler une question intéressante examinée récemment par 
MM. PizETTi et Lauricella "■'. Supposons que l'on donne le volume 
occupé par un corps et l'action externe du corps, c'est-à-dire son 
potentiel extérieur, quelle est la répartition des masses à Tinté- 
rieur du corps ? Ainsi formulé, le problème a une infinité de 
solutions et on peut se demander c{uel est le degré d'indétermi- 
nation de la densité q (q est supposée continue et dérivable deux 
fois) ? Lauricella arrive à la conclusion que //q est complètement 
arbitraire. En d'autres tei-mes, /"(.r, i/, z) désignant une fonc- 
tion arbitiairement choisie à l'intérieur du corps, on peut poser 
Jq =z f[.vyz)\ il existe alors. une fonction ç, satisfaisant à cette 

équation différentielle, telle que le potentiel / '^^— soit, à l'exté- 

K 

lieur du corps, identique au potentiel prescrit. Cette question est 



1 Acta mathemalica, 22 (1808) p. 8!l. 

2 P. PlziîTTi, Atti dcUa li. Ace. IJiiiei (5) 18, l''- seni., p. 211 : Aiinali di Mut. n 
p. 225. — (i. Lauricklla, Atti délia H. Ace. Liiicei (5) 20, '.<" seni., p. !i;). 



286 C. JACCOTTET 

née (le l'étude de la répartition des niasses à l'intérieur du géoïde, 
dont l'action externe est assez bien connue. 

6. Potentiel d'un corps par rapporta un point intérieur. Quand 
le point P est à l'intérieur du domaine K occupé par les niasses 
potentiantes, la distance /• devient nulle dans le champ d'intégra- 
tion, savoir au point P; la fonction sous le signe somme, dans les 
intégrales qui expriment V et ses dérivées, devient infinie en ce 
point. Ces intégrales, comme l'a fait remarquer Galss, n'ont plus 
de sens, à moins d'être définies à nouveau, soit généralisées. Pour 
cela, on entoure le point P d'une surface c, limite d'un certain 
volume t; l'intégrale à généraliser est alors étendue au domaine 
K — T. Puis ou modifie la surface a de manière que toutes ses 
dimensions deviennent infiniment petites et qu'elle s'évanouisse 
au point P. Si l'intégrale étendue au domaine K — r tend vers une 
limite finie lorsque G s'évanouit en P, elle est dite convergente, 
et cette limite est prise comme valeur de l'intégrale généralisée ; 
si, au contraire, la limite n'existe pas ou est infinie, l'intégrale est 
dite divergente ; la généralisation proposée n'a pas de sens. La 
convergence est de deux sortes : lorsque l'existence et la valeur de 
la limite sont indépendantes de la succession des formes prises 
par la surface g en s'évanouissant en P, l'intégrale est dite absolu- 
ment convergente, dans le cas contraire, semi-convergente. 

Revenons au potentiel. On démontre aisément la convergence 
absolue de l'intégrale V pour tous les points intérieurs, puis sa 
continuité, en montrant que Y possède des dérivées premières. 
Le potentiel d'un corps est ainsi continu dans tout l'espace et y 
possède des dérivées premières. 

Ces dérivées piemières peuvent-elles être obtenues, comme 
dans le cas des points extérieurs, en dérivant sous le signe 
somme ? 

La réponse est affirmative. Pour le démontrer et étendre ainsi 
aux points intérieurs la relation (1), il faut, 1°, non seulement 

établir l'existence de la dérivée -- , mais encore celle de l'inté- 

grale X^j, puis 2°, montrer l'égalité de ces deux limites. 

Gauss et, à sa suite, DiiîicHLET et RiE.MANx se contentent d'établir 
l'existence de X^. On compléterait la démonstration en établissant 
le théorème suivant, que démontre .I.-G. Leathem ^ dans les cas 
intéressant la théorie du potentiel et sous la condition que q soit 
dérivable : La dérivée dune intégrale généralisée, au point P où 
la fonction à intégrer devient infinie, s'obtient en dérivant st)us le 
signe somme, à la condition que l'intégrale primitive et celle 
obtenue après la dérivation soient convergentes. 

La^îremière démonstration satisfaisante de l'égalité (1) est due 

* Loc. cit. p. 23. 



s m L'EXISTENCE DES POTENTIELS 287 

à M. Bouquet^; elle est valable sans autre condition pour q que 
celle de l'intégrabilité. 

7. Equation de Poisson. Considérons maintenant les dérivées 
secondes. Poisson remarqua le premier (1813) que l'équation de 
Laplace n'est plus vérifiée lorsque P appartient aux masses poten- 
tiantes et qu'elle devait être remplacée par la suivante : 






— ï + r + 3 ^ 47:0 OU A\ ^ — iT.'- 



Q étant la valeur de la densité au point P. Cette équation est dite 
Y équation de Poisson. Etahlir l'existence des dérivées secondes, 
puis l'équation de Poisson, est le problème capital de cette théorie. 
Ici la densité q est au premier plan, les progrès sont marqués 
par des hypothèses de moins en moins restrictives concernant 
cette fonction. Nous pouvons distinguer quatre périodes, suivant 
les hypothèses dans lesquelles l'équation de Poisson a été établie : 

1'''' période : q constant Poissox (1813). 

U'"*^ » Q dérivable (analytique) Gauss (1840), (R. Schmidt). 

3'"" » Q continue Holder (1882), Moreka. 

4'"'= ). Q intégrable H. Pétrim (1899). 

[^'période. Poisson, non seulement démontra l'équation qui 
porte son nom dans le cas des corps homogènes, mais il donna 
de ce théorème, dans le cas général, trois démonstrations diffé- 
rentes. Ces démonstrations doivent être aujourd'hui considérées 
conime insutFisantes, Poisson admettant implicitement l'existence 
de J\ et se bornant à calculer la valeur de cette expression. La 
même observation s'adresse aux démonstrations de 0. Rodrigues, 
Ostrogradsky, Sturm, Pagani. 

om^ période. — C'est à Gauss- qu'est due la première démons- 
tration satisfaisante de l'équation de Poisson . Cet auteur admet 
que Q possède des dérivées premières finies ; mais, comme il le 
fait remarquer, sa démonstration n'exige que la dérivabilité 
(Gauss dit la continuité), de q le long de chacun des rayons vec- 
teurs partant du point P. Gauss établit l'existence et la continuité 

des dérivées —-^ , etc., à l'intérieur du corps, leur absence de 

signification à la surface, les discontinuités qu'elles éprouvent 
lorsqu'on passe de l'intérieur à l'extérieur du corps et déduit de 
ces résultats l'équation de Poisson. Il s'élève contre l'idée émise 
par Poisson, Ostrogradsky et Pagani de poser J\ = 27rQ pour les 
points de la surface, car JV n'y a pas de sens précis. 



' Publiée par Briot, Théorie niccaiiiquc de la chaleur : V\cxv.o, Traité d'Anati/se, I, p. 165. 
* Une traduction fran<;aise du célèbre mémoire de Gauss se trouve dans le Journal de 
lÀouviUe, 7 (1842j. 



288 C. JACCOTTET 

La démonstration de Gaiiss fut reprise et modifiée par Dirichlet 
et dès lors les démonstrations du théorème de Poisson se font de 
plus en plus nombreuses. 

Le point de vue de Gauss q dérivable; est naturellement celui 
de presque tous les traités de la théorie du potentiel. On le re- 
trouve même dans certains travaux modernes: E. Schmidt^, sui- 
vant les traces de IL Bruns -, considère la densité q et le potentiel 
comme des fonctions analytiques et ramène la question d'exis- 
tence des dérivées au théorème d'existence des solutions analyti- 
ques des équations aux dérivées partielles. 

11 faut encore citer la démonstration donnée par Kroneckkr 
dans le Journal de Crelle de 1869, quoique cette démonstration 
soit incomplète, Kronecker se voyant obligé à admettre l'existence 
des dérivées secondes. Pour la première fois, semble-t-il, on aban- 
donne l'idée de q dérivable et propose comme idéal de soumettre 
Q aux conditions les moins restrictives possibles. De plus. Kro- 
necker fait voir que la difficulté de la démonstration provient de 
l'hypothèse du point matériel que l'on suppose placé au point P. 
Il remplace ce dernier, par exemple par une petite sphère homo- 
gène, et établit facilement, pour l'action réciproque des deux 
corps, un théorème correspondant à celui de Poisson. En faisant 
tendre la sphère A^ers un point matériel, il obtient le théorème de 
Poisson ; c'est ce passage à la limite qui est la partie difficile de 
le démonstration et oblige Kronecker aux restrictions indiquées. 

2"^^ période. Les progrès de la théorie des fonctions vont per- 
mettre un nouvel avancement de la solution du problème. Dans 
sa dissertation, présentée à l'Université de Tubingue en 1882, 
0. HoLDEB reprend l'étude de l'existence des potentiels et de leurs 
dérivées en considérant la densité q comme intégrable. Mais 
l'étude des dérivées secondes est faite en exigeant que la fonction 
q satisfasse, dans les environs du point P r, y, r), à la condition 

(4) |,olS, ^. ri - o(^-. V, =||< Ar>- 

A et A étant deux constantes positives, Â <; 1. Cela revient à con- 
sidérer q comme continu au point P, avec encore une certaine 

restriction. Holder trouve alors pour —-^ l'expression 



1 

— - ^ lim / ^ 



dK 



(KI-IR) 



dans laquelle q^ est la densité au point P, iK) désigne le domaine 



' Mathematische Annaleii, C8 il'JO'Jl p. 107 
" Dissertation. Berlin 1871. 



SUR L'EXISTENCE DES POTENTIELS 289 

occupé par le corps, (R) une sphère de rayon R et de centre P. De 
ces résultats découle l'équation de Poisson. 

Pour assurer la continuité de ces dérivées, Fauteur doit modifier 
un peu la condition (4) et exiger que 

I p(a:', r', r.')- p(.r", r", z") \ < Ar^ , 

[x', y', z') et (.r", y", z") étant deux points quelconques des envi- 
rons de P. 

Les résultats de Holder ont été retrouvés et quelque peu étendus 
par G. Morera\ dans un travail admirable de clarté et de simpli- 
cité. Morera commence par distinguer la convergence absolue et 
la semi-convergence, puis montre que l'intégrale figurant dans la 
formule de Holder est semi-convergente. Il obtient la formule 



is'-v /'Hr/î^? 






d'i .Vi ' .' '' "" ô?- 



dK 



dans laquelle l'intégrale de volume est absolument convergente, 
grâce à la présence du facteur ç — Çy ; S désigne la surface qui 

limite le corps K et — la dérivée suivant la normale à cette sur- 

face. Les hypothèses faites sont: 1° la densité q est finie au point 

P, çp =z ç^ ; 2" ç est intégrable ; 3" l'intégrale / '^ . '^" dr est finie 

II 
et déterminée le long de chacun des rayons vecteurs partant de 
Pi/z=0). Cette dernière condition entraine la continuité de q au 
point P et même la restreint. En remplaçant l'intégrale absolu- 
ment convergente par d'autres semi-convergentes, Morera retrouve 
les résultats de Holder. 

k''^" période. La solution complète du problème de Poisson est 
due à Henrik Pétrim. Dans un mémoire très étendu, paru en 1908 
dans les Acta mathematica, cet auteur rassemble et complète les 
résultats qu'il avait publiés dès 1899 dans divers périodiques 
suédois. 

M. Pétrini ne soumet tout d'abord la fonction q à aucune autre 
condition que celle de l'intégrabilité et il obtient des condi- 
tions nécessaires et sufl^isantes pour l'existence des dérivées 
secondes du potentiel. Il est ensuite obligé d'ajouter à la condi- 
tion d'intégrabilité de ç, celle de continuité le long de chacun 
des rayons vecteurs partant du point P : si au lieu de coordonnées 
rectangulaires, on introduit des coordonnées polaires /•, 9, if> et 



1 Rendicoiili d. Instituto Lnmbardo cil 20 (18S7I, p. 302, ^i't'A. 



290 C. JACCOTTET 

pose /• ^ ht, H = cos^, la densité g doit être telle que lim ç ht, 9. ifi 

existe et soit égale à une fonction q{i(, ip intégrable le long de 
chacun des rayons vecteurs issus de P. I^a condition nécessaire 

et suffisante de l'existence de la dérivée — -:, par exemple, est alors 

la convergence pour A ;= de l'intégrale 



(5) K, = f .^,ALldK , 

,h) 

dans laquelle (A) et {a\ sont des sphères de centre P et de rayons 
h et a, a étant une constante. 

... , .... - lV-'v .v-v .^n- . 

L existence des dérivées secondes — .7 , — o , — ;r une tois 

èx- tty dz- 

assurée, J\ se présente sous la forme d'une intégrale de surface 
C{ui devient égale à — ^ttq lorsqu'on suppose q continue au 
point P. L'équation de Poisson, JX = — ^jiq, est ainsi établie 
dans le cas où g est continue et sous condition de convergence de 
trois intégrales analogues à (5). En spécialisant, Pétrini retrouve 
les résultats de Morera, Holder et Gauss. 

La continuité de q ne suffît pas à assurer l'existence des dérivées 
secondes. M. Pétrini donne comme exemple d'une densité con- 
tinue dans tout l'espace et pour laquelle les dérivées —, , etc.. 
n'existent pas au point P (.r, y, z), la fonction 

(6) = '^ "~ •*'!" . r'- = (Ç - .rf + (ri - yf + {X - z)' . . 

t- log - 

Le laplacien J\' du potentiel correspondant n'existe pas non plus 
et l'équation de Poisson est en défaut. Mais si l'on généralise 
cette équation en définissant JV comme suit : 



,7, ^=nnA'(^Xi±±J!i-L 



:) ^\{.r, r, z' 



t'.r 

£ / d\{x,r+ A,, z) _ d\{x, y, z) \ |_ /ùV(.r, r. c + 1^] i>V|.r. r, 

les quantités h^, h^, h^ tendant vers zéro de manière que 
liii) I r- I = Cj.^. z= constante ^ , / . A- = 1, 2, 8 , 



')]■ 



SUR L EXISTENCE DES POTENTIELS 291 

alors, on a la relation 

A\' = — 'i-;. . 

Ce fait se présente chaque fois quand la densité o est continue, 

j- • - >^'^' i''^' ''''^' ^ • 
alors même que les dérivées -— j , — ;, — r n existeraient pas 

isolément. 

Dans le cas général, où q est soumis aux deux seules conditions 
d'intégrabilité et de continuité le long des rayons issus de P, 
l'expression J\\ 7), existe toujours, mais on a l'équation de Poisson 
généralisée 

(8) ÂV = — 4-p -f , 

représentant une fonction dont l'intégrale est nulle dans n'im- 
porte quelle partie du domaine dintégration ; cette fonction 9 
dépend de la formation de lexpression J\ , cest-à-dire des 
constantes c.f,. Réciproquement l'équation J\ =^ — knq n"a en 
général pas de solution. Mais il existe une et une seule fonction 9 
k intégrale nulle, telle que l'équation de Poisson généralisée S 

ait une solution, savoir ^ = / ^-^ \- U, U désignant une fonction 

K 

harmonique quelconque. 

En résumé, dans le cas général, avec les deux conditions impo- 
sées à ç, les dérivées secondes satisfont à l'équation de Poisson 
généralisée, 8 . Lorsque, de plus, o est continue sans restriction, 
on est certain d'avoir la lelation J\ = — ^?ro, mais non encore 
l'équation de Poisson ordinaire. Pour être assuré de l'existence 
de cette dernière, il faut restreindre la continuité par l'adjonction 
d'une condition analogue à celles de Holder ou de Morera. 

8. Dérii>ées secondes dans des directions quelconques. Pétrini 

fait une étude complète des dérivées — . Considérons deux 

éléments rectilignes. ds^ et ds,^, partant du point P et allant dans 

des directions déterminées: désignons par Pj et P., leurs extré- 

... <^V . " . 

mités. Nous savons que ^ existe toujours. Pétrini définit 

.9, ^ = li J ' \('1\ -('S\\i^ 



et cherche les conditions nécessaires et suffisantes à l'existence 
de cette limite. En général, les dérivées - — -- -— ^ sont difîé- 
rentes, lauteui établit les conditions de leur égalité. Puis il 



292 C. .lAC COTTE T 

s'occupe de la continuité de ces dérivées (juand la densité est 
continue. 

Le comportement de ces dérivées dans le voisinage de la sur- 
face dun corps est examiné tout d'abord dans le cas typique de 
deux corps homogènes, de densités différentes ç, et ç^ , en contact 
suivant une surface 2. Le cas, plus général, de densités continues 
dans les deux corps se ramène, sous certaines conditions, au pré- 
cédent et conduit alors aux mêmes résultats. 

Nous avons vu que Gauss n'attribuait aucun sens aux dérivées 
secondes en un point de la surface 2. Au contraire, les dérivées 
dans les directions ds^ et ds,^, définies par la formule (9), ont sou- 
vent une valeur parfaitement déterminée en un tel point P^ . La 
nature de la surface aux environs de ce point a sur cette détermi- 
nation une certaine influence. M. Pétrini établit les conditions 

d'existence de lorsque le point P^ est régulier, comme aussi 

lorsqu'il est conique ou de rebroussement. En un point conique, 
la dérivée est en général infinie, sauf dans certaines directions 
déterminées pour lesquelles elle est toujours finie. En un point 
de rebroussement, la dérivée peut exister dans toutes les direc- 
tions. 

Pour établir la discontinuité lorsqu'on traverse la surface 2 ^\\ 
point P„ , on doit considérer la limite de la dérivée au point P 
lorsque ce point s'approche du point P,, en suivant un certain 
chemin. Cette limite dépend en général du chemin suivi. Cepen- 
dant, dans le cas de deux corps homogènes séparés par la sur- 
face 2, supposée régulière en P^, , si le chemin est entièrement 
situé dans l'un des corps et n'est pas tangent à la surface do 
séparation en P^ , la limite existe et ne dépend pas du chemin 
parcouru ; elle ne dépend que du corps dans lequel s'est effectué 
le rapprochement. Nous avons alors trois quantités à considérer : 



1" 



dîV 



,. / l'i^'V \ poui' un cl('"plaoeiiieiil / i>-V 

lim , ' ' . , z= , 

i'=p y>^i'^s^J \' dans le corps de deiisile Oi \^-'fi'>>'2/ j 

, ù*V \ pour un (iéplaceineul / l'^V 



— yX^Si.hSiJ \' ' dans le corps de densité Cj yl^A^l^ 

Les limites 2°et3° sont en généial différentes, leur différence D 

est la discontinuité de la dérivée ^— - ciuand on traverse la surface ; 

on trouve D = 47r(ç, — QilM'tf^'î, /"-i et /(*., sont les cosinus des angles 
(jue font les directions ds^, ds^ avec la normale à la surface en P^, . 
La valeur 1" est égale à la valeur 2" ou à la valeur 3" suivant que 



SUR L'EXISTENCE DES POTENTIELS 293 

l'élément ds^ est situé dans le corps de densité o, , ou dans Tautre. 
En dautres termes, — -— s'approche de sa valeur en P„ lorsque 

le chemin est situé dans le corps qui renferme l'élément ds^ . 

9. Potentiels de simple couche. Les questions d'existence con- 
cernant ces potentiels sont analogues à celles examinées à propos 
des potentiels de corps et l'évolution des deux théories s'est faite 
à peu près parallèlement. 

La surface S qui porte la couche attirante doit être une surface 
à deux côtés que nous distinguons par les indices Ij et 2 . Le 

potentiel V = / — , dans lequel G désigne la densité super- 

s 

ficielle ( c i= -7^ ] . est, en général, une intégrale absolument 

convergente en tout point de la surface S et qui représente une 
fonction continue dans tout l'espace, même lorsqu'on franchit la 
surface. 



tion — = \, = / (r_i^^s, VI 



Dérivées premières. La relation — = X.,- ^ / G S — L^*^ valable 

s 

en tout point de l'espace non situé sur S, n'a plus de sens en un 
point Pq de cette surface, l'intégrale du second membre étant 
semi-convergente. 

On définit — en un point P„ de S comme nous avons défini, 
dans le numéro précédent, en un point de 2. Nous aurons 

aussi à considérer la limite de — en un point P, lorsque ce point 

P s'approche de P^ . L'existence de ces deux valeurs dépend; 
1% de la nature de la surface S aux environs du point P^ ; 2°, du 
comportement de g sur cette portion de surface ; .3**, la seconde 
limite dépend en plus du chemin qu'a suivi P. 

Dans certains cas, en particulier lorsque la surface possède un 
plan tangent déterminé en P^ et que g est continue en ce point, 

la limite de -— quand le chemin ne touche, ni ne traverse la 

surface, ne dépend que du côté de la surface S auquel aboutit le 
point P lorsqu'il arrive en P^ . Comme dans le numéro précédent. 

on a, dans ce cas, 3 valeurs a distinguer : — en P,, , ( r- ) et ( r~ ) • 

La différence entre ces deux dernières est la discontinuité lorsqu'on 
franchit la surface en P^ . 

Dans la première période de recherches, on considéra des sur- 
faces analytiques régulières et une densité G dérivable autant de 
fois que cela était utile. Les dérivées normales attirent d'abord 
l'attention. Coulomb 1788 avait déjà remarqué leur discontinuité 



29i C. JACCOTTET 

sous la forme suivante : lattraction dune couche infiniment mince 
sur deux points matériels situés de part et dautre de la couche 
est dilTérente ; quand l'une des composantes normales est nulle, 
l'autre est égale à kn fois la densité au point correspondant de la 
couche. Poisson 1811 après avoir indiqué que la somme des 
composantes normales est é<,»-ale à kno et que les composantes 
tangentielles sont continues, énonce la loi de discontinuité d'une 
composante quelconque : il communique, en l'étendant au cas 
ifénéral, une démonstration donnée par Laplace pour le cas parti- 
culier d'une surface attirante de niveau et basée sur des considé- 
rations physiques, f^a première démonstration analytique est due 
à Calchv 1815 . Grecn 1828 énonça le premier le théorème sons 
sa forme actuelle en considérant le potentiel au lieu des attrac- 
tions : il déduit cette loi à l'aide de sa formule de transformation 
des intégrales multiples. 

C'est à Galss 1840 qu'est due la première analyse rigoureuse 
de la question. Mettant en évidence les hypothèses concernant la 
surface S existence d un plan tangent, courbure finie, infinie 

. . >~>V . 

sous certaines conditions Gauss montre cpic 1 équation — = X,- 

n'a plus de sens en un point de la surface. 11 établit, pour le 

cas d'une densité dérivable. l'existence des limites ( — -\ et ( — 

et calcule la discontinuité de — . 

HôLDER '1882) impose à la densité superficielle g la condition A 
qu'il avait imposée à la densité d'un corps. Il représente la surface 
par les équations x = x [u, v), y =■ y [it, p), z =z z u, t' et prescrit 
aux six dérivées premières de ces fonctions une condition de 
continuité analogue : 

i ^''"o + - 'o + ^.' — •'•'("o- ^ol I < A . /'\ / = j/r + T,- , 

A et fi sont des constantes positives, /^ <[ 1 ; il a aussi une con- 
dition spéciale pour le bord de la surface. Dans ces hypothèses. 

il établit la loi des discontinuités de — , nuis le comportement 

tle cette dérivée dans les environs du bord de la surface : — devient 

infinie logarithmiquement (juand P s'apjiroche indéfiniment de 

ce bord, et il donne une expression asymptotique de -— . 

Weingauten\ Mohera-. Liapolxofk'^ et d'autres apportent encore 
certaines simplifications ou contributions. Mais ici aussi, c'est 
H. Pétrixi qui. dans les mémoires déjà cités, parvient à élucider 



1 Acta inathcmatica, 10 il887i. p. :!(i:t. 

^ Loc. cit., p. Ô43. 

s Journal de Math. HW, ', il89S), p. 2'il. 



SUN L'EXISTENCE DES POTENTIELS 295 

définitivement un grand nombre de questions. 11 libère la surface 
S de robligaiion de posséder un plan tangent en utilisant les sur- 
faces qu'il appelle physiquement régulières. Une surface est dite 
physiquement régulière au point P^ , lorsque les conditions sui- 
vantes sont remplies : 

1° Il doit exister une ligne à tangentes déterminées ne coupant 
la surface qu'en Pg et dont tous les points, non situés dans les 
environs de l\ , sont à une distance finie des autres points de la 
surface. 

2° il doit exister un plan n passant par Pq , tel que toutes les 
normales au plan, menées par les points de ir situés dans les 
environs de P^, ne rencontrent la surface qu'en un nombre fini de 
points. 

Un cylindre de révolution, dont l'axe passe par P^ et est normal 
au plan tt, détache de la surface S une portion S'. On peut se 

borner à considérer le potentiel de cette portion h , V = / — . 

s' 

3° Le plan tt doit pouvoir être choisi de façon que V puisse se 

mettre sous la forme / -^ , où dot est la projection de l'élément 

w 
dS, «' la projection de S', sur le plan tt, ô ne devant jamais devenir 
infini ou indéterminé. 

Le plan tt rend le même service qu'aux autres auteurs le plan 
tangent. .^^ 

Des résultats obtenus par Pétrini, nous ne citons, comme 
exemple, que le suivant : 

Lorsqu'on un point Pg de S la dérivée — existe, la limite de — , 

quand P s'approche de P,, par un chemin non tangent à la surface 

en Pq, existe aussi. Cette limite est égale à la valeur de — en P^ 

dans les deux cas suivants : 

1° Si la dérivée est prise dans la direction de la tangente en P^ 
au chemin suivi par le point P; 

2° Si la fonction G est continue en P^ et si la surface y a un plan 
tangent déterminé. 

Dérii>ées secondes. Giîeen détermina, déjà en 1828, la disconti- 

nuité de la dérivée — -j lorsque la surface qui porte la couche est 

en même temps surface de niveau. P. Paci étendit les résultats 
de Green au cas d'une distribution superficielle générale. Le 
comportement des autres dérivées secondes, trouvé par Cari Xeu- 
MAXN, fut justifié par Beltrami et IIorn, puis récemment par 
PoiNCAUÉ^, KoRN- et T. J. l'A. Bromwich ^. 



' Théorie du Potentiel newtonien, Paris 1899. p. 232. 
2 Lehrbuch der Potentialtlieorie 1, Berlin 189'.). p. 49. 
s Arkh' der Math. n. Phi/sik Cil 2 (1902), p. 29.i. 



296 C. JACCOTTET 

H. Pétrini, dans son grand travail des Acla matheniatica, reprend 
létude de ces dérivées en lui donnant l'ampleur avec laquelle il 
avait traité les autres questions. F]n particularisant ses résultats, 
il retrouve ceux de Poincaré. 

Dérivées troisièmes. Je ne connais aucun travail s'occupant des 
dérivées troisièmes des potentiels de corps. 

Celles des potentiels de surface — dans le cas où la surface 
attirante est en même temps surface de niveau — ont été consi- 
dérées par P. Paci ', mais cet auteur considère sa méthode comme 
ne pouvant pas s'appliquer au cas général. 

Tout, ou à peu près, reste à faire dans ce domaine, 

10. Potentiels de ligne. L'étude de ces potentiels est relative- 
ment peu avancée. Quant aux hypothèses faites, soit sur la nature 
des lignes, soit sur la densité, on en est encore au point de vue 
de Gauss. 

On sait depuis longtemps qu'un tel potentiel devient infini 
lorsque le point potentié s'approche indéfiniment de la ligne 
attirante. Poixcahé'-. dans l'hypothèse d'une densité et d'une ligne 
analytiques, donna du potentiel V de cette ligne une expression 
asymptotique V'"', telle que V — V'«) est holomorphe dans les 
environs de la ligne attirante. 11 trouva V<«' = U log R, où U et R 
sont aussi des fonctions holomorphes des coordonnées du point 
potentié P. 11 semble que ces résultats aient échappé à plusieurs 
auteurs : I.evi-Civita ^ et ViTEnni * obtiennent plus tard des expres- 
sions asymptotiques moins parfaites, mais plus maniables et 
établies dans des conditions un peu plus générales; A. Tonolo^, 
voulant perfectionner leurs résultats et s'inspirant du travail déjà 
cité de E. Schmidt, retrouve tout récemment les résultats de 
Poincaré par une méthode complètement différente. Prenant 
comme point de départ les expressions de Levi-Civita et de 
\ iterbi, M. Olivo" établit des expressions asymptotiques soit des 
potentiels de simple et de double couche dans les environs de la 
surface attirante et de son bord, soit des' potentiels de corps dans 
le voisinage d'un point régulier ou singulier de la surface. 

11. Potentiels de double couche. Ces potentiels s'expriment pai' 
des dérivées premières de potentiels de simple couche et l'étude 
de leur dérivées premières se ramène à celles des dérivées secondes 
des potentiels de simple couche (voir Poixcark, Potentiel nevvto- 
nien, p. 218). l^es problèmes sont donc analogues à ceux que nous 
avons déjii examinés. 



» Rendiconti del Circolo mat. di Palermo, 8 Il89'«i, p. 33. 

* Acta matheniatica. 22 (1898), Théorème 9. 

' Atti dcUa It Ace. Lincci (HcndicontiK 15| 17, 2"'<' sem., ( 1908i, p. 3. '«13, 535. 

* Hendicnnti Istitiito Loinbardo |2) 42 (19091, p. 913. 
6 Math. Anntilcn. 72 (I912i, p. 78. 

" Atti Istituto Veneto, 69 (1909-10), p. 519-546. 



SUB L'EXISTENCE DES POTENTIELS 297 

Remarquons que, contre toute attente, les dérivées premières 
normales des potentiels de double couche sont en général conti- 
nues ; cette propriété, due à Hel.mholtz, a" été démontrée dans des 
cas très généraux par Liapounoff ^; elle est aussi l'objet dune 
étude approfondie de H. Pétrim. Quant aux dérivées secondes, 
leurs discontinuités sont établies par A. Korx^, dans des cas 
assez étendus. 

12. Potentiels de masses non dérivabtes. Indiquons encore une 
extension de la notion de potentiel due à J. Plemelj'^. 

Admettre l'existence d'une densité, c'est restreindre beaucoup 
le mode de répartition des masses attirantes et particulariser 
d'une façon peut-être excessive la notion de potentiel. On peut 
très bien concevoir une répartition de masses n'admettant pas de 
densité et M. Plenïelj en revient à exprimer les potentiels corres- 
pondants sous la forme de Lagrange / -^ ; seulement cette 

intégrale doit être prise dans un sens analogue à celui donné par 
Stieltjes' aux intégrales de fonctions d'une variable. 

11 s'agira donc, après avoir étendu aux intégrales multiples la 
notion d'intégrales de Stieltjes\ d'aborder l'étude de ces potentiels 
très généraux dont les propriétés seront assez différentes de celles 
des potentiels classiques. En particulier, il ne faudra plus compter 
sur l'existence de leurs dérivées en des points appartenant aux 
masses potentialités. Aussi M. Plemelj développe-t-il une notion 
destinée à remplacer, pour les potentiels de simple et de double 
couche, les dérivées normales en un point de la surface attirante. 

Cette notion permettra une extension des formules de Green et 
les nouveaux potentiels deviendront des instruments beaucoup 
plus puissants que les anciens, à l'aide desquels il sera possible 
de résoudre les problèmes aux limites dans des cas plus généraux 
que jusqu'ici. 

Il semblait intéressant de terminer cette revue en signalant une 
innovation qui fait prévoir de prochaines découvertes dans la 
théorie du potentiel. 

C. Jaccoitet (Lausanne). 



1 Journal de mathématiques |6) 4 |1898|, p. 241, 
' Lehrbuch der Poteiitinitheoriu, Berlin 1899, I, p. 51. 
' Preisschriften der i'ursllich Jablonowskischen Gesellschaft, 40, 1911. 
* Annales de la Faculté des Sciences de Toulouse (t) 8 (1894), n» 10. 

5 Cette extension a été donnée par M. Fréchkt, Nouvelles Annales de Mathématiques (4|, 10 
ilOlOi, p. 241-256. 



L'Enseignement matliém., 15» année ; 1913. 



L'ÉDIFICE GÉOMÉTRIQUE ET LA DÉMONSTRATION » 



1. — Pour un entendement parfait et dont la puissance de 
compréhension serait infinie, la science ne se <léroLderait pas. 
comme pour nous, en une longue file de tiiéorèmes. Du point de 
vue de la raison, à qui le temps est indidercnt, il n'est point vrai 
qu'une proposition en précède ou en justifie une autre ; toutes 
sont également primitives et évidentes par elles-mêmes. Mais la 
science humaine, imparfaite par nature, ne peut saisir que Tune 
après l'autre et au prix de longs et laboiieux détours, les pro- 
priétés des figures géométriques^; « on lapporte, écrit Pi'oclus. 
que Ptolémée demanda un jour à Euclide s'il n'y avait pas pour 
Ja géométrie de route plus courte que celle des Eléments; il eut 
cette réponse : Il n'y a pas en géoiuétrie de chemin fait ]K)ur les 
rois ». 

Le chemin frayé parles géomètres grecs, quelque roturier qu'il 
soit, n'en est pas moins une des plus belles créations de l'huma- 
nité. 

Les Grecs ont eu de bonne heure le goût de la dialectique. 
Fortifié par les sophistes, ce goût se répandit chez les géomètres 
de l'Académie, contemporains ou continuateurs de Platon. Les 
diverses formes de raisonnements mathématiques furent subtile- 
ment distinguées, classées, disséquées, et d'interminables dis- 
cussions s'engagèrent sur des questions de méthode ou de termi- 
nologie. 

2. Théorèmes et problèmes.— « Déjà ^ parmi les anciens, dit 
Proclus, les uns. comme Speusippe et Amphinome, proposaient 
de tout appeler théorème, pensant que ce terme convient mieux 
que celui de problème aux sciences théorétiques (contemplatives* 
et surtout traitant de choses éternelles; car, pour de telles choses, 
il n'y a pas de génération ; il n'y a donc pas de place pour le pro- 



* Exlrail d'un ouvra<;e intiHilé «Introduction à l'Analyse niatiioinaticiue », où M. Pierre 
BouTROux étudie les principes fondamentaux de la science des nombres, de l'analyse et de 
la géométrie en donnant une grande importance à leur encliaiiienient historique. La prcmiei'e 
partie, actuellement sons presse, paraîtra prochainement à la librairie Hermann & fils. 

2 P. Tannkby, La géométrie grecque, p. (!9. 

' P. Tannury, loc. cit., )). l;)7. Speusippe, neveu de Platon. .Amphinome nest en tout Cas 
pas antérieur a Aristote. 



L'ÉDIFICE GEOMETRIQUE 299 

blême où il s'agit d'engendrer et de faire quelque chose comme 
si elle n'était pas auparavant : par exemple, construire un triangle 
équilatéral, décrire un carré sur une droite donnée... D'autres, au 
contraire, comme les mathématiciens de l'école de Ménechme, 
étaient d'avis de tout regarder comme des problèmes, tout en en 
distinguant deux formes : tantôt, en effet, il s'agit de fournir 
[noqCaaaBai,) quelque chose de cherché, tantôt, au contraire, pre- 
nant quelque chose de déterminé, de voir ce que c'est, ou quelle 
en est la nature, ou ce qui lui arrive, ou quelle est sa relation à 
autre chose ». La discussion se poursuit pendant des siècles. 
Geminus (1" siècle av. .J.-C), soutient que le théorème est plus 
général que le problème. Au contraire, « Carpos*^ le mécanicien, 
dans son Traité astrologique,... dit que le genre des problèmes 
précède dans l'ordre celui des théorèmes, car c'est par les pre- 
miers que l'on trouve les sujets auxquels se rapportent les pro- 
priétés à étudier. L'énoncé du problème est simple et n'a pas besoin 
d'une intelligence exercée: ... construire un triangle équilatéral, ou 
bien, étant donné deux droites, retrancher de la plus grande une 
égale à la moindre; là, rien d'obscur, aucun besoin d'une atten- 
tion minutieuse, [/énoncé du théorème est au contraire pénible, 
il réclame une grande exactitude et une critique savante, pour 
n'être ni trop étendu, ni insuffisant par rapport à la vérité ». 
Proclus défend, quant à lui, l'opinion de Geminus, et il conclut : 
« Il est donc frivole d'attaquer Geminus comme ayant dit que le 
théorème est plus parfait que le problème; car si c'est d'après 
l'ordre que Carpos donne la prééminence aux problèmes, c'est 
d'après le degré de perfection que Geminus l'accorde aux théo- 
rèmes. » 

3. — Ces discussions ne sont pas aussi oiseuses qu'elles parais- 
sent au premier abord. Elles ont permis de dégager les caractères 
auxquels se reconnaît la légitimité d'une définition ou la rigueur 
d'une démonstration, et si l'analyse de ces caractères est superflue 
dans les premiers chapitres de la science, où nous sommes guidés 
parle bon sens, il n'en est pas de même dans la suite. 

Ainsi, en analysant la signification des problèmes, nous appre- 
nons c[ue toute définition doit être complétée par une discussion 
(problème) établissant Y existence de la chose définie. Si, par 
exemple, je proposais d'appeler triangle birectangle un triangle 
dont deux angles sont droits, je donnerais une définition pure- 
ment verbale et sans valeur : en effet le problème « construire un 
triangle dont deux angles sont droits » n'a pas de solution, puisque 
la somme des trois angles du triangle ne peut être supérieure à 
deux droits. 

Dans l'étude des théorèmes également propositions énonçant 



* Fragment de Proclus, apiid., P. TaiNnicrv, loc. cit., p. 146. 



300 P BOL TR aux 

les propriétés des fiouies géométriques) les problèmes jouent 
souvent uu rôle caj)ital. Supposons, par exemple, que nous énon- 
cions le théorème suivant : Tout angle inscrit dans un demi-cercle 
est lin angle droit ; cet énoncé ne sera satisfaisant que si, dune 
part, il est exact en toutes circonstances et si d'autre part,, il ne 
contient aucune restriction superllue^ c'est-à-dire si la condition 
imposée à l'angle (d'être inscrit dans un demi-cercle) est bien 
une condition nécessaire de sa rectitude. Or, pour s'assurer qu'il 
en est bien ainsi, le procédé le plus sûr sera de résoudre le pro- 
blème suivant : inscrire dans un cercle de rayon donné quelconque 
un angle de grandeur donnée; on constatera alors que l'arc 
embrassé par langle inscrit est inférieur, supérieur, ou égal à un 
demi-cercle, suivant que cet angle est lui-même inférieur, supé- 
rieur ou égal à un angle droit ; et l'on conclura de là (jue le 
théorème donné plus haut est correctement énoncé. 

4. Traitement d'un problème. — Ainsi l'étude complète dune 
question de géométrie sera ramenée en général à l'étude d'un 
problème : étant données certaines figures, construire une nou- 
velle figure remplissant telles ou telles conditions déterminées. 
C'est ce que nous voyons nettement dans les Eléments d'Euclide. 

Le traitement d'un problème comprend huit phases ou parties : 

1*" La protase (TtQoraaiç) ou énoncé ; 

2" L'ecthèse ÇîxBiGiç] ou répétition de l'énoncé rapporté cette fois 
au tracé d'un schéma dont les différentes parties (points, droites, 
etc.) sont en général désignées par des lettres ; 

3° Uapagoge [àjiayMy/j., qui transforme le problème proposé en 
un autre problème plus simple : elle suppose, pour cela, le pro- 
blème résolu et, en s'appuyant sur des propositions connues, elle 
montre que les conditions requises (pour la construction de la 
figure inconnue) seront sûrement satisfaites si telles autres condi- 
tions (plus simples) le sont ; 

4" La résolution làyâXvtriç] est la confrontation des conditions 
requises avec celles qui sont données (avec les conditions aux- 
quelles satisfont les données). 

5" S'il y a équivalence entre ces conditions, le problème est 
résolu. Mais il se peut que l'équivalence ait lieu seulement lorsqu'on 
ajoute aux données quelques conditions restrictives supplémen- 
taires. Nous reviendrons donc à la protase et la compléterons pai- 
le diorisme (ôioQiGjjoç), énoncé des restrictions moyennant lesquelles 
le problème est possible ; cet énoncé formule des propriétés ap- 
paitenant aux figures que l'on considère; c'est donc un théorème. 

Ces étapes franchies, il n'y a plus maintenant qu'à vérifier que. 



1 Je nie fjnrderai par exoiiiple d'tnoiicer comme un théorème la proposition suivante : La 
soin/ne des angles d'un triangle rectangle est égale à deux angles droits. En effet la conclti- 
sion énoncée est exacte lors môme que le triangle n'est pas rectangle. 



L'ÉDIFICE GÉOMÉTRIQUE 301 

par rinteimédiaire de l'apagoge, on peut effectivement, à partir 
des figures données par la protase et le diorisme, construire la 
figure demandée. La vérification comprend les pai'ties suivantes: 

6° La constfHct/'on {xaiaffxevtj) qui complète l'ecthèse en traçant, 
ou du moins indiquant les diverses lignes qu'il est nécessaire de 
considérer pour faire la démonstration ; 

7° La démonstration proprement dite [àjrôôei'^iç] , qui déduit de lu 
construction la figure demandée ; 

8° La. conclusion {Gv/^TréQUO/ja), qui affirme que cette figure satis- 
fait bien aux conditions requises. 

5. — Eclairons cette théorie par un exemple. 

Soit iprotaseï à construire un tiiangle isocèle étant données la 
longueur de la base et la grandeur d'un angle adjacent à la base. 

Il s'agit, en d'autres termes (ecthèse), de construire un triangle 
isoscèle ABC où le côté BC et l'angle Baient respectivement pour 
grandeurs celles d'un segment B'C et d'un angle O donnés. 

Apagoge : Si ABC est le triangle demandé, l'angle ABC est égal 
à l'angle ACB (puisque le triangle est isocèle) ; donc les angles B 
et C sont tous deux égaux à 0, BC étant égal à B'C 

Donc (résolution), si l'on peut construire un triangle satisfaisant 
aux conditions requises, ce triangle sera formé par une base BC 
et deux demi-droites BX, CY situées du même côté de BC et 
faisant chacune avec BC un angle égal à 0. 

Un tel triangle n'existe effectivement que si les droites BX et CY 
se coupent; pour qu'il en soit ainsi il faut, manifestement, et il 
suffit (diorisme) que les angles égaux XBC et Y(^B soient aigus. 
Nous pouvons donc énoncer le théorème suivant : Dans un triangle 
isoscèle, les angles adjacents à la base sont aigus. 

Cela posé, nous pouvons construire le triangle ABC. Prenons 
(construction) un segment BC égal à B'C, et, à partir des points B 
et C menons, d'un même côté de BC, des droites BX et CY faisant 
avec BC des angles égaux à Vangle aigu 0. Ces droites (démons- 
tration) se coupent, et forment par conséquent, avec BC. un 
triangle ABC. 

Ce triangle satisfait bien aux conditions requises (conclusion). 

6. Analyse et synthèse. — Parmi les phases du raisonnement 
énumérées ci-dessus, la troisième et la quatrième [àTrayoyyfj et 
ùvâXvaiç] constituent Vanalyse, la sixième et la septième xaiaGidvi] 
et àn()ôn't.iç) constituent la synthèse. 11 se peut que la synthèse ne 
fasse que répéter l'analyse en lenversant l'ordre de l'exposition. 
En ce cas on a le droit (sans diminuer en rien la rigueur de la 
déduction) de se borner, soit à l'analyse, soit à la synthèse. 11 se 
peut, au contraire, qu'analyse et synthèse soient toutes deux néces- 
saires, l'analyse? donnant des solutions qui satisferaient aux 
conditions lequises .?/ e//e.s e.vistaient, mais qui peut-être n'exis- 
tent pas, la synthèse, d'autre part, fournissant des solutions 



302 /-■. li'J i'TROUX 

toujours possibles, ne donnant peut-être pas toutes celles que 
comporte le problème '. 

Un raisonnement qui se réduit à l'analyse ou à la synthèse est 
appelé raisonnement andbjlique ou raisonnement st/nthétiqiie. Le 
raisonnement anabjtique part du résultat à démontrer (c'est-à-dire 
suppose le problème résolu); le raisonnement synthétique qui 
est la démonstration sous sa forme normale) part, au contraire, 
des données, pour aboutir au résultat requis. 

7. — Ainsi, paimi les huit parties dont se comj)ose un raison- 
nement complet, toutes ne sont pas toujours explicitement foi- 
mulées. La marche du raisonnement varie suivant la nature des 
problèmes et des théorèmes (la démonstration d'un théorème 
comprenant d'ordinaire moins de parties que la solution d'un 
problème). D'ailleurs l'apao-oge et la construction se présentent, 
suivant les cas, sous des aspects très divers. D'oii un grand nombre 
de types de déductions que le logicien s'applique à définir. C'est 
ainsi que Viète distingue entre l'analyse zétètiqne qui fournit la 
solution d'un problème et Vanalyse poristiqiie qui fournil, non 
pas la solution, mais la démonstration d'une solution. Il y a lieu 
également de distinguer entre l'analyse directe et l'analyse indi- 
recte telle que la pratique la démonstration par V absurde: au lieu 
de supposer le problème résolu, imaginons au contraire que les 
conditions requises par l'énoncé ne soient pas remplies ; si nous 
déduisons de cette hypothèse ipar uneapagoge) des conséquences 
absurdes ^contradictoires entre elles), nous en concluons que 
l'hypothèse est illégitime et que, par conséquent, les conditions 
requises sont sûrement remplies. 

Mais nous ne pouvons jirétendre approfondir ici l'étude logique 
de la démonstration. Il importe davantage de nous demandei' 
comment, par le moyen des démonstrations, nous pourrons dresser 
l'édifice de la géométrie rationnelle. 

8. Les éléments. — « Le terme d'éléments [crioi/eta., dit Paul 
Tannery d'après Proclus, s'applique proprement à ces théorèmes 
qui, dans toute la géométrie, sont primordiaux et principes de 
consécpiences, qui s'appliquent partout, et fournissent les démons- 
trations de relations en grand nombre ; on peut comparer leur 
rôle à celui des lettres (également appelées gtoi/hu) dans le 
langage. » 

De nombreux Eléments ont été composés en Grèce (ceux dllip- 
pocrate de Chios, aujourd'hui perdus, furent célèbres) : cependant 
nous n'en connaissons point de plus anciens que ceux d'Kuclide, 
qui s()nt demeurés juscpi'à notre ejjoque le modèle du genre. 

Les Eléments d'Iùiclide jouent en même temps le lùle de lin et 



' On Siiit, qu'en efVet, un problème peut admettre plusieurs solutions diirérentcs. Soit pai 
exemple .i construire un triangle dont on coiinait deux côtés et un angle (non couipri.- 
entru ces côtés) : ce problème a deux solutions. 



L'ÉDIFICE GÉOMÉTRIQVE 303 

le rôle de moyen : fin, puisqu'ils sont destinés à faire connaître 
les théorèmes essentiels de la géométrie ; moyen, puisque les 
solutions toutes préparées qu'ils nous offrent sont les instruments 
dont on a besoin pour effectuer l'apagoge (ou YànôèHi^iç) des pro- 
blèmes nouveaux. Euclide adjoignit d'ailleurs aux Eléments, un 
second ouvrage, les Data, qui a pour objet direct de fournir des 
instruments à l'analyse et à la synthèse: « les propositions, dit 
ZeuthenS y ont pour but de prouver que, certaines quantités ou 
portions d'une figure étant données, certaines autres le sont aussi, 
c'est-à-dire qu'elles se déterminent à l'aide des premières. » 

9. — Comment sont composés les Eléments ? Partant de défini- 
tions et d'hypothèses, le géomètre en déduit progressivement, 
conformément aux règles de la logique, une série de propositions, 
rigoureusement enchaînées les unes aux autres. 

Les définitions (ogoi) déterminent les concepts qui sont à la base 
de la science. 

Les hypothèses sont^ soit des postulats ou demandes (ahjfj,aTa], 
soit des notions communes ou a.iionies ixoncâ ivvoiav^ a£,io)fiata) ; 
les postulats affirment (sans démonstration) que certaines cons- 
tructions premières sont possibles ; les axiomes, que certaines 
propriétés essentielles appartiennent aux grandeurs ou aux figures 
les plus simples. 

Il est clair— puisqu'aussi bien l'ordre logique n'est qu'un ordre 
introduit après coup pour exposer des vérités simultanées — que 
le choix des définitions, postulats et axiomes reste à notre discré- 
tion. Entre plusieurs constructions ou propositions qui s'impli- 
quent mutuellement, nous avons le droit de choisir celles que 
nous prendrons comme point de départ et renoncerons à démon- 
trer, et celles qu'au contraire nous considérerons comme déduites. 
C'est pourquoi les savants modernes ont pu changer les bases de 
la géométrie euclidienne tout en continuant à la prendre pour 
modèle. Ce qui importe, du point de vue de la logique, c'est 
l'enchaînement des propositions. Or à cet égard il n'y a rien à 
ajouter aux règles posées par Euclide. 

10. — Les propositions (théorèmes) sont rangées dans l'ordre 
suivant lequel elles se déduisent les unes des autres. Elles portent 
des numéros^ afin qu'il soit facile d'y renvoyer quand on les invo- 
que dans la démonstration des propositions ultérieures. 

Les propositions d'importance secondaire sont souvent appe- 



' ZnuTiiKN, nist. des inathèinatiqiies dans Vantiqu., trad. J. Mascart, pp. 8T-88. 

* La distinction que les Grecs LMal)lissaient entre les postulats et les axiomes n'a pas été 
maintenue par les modernes. 

' L'usage s'est répandu aujourd'hui de désigner les proi>osilions par les noms de leurs 
inventeurs ilhéorcmes de Pytiiacouk, théorème de Dksarouhs, etc.i. Beaucoup de ces appel- 
lations sont cependant discutables au |>oint de vue historique et il n'v faut voir qu'un substi- 
tut des numéros d'ordre. 



•AOi P. BOUTROUX 

lées' lemmes lorsqu'elles sont destinées à faciliter la démonstra- 
tion d'un théorème à venir, corollaires lorsqu'elles expriment des 
conséquences directes d'un théorème que l'on vient d'établir. 

La démonstration des propositions se fait suivant les règles que 
nous avons indiquées plus haut. 

11. — Le système de géométrie que nous ont laissé les Alexan- 
tlrins a traversé vingt-deux siècles sans être, pour ainsi dire, 
ébranlé. Couronnement de l'œuvre minutieuse poursuivie pendant 
trois centsans parles dialecticiens grecs, il n'est pas loin d'atteindre 
la perfection. De la nécessité où est l'homme d'exposer l'une après 
l'autre les vérités géométriques au lieu de les embrasser toutes, 
du même coup d'œil, il a tiré le principe d'une méthode de décou- 
verte et de déduction qui est l'une des plus précieuses possessions 
de l'esprit humain. 

Cependant, si les « Eléments » ont conservé moyennant quel- 
([ues retouches^ toute leur valeur logique, ils ne jouent plus, dar.s 
l'ensemble de la science mathématique, le rôle unique qui parais- 
sait jadis leur être assuré. Sans doute, le système euclidien — dont 
la marche a été réglée si sûrement — est susceptible d'une extension 
continue et indéfinie. Ce n'est point, toutefois, en le prolongeant 
que la science a le plus progressé ; la raison en tient à une faiblesse 
du système qui ne s'est fait sentir qu'à la longue, mais que nous 
pouvons dès maintenant apercevoir. 

Nous avons dit que les Eléments sont en même temps une fin 
poursuivie pour elle-même et un instrument de démonstration. Il 
y a certes une grande élégance à satisfaire du même coup deux 
besoins difterents : mais est-on bien sur d'y réussir .' J^a géométrie, 
en tant que fin, est l'héritière de la science pythagoricienne : elle 
note les plus belles propriétés (les plus simples, les plus sugges- 
tives) des figures les plus parfaites. Sont-ce bien ces mêmes pro 
priétés qui rendront le plus de services poui- l'analyse et pour la 
synthèse.* Il serait surprenant qu'il en fût toujours ainsi. L'adnii- 
raljle unité que les Grecs avaient donnée à la science n'a donc pas 
pu être sauvegardée ■•. Pour passer des données d'un problème à 
la solution, il faut souvent recourir à des intermédiaires qui ne 
sont point dignes d'occuper eux-mêmes une place dans l'édifice de 
la science: constructions artificielles, inharmonieuses, dépareil- 
lées, qui souvent même sont choquantes pour la raison et lui 



1 Ces distinctions ont éto svstomatiquemciit introduites piir les comincntiiletirs (i'Euni.iKi:. 

* Sur le système euclidien, comparé aux systèmes logiques de <>éométrie récemmenl 
constitues, voir les développemcints ultérieurs de l'ouvrage ; on lira aussi avec intérêt Ki.kin. 
Elcmcntar math. v. hiihcr. Stanilp. aus, II, l!t()l», p. :!8 > et suiv 

3 II est il remarquer — nous reviendrons sur ce point lorsque nous étudierons la géométrie 
algébrique — que, quelque savamment qu'elle ail été décomposée et codifiée, la niélhode de 
résolution des problèmes employée par les géomètres anciens est extrêmement difficile à 
manier. Elle exige que l'on prenne des voies détournées où l'on ne peut s'orienter qu'a 
force d'ingéniosité. 



PROLONGEMENT DES FONCTIONS 305 

paraissent absurdes au premier abord. C'est ainsi qu'à côté de 
la science contemplative, une technique a dû se développer, dont 
le but est strictement utilitaire et qui vise seulement à accroître, 
par tous les moyens possibles, la puissance de la démonstration. 
A ne vouloir jamais descendre des cimes splendides qu'elle pré- 
tend explorer, la science se condamnerait elle-même à l'impuis- 
sance. 

Pierre Bountoux (Poitiers). 



SUR LE PROLONGEMENT, PAR GONTLNUITE. 
DES FONCTIONS D'UNE VARIABLE COMPLEXE 



1. — Soient D, et D.^ deux domaines, simplement connexes, 
séparés par une ligne rectifîable L. Je suppose que les frontières 
Cj et C, des domaines D^ et D2 sont aussi des lignes rectifiables. 

Cela étant posé, supposons que dans D^ se trouve définie une 
fonction holomorphe /* (z) prenant sur [. une suite continue de 
valeurs ; supposons, de même, que dans D.^ se trouve définie une 
fonction holomorphe f^(z] prenant sur le L la même suite continue 
de valeurs que f^ [z]. 

2. — M. Painlevé a démontré (dans sa Thèse : Sa/- les lignes sin- 
gulières des fonctions analytiques, page 27) que la fonction f(z) 
définie de la manière suivante : 

f{z) = fi{z) dans le domaine Di ; 

f{z) ^=: /i'") dans le domaine D2 ; 

/■(c) =/;(:)= /sl-l sur la ligne L; 

est holomorphe dans le domaine D, obtenu en supprimant la 
ligne L. 

En d'autres termes : deux fonctions holomorphes, définies dans 
deux domaines contigns, et se raccordant (les fonctions) par con- 
tinuité le long de la frontière commune (ligne rectifiable) se pro- 
longent mutuellement et ne forment, dans le domaine-somme 
(obtenu en supprimant la frontière commune) qu'une seule et 
même fonction holomorphe. 

'^. — La démonstration de M. Painlevé est basée sur l'intégrale 
de Cauchy. Je vais donner une autre démonstration' basée sur une 
transformation de la définition des fonctions holomorphes. 



' T. Liîvi-CiviTA, SuHa conliiiuazioiic aiialitica [Atti e Meniorie delhi H. AciKleniia di Scienze, 
Lettere ed Arti in Padova, vol. .XXVIII, Dispensa I ilitrîi, pp. 3-5J. 



306 D . POMPEIU 

D'après un théorème de Morera, une fonction f[z) définie dans 
un domaine simplement connexe D est holomorphe dans ce do- 
maine si 

1° elle est continue dans D ; 

2° linlégrale 

ffizAdz 

est nulle, pour tout contour fermé C tracé dans D. 

4. — Venons maintenant au théorème de M. Painlevé. On mon- 
tre immédiatement que la fonction f z\ définie au n" 2, satisfait 
aux conditions de Morera. 

D'abord, elle est continue dans le domaine D. 
Ensuite l'intégrale 

l=ff[z.)dz 
c 

est évidemment nulle si le contour C est situé tout entier dans D, 
ou dans Dj. Supposons maintenant que ce contour fermé traverse 
la ligne L et, pour simplifier, supposons que C traverse L seule- 
ment en deux points : « et /i?. 

Pour calculer lintégrale I, on peut la décomposer en deux 
autres intégrales : 

I = Il + I. 

l'intégrale I, étant obtenue en intégrant/" 3 le long d'un contour 
fermé C, formé avec la partie de C qui se trouve dans D, et lare 
a^ de la ligne L ; de même, l'intégrale I, étant obtenue par l'inté- 
gration de f{z) le long du contour fermé Cg, formé de la partie 
de C, située dans D., et de l'arc a/i de la ligne L. 

Mais, à cause de la continuité des fonctions /"^ (c) et /]^ z) sur L, 
on trouve facilement 

Il = , U = , 

doù 

1 = 0. 

Et, ainsi, la fonction f[z satisfait, dans D, aussi à la seconde 
condition de Moreia. Elle est donc holomorphe dans D. 

5. — L'importance de ce mode de démonstration me semble 
résider dans ce fait qu'il permet de généraliser le théorème de 
M. Painlevé et de prolonger, par continuité, des fonctions non- 
holomorphes. 

En effet, reprenons les domaines D, et D., . définis au n° 1, mais 
cette fois-ci supposons que l'on définit, dans chacun de ces do- 
maines des fiHictions non-holoniorphes mais appartenant à la 
même classe. 

Voici ce que j'entends pai- là. 



PROLONGEMENT DES FONCTIONS 307 

I.orsqu'une fonction f\z), continue, n'est pas holomorphe Tin- 
tégrale. 

1 = Cf\z]dz 



=frr. 



prise suivant un contour fermé quelconque C [tracé dans le do- 
maine où se trouve définie f(z]] n'est pas nulle; mais sa valeur 
peut s'exprimer quelquefois d'une manière simple en fonction du 
contour C. C'est cette manière d'exprimer la valeur de l en fonc- 
tion de C qui sert à caractériser une classe de fonctions, et par 
suite à distinguer une classe des autres classes de fonctions. 

Voici un exemple simple : 

Supposons que la valeur de 1 est égale à l'aire de la région déli- 
mitée par C, multipliée par l'affixe du centre de gravité de cette 
légion. 

Nous avons défini ainsi une classe G de fonctions non-holo- 
morphes : g(z). 

6. — Je dis que le théorème de M. Painlevé est généralisable à 
cette classe de fonctions. 

En d'autres termes : si dans le domaine D, se trouve définie 
une fonction £;■, (z) et dans D.^ une fonction de même classe ^.^(z), 
et si ces deux fonctions se laccordent par continuité le long de 
la ligne L (qui sépare D^ et D.-, la fonction g[z] définie comme il 
suit : 

g(z) = o-il;) dans D^ : 

giz) = gjz] dans Dj ; 

glz) = gi\z\ = g.,\z) sur L : 

est une fonction qui, dans le doma.'\ne-soni/?ie D, appartient à la 
même classe que g^ [z] et g^{z]. 

On n'a qu'à reprendre le mode de raisonnement du n° 4 et à 
faire usage d'une propriété élémentaire du centre de gravité. 

D'ailleurs la classe des fonctions g[z] peut être définie aussi 
par un système d'équations aux dérivées partielles absolument 
analogue au système par lequel Cauchy définit les fonctions holo- 
morphes. 

7. — J'ai donné dans une Note des Comptes Rendus^ la condition 
nécessaire et suffisante pour qu'une fonction de variable com- 
plexe, appartenant à une classe déterminée, soit prolongeable par 
continuité. 

D. PoMPÉiu (Bucarest). 



' T. 15(1, p. 37(1, séance du 3 lévrier 1913. Dans cette Note des Comptes Rendus se trouve 
indiquée aussi la démonstration du texte (n° 4). En lisant celle Note, M. le prof. T. Levi- 
Civita a bien voulu me communiquer qu'il avait, avant moi, donné, dans les Atti e Meinorie de 
l'Académie de Padoue, la même démonstration, comme application du théorème de Morera au 
prolongement des ibnctions holomorphes. 



SUR LA RESOLUTION GRAPHIQUE D'UN SYSTÈME 
DE TROLS ÉQUATIONS LLXÉAIRES 



La méthode do Massau pour la résolution dun système quel- 
conque d'équations linéaires ' a l'intérêt d'une pleine généralité. 
Mais il est possible, en certains cas particuliers, d'obtenir des 
constructions plus simples que celles qui en dérivent. C'est ainsi 
que, pour le cas de trois équations linéaires, au reste quelcon- 
ques, que nous écrirons 

rtX + h\ + <-Z = d , 

a'X + l/Y + c'Z = d' , 

«"X + h" Y -\- c"Z = d" , 

nous allons faire connaître ici une solution, reposant tout simple- 
ment sur l'interprétation de ces équations en coordonnées paral- 
lèles, et qui comporte des tracés sensiblement plus simples fjue 
ceux exigés par la méthode de Massau. Pour la résolution dun 
tel système, cette dernière méthode nécessite l'emploi de quatre 
fausses positions, alors que la solution ici indiquée n'en utilise 
(|ue deux. 

Faisant choix de deux axes parallèles quelconques A// et Bc, 
portons sur ces axes les échelles définies par 

// = X , »■ = ÀY , 

X étant un paramètre arbitraire qu'on prendra le plus souvent égal 
à I. mais dont, le cas échéant; on pourra disposer comme on 
l'indiquera plus loin. Les trois écpiations ci-dessus devenant 
ainsi 

(ù.ii + />r = A{d — cZ) , 

a'/.u -f- //(• z= A\d' — f'Z) , 

a"l„ + //',. = l{d" — c"Z] , 



* Voir l'exposé de ceUe méthotle cl;iiis mon volume : CaUiil graphique et filmographie 
v 13 il 15). 



RÉSOLUTION GRAPHIQUE 309 

définissent alors trois systèmes linéaires de points (Z; distribués 
respectivement sur les parallèles Cn', C'h-', C"h'" aux axes, telles 
que 







w 




w" 

o 






^^' 


/ 






o^ 


r 


; Q.' 


^^ 




^ ^ 


\P.'' 


S-^'-<r^ 
























3=^^ 


1 


\ 

V 


7 
1 
o 





CA 


h 


CB ~~ 


~Ul 


C'A 


1/ 


CB ~ 


'ha' 


C'A 


b" 


C"B ~ 


la' 



A ce' C" B 

et déterminés sur ces supports par les formules 



Hd — cZ) 



Aid' — c'Z) 
a'X + // 



lld" — c"Z) 
a"K + h" 



Supposons ces cinq échelles métriques marquées sur les sup- 
ports correspondants. Pour avoir la solution en X, Y, Z du système 
considéré, il nous faudra trouver trois points des échelles (Z) por- 
tées par Ch', C'tv', C"n'" qui, tout en ayant la même cote Z, soient 
alignés. La droite sur laquelle ils se trouveront coupera les 
échelles de A// et Bt' en des points dont les cotes feront connaître 
les valeurs de X et Y qui, jointes à cette valeur commune de Z, 
constitueront le système (X, Y, Zj cherché. 

Or, si nous considérons les droites unissant les points de même 
cote sur deux des trois échelles Civ, C'w', C"tv", ces droites pas- 
sent toutes par un même point, attendu que l'élimination de Z 
entre les expressions de w et w' par exemple conduit à une équa- 
tion linéaire en w et w' . 

Soient P, Q, R les pôles ainsi obtenus par association des 
mêmes valeurs de Z sur Cn' et C'h'', C'h'' et C'w", (L"\v" et Cw. 
[/alignement cherché devra passer par chacun de ces trois pôles 
qui, dès lors, sont nécessairement en ligne droite. 

Or, pour nous procurer lun deux, nous n'avons qu'à prendre 
entre Cw et Cw', ou entre C w' et Cm'", ou entre C"n'" et Cw, les 
alignements joignant les points qui correspondent à deux mêmes 
cotes : Z = et Z =: 1, par exemple. 

En général, avons-nous dit, on prendra A. ^ 1 ; mais on pourra 
aussi disposer de ce paramètre de façon à faire varier homogra- 
phiquement la figure en vue d'une disposition plus avantageuse. 



.ÎIO A. G ODE AUX 

Si, notamment, Tune des sommes a -\- b, a' + b' ou a" -\- b" 
était nulle, l'axe Cn', C'n'' ou C"w" correspondant serait avec la 
valeur A r=: 1, rejeté à linfini. En choisissant pour X une valeur 
(juelconque ne rendant nulle aucune des quantités Aa -\- b, 
Xa' -\- b' , Xa" -j- b'\ on maintient, dans tous les cas, ces trois 
axes à distance finie. 

M. i/Oca(;ne ( Paris). 



DÉMONVrRATION NOUVELLE ET EXTENSION 
D'UN THÉORÈME DE M. G. KŒNIGS 



Dans un mémoire publié en 1887', Al. G. Kœxics a déterminé, 
par une méthode élégante, les surlaces de l'espace à trois dimen- 
sions contenant deux faisceaux de coniques. 

Dans le travail actuel, j'expose une généralisation du théorème 
de M. Kœnigs, en ce sens que je détermine les surfaces algébri- 
ques de S,- contenant deux faisceaux de courbes rationnelles. La 
méthode que j'emploie est fondée sur la représentation plane des 
surfaces et est différente de celle de M. Kœnigs. Précisément, 
j'établis le théorème suivant : 

I. — Si une sarface algébrique de S,- possède deu.v faisceaux de 
courbes rationnelles, cette surface est rationnelle et peut être re- 
présentée sur le plan de manière qu'aux courbes d'un faisceau 
correspondent les droites d'un faisceau et qu'aux courbes de l'autre 
faisceau correspondent des courbes rationnelles d'un certain ordre 
u, le plus petit possible, passant fj- — v fois par le sommet du fais- 
ceau de droites iv étant le nombre de points communs aux courbes 
des faisceaux) et telles que leurs multiplicités en deux points-bases, 
dii>ers du sommet du faisceau de droites, n'aient jamais une somme 
excédant v . De plus, il n'ij a pas de points-bases v-uples et il en 

peut exister qu'un seul point-base dont la multiplicité surpasse -^ 

len dehors du faisceau de droites i. Les courber représentant les 
sections hi/perplanes de la surface ne passent jamais, par deu.v 
points-bases du faisceau de courbes d'ordre ^> dont la somme des 
multiplicités est v, avec des multiplicités dont la somme surpasse 



' Détermination de toutes les surfaces plusieurs fois engendrées par des coniques. Annales de 
l'Ecole Normale sup. 1888, 3' s., t. V, p. 177. iVoir aus.si C. R. 1887|. 



s un UN THÉ OHE ME DE M. K OE M G S 311 

l'ordre d'une courbe rationnelle du faisceau correspondant au 
faisceau de droites. 

Je considère, dans ce qui précède, une surface rationnelle comme 
complètement donnée lorsque l'on connaît une de ses représen- 
tations planes. 

Comme cas particulier, je déduis le théorème de M. Kœnigs, 
que j'énonce comme ceci : 

II. — Si une surface algébrique contient deux faisceaux de coni- 
ques, cette surface est rationnelle et c'est ou la surface de Vèronèse, 
de S^ , ou la surface d'ordre huit, à sections hyperplanes ellipti- 
ques, représentant le système des quartiques planes à deux points 
doubles, ou l'une des projections de ces deux surfaces. 

Je déduis enfin ce théorème : 

III. — Si une surface algébrique contient un faisceau de coni- 
ques et un faisceau de cubiques rationnelles, elle est rationnelle et 
c'est une surface d'ordre il, de S,,, à sections hyperplanes de 
genre deux, ou une surface d'ordre 11, de S,,,, à sections de genre 
deux, ou une surface d'ordre 8, de Sj^, à sections elliptiques (re- 
présentant le système des courbes planes du troisième ordre ayant 
un point-base), ou une règle cubique de S^, ou une quadrique, ou 
une projection de l'une de ces surfaces. 

1. — • Soit ¥ une surface algébrique d'ordre n , située dans un 
espace linéaire S,- , à /• dimensions et contenant deux faisceaux 
de courbes rationnelles. Dénotons par C, la courbe générique de 
l'un des faisceaux, par C, la courbe générique de l'autre. Soient 
n, , /?2 les ordres respectifs des courbes C, , C.,. v le nombre de 
points (^ 1) communs à une C, et à une C, quelconque. 

Les groupes de points d'intersection des courbes Cj avec une 
C, déterminée 'mais choisie d'ailleurs arbitrairement) forment 
une involutiony' sur cette courbe. Or. cette c irbe C, étant ration- 
nelle, il en est de même de Finvolution d'après le théorème bien 
connu de Liiroth, et par suite du faisceau des C, . 

Le faisceau rationnel des Cj sera désigné, suivant l'usage, par 
1 Cj I . On démontre de même que les C^ forment un faisceau ra- 
tionnel (C^i . 

Mais, par un théorème de M. Xôther. une surface algébrique 
possédant un faisceau rationnel de courbes rationnelles, est ra- 
tionnelle ; donc la surface F est rationnelle. 

Nous désignerons par | C | le système des sections planes ou 
hyperplanes de la surface F et nous supposerons que cette surface 
est normale, c'est-à-dire qu'elle n'est la projection d'aucune sur- 
face du même ordre n appartenant à un espace linéaire à plus de 
/• dimensions. 

2. — Considérons une représentation plane de la surface, c'est- 
à-dire établissons une correspondance birationnelle entre la sur- 
face F et un plan quelconque. Soient |C*| le système linéaire, 



312 /.. GO DE AUX 

simple, de dimension /•, représentant le système des sections hy- 
peij)lanes |C| . | C*, | le faisceau de courbes rationnelles corres- 
pondant aux C, . 1 C*2 1 le faisceau des courbes rationnelles corres- 
pondant aux Cj . 

Mais nous avons une infinité de représentations planes d'une 
surface, car on sait qu'on aurait pu prendre au lieu de | C* | un 
système linéaire transformé de | C* | au moyen d'une transforma- 
tion birationnelle quelconque. Nous pouvons profiter de cette 
indétermination pour choisir un système | C* | plus commode 
que les autres. Précisément, nous choisirons le système C* I de 
manière que : 

1" Les coui'bes C*, soient les droites d'un faisceau de sommet P. 

2° Les courbes C*^ aient l'ordre minimum /j . 

.3° l^es courbes C* aient l'ordre minimum m [m n'étant natu- 
rellement choisi que lorsque // est fixé). 

Il est toujours possible de satisfaire au 1°), car étant donné un 
faisceau de courbes rationnelles dans un plan, il existe toujours 
une transformation birationnelle qui le change en un faisceau de 
droites ^cela résulte d'ailleurs du théorème de M. Nother précé- 
demment invoqué). Si donc nous avions affaire à une représenta- 
tion plane de F dans laquelle les C*, ne seraient pas des droites, 
il serait possible de trouver une transformation birationnelle (et 
par consé([uent une autre représentation plane de F) changeant 
les C*^ en des droites. 

3. — Les courbes C*^ rencontient une courbe C*^ en v points, 
donc on a |i/ ^ v et le point P est (/u — v) -uple pour toutes les 
courbes C*, . 

De même, le point P est {m-n^) - uple pour les courbes C*. 

Désignons par .r.f. le nombre des points fixes du plan, en 
dehors de P, /-uples pour les C*.^ et Ar-uples pour les C* 
(/= 0, 1, 2 r; A- = U, 1, 2, ... , nj'. 

Exprimons que les courbes C*., sont rationnelles, on a 

(;jL _ 1) (,j. — 2) = (ijL — VI |;j. — V — 1) +22Sm' — l).r,-^. • 

k i 

De plus, deux courbes C*.^ n'ont aucun point variable en com- 
mun, donc on a 

;j.^=r (a - v)'' +22 2^ ''-'^-A- ' 
"T i 

Ces deux formules s'écrivent, après quelques réductions, 

^2^^r./,. = 2(a- 1| + v , (1) 

k i 

^2S''-'"a = 2!J^v - vV |2) 



SUB UN THÉORÈME DE M. KOENIGS 313 

Exprimons que deux courbes C* ont n points variables com- 
muns. On a 

/H» = i/H — «11» +N^A'.r.^. _,_ ;j . (3, 

' A- 

Une courbe C rencontre une courbe C*» en n., points, donc 
on a 

nvx = N) "NJ /A- . .r^-^. + (m — rh) |a — v) + /(j . |4) 

, i fc 

4. — Le nombre //, pour satisfaire à la seconde condition, doit 
être le plus petit possible, c'est-à-dire que l'on ne peut trouver 
une transformation birationnelle changeant les courbes C^., en 
des courbes d'un degré moindre, tout en faisant correspondre 
des droites aux di'oites C*, . 

Dans ces conditions, on doit avoir .i-,.a= (A* := 0, 1, ... , n^ , 
sauf pour v ^= 1. En effet, supposons .lyk^O, v^ 1. Alors on ne 
peut avoir .Vik ^= (/= 1, 2, ... , »'-l), car les formules (1) et i2i 
donnent 

v,rj,^. -= 2ijx — 1) -)- V , ''-^lA- ^^^ ^1^ — "' • 

d'où 1'= 1. 11 doit donc exister, en dehors de P et des points- 
bases j'-uples de | C',| , quelques autres points-bases. Envisagons 
un point-base P, r-uple et un point base P, , i'-uple de | C*2 1 (^ <Ci' ■ 
La transformation quadratique ayant pour points fondamentaux 
P, P, , Po change les C*, en des droites et les C*., en des courbes 
d'ordre 2/t — (/j. — vi — v — i =^ fj, — i <C f^- Or, nous venons de 
voir que cela n'est pas possible si la représentation plane a été 
choisie de manière à satisfaire à la condition 2°), donc sauf pour 
V = i, on doit avoir .Cyk = 0. 

Dune manière générale, on ne peut avoir, en dehors du point 
P, un point-base P, /-uple et un point-base P^ y'-uple pour] Cgi , 
si i -\- j '^ V. En elfet, si cela était possible, la transformation 
quadratique ayant pour points fondamentaux P, P, . P, change- 
rait les C*, en des droites, et les C*.^ en des courbes d'ordre 
'IjLi — ffi — vi — / — j ^= fi — [i +./ — »'] > /*, de sorte que la re- 
présentation plane ne pourrait satisfaire au 2°). 

De cette propriété, on conclut que l'on ne peut avoir .vik ^ 

que pour une seule valeur i >• 2 ? ©t qu alors, on a précisément 

■lik ^= 1. 

Nous allons appliquer ces théorèmes à la détermination des 
faisceaux | C\ \ lorsque l'on a r = 1, 2 ou 3. 

L'Enseignement mathéin., 15» année ; 1913. 22 



314 L. GODE AUX 

5. — V ^ 1. Ou A i ^v ou i, clone / :=: ou 1. Les équations ^l) 
et (2) deviennent : 

■' u = 2. - 1 . 

r^ . V V 1 

Or, SI .i\j. > 0, comme ou a v :=z i ^ --- ou -^, on ne peut avoir 

que .fj^ = 1, d'où ^ z= \. Les C*., sont donc les droites d'un fais- 
ceau. 

Cela était évident à priori, car si une surface algébrique possède 
deux faisceaux de courbes rationnelles unisécantes, on en obtient 
une représentation plane en rapportant projeclivement ces fais- 
ceaux respectivement à deux faisceaux de droites d'un même 
plan. 

6. — V = 2, On a / ^ 1, d'où 

■^\k = 2ij. = 4[j. — 4 , 

c'est-à-dire /V' = 2. Les C*^ sont donc les coniques d'un faisceau. 

7. — f z= 3. On a /^ 2 et si i peut être égal à 2, on a .Ly/. = 1. 
Nous avons donc deux cas à considérer : 

1° / ne peut prendre la valeur 2. Alors on a 

x^^ = 2a -f 1 = 6u — 9 , 

c'est-à-dire ^(x = 10, ce qui est impossible pour ,(* entier. 
2" i peut prendre la valeur 2. Alors on a 

2 -I- Xj^. = 2;x 4- 1 , 4 + Xj^. = 6[j. — 9 . 

On en déduit //. =r 3, x^j^ = 5. 

Les C*^ sont donc des cubicfues planes ayant un point double 
et cinq points simples en commun. 

8. — Occupons-nous maintenant d'exprimer la condition 3°). 
Les courbes C* ne peuvent avoir, en deux points différents de 

P et dont les multiplicités pour les C*., ont pour somme r, des 
multiplicités dont la somme surpasse «, . 

11 siiflit, pour le prouver, de supposer qu'il puisse exister deux 
points P, , Fj respectivement multiples d'ordres /, v — /pour les 
C*.j , multiples d'ordre k, k' [h -\- k' > n^] pour les C*. 

Alors, une transformation quadratique dont les points fonda- 
mentaux sont P, P, , 1*2 change les C*, en des droites, les C*^ eu 
des courbes d'ordre 2/// — (//. — v) — i — (r — /) =l /a, et les C* en 
des courbes d'ordre 2m — [m — n^) — k — k' = in{k -\- k' — /?,) 
<[ m. La condition 3") ne serait donc pas remplie par | (^* | ' ce 
qui est contre l'hypothèse. 



SUB UN THÉORÈME DE M. K OE N 1 G S 315 

Nous avons donc complètement démontré le premier théorème 
énoncé dans le préambule. 

9. — Théorème de M. G. Koenigs. — Pour déterminer les sur- 
faces F possédant deux faisceaux de coniques, nous devons faire 
n^ = n,-, = 2, et, si l'on écarte le plan {n = 1) v ^ 2. 

i*^"" cas. — V = i. Nous avons vu qu'alors, | C*^ | est un faisceau 
de droites dont le sommet sera désigné par P' {(j, ■z= 1). 

Les équations (3) et ('i) deviennent {k ^ «, ou 2) ; 

m^ := {m — 2f + Xn + 4a"i2 + n , 
m = a-u + 2^12 + 2 . 

I C*2 1 n'ayant qu'un point-base, on a .r,, -\- :v^^ ^ 1. 

De ces trois équations, on déduit aisément les trois solutions : 

a) m = 2, J:^^ = d^ç, = 0. 

I C* I est le système des coniques du plan et F est par suite la 
surface de Véronèse dans S^. 

b) m = 3, jc\i = 1, .r,2 = 0. 

I C* i est le système des cubiques planes ayant deux points 
bases simples et F est une surface d'ordre 7, de S,, à sections 
hyperplanes elliptiques. 

c) /;^ ^ 4, .^\^ = 0, .i\,, =^ 1. 

I C* 1 est le système des quartiques elliptiques (deux points- 
bases doubles P, P') et F est une surface d'ordre 8 de S^ à sections 
hyperplanes elliptiques. Remarquons que la surface du septième 
ordre (cas b] s'obtient comme projection d'un de ses points de 
cette surface du huitième ordre. 

2^ cas. — V = 2. Alors, | C*., | est un faisceau de coniques 
(;u, =z 2). Nous désignerons par P^ , P^ , P3 . P^ les quatre points- 
bases de ce faisceau. 

D'après l'observation générale faite précédemment (n" 8), la 
somme des multiplicités des courbes C* en deux des points P^, 
Pj, P3 , P4 , ne peut excéder n^ = 2, les équations (3) et (4) de- 
viennent : 

m' = im — 2)" + Xn + n , {xn ^ 4) , 

2;« = j-u 4- 2 . 

De la seconde, on déduit que .^'^^ est pair. Si .v^^ =■. 4, on a 
/?z = 3, n = 4 et le système | C* ! est celui des cubiques planes 
ayant cinq points simples P, P^ , P, , P3 , P^ . F est donc une 
surface d'ordre 4, à sections elliptiques, de S^ . 

Si :r,, ^ 2, on a /;2 ^ 2, n = 2 et F est une quadrique, | C* | étant 
le système des coniques passant par deux des points P, , ... , P^ , 

L'hypothèse j\^ = conduit à. m = i et est inadmissible. 



■AlÛ L. GO DE AUX 

Ainsi se trouve démontré le théorème de M. G. Kœnigs. 

10. — SUHFACES AYANT UN FAISCEAU DE CONIQUES ET UN FAISCEAU DE 

CUBIQUES UNicunsALEs. Nous poserons n, = 3, n^ = 2 et nous au- 
rons à examiner les trois cas v ^ 1, 2, 3 (le dernier correspon- 
dant à des cubiques gauches]. 

i*"' cas. — r ^ 1. — Comme nous l'avons vu tantôt, on a /u= 1, 
et ] C*.J est un faisceau de droites de sommet P'. Les équations 
(3), (4), s'écrivent : 

/h" = {m — 3)> + k'' + /( , m = k + 2 , 

en supposant P' A'-uple pour les C*. Or, on a A- ^ n^, c'est-à-dire 
k ^ 3. 

Nous avons donc quatre hypothèses à faire : 

a) k =. 3, m = 5, n = 12. 

] C* I est le système des quintiques ayant deux points-bases res- 
pectivement doubles et triples. Ces quintiques sont donc de genre 
deux et F est une surface du douzième ordre, à sections de genre 
deux, de S,, (car les quintiques planes sont oo'-'" et l'imposition de 
points triples ou doubles écjuivaut respectivement à six ou trois 
conditions). 

h) k = 2, m = 4, n = 11. 

I C* I est le système des quartiques de genre deux ayant un 
point-base double et un point-base simple. F est donc une sur- 
face d'ordre 11, à sections de genre deux, de S, g. 

c) A: = 1, m = 3, « = 8. 

I C* I est le système des cubiques planes avec un point-base P' 
et F est donc une surface d'ordre 8, à sections elliptiques, de S^ . 

d) A" =^ 0, fu = 2 (impossible). 

2^ cas. — V = 2. Actuellement, |C*, | est un faisceau de coni- 
ques dont les points-bases sont Pj , P.^, P3, P^ . (^::=2). On a 
4- ^ 3 et par suite 

.^10 + .Tu -f- Xii -f .r,s ^ 4 . 

Les équations (3) et (4) deviennent : 

wi' =(//) — 3)* -f .Tu + 4.ri2 -f 9.ri3 + n , 
2/» = .rii + 2.iis + :iri3 -f 2 . 

La première de ces équations s'écrit, plus simplement, 

•»'n + 4.ris + 9.ri3 + // = i'ym — 9 . 

Nous allons donner à x^^, .r,.-j, .r,^ les différentes valeurs com- 
patibles avec l'inégalité écrite ci-dessus et nous en déduirons les 
valeurs correspondantes de n et ni. Nous formerons ainsi le ta- 



a) 


■± 


l^) 


o 


c) 


2 


d) 


2 


e) 


2 


fl 


1 


gl 





hl 





il 





.i> 





kj 





l) 





m) 





") 






s un UN THÉORÈME DE M. K OE N I G S 317 

bleau suivant, en remarquant que ,r,, + l.i^.-, -\- 'i.i\.^ et par suite 
.<-,, 4" 3.^13 doivent être pairs : 



3 5 

1 4 3 

2 4 5 
10 3 3 
2 5 +1 

3 6—1 
4 5 5 

3 4 3 
2 2 6 1 
2 3 1 

1 2—1 
4 7-3 
2 4—3 
1 —3 

Les cas a), bi, ci, di, g), h) sont évidemment les seuls à consi- 
dérer. 

Dans le cas a), \C*\ est le système des cubiques planes ayant, 
quatre points-bases simples P, , P.,, Pg , P^ et F est donc la sur- 
face d'ordre 5, de S^ , à sections hyperplanes elliptiques. 

Dans le cas b), \ C* | est le système des quartiques rationnelles 
ayant un point-base triple P, et quatre points-bases simples 
P, Pj , Pg , P4 • F est donc une réglée cubique de S4 . 

Dans le cas c), \ C* I est le système des quartiques elliptiques 
ayant deux points-bases doubles P, , P.^ et trois simples P, P., . P^ . 
F est une surface d'ordre 5 de S., à sections hyperplanes ellipti- 
ques. 

Dans le cas d), \ C* | est le système des cubiques ayant trois 
points-bases, un double P, et deux simples P3 , P^ . F est une 
réglée cubique de S^ . 

Dans le cas g , \ C* | est le système de quintiques elliptiques 
ayant cinq points doubles. F est une surface d'ordre 5, de S^, , à 
sections elliptiques. 

Dans le cas hl, \ C* | est le système des quartiques rationnelles 
à trois points-bases doubles et un simple. F est une réglée cubi- 
({ue de S^ . 

3^ cas. — »' = 3. Alors, nous savons que | C*., I est un faisceau 
de cubiques planes ayant un point-base double P, et cinq points- 
bases simples Pj , Pj , P., Pj . Pg 1^=3). 

D'après ce que nous avons vu au n" 8, la somme des multipli- 
cités du point P, et de l'un des points P.^ , ... , P,., pour | C" \ est 



318 /. . G ODE AUX 

au plus égale à trois. Soit la la multiplicité de Pj pour | C* i 

(/=1, 2, ... ,6). 

On aura à faire quatre hypothèses : 

a) A-, = 3. Alors, A., = ... = A^, ^0. Les équations (3) et (4) de- 
viennent 

m' = [m — 3|' + 9 + « . 3w = 6 + 2 . 

Cela est impossible en nombres entiers. 

jS; /r, = 2. Alors k ^1 (/= 2, 3, ... , 6). On pourra écrire, en 
appelant .i\^ le nombre des points P.,, ... , P,, simples pour les C*, 

m? = (m — 3)' + 't -f Jii 4- ;; , 
3/H ^ 4 + xu + 2 = .Vu + 6 . 

:l•^^ doit être multiple de 3 et d'autre part, .r,, ^5, donc on peut 
avoir : 

a) J■^^ = 3, m =^3, n ^= 2. 

F est alors un quadrique, \C* \ étant le système des cubiques 
planes avec un point-base double et trois simples. 

b] .r,, = 0, m = 2, ce qui est impossible. 

y), k^ = 1. Soit alors .r,, le nombre des points P.^ , ... , P,, sim- 
ples pour les C*, .i,., celui de ces points doubles pour les C*. 
On a 

nr" = {m _ 3)' + 1 + a-„ + 4.r„ + n , 

3/»( = 2 + .ru + 2.r,j + 2 = .r„ + 2.r„ + 4 

Nous dressons un tableau analogue à celui de tantôt, mais en 
omettant d'écrire les cas à rejeter. 



flj 5 3 3 

I C* I est le système des cubiques planes à six points-bases sim- 
ples et F est donc une surface cubique générale de S3. 
S] A-, =1 0. Avec nos notations habituelles, nous aurons 

" + ■»ii + 4ru + 9j:-i3 = 67/1 — 9 , 
om = .Jn + 2rij -\- Sx^ + 2 . 
On en déduit 

n + 3.ris + 3 = x,i . 

^^ï% •'il ^ 5, donc n -f 3 .r,;j ^^ 2 et par conséquent .«,3 = 0, 
n =z 2, ./•,, = 5, j:^., ■=■ 0, 3/« = 7, ce qui est impossible. Donc 
l'hypothèse §] est à rejeter. 

Ainsi se trouve démontré notre théorème III énoncé au début 
de ce travail. 

Janvier 11)13. Lucien Godkaux iMorlanwelz, Belgique:. 



SUR LES ROULETTES A BASE REGTILIGNE 



R. DE Saussure [American Journal of mathematics, XVII, 1895, 
p. 269-272) a donné des solutions bien simples du problème des 
roulettes dans le roulement d'une courbe plane sur une base rec- 
tiligne et du problème inverse, c'est-à-dire de la détermination 
du profil générateur correspondant à une roulette assignée a 
priori. Je vais indiquer, dans le présent article, une méthode de 
résolution de ces problèmes qui, dans bien des cas, présente cer- 
tains avantages. 

1. — Un cas particulièrement intéressant de déplacement d'une 
figure plane dans son plan est certainement celui pour lequel une 
courbe (C) du plan mobile, invariablement liée à ce plan mobile, 
est assujettie à passer par un point fixe O et à toucher en ce point 
une droite fixe Ox : la construction ordinaire du centre instantané 
de rotation est alors illusoire. L'abbé Aoust (Analyse infinitési- 
male des courbes planes, 1873, p. 250-251) a le premier remarqué 
que le centre instantané de rotation est, pour chaque position de 
la courbe (C), le centre de courbure de cette, courbe (C) corres- 
pondant à celle des normales de cette courbe qui coïncide mo- 
mentanément avec la droite Oy ; de sorte que, ainsi que l'observe 
ce géomètre, le mouvement est produit par le roulement sur la 
base rectiligne Oy de la développée de la courbe (C). Cette même 
remarque fat faite, en 1901, par E. Duporcq, dans les Nouvelles 
Annales de Mathématiques (à propos de la Question 1861, p. 43). 
Ignorant ces remarques de l'abbé Aousi et d'E. Duporcq, j'avais, 
en 1909, signalé cette même propriété (Nouvelles Annales, juillet 
1909, Sur les surfaces de Mongej. 

Supposons que dans le plan fixe -lOy se déplace une courbe (G) 
invariable en grandeur; cette courbe est supposée rapportée à 
des axes w'it] , mobiles mais invariablement liés à (Cj. Le déplace- 
ment du plan m'B.i] par rapport au plan fixe O.vy est défini par les 
conditions suivantes : la courbe (C) doit constamment passer par 
O et y toucher la droite fixe O.v. Soit : 

Ç cos cp -|~ ^ sin cp rr: Oï , 

m étant une fonction donnée de lazimut y, l'équation de la tan- 



320 É. ri'RRIERE 

<,œnte à la courbe C en un point quelconque, par rapport aux 
axes mobiles oy'^rj ; cette fonction es étant la distance de o) à la 

tangente et sa dérivée -j- représentant la distance du même 

point 0) à la normale correspondante de (C), on peut donc poser 
les relations suivantes entre co, sa dérivée, et les coordonnées 
par rapport aux axes fixes O.vy du point (o : 

dw 

11) y = Ui , X = ^- : 

"r 

léquation de la normale à la roulette du point o) est 

(X — X) dx + {\ — y] dy = ; 

il résulte donc des formules (1) que cette normale rencontre Taxe 
0// au point d'ordonnée 

y = ^ + -^ , 

(à moins que --— ne soit nul, c'est-à-dire que w ne soit sur 0// : 

la normale à la trajectoire de (o est alors 0^1. En interprétant la 
relation précédente, on est conduit, par conséquent, à considérer 
le centre de courbure de (C) correspondant à la normale 0/y comme 
étant le centre instantané de rotation. 

2. — Les formules 1) permettent de déterminer le lieu du point 
0) dans le plan fixe, lorsque la courbe (C) est donnée et inverse- 
ment deftectuer la recherche des courbes (C) telles que le point 
0) ait une trajectoire [F) assignée a priori. Si (C) est donnée, l'éli- 
mination de y entre les équations (liconduiraà une relation entre 
./• et jj qui sera l'équation cartésienne de (Fi. Inversement si .T 
est donnée, soit 

X = f[y) 

l'équation de cette courbe imposée ; l'équation de ;Cj sera 

dîxS 



r ^ I _ + coiist 



la courbe (C) dépend donc alors d'une constante arbitraire, ({ui 
n'a aucune influence sur la forme de cette courbe : deux courbes 
différant par les valeurs de cette constante arbitraire se déduisent, 
en effet, l'une de l'autre par une rotation autour du p<Me o). H était 
d'ailleurs évident a priori que les courbes (C) correspondant à 
une roulette imposée lT) devaient dépendre d'une équation diffé- 
rentielle du premier ordre, admettant la rotation autour de w 
pour transfoi-mation infinitésimale. 



ROULETTES A BASE RECTI LIGNE 321 

J'emprunterai à M. H. Bhocard ^ des exemples de détermination 
de la courbe F: lorsque C est connue. Lorsque C) est une ellipse 
de foyer « [Nouvelles Annales, 1872, Question 959, p. 132. soit 



1 + e cos 



l'équation de cette conique ; sa podaire par rapport à w est le 
cercle principal; l'équation polaire tangentielle de la conique est 
donc 

05* — 2cUi cos z = />^ ; 

d'où, en dérivant cette équation par rapport à y et en appliquant 
ensuite les relations li, il résulte que la trajectoire de &) a pour 
équations cartésienne et polaire : 

Lorsque (C) est une ellipse de centre &), la même méthode con- 
duit à la quartique circulaire 

a".!" + (v^ — a'il.i'— //| = 

comme lieu de «. Considérant encore le cas d'une parabole (C) 
de foyer w, la trajectoire IT"] de w est la quartique d'équations car- 
tésienne et polaire : 

«2(^2 + 1^^, = y* , r.sWh = a . 

Nouvelles Ajinales, 1872, Question 973, p. 500). Ces deux dernières 
roulettes ont été étudiées par W.-IL Besaxt [ibid., e871, p. 327 et 
554). 

3. — Le problème inverse du précédent conduit à des considé- 
rations beaucoup plus intéressantes. 

Supposons, par exemple, que la courbe imposée ■F] est une 
droite ; soit 

X cos a -\- y sin « =r h 

son équation ; l'une des courbes iCj est donc 

W = — tang a . e^ '^ '^°'S" ; 

cos a 

pour b=: o , c'est-à-dire lorsque la droite imposée F passe par O, 
cette équation représente une spirale logarithmique. Lorsque b 
est différent de zéro, elle représente une courbe parallèle à la 
spirale logarithmique : ces courbes parallèles à la spirale loga- 



' Voir aussi : Question 457 de Mathésis 1890 p. 205 [(Cl est une parabole de foyer ou de 
sommet &i] et l'article Houlettes de coniques de M. H. Brocakd dans la Nouvelle Corres- 
pondance Mathématique de 18TG |p. 373 1. 



322 E. T iHIUERE 

rithinique viennent d'être loljjet d'une Question intéressante de 
V Intermédiaire des Mathématiciens [w" 3951, 1911, p. 266, — 1912, 
p. 153-156) : « Pour qu'un système de courbes parallèles ne com- 
« prenne que des courbes semblables, il faut que leui- développée 
« soit une spirale logarithmique. Toutes les courbes parallèles à 
« une spirale logarithmique et situées d'un même côté de cette 
« spirale sont semblables entre elles, sans être pouitant sembla- 
« blés à la spirale logarithmique. Le cercle seul est semblable à 
« ses parallèles. La développante de cercle est la seule courbe 
« égale à ses parallèles ». 

Comme second exemple simple, je citerai celui de la parabole 
{r, d'équation 

X = 1 -f _r^ : 

la courbe C correspondante, est définie par l'équation 

dm 



./r 



z= arc lauyr U5 , 



+ m- 

U5 =1 tans; © ; 



cette courbe (C) est donc l'antipodaire d'une courbe Cappa. 

4. — Dans les Nouvelles Annales de 1909, j'avais rapidement 
signalé la solution du problème inverse dans le cas particulier 
où la courbe imposée (T* est une circonférence. Ce problème se 
présente dans l'étude de la forme rationnelle qu'il convient de 
donner aux tiges qui dirigent les vannes des écluses de certains 
canaux. Dans le cas particulier où le cercle imposé [F] est tangent 
à la droite oy , j'avais annoncé que la courbe (C) est l'inverse 
d'une développante de cercle ou une courbe parallèle à cette in- 
verse ; ce résultat s'établit immédiatement sans aucun calcul ; 
une figure montre, en effet, que la courbe (C) correspondant à un 
cercle [F] tangent en à Taxe Oy doit avoir sa tangente polaire 
constante : cette courbe est donc, d'après Côtes, la tractrice com- 
pliquée de iNl. LoiiiA iSpezielle Kurven, 11, p. 200), courbe qui est 
encore désignée par les dénominations de tractrice polaire (Giakd, 
Neuberg), de spirale tractrice (G. Teixeira), de tractrice circulaire 
(H. Biiocard). Dans le cas où le cercle [F\ touche 0/y en un point 
autre que 0, la courbe [F] est une parallèle de la précédente. 

Dans le cas général d'un ceicle i-Ti quelconque, d'équation 

(X — a)' + I r — />!* = R' , Irt > 0) 

la courbe iC a pour équation 



i\ 



dm 
+ V'R' — \^ 



ROULETTES A BASE RE CTf LIGNE 323 

rintégration s'effectue élémentairement, mais trois cas sont à 
distinguer : lorsque K est supérieur à a , on doit introduire la 
fonction logarithmique ; lorsque R ^ a (cas de la tractrice 
compliquée et de ses parallèlesi et lorsque R est inférieur à a, 
l'intégrale dépend des fonctions circulaires. Il est aisé de dé- 
montrer que ces diverses courbes ne sont autres que les tractrices 
du cercle [b ^= o] ou des parallèles à ces tractrices [b =^ o), soit 
par un raisonnement géométrique, soit par un calcul simple. 

Vérifions cette propriété analytiquement, ce qui nous permettra 
d'établir l'équation des tractrices du cercle par une méthode bien 
plus simple que celles de Morley et de Bobdom. Considérons, en 
effet, un cercle de centre O, d'équation 

.x' -\- y z=zK' ; 

soit C) une tractrice de ce cercle ; la tangente à cette tractrice C 
en un quelconque de ses points M coupe le cercle en deux points : 
soit N lun d'eux ; la condition imposée est MN = const = /. Pro- 
jetons en P le centre O du cercle sur la droite MN ; on a 

dW 
OP = ro , PM = — . 

dz 

puisque ces longueurs ne sont autres que les distances de à la 
tangente et à la normale en M de la courbe (C) ; le triangle rec- 
tangle POX donne alors la condition 

r' = ÔP' + PN* 

qui se traduit par l'équation différentielle des tractrices cherchées 

celle-ci se met finalement sous la forme : 

dm 

(3) dç = 



l ± Yk» — co' 

qui s'identifie immédiatement avec l'équation 12). 

Puisque j'ai antérieurement fait allusion à l'équation de Morley 
et de BoRDOM, il convient d'indiquer comment il est possible de 
la retrouver en partant de l'équation tangentielle (3). Il suffit de 
remarquer que l'on a : 



= ^' + m. i = -, + [^,(i)J ^ 



/d^V J_ 1 



32i F. BOIN Y 

ces deux relations permettent d'obtenir des expressions de oï- et 
de( — ) en fonction de / - et -I- ; en substituant dans Téquation 
difîérentielle 3 de la tractrice on o])tient l'équation de Morley- 

BoilDOM '. 

5. — Supposons qu'on veuille réaliser un roulement sur une 
base rectili^ne pour lequel une roulette soit assignée à l'avance. 
A ce problème, on pourra substituer celui du mouvement défini 
par une courbe C) de grandeur invariable passant par un point 
fixe et y touchant une droite fixe. Il suffira de choisir arbitraire- 
ment un point O sur la base donnée et de considérer celle-ci 
comme étant l'axe des ordonnées ()// d'un système d'axes rectan- 
gulaires ;0.r, Oy). 

Le cas du tracé d'une droite avec une base rectiligne est parti- 
culièrement intéressant, car il se retrouve chaque fois que la base 
quelconque rencontre la roulette assignée, elle-même quelconque : 
la roulette peut, en effet, être toujours assimilée à une spirale 
logarithmique (voir mon article antérieur Sur les spirales loga- 
rithmiques osculatrices à une courbe plane au voisinage du point 
d'intersection, puisque les petits arcs de la base et de la roulette 
imposée voisins du point d'intersection peuvent être remplacés 
par des éléments des tangentes aux deux courbes en ce point 
Exercices et compléments de mathématiques générales, § 263). 
C'est un résultat bien connu que la courbe génératrice doit être 
la spirale logaiithmique : il résulte, en effet, du théorème sur le 
centre instantané de lotation et la construction générale des tan- 
gentes aux roulettes, que le rayon vecteur émanant du point 
générateur de la roulette rectiligne et aboutissant à un point de 
la courbe roulante doit faire un angle constant avec la tangente 
à cette courbe. 

Ce même théorème se rattache au .3" du présent article: la mé- 
thode indiquée est certainement plus compli([uée dans ce cas que 
la méthode directe. Mais considérons le tracé d'un cercle açec une 
base rectiligne Exercices et compléments de mathématiques géné- 
rales, § 264). Substituons à ce problème le problème équivalent 
du 4": la courbe roulante sur Oy doit être lu développée d'une trac- 
trice de cercle : cette courbe est donc parfaitement définie par une 
propriété géométrique remarquable ; en second lieu, puisque la 
tractrice du cercle a été obtenue tangentiellement, cette déve- 
loppée a une équation qu'on peut écrire sans aucun nouveau 



' Les tractrices du corcle font l'objet du paragrnphe 282 des Exercices et compléments de 
mathématiques générales ipp. 218-2201 de MM. H. HoL assk et E. TuRHiiiRK (Paris, Delagravo. 
19121. Li- tractrice circiilairo est considérée comme trace de la roulette coupante et la figiii'e 
200, qui la représente dans un cas particulier, a été tracée par un procédé mécanique. Une 
apiilication aux voitures y est indiquée. 



ROUI. ET TES, A HASE RE CTJ LIGNE ,325 

calcul: il suffît de remplacer — , dans l'équation difTérentielle 

(3), par ûj, et (p par ff -\- ^ • 

Cette développée de la tractrice du cercle est d'après Morley la 
courbe que Ch". I.aboulaye appelle courbe à n saillies, dans le cas 
de la représentation au moyen des fonctions circulaires ; dans 
le cas de la représentation au moyen des fonctions hyperboliques, 
la courbe peut être aisément construite à partir de la spirale de 
Poinsot : elle se rattache donc, dans ce cas, à la spirale logarith- 
mique. Entre ces deux cas, se place celui où la courbe roulante 
est 

_ ^« 

'' ~ i^^* • 

c'est-à-dire est une transformée cissoïdale de deux spirales hyper- 
boliques. (Voir G. Kœxigs, Leçons de Cinématique, Paris, 1897, 
p. 170; G. LoRiA, Spezielle Kurven, II, p. 158 et 128 . 

E. TuRRiÈitE Poitiers). 



SUR LES AXES PRINCIPAUX D'INERTIE 



Lorsqu'on étudie le complexe formé par les axes principaux 
d'inertie d'un système, on choisit généralement comme axes coor- 
donnés les axes de symétrie de l'ellipsoïde central d'inertie. C'est 
à l'aide de ce système de référence que l'on rétablit ordinairement 
le remarquable théorème de Binet montrant, entre autre, que le 
complexe des axes principaux est identique au complexe des nor- 
males aux quadriques homofocales à l'ellipsoïde central de gyra- 
tion. Dans beaucoup d'ouvrages d'enseignement on emploie aussi, 
pour chercher la condition à laquelle doit satisfaire une droite 
pour être axe principal, un système de référence dont l'axe des z 
coïncide avec la droite choisie. On se borne alors à établir une 
condition analytique. 11 est pourtant facile d'interpréter géomé- 
triquement la relation à laquelle on arrive. On obtient ainsi des 
théorèmes qui, sans avoir l'importance du théorème de Binet, 
sont cependant intéressants. 

Pour qu'une droite quelconque, choisie comme axe 0-, soit 
avec axe principal d'inertie il faut et il suffît que l'on puisse trou- 



326 /•'. ROUNY 

ver sur cette droite un point 0, 0, 0, h tel que les deux premiers 
produits d'inertie relatifs à des axes parallèles aux axes coordonnés 
et passant par ce point soient nuls, c'est-à-dire que Ton ait : 

^my{z — //) = . ^mx\z — hl = , 

OU, en appelant M la masse totale du système, .v , y ^ z lescoor 
données du centre de gravité, D et E les deux premiers produits 
d'inertie relatifs aux axes primitifs O.r , O,?/, Os : 

D — AMr^ = , E — AM.r^, — . 

D'où la condition classique : 

Pour interpréter cette équation considérons l'ellipsoïde d'inertie 
ayant pour centre l'origine O des axes coordonnés : 

X\^ + BY= 4 CZ'^ — 2DYZ — 2EXZ — 2FXY = 1 . 

L'équation du plan diamétral conjugué, dans cet ellipsoïde, à 
l'axe 0:; a des coeflicients respectivement proportionnels à : 

— E — D C . 

D'autre part les coeflicients de l'équation du plan déterminé 
par Taxe considéré et le centre de gravité du système sont pro- 
portionnels à : 

y, --, ^- 

La condition fl) exprime la perpendicularité de ces deux plans. 
Donc, l'origine ayant été laissée arbitraire sur l'axe : 

La condition nécessaire et suffisante pour qu'un axe soit prin- 
cipal est que le plan diamétral conjugué à la direction de l'axe 
dans l ellipsoïde d'inertie relatif à un point quelconque de cet axe 
soit normal au plan déterminé par l'axe et le centre de granté. 

De là résulte que si un axe est principal tous les plans diamé- 
traux conjugués à sa direction, dans les ellipsoïdes d'inertie 
ayant pour centre les difTérents points de Taxe, sont perpendi- 
culaires à un même plan : le plan déterminé par Taxe et le centre 
de gravité. 

L'axe des c étant toujours la dioite considérée, supposée axe 
principal, prenons comme axe des x la perpendiculaire abaissée 
du centre de gravité sur Oz. Alors : 



AXES PRINCIPAUX D INERTIE 327 

et la condition 1, se réduit à : 

D = . (l'I 

[>a cote h du point pour lequel Taxe O:; est principal est donnée 

par : 

E — /«M.r^ = (2) 

Soient O, 0, 0, a un point quelconque de Or. et Aj . B, , C, , D, , 
E, ,F,, les coefficients de l'équation de lellipsoïde d'inertie de 
centre 0, rapporté à des axes menés par 0, , parallèlement aux 
axes O.v. Oy, Oz. Les coefficients de l'équation du plan diamétral 
conjugué à la direction de l'axe dans l'ellipsoïde dinertie relatif 
à 0, sont proportionnels à : 

— E, - Di C, 

or 

El ^ 'Zmx^z — ai = E — ''^^'V 

Di = S;«T(r — a) = . Ci = I.nux'' + ,i^ = C . 

Le plan diamétral considéré a comme équation par rapport aux 
axes O.v , Oy . Oc : 



ou : 



— lE - 7.M.rg.) X + CiZ — ai = 

— EX + CZ + aiMjr^X — Ci = 



11 décrit donc, lorsque a varie, un faisceau dont Taxe a pour 
équations : 

MXg.X = C , EX = CZ , 

ou : 

X = -^ Z= — =h . 

Cetle droite est située dans le plan perpendiculaire à Taxe au 
point pour lequel celui-ci est principal. 11 suffît de se rapporter à 
l'étude des percussions pour remarquer que c'est la ligne suivant 
laquelle il faudrait faire agir une percussion appliquée au sys- 
tème pour que, celui-ci pouvant tourner autour de Oz, les appuis 
de l'axe ne supportent aucune percussion. Nous pouvons donc 
énoncer le théorème : 

Si une droite est a.ie principal d'inertie, les plans diamétraux 
conjugués à la droite dans les différents ellipsoïdes d'inertie ayant 
pour centres les points de cette droite forment un faisceau de 
plans. Vaxe de ce faisceau est la ligne suivant laquelle il faudrait 
faire agir une percussion appliquée au système pour que l'a.ve 
principal supposé immobilisé ne supporte aucune percussion. 

F. BouNY ^lons). 



MELANGES ET CORRESPONDANCE 



Sur un problème de dynamique. 

Réponse à une question proposée dans \ Intermédiaire des Ma- 
thématiciens '. 

Une ellipse est parcourue par un point mobile P d'un motn>e- 
ment képlérien (il obéit à la loi des aires, centre des forces un 
foyer) ; en chaque point P Ofi mène la tangente PT telle que PT 
soit le vecteur qui figure la vitesse. Quel est le lieu géométrique 
du point T ? 

Au centre des forces considérons une terne orthogonale^ dex- 
trorsum (i, j, k) telle que 1 soit parallèle à Taxe majeur de l'ellipse 
et i, j soient parallèles au plan de l'ellipse même; le vecteur: 

P' = T — P 
sera défini par'' : 

p.^i|(P-o,Ak_ ) 

pi p ) 

où p est le paramètre, q le module de P — O, e l'excentricité, 
alors : 

T - O = (T - P) -f (P _ O) = Lzl2 /\ k - -i + (P - 0) 

P'c p 

c'est-à-dire : 



ayant posé 



De (2) on tire : 



O, = i(P - O) Ak+ (P- O) (2, 

r 1^ 



Oi= O --j . 

p 



T - O,)» = J-J (P - 01 A k r+ (P - Oi* 
p ? { ) 



> Ouestion n» 3972 proposée par M. A. Boutin, Intermédiaire, i».ii\\er 1912, p. 5. 

* Bi:hali-Forti et Makc.oi.onoo, Eléments de calcul vectoriel, Paris, Hermann, 1911. 

' Mahcoi.onoo, Thciiretische Mechanik, S. 62, erster Bd; Leipzig, Tcubner, 1911. 



MELANGES ET CORRESPONDANCE 329 

c'est-à-dire : 

1 

Pi — ~2 ~r P 

donc : Q^ est l'hypoténuse d'un triangle rectangle dont - et ç sont 

les côtés de l'angle droit; si ^ est l'angle des droites TO, et PO, 
«n multipliant scalairement (2) par P — 0, on a : 



c'est-à-dire : 




Oi) X (P — O) = (P — 0)=' = p'' 

pfi cos S' =: p^ , Gj cos â ■==. 



De O, conduisons la paral- 
lèle à OP et de T la perpen- 
diculaire surO^Pj; il résulte: 



OiPx = p , 



P/r = 



par conséquent Pj décrira 
^' {Pu une ellipse y, semblable et 
semblablement posée à la 
trajectoire de P et dont le foyer O^ se déduit de O par la for- 
mule (3). On peut donc conclure : 

Si le sommet Pj d'un angle droit décrit l'ellipse y, , ta?idis que 
l'un de ses côtés passe constamment par le foyer 0, , un point T, 

«itué sur l'antre coté à une distance constante - du sommet, dé- 

P 
crira le lieu demandé. 

Armand Palomby (Naples). 



Déterminations directes des projections des bissectrices d'un angle 

en Géométrie descripti^'e dans le système de Monge. 

Pour construire les projections des bissectrices d'un angle, on 
a généralement recours au rabattement et au relèvement du plan 
de cet angle. Cette méthode est indirecte, et parfois elle n'est 
guère praticable, par exemple, lorsque, en tout ou en partie, les 
traces des côtés ne rentrent pas dans les limites de la feuille. 
Quant aux expédients habituels du changement de plans, de la 
réduction homothétique ou du rabattement dans l'espace, commu- 
nément en usage, ils ne sont pas directs non plus dans ce cas-là 
et souvent même ils sont laborieux. En outre, je ferai remarquer 
que le système de rabattement, tout en étant assez simple, apour- 

L'EnseigQenient mathéin., 15" année; 1913. 23 



330 



MELANGES ET CORRESPONDANCE 



tant l'inconvénient de trop restreindre la figure sur laquelle oi> 
opère, au détriment de l'exactitude du tracé. 

De sorte qu'il ne me semble pas hors de propos de signaler 
quelques solutions directes de ce problème ^ 









■■'/ 


1 \ ^ 


K:-----^. 


. ' . 






V ■ '■ 


i^^ij^ : 


...JW 


._ 


(^^5, (Bl- W.-r 






\^ 


M^:, 


'y-- 4-''' 




f^' • ■■' 






La première est suggérée par la propriété des bissectrices 
de l'angle au sommet d'un triangle isocèle : l'une divise la base- 
en parties égales et l'autre lui est parallèle. En même temps on- 



* Des solutions analogues pour la bissection de l'angle dièdre furent déjà indiquées il y a 
plusieurs années (V. Atti del CoUegio degL' Ing. ed Arch., Palermo, 1889, et Periodico di Matent., 
Livorno, l!l()8); elles auraient dû suivre plutôt que précéder celles que nous venons d'exj>oser. 
Mais aujourd'hui seulement elles se sont présentées à mon esprit. 



MÉLANGES ET CORRESPONDANCE 



331 



utilise, dans une seconde solution, la symétrie des côtés par rap- 
port à la bissectrice de l'angle, de manière que, dans son plan, 
une transversale quelconque est coupée par la symétrique en un 
point de cette bissectrice. 

Une dernière solution enfin s'obtient en appliquant le principe 




•■■ CZ-.-- 






/ 


t, 




;. 


^' 




;, 


--4<c- 




\Y>) 




! / 


; 




^M 


--# 


/ 


;2. 


^B'' 
\ 




connu que les bissectrices de tout angle dans un triangle coupent 
le côté opposé en parties proportionnelles aux côtés de l'angle. 

La l^*" figure contient les deux premières solutions, et il suffît 
de noter que si nous considérons, à partir du sommet, deux seg- 
ments quelconques VA, VB sur les côté& ^o- et A de l'angle donné 
(uniquement pour des raisons de simplicité choisies de façon que 
les projections horizontales en soient égales) en les faisant suc- 



332 MÉLANGES ET CORRESPONDANCE 

cessivenient tourner autour de la verticale Y, jusqu'à ce qu'ils 
deviennent parallèles au plan vertical, on obtient là, en véri- 
table grandeur, les dimensions V(A) et V(B), qui se reportent réci- 
proquement en V(Aj) et V(B,) sur ces droites en construisant leurs 
projections respectives. 

Les points milieux M et m des transversales AA^ et BB, ibases, 
comme on sait, des deux triangles isocèles semblables avec le 
sommet commun V) et les parallèles menées à ces droites par ce 
point, donnent les bissectrices demandées VM et VM^ de l'angle 
donné. L'une de ces bissectrices est déterminée aussi par l'inter- 
section R des lignes AB, et A^B, relativement à cette bissectrice, 
et symétricjues entre elles. 

Remarque. — l>es perpendiculaires aux V"A" et V"B" clans leurs 
extrémités non communes respectivement égales à ah.' et à Z>B' 
(qui sont les différences entre les distances au plan vertical de V 
avec A et B) donnent les points (Alj et (Bjg qui tombent respecti- 
vement sur les circonférences de centre V" déjà indiquées. Ces 
points permettent encore de trouver de nouveau les vraies gran- 
deurs des segments VA et VB susdits, construction qu'on peut 
comprendre comme un rabattement sur le plan vertical, de deux 
plans qui les projettent verticalement. 

De même l'hypoténuse du triangle rectangle A'A,A', , dont le côté 
A^A', = A'^a^, est comme la base AA^ du triangle isocèle \ AAj ; 
en faisant A'V et VAj égaux à AV, l'angle A' VA sera, dans sa vraie 
grandeur, celui des droites considérées dans l'espace. 

La 2'"'' figure représente les projections d'un triangle quelconque 
ABC et des bissectrices de ses angles, obtenues par le principe 
susdit des segments proportionnels. Cependant il faut trouver 
avant tout les vraies longueurs A"C, A"B et C^gB" de ses côtés (par 
la méthode ordinaire, par exemple des rotations) et puis sur les 
lignes de rappel déjà marquées A"A', B"B', C"C' l'on prend, à 
partir des parties opposées ou de la même partie, des projections 
hoi'izon taies ou verticales de chaque côté, des segments égaux 
ou proportionnels aux deux autres côtés. Par exemple l'on trace 
C'A^ = CA" (vraie longueur de CA) et B"A =r B"A, , tous deux 
égaux à A"A (vraie longueur de AB) ; alors les transversales AA^ et 
AoA^ donnent sur C"B" les points a" et a'\ , c{ui appartiennent 
respectivement aux bissectrices de l'angle opposé A. Et si, comme 
dans notre dessin, le point a'\ se trouve en dehors du tableau, 
on considère la bissectrice qui correspond comme 4'"^ harmo- 
nique des trois rayons donnés (c'est-à-dire les deux côtés de 
l'angle et l'autre bissectrice). 

Deux bissectrices internes cjuelconques de ce triangle donnent, 
comme l'on sait, le centre O du cercle inscrit, dont on ne peut 
cependant déterminer le rayon par les seules méthodes proposées. 

F. P. Paternô (Palermej. 



MELANGES ET CORRESPONDANCE 333 

Factorisation des grands nombres. 

A propos des articles de MM. G. Lokia et A. Aubry. 

A propos des intéressantes Notes de M.Nl. T^oria. et Albry, pu- 
bliées dans VEns. mnth. du 15 mai 1913 p. 193-231), je me per- 
mets de signaler les articles parus en 1902 dans les Actes de 
l'Académie Royale des Sciences d'Amsterdam ^ On y trouvera, 
entre autres, une méthode donnant immédiatement les facteurs 
du nombre que Mersenne proposa à Fermât pour la factorisation. 

Si G ^ fl/*, — b^ est le nombre à factoriser, et p est un facteur 
de G, la différence des restes de cr^ et de b^ après division par/?, 
doit être divisible par p. 



E 



c rivons 



/G + 1\^ /G — l\-2 . G - 1 



il faut que 



G + 1 _ 



r -f- 1 (modj:;) 



Donc 

G = (r + 1)' — '■' (niodp) on G = 2;' -f- 1 (mody.») , 

donc 2/- + 1 doit être divisible par /j>. 

Par exemple : G = 80047 = (40024 ^ — (40023)^ 

Gi =z 40023 = 200^ + 23 , 
ou Gi =: 2002 _ 12 -|_ 24 , ou Gi = (201 X 199 1 + 24 . 

Chacun des diviseurs 199 et 201 donnera 24 comme reste; mais 
puisque 2/' + 1 = 49 n'est pas divisible par 199 ou 201, ces deux 
nombres ne seront pas des diviseurs de G. On peut écrire succes- 
sivement : 

r 2/ •+ l 

G, = 201 X 199 + 24 49 

202 X 198 + 27 55 

203 X 197 + 32 65 

204 X 196 + 39 79 

205 X 195 + 48 97 

206 X 194 + 59 119 

207 X 193 + 72 145 

208 X 192 + 87 175 

209 X 191 + 104 209 



' Verhandelinç;fn van tlo K. Acadeiiiiu van AA'etenschapjien te Amsterdam, 1002, p. 37'i-3?4. 
'i74-486. fi23-():U et dans l'édition anglaise, p. 32(!-336, 'j25-'i3fi, 5(11-508. L'étude parut plus tard 
en brochurr chez rcditciir Veishiv; à .Amsterdam. 



334 CHRONIQUE 

Ce tableau est facilement construit puisque les restes 23, 24, 27, 
32, ... ont pour différences 1, 3, 5, ... On trouve 209 comme facteur. 
Le nombre G= 100895598169 de Mersenne-Fermat égale 

(50447799085)2 — (50447799084)- 
tandis que 

50447799084 = 224605=^ + 393059 ou = 1 224606 x 224605) + 168454 

2/' -f- 1 = •^'^'^*J09, donc 112303, diviseur commun des nombres 
soulionés, est un des facteurs de G. 

F.-J. Vaes Rotterdam . 



CHRONIQUE 



Commission internationale de l'enseignement mathématique. 
Sous-Co.M missions Nationales. 

Suisse. — Comme conclusion à ses rapports, la Sous-com- 
mission suisse vient de publier un fascicule annexe intitulé « Ré- 
formes à accomplir dans l'enseignement mathématique en Suisse, 
vœux et propositions de la Sous-commission suisse». Le texte est 
reproduit dans les trois langues nationales. 

L'Enseignement mathématique en Suisse, Rapports publiés sous la direc- 
tion de H. Fehr. — Annexe (34 p., Fr. 0,50; Georg & C'«, Genève et Bàle) : 

Reformvorsclilage und Auregungen aus den Berichten iiber den niathenia- 
tischen Uuterriclit in der Schweiz. 

Réformes à accomplir dans l'enseignement mathématique en Suisse. 

Riforme da compiere nell' inseguamenlo délie matematiche uella Svizzera. 

Unification de la terminologie dans les théories du potentiel 
et de l'élasticité. 

Sur l'initiative de M. le Prof. A. Koitx (Charlottenbourg , il 
vient de se constituer une commission en vue d'une « unification 
par i'oie d'entente inte/ nationale des notations et de la lerniinologie 
de la théorie du potentiel et de la théorie de V élasticité ^>. Xous 
reproduisons ci-après \a première circulaire : 

11 est superflu d'insister sur les grands avantages qu'il y aurait 
à provoquer une entente entre les travailleurs des diverses natio- 



CHRONIQUE 335 

«alités sur les termes et les notations à employer dans n'importe 
laquelle des sciences pures et appliquées à l'industrie. 

Parmi les diverses branches des iMathématiques et de la Phy- 
sique théorique, c'est certainement la théorie du potentiel et celle 
•de l'élasticité qui se prêteraient dès maintenant à faire l'objet 
•d'une entente de ce genre, pourvu que la tentative soit foite sui- 
vant un plan convenable et dans un esprit assez large. 

A. Domaine auquel l'unification des termes et notations se bor- 
nerait pour le moment. — 1. L'adoption d'un même terme pour 
une même notion dans les différentes langues étant irréalisable, 
il conviendrait de fixer les termes de façon à en rendre la traduc- 
tion d'une langue dans une autre aussi facile que possible. 

2. L'unification de la terminologie et des notations ne porterait 
— dans le projet en question — que sur la théorie du potentiel et 
•celle des milieux élastiques, isotropes, en repos. Quant à une 
■extension des conventions considérées à la théorie générale des 
équations du type elliptique, elle devrait seulement être prise en 
•considération. 

Les termes et notations adoptés devront s'éloigner le moins 
possible de ceux et de celles qui sont les plus usités. 

B. Plan d'exécution. — Le Comité d'organisation s'adresse, au 
moyen de cette première circulaire, aux astronomes, mathémati- 
ciens et physiciens en les priant d'abord de vouloir bien répondre 
à la question suivante : 

Quelles sont les notions et les notations sur lesquelles l'unifi- 
•cation doit porter ? 

Les réponses, parvenues dans le courant de l'année présente, 
seront classées le plus rapidement possible; dans le courant de 
l'année 1914 on sera prié, au moyen d'une seconde circulaire, de 
vouloir bien faire des propositions quant aux termes et notations 
à adopter. Un parfait accord des propositions qui seront faites ne 
pouvant pas être obtenu, le Comité se propose de faire connaître, 
au moyen d'une troisième circulaire (printemps 1916) les points 
qui auront donné lieu à des divergences d'opinion et de provoquer 
au prochain Congrès international des mathématiciens (1916) une 
discussion de ces points. Une quatrième circulaire (1917) rendra 
compte de cette discussion en invitant en même temps les savants 
qui n'auront pas pu assister au Congrès à faire connaître leur 
opinion. 

Après étude et classement des propositions et discussions, le 
Comité d'organisation fera connaître, au moyen d'une cinquième 
circulaire (1919), les points où une entente sera probable et mettra 
aux voix ceux où la divergence d'opinions pourrait persister. Le 
vote aura lieu en 1920 au Congrès international des mathémati- 
ciens qui aura lieu cette année-là, et même les savants qui n'y 
assisteront pas pourront voter par écrit. 



336 CHRONIQUE 

Le Comité d'organisation fera connaître, au moyen d'une sixième 
circulaire (1021), les résultats du vote, et il se propose, peu après, 
de publier les conventions internationales adoptées de cette façon. 

La correspondance doit être rédigée en allemand, anglais, fran- 
çais ou italien et être adressée à INL Arthur Konx, Schliiterstrasse, 
25, Charlottenbourg. Allemagne. 

Le Comité se compose de MM. Max Abraham iMilan;, Alfred 
Ackermann-Teubxer (Leipzig), Robert d'ADHÉMAR (Lille), Paul 
Appell (Paris), Serge Berxsteix (Karkow), Christian Bi;iKELAx» 
(Christiania), Wilhelm Bjerknes (Leipzig), Marcel Brillouin 
(Paris), Oreste Chwolsox (St-Pétersbourg) , Eugène Cosserat 
(Toulouse), François Cosserat iParisi, Gaston Darbolx Paris), 
Paul Ehrexfest (Leyde), Henri Fehr (Genève), Léopold Fejér 
(Budapest), Richard Gaxs (La Plata), Henri Graf Berne), Sir 
George Greexhill (Londres), Jacques Hadamard (Paris, ^^'ilhelln 
Hallwachs Dresde), Fritz Hasexohrl (Vienne), Tsuruichi Havashi 
(Sendaï), Pierre de Heex (Liège), David Hilbert Gottingue), 
Gustave .Iager (Vienne), Eugène Jahxke (Berlin), Paul Kobe Leip- 
zig', Walter Kôxig (Giessen), x\rthur Korx (Charlottenbourg), 
Horace Lamb (Manchester), Emile Lampe (Berlin), Sir Joseph 
Larmor (Cambridge), Otto Lehmaxx (Carlsruhe), Eugenio-Elia 
Levi (Gênes), Tullio Levi-Civita (Padoue), Léon Lichtexstein 
(Berlin), A. -Ed. -H. Love (Oxford), Roberto Marcoloxgo Xaples), 
Max Masox (Madison, Wis.), Friedrich-Wilhelm-Franz Meyeu 
(Konigsberg), Albert-Abraham Michelsox (Chicago), Gosta Mittag- 
Leffler (Stockholm), Ernst-Richard .Neumaxx (Marbourg , Niels 
XiEi sEx (Copenhague!,\Vilhelm Oseex 'Lîpsala), Michel Peihovitch 
(Belgrade , Emile Picard Paris), Friedrich Pockels Ileidelberg), 
Demètre Pompeiu (Bucarest), Georgios Remuxdos Athènes), Karl 
Schwarzschild (Potsdam), Carlo Somigliaxa (Turin), \\laclimir 
Stekloff (St-Pétersbourg), Orazio Tedoxe (Gênes), Francisco- 
Gomes Teixeira (Porto), Estcban Terradas Barcelone , Vito Voi,- 
TERRA (Rome , Albert Waxgerix llalle), Otto Wiexer Leipzig , 
Stanislas Zaremba (Krakow). 



Association allemande pour l'avancement de l'enseignement 
des sciences mathématiques et naturelles. 

La XXIL assemblée générale de l'Association allemande j)oui' 
l'avancement de l'enseignement des sciences mathématiques et 
naturelles a été tenue à Munich, du 13 au 15 mai 1913, sons la pré- 
sidence de M. le Prof. Th.er (Hambourg). I>e Comité local était 
dirigé par M. le Prof. \V. von Dyck, président d'honneur, et M. le 
Prof. Dœhlemaxx, président. Les séances ont eu lieu à lAula de 



CHRONIQUE 337 

l'Ecole technique supérieure; elles ont été suivies par environ 
200 personnes. 

Parmi les conférences et discussions, nous signalerons les sui- 
vantes concernant les mathématiques et leurs applications aux 
sciences physiques : 

M. K. Dœhle.mann (Munich) : Sur la valeur éducative des mathé- 
matiques pures. 

M. G. Kerschexsteixer (Munich), conseiller de l'instruction 
publique : Sur la valeur éducative des études scientifiques et leur 
rôle dans l'organisation scolaire 

M. S. GiJNTHER, M. G. R. (Munich) : L'élément historique dans 
l'enseignement des mathématiques et des sciences naturelles. 

M. W. v. DvcK, G. R. (Munich) : Le rôle éducatif du Muséum 
allemand. 

M. Hess (Nuremberg) : Sur les études complémentaires et les 
cours de vacances pour les maîtres de renseignement moyen. Le 
conférencier propose qu'il soit organisé des cours d'un semestre 
(été), tous les deux ans, dans une université ou dans une école 
technique supérieure allemande et destinés plus spécialement aux 
maîtres de l'enseignement moyen, afin de leur permettre de se 
tenir au courant des progrès de la science. 

Après discussion, le Comité est invité à transmettre aux auto- 
rités scolaires compétentes l'étude très documentée de M. Mess 
en tenant compte des modifications et des vœux apportés par 
l'assemblée. 

M. W. Brusch (fÀibeck) : Sur la question des travaux pratiques 
de chimie et de physique dans les gymnases réaux. 

M. Lotzbeyer (Berlin! : Sur le rôle de l'arithmétique financière 
dans l'enseignement matliématique. 

M. Fischer (Munich) : Des températures basses; leurs démons- 
trations dans les cours de physique. 

MM. A. SoMMERFELD et Friedrich (Munich) : Nos conceptions 
actuelles sur les rayons Rœntgen et démonstration clés phéno- 
mènes d'interférence sur les cristaux, 

La prochaine assemblée annuelle aura lieu à Bi-aunsclnveig, à 
Pentecôte 1914. 

Gabriel Arnoux. 



Trop tard pour avoir pu lannoncer, nous avons appris la mort 
de Gabriel Arnoux, décédé à Monaco le 3 avril dernier. 

Il était né aux Mées iBasses-Alpes) le 23 mars 183i. Admis en 
1846 à l'Ecole navale, il abandonna la carrière maritime en 1858 
pour raisons de santé; il était alors enseigne de vaisseau. 

Il se retira dès lors dans son pays natal, où il est resté piesque 



;J38 CHRONIQUE 

jusqu'à sa mort, s'occupant de travaux sur les vers à soie, d'opé- 
rations de colmatage, puis consaciant ses loisirs à des recherches 
mathématiques, publiées sous foruie de Notes ou de Mémoires 
dans les Comptes rendus de la Société scientifique des Basses- 
Alpes, et surtout dans cews. deV Associdtion française pour V Avcui- 
ce nient des Sciences. 

Mais son œuvre principale, publiée sous le titre yénéral : Essais 
de psTjchologie et de métaphysique positives; arithmétique gra- 
phique, se compose de quatre volumes, publiés à d'assez longs 
intervalles : 

Les espaces arithmétiques hijpermagiques 1894). 

Introduction à l'étude des fonctions arithmétiques il90()]. 

Les espaces arithmétiques; leurs transformations (1908). 

Essai de Géométrie analytique modulaire à deux dimensions 
(1911). 

Xous ne saurions tenter ici une analyse, même sommaire, de 
ces ouvrages. Nous pouvons dire seulement qu'on y trouve, peut- 
être pour la première fois, surtout dans le premier, des considé- 
rations vraiment scientifiques sur les questions de magie arith- 
métique. 

La puissance d'invention d'Arnoux était prodigieuse; mais il 
lui fallait pour ainsi dire concrétiser les objets de ses recherches 
pour en saisir les rapports. Il mettait une sorte de co(iuetterie à 
se déclarer exclusivement visuel et à proclamer son incapacité à 
comprendre le langage algébrique, pour lequel, disait-il, il éprou- 
vait une sorte de phobie. 

Des études de sa jeunesse, il avait conservé une admiration 
pour la géométrie. Cela ne l'empêchait pas de montrer à l'occa- 
sion, même en algèbre, une grande finesse et une grande acuité 
de vue, dont j'ai pu souvent faire la constatation. 

En dehors des sciences mathématiques, et au-dessus d'elles 
dans son esprit, il s'était passionnément adonné à des recherches 
philosophiques, et avait accumulé un nombre formidable de notes, 
de réflexions, de citations; il serait bien à désirei' que d'aussi 
précieux documents ne fussent pas perdus après sa mort. 

Le terme de Métaphysique positive représeiUait à ses yeux une 
science des raisonnements, s'appuyant sur l'observation et l'expé- 
rience, mais pouvant s'appliquer ensuite à toutes les recherches 
dont est capable l'humanité. A prendre les mots dans leur sens 
habituel, c'était une mélaphysique-antimétaphysique. 

En somme, il est à peu près impossible de rencontrer un esprit 
doué d'une plus grande originalité, plus inventif que ne le fut 
l'esprit d'Arnoux. Mais il se sentait, à cause de son éloignement 
de l'analyse mathématicfue, en mauvaise situation pour présentei' 
une exposition de ses idées; et c'est ce qui le détermina à deman- 
der le concours de collaborateurs, auxquels il a rendu un hom- 



CHRONIQUE 339 

mage excessif dans ses préfaces, s'efï'açant presque lui-même avec- 
une modestie trop grande, et bien rare. 

Il nous est permis d'ajouter ici que la valeur morale de l'homme 
fut au moins égale à sa valeur intellectuelle. Bon et confiant, sa 
confiance et sa bonté furent souvent bien mal récompensées. Sa 
haute probité scrupuleuse, dans certaines circonstances, ne fut 
pas payée de retour: et plus d'une fois, ce que j'ai appris à ce 
sujet évoqua chez moi le souvenir de L'Ennemi du peuple, ce 
chef-d'œuvre d'Ibsen. 

Dans ces dernières années, atteint par de cruelles infirmités, 
il quitta son village natal des Mées pour aller s'établir à Monaco, 
où il pouvait recevoir des soins plus assidus, que son état de 
santé exigeait impérieusement. Sa puissance de travail s'en trouva 
diminuée, mais non sa belle intelligence ni sa bonté, dont je 
trouve encore les marques dans la dernière lettre que j'ai reçue de 
lui à la fin de décembre 1912. 

En résumé, celui qui vient de nous être enlevé n'eut pas une 
grande notoriété de son vivant parmi les mathématiciens. Cela 
n'empêche pas que sa mémoire doit être pieusement conservée, et 
C|ue paimi les jeunes, plus d'un pourra trouver profit à étudier 
ses œuvres, en essayant de creuser plus profondément les sillons 
cju'il a tracés. 

C.-A. Laisant. 

H. Weber. 

Les sciences mathématiques viennent de faire une perte très 
sensible en la personne de M. Henri Weber, professeur à l'Uni- 
versité de Strasbourg. Né à Heidelberg le 5 mars 1842, Heinrich 
Weber était le fils d'un célèbre historien allemand. 11 eut une 
jeunesse des plus heureuses, qu'il passa dans l'atmosphère 
scientifique de l'Université de Heidelberg. C'est là qu'il établit 
les bases solides de ses connaissances étendues, embrassant aussi 
bien les mathématiques que l'histoire, qu'il cultivait par tradition 
paternelle. 

Après avoir étudié successivement à Heidelberg où il prit son 
doctorat en 1863, puis à Leipzig et à Kçenigsberg, il revint dans 
sa ville natale et fut admis comme privat-docent en 1867. Ce fut 
le début d'une brillante carrière dans l'enseignement supérieur. 
En 1870, il fut appelé à l'Ecole polytechnique de Zurich, puis en 
1875 il accepta un appel à l'Université de Kœnigsberg (1875-1883 , 
De là il passa successivement à Berlin (Ecole technique supé- 
rieure, 188.3-84), à Marbourg (1884-93), à Gœttingue (1893-95i, 
puis enfin à Strasbourg. En 1904 il présida avec distinction le 
3'" Congrès international des mathématiciens, à Heidelberg. 

Elève de Biemann, H. Weber s'acquitta d'une façon magistrale 



340 CHRONIQUE 

de la tâche qu'il s'était imposée en publiant le cours sur les équa- 
tions aux dérivées partielles' et en se chargeant plus tard de 
rédiger l'édition des œuvres complètes de son éniinent maître. 

Ses recherches personnelles appartiennent principalement au 
domaine de l'Algèbre supérieure à laquelle il apporta dintéres- 
santes contributions. Chacun connaît son magistral Traité d'Al- 
gèbre"", dans lequel il a réuni les fondements des diflèrentes 
branches que comprend l'algèbre prise dans son sens le plus 
large, notamment la théorie des nombres, l'étude des groupes et 
la théorie des fonctions algébriques. Pour celles-ci il a établi, avec 
Dedekind, une remarquable théorie. C est lui qui démontra le 
remarquable théorème que tout corps abélien est contenu dans un 
corps engendré par une racine de l'unité. 

Nous rappellerons aussi l'important traité de mathématiques 
élémentaires qu'il publia, avec son collègue M. ^^ellstein, sous 
le titre (ï Enci/klopâdie der Elementai-Mathematik'', que nous 
avons eu l'occasion de signaler àplusieuis reprises à nos lecteurs. 

H. Weber conserva jusqu'à ses derniers jours la plénitude de 
ses facultés, comme le témoigne son Précis d'Algèbre, édition 
réduite de son grand traité, et qui parut en automne 1912. Il suc- 
comba le 17 mai dernier, à la suite d'une attaque d'apoplexie qui 
le terrassa en pleine activité. Par ses travaux et par son enseigne- 
ment, Weber laissera le souvenir d'un mathématicien de grand 
mérite et d'un excellent professeur. La science allemande perd en 
lui 1 un de ses plus distingués représentants. 



Conférences mathématiques à Edimbourg. 

La Société mathématique d'Ldimbourg a organisé une série de 
conférences qui auront lieu du 4 au H août li)lo dans les bàlimcnts 
de l'Lniversité d'Kdimbourg. 

M. A.-\\'. Co.wvAV, Professeur de physique mallu-inatique à 
l'Université de Dublin, donnera cinq conférences sur la théorie 
de la Relativité: The Thenrij of lîelativiti/ aiid the Ne^v Pht/sical 
Ideas of Spnce and Time. 

M. D.A\ .-Y. So.M.MEiiviLLE, l^ecturor in Mathemalics in the Uni- 
versity of St-Andi'ews, donnera cin({ conférences sur la Géométrie 



' H. W'KKv.n. Die partieUcn Differcnlial-CleUlitingen dr-r mathein. Phijsik. N.icli Riemnun's 
Vorlesiingcn neu be;irl)eilet. — L'oiivr.Tge comprend deux Vdliimes qui viennent de piiraitre 
en .5'^ édition il'.UO-lOril. 

* H. Wkuimi, l.chrbnch der Algcbra, 3 volumes, 2"= édition. Le premier volume a |>.Tru en 
français clie/, Gauthier-Villars, traduction de Griess. — Nous avons annoncé récemment 
l'édition réduite parue sous le titre Klcinc Ausgabc (1 vol.; Vieweg Ov: Solin, liraunscliweigi. 

* H. WiiBKH u. J. \Vkllstkin, Eiuyklopadie der Elemeiitar-Matheinatik. Ein Handbuch (ur 
Lehror u. Studierende (:t vol., B. (j. Teubner, Leipzigi. — Le l"-^ volume, rédigé par Weber, 
est à sa 3« édition. 



CHRONIQUE 341 

non-euclidienne : Non-Enclidean Geometry and the Foundations 
of Geoinetvy. 

M. E.-T. Whittaker, Professeur de [Mathématiques à l'Univer- 
sité d'Edimbourg, donnera cinq conférences, avec démonstrations, 
intitulées : Practical Harmonie Analysis and Periodograni Ana- 
lysis; an Illustration of Matheniatical Laboratory Practice. 

La finance d'inscription pour l'ensemble des conférences est de 
1 L. 1 s. pour les ])ersonnes qui ne font pas partie de la Société 
mathématique d'Edimbourg; les inscriptions doivent être adres- 
sées au secrétariat de la Société mathématique avant le 28 juillet. 



Nouvelles diverses. — Nominations et distinctions. 

Alleiriag"iie. — M. F. Lixdemaxx, Professeur à l'Université 
de Munich, a été nommé Docteur honoraire de l'Université 
St-Andrews 'Ecosse'. 

M. D.-J. ScHUR. privat-docent à l'Université de Berlin, a été 
nommé professeur extraordinaire de mathématiques à l'Univer- 
sité de Bonn. 

Privat-docents. — M. E. Steixitz, professeur de mathématiques 
à l'Ecole technique supérieure de Breslau, a été admis en qualité 
de privat-docent à l'Université de Breslau. — M. Cl. Th.er, privat- 
docent à l'Université de lena, a été admis en qualité de privat- 
docent à l'Université de Greifswald. 

Société mathématique allemande. — Les mathématiciens alle- 
mands I Deutsche Mathematiker-Vereinigung) se réuniront cette 
année à Vienne, du 2i au 26 septembre, sous la présidence de M. 
le Prof. K. RoHx, en même temps que le 85' Congrès des natura- 
listes et médecins allemands. 

Angleterre. — M. A. -S. Eddixgtox, premier assistant à 
l'Observatoire de Greenwich, a été nommé professeur d'astro- 
nomie à l'Université de Cambridge, en remplacement de Sir 
George Darwin. 

M. A. Forsyth a été nommé Docteur honoraire de l'Université 
de Calcutta. 

M. A.-R. HixKS, premier assistant à l'Observatoire de Cam- 
bridge, a été nommé professeur d'astronomie à Londres. 

M. W.-H. YouxG, F. R. S., professeur h l'Université de Liver- 
pool, a été nommé Docteur honoraire de l'Université de Genève. 

Cauada. — M. J.-C. Fields, professeur à rUni\ersité de To- 
ronto, a été nommé membre de la Société Royale de Londres. 

Chine. — M. F. Rusch, privat-docent à l'Université de Zurich, 
a été nommé professeur de mathématiques et de physique à l'Uni- 
versité de Tientsin. 



342 CHRONIQUE 

Etals-Unis. — M. P. Boiriioux, de l'Université de Poitiers 
France,, a été appelé comme professeur de mathématiques à 
l'Université de Princeton. 

France. — M. M. Bôcheiî, professeur à l'Universifé Harvard, 
fera des conférences à l'Université de Paris pendant le semestre 
dhiver 1913-1914. 

Hollande. - M. l.-C. Kapteyx, professeur à l'Université de 
Groningiie, a reçu la Médaille Bruce de la Société astronomique 
du Pacifique, pour ses recherches sur le mouvement propre des 
étoiles, ainsi que la Médaille ]Vatso?i de l'Académie Nationale des 
Sciences de Washington, pour ses travaux astronomiques. 

Italie. — M. Max Abraham, professeur de mécanique ration- 
nelle à l'Institut technique supérieur de Milan, vient d'être nommé 
professeur ordinaire. 

M. G. BonoiGA, privat-docent à l'Université de Padoue, est 
nommé professeur extraordinaire de géométrie projective. 

M. E. Daxiele, privat-docent à l'Université de Pavie, est nommé 
professeur extraordinaire de physique mathématique à l'Univer- 
sité de Catane. 

M. G. ScoRZA, professeur de géométrie projective et descriptive 
à l'Université de Cagliari, est transféré à la même chaire dans 
l'Université de Parme. 

M. L. ToNELLi, privat-docent à l'Université de Bologne, est 
nommé professeur extraordinaire d'analyse algébrique à l'Uni- 
versité de Cagliari. 

Pris>at-docent. — M. L. Amoroso, privat-docent d'économie poli- 
tique à l'Université de Rome, a été admis aussi comme privat- 
docent de physique mathématique dans la même Université. 

Suisse. — M. L. Bieberbach, privat-docent à l'Université de 
Konigsberg (Prusse), est nommé professeur ordinaire de mathé- 
matiques à l'Université de Bàle. 

M. S. Dlmas, mathématicien au Bureau fédéral des Assurances, 
est nommé professeur extraordinaire de mathématiques finan- 
cières à l'Université de Lausanne. 

M. W. Mathies, privat-docent à Munster, a été nommé profes- 
seur de physique mathématique à l'Université de Bàle. 

Société mathématique suisse. — La réunion annuelle aura lieu à 
Frauenfeld, le 9 septembre, à l'occasion de la 95" réunion de la 
Société helvétique des Sciences naturelles. 

Ecole Polytechnique Fédérale. — Le Conseil de l'Ecole a conféré 
le titre de professeur à M. Gust. Dumas, privat-docent. — M. 
Ilerm. Weyl, privat-docent à l'Université de Gœttingue, est 
nommé professeur de mathématiques supérieures en remplace- 
ment de M. C. F. Geiser, qui prend sa retraite. 



NOTES ET DOCUMENTS 34» 

Nécrologie. 

M. Eugène-Charles Combette, instructeur général honoraire de 
l'Instruction publique, est décédé le 22 juin 1913, à l'Age de 72 ans. 

M. Th. FniESEXDORiF, professeur de mécanique à l'Institut 
électro-technique de St-Pétersbourg, est décédé au mois d'avril 
dernier à l'âge de 42 ans. 

G. KoNio. — On annonce la mort, survenue le 8 avril dernier, 
de M. G. KoMc, conseiller au Ministère, professeur honoraire de 
l'Ecole polytechnique de Budapest et secrétaire perpétuel de la 
Section des Sciences mathématiques et naturelles de l'Académie 
magyare. Né le 1(5 décembre 1849, Konig fit ses études supérieures 
à Berlin et à Heidelberg où il prit le grade de docteur en 1870; 
par ses remarquables travaux, il ne tarda pas à prendre une place 
importante dans le monde des mathématiciens hongrois. 

Gaston Taruy. — Nous apprenons la mort de M. Gaston Tarry, 
décédé au Havre le 21 juin 1913. 



NOTES ET DOCUMENTS 



Commission internationale de l'Enseignement mathématique. 

Compte rendu des travaux des Sous-cominissions nationales. 
(13e article) 

ALLEMAGNE 

Les mathématiques dans les écoles supérieures de jeunes filles. 

Die neuzeitliche Entwicklung des mathem. Vnterrichts an den hôheren 
Màdchenschulen Deutschlands inshesondere Norddeutschlands *, von Proh 
D"" J. ScHRODER (Hamburg). — Le tome I des Ahhandlungen est consacré 
plus spécialement à l'enseignement mathématique dans les écoles supé- 
rieures de l'Allemagne du Nord. 11 comprend 5 fascicules dont le dernier, 
dû à M. Schrôder, vient de paraître. C'est une étude très détaillée sur les 
écoles supérieures de jeunes filles et une source précieuse de renseigne- 
ments pour des études comparatives sur telle ou telle partie de l'instruction 
mathématique chez les jeunes filles. 

M. Schrôder a divisé son rapport en 3 parties : 

1° Les origines et l'organisation des écoles supérieures de jeunes filles 
en Allemagne, au point de vue historique ; 

2° La place et l'amplitude de l'enseignement du calcul et des mathéma- 
tiques dans les établissements supérieurs d'instruction pour la jeunesse 
féminine de Prusse, à la suite de la réorganisation scolaire d'août 1908; 

' 1 1.TSC. de 183 p., Band I, Hel't 5 der Abhandlungen ùber den mathoni. Unterricht in 
Deutschland; M.; B, Gr. Teubner, Leipzig. 



'S'i '* iV OTE s ET DOC U MENT S 

3" L'eiiseignemenl inathémalique dans les écoles supérieures dos autres 
Etats allemands. 

La première partie donne donc un aperçu historique de la question. En 
quelques pages l'auteur caractérise l'insli-uction en général, à défaut d'ins- 
truction mathématique, dans les écoles de jeunes filles pendant les XVI, 
XVII et XVIlIe et le commencement du XIX* siècles : il montre les change- 
ments et les fluctuations dans le développement de cette instruction sou.s 
l'influence, soit des transformations subies par la société elle-même, soit 
du changement progressif du rôle de la femme dans cette société. 

Pendant la dcu.xième moitié du XIX" siècle les progrès réalisés furent 
asssez considérables grâce à l'impulsion donnée par des réunions de per- 
sonnes éclairées (Weimar, 1872| et à la formation d associations destinées à 
soutenir les intérêts des établissements d'instruction pour jeunes (illes et à 
étudier l'organisation et la préparation du corps enseignant. 

Le décret de mai 1894 cependant (Maibestimmung von 1894). quoique 
consacrant déjà un progrès, n'accorde au calcul qu'une place secondaire tout 
au moins en ce qui concerne les heures d'étude, 2 h. ^/s eu moyenne contre 
6, 4 '/2 et 4 h. respectivement pour l'allemand, le français et l'anglais. 

Des transformations graduelles continuèrent à préparer la réorganisation 
complète de l'enseignement en Prusse d'août 1908. 

La seconde partie du rapport traite exclusivement de cette réorganisation 
et plus spécialement de l'organisation intérieure de l'enseignement mathé- 
matique. L'organisation actuelle comporte d'abord le lycée formé de 10 classes. 
La classe inférieure X prend les élèves dès l'âge de 6 ans. L'enseignement 
est ensuite partagé entre 2 genres d'établissements, les « Studienanstalten » 
et les lycées supérieurs (Oberlyzeen) qui comprennent chacun plusieurs sub- 
divisions. 

Les «Studienanstalten» donnent accès à l'Université par 3 sections: 1" Les 
cours d'école supérieure réale, 5 ans d'études dès la sortie de la classe II 
du lycée. 2° I^es cours de gym«ase réal, 6 ans d'étude à partir de la classe III 
du lycée (du latin, mais pas de grec). 3° Les cours de gymnase (latin et 
grec), 6 ans d'études dont les 2 premiers en commun avec la section 
précédente. 

Le lycée supérieur prend les élèves à leur sortie de la dernière classe 
du lycée (classe I) ; il comporte 2 subdivisions, la « Frauenschule », 2 années 
d études et le séminaire de maîtresse supérieure, 4 ans d'études, 3 jusqu'à 
l'examen de maturité et 1 an de pratique avant l'exameu de professorat. 

Les plans d'étude indiquent pour les lycées, 1 arithmétique, des éléments 
d'algèbre jusqu aux équations du 2" degré à 1 inconnue, de la géométrie 
plane jusqu'à la circonférence et l'aire du cercle, le calcul des aires et vo- 
lumes de corps simples. 

Pour les lycées supérieurs (section du séminaire), l'algèbre est poussée 
jusqu'aux nombres complexes, aux équations du 2"^ degré à 2 inconnues et 
au binôme avec exposants positifs entiers ; la planimétrie jusqu'à l'étude 
des points harmoni(jues et des faisceaux. La trigonométrie plane, la stéréo- 
métrie, des éléments de géométiie piojective et de géométrie analytique 
plane sont aussi traités. 

Dans les « Studienanstalten » il s'ajoute pour la section réale supérieure 
l'étude des équations du 3<' degré et des principales séries ; les sections 
coniques au point de vue synthétique et analytique, enfin les éléments de 
trigonométrie sphérique nécessaires en géographie mathématique. 



NOTES ET DOCUMENTS 345 

Pour la section de gymnase réal, les programmes sont sensiblement les 
mêmes, seulement les sections coniques ne sont traitées qu'analytiquement. 

Pour la section du gymnase, le programme est celui du lycée supérieur, 
-avec quelques adjonctions telles que des théorèmes simples relatifs aux sec- 
tions coniques. 

M. Schrôder accompagne son exposé de développements sur la méthode 
«t l'esprit dans lesquels ils doivent être conçus ainsi que des points de 
comparaison avec les écoles réaies de jeunes gens ; il s'occupe également de 
la question des manuels. 

Au sujet des mathématiques dans les examens de maturité, l'auteur donne 
■des détails très circonstanciés soit pour l'organisation, soit pour les matières 
exigées : il y joint des exemples de questions proposées aux examens. 

La lecture de ce chapitre permet de se rendre compte très nettement du 
•champ d étude mathématique minimum parcouru par les élèves durant leur 
temps de scolarité. 

La moyenne des jeunes filles est-elle apte à profiter d'une instruction 
mathématique dans la même mesure que la moyenne des jeunes gens? Une 
«tude approfondie de la question, appuyée sur les résultats déjà obtenus 
dans les diverses écoles prussiennes, principalement depuis la réorganisa- 
tion de 1908, amène M. Schrôder à constater que la majorité des spécialistes 
reconnaissent aux jeunes filles des capacités très suffisantes pour recevoir 
une instruction mathématique. Si l'instruction mathématique des jeunes 
filles doit être équivalente à celle des jeunes gens, la meilleure méthode 
d'enseignement ne sera cependant dans bien des cas pas la même chez 
celles-ci que chez ceux-ci. 

L'auteur expose en une dizaine de pages la question de la préparation du 
corps enseignant et des grades actuellement exigés pour l'enseignement 
dans les écoles supérieures de jeunes filles en Prusse. 

Enfin, dans la 3« partie de son rapport, M. Schrôder considère l'étal 
actuel de l'enseignement mathématique dans les autres Etats allemands, 
pour autant qu'il diffère de celui de la Prusse. La majorité de ces Etats ont 
adopté presque intégralement la même organisation que la Prusse. Quelques- 
uns pourtant, Hambourg, la Saxe, la Hesse, ont conservé ou adopté des 
plans qui leur sont propres et, pour les mathématiques tout au moins, sont 
mieux partagés que la Prusse. 

Pour ne citer qu'un exemple, le royaume de Saxe avait déjà dès 1876 une 
organisation assez complète d'écoles de jeunes filles en 10 classes et l'a 
■encore perfectionnée en 1910 afin de ne pas rester en arrière du mouvement 
de réforme prussien. 

Plusieurs schémas et tableaux comparatifs permettent de voir aisément 
les correspondances et les divergences des classes parallèles dans les divers 
types d'écoles; en outre l'indication du nombre d'heures consacrées aux 
différentes branches d'études permet de se rendre compte de l'importance 
donnée aux mathématiques. 

Renée Masson (Genève). 

L'histoire des mathématiques dans l'enseignement moyen. 

Die Geschichte der Mathematik iin mathematischen Uiderricht der hùheren 
Schulen Deutschlands *, von Gebhardt Martin. — L'histoire des mathéma- 



* 1 vol. de 157 p. ; 4 M. 50; B. G. Teubner, Leipzig. 
L'Enseignement mathém., 15« année; 1913 



346 NOTES ET DOCUMENTS 

tiques n'occupe pas, dans l'enseignement secondaire, ni même dans l'ensei- 
gnement supérieur, la place qu'elle devrait occuper. C'est là une vérité que- 
Aï. Gebhardt met en évidence dans l'étude très riche et très documentée 
qu'il nous présente sur ce sujet. 

Passant en revue les divers manuels de mathématiques qui sont employés, 
dans les écoles, il montre combien, à quelques exceptions près, les allusions 
historiques y sont rares. Et cependant un enseignement des mathématiques- 
qui serait basé sur Ihistoire de cette discipline serait vivifié et prendrait 
un intérêt nouveau pour les élèves, surtout pour ceu.v qui se laissent 
rebuter par des formules dont ils ne voient pas la signification. Certains 
problèmes ne s'éclairent que s'ils -sont replacés dans le milieu historique où 
ils ont pris naissance. Pour comprendre la portée du calcul intégral et dif- 
férentiel, il est de la plus haute importance de comparer les méthodes d Ar- 
chimède avec les méthodes qui furent créées par les géomètres du XVII'' siècle- 
el qui sont à la base de 1 analyse moderne. 

Mais l'histoire des mathématiques peut être envisagée à un point de vue 
plus général. Elle est indispensable à qui veut posséder une culture clas- 
sique et étendue, car le développement des sciences et de la philosophie est 
intimement lié à celui des mathématiques. 

Il est inutile d'insister sur tous ces points. La difficulté très grande qui 
subsiste est de choisir dans l'histoire des mathématiques les questions 
vraiment essentielles. Pour faciliter ce choix, M. Gebhardt consacre le der- 
nier chapitre de son livre à une brève analyse des ouvrages d'ensemble qui 
traitent du développement historique des mathématiques. Il donne en outre 
une bibliographie détaillée (exclusivement allemande, il est vraij des études 
concernant une époque ou un sujet spéciaux. 

Arnold Reymond (Xouchàtel). 



La Cosmographie et la Géodésie dans l'enseignement moyen. 

Mathemalische Himmehkunde u. niedere Geodâsie an den hbheren Schti- 
len^, von D'' Bernhard Hoffmann. — Dans cet opuscule M. B. Hoffmann,, 
qui est directeur du Gymnase de Rawitsch, expose d'une manière détaillée 
et fort intéressante ses vues personnelles sur l'enseignement des premières 
notions d'astronomie dans les établissements secondaires supérieurs. Selon 
l'auteur, l'enseignement de la Cosmographie et de la Géogi'aphie mathéma- 
tique doit être développé suivant les méthodes des sciences naturelles, 
c'est-à-dire qu'il doit être basé sur l'induction et l'expérience. En partant 
de ce principe, M. Hoffmann cherche à démontrer qu'il est possible de baser 
tout l'enseignement de la cosmographie sur les observations des élèves ; il 
affirme en outre que ce principe peut être appliqué en évitant tout surmenage 
et en restant dans les limites des programmes officiels. 

Cette monographie est divisée en cinq chapities. 

I. L enseignement de la trigonométrie (p. 1 à 10). — L'autour rappelle 
d'abord les diverses manières d enseigner les éléments de cette branche; il 
signale qu un assez grand nombre de professeurs allemands « d une ancienne 



' Abhandl. uber den mathem. Unterricht in Donlschland, lînnd III, Hef't 4. — 1 fasc. VI- 
(18 p., 2 M., B. G. ïeubner, Leipzig. 



NOTES ET DOCUMENTS 347 

génération » persistent à utiliser l'expression « lignes trigonométriques ». 
Une autre erreur grave de cet enseignement est l'introduction immédiate 
des logarithmes des fonctions trigonométriques. C'est une lacune, dit l'au- 
teur, de ne pas enseigner d'abord le calcul des rapports trigonométriques 
de quelques angles simples. Comme les logarithmes, les fonctions trigono- 
métriques « tombent du ciel » ; il est facile pourtant de les calculer d'une 
manière élémentaire à l'aide de la similitude et de 1 étude des polygones 
réguliers. 

Dans le même chapitre, M. Hoffmann critique également la « peur des 
nombres décimaux » qui se manifeste eu particulier dans les collections de 
problèmes ; il est bien rare, dit-il, de trouver dans les problèmes d'examens 
de maturité, d'autre ellipse que 

25 ^ 16 

la kôniglich preussische Staatsellipse » (l'ellipse royale et gouvernementale 
prussienne). 

II. Notions élémentaires d astronomie (p. 10 à 17). — De nos jours, tout 
homme cultivé parle de la rotation terrestre et du mouvement de la Terre 
autour du Soleil; bien peu cependant en comprennent le sens exact. A l'appui 
de cette affirmation, l'auteur cite le petit nombre de manuels de géographie 
mathématique exempts de fautes grossières. Jusqu'ici, l'enseignement de la 
cosmographie a été un enseignement dogmatique ; il faut le trausformer en 
utilisant les observations personnelles des élèves. 

La plupart des collèges allemands n'ont aucune installation astronomique ; 
ce qui existe est rudimentaire. 

Les problèmes de maturité, tirés de l'astronomie élémentaire, sont peu 
nombreux et contiennent des erreurs; la plupart se rapportent à des obser- 
vations faites ailleurs que dans la localité oii vivent les élèves. Une statis- 
tique sommaire de l'année 1910 montre que le quart des gymnases, la moitié 
des gymnases réaux et la plupart des écoles réaies supérieures ont choisi 
des problèmes en géographie mathématique. 

Les programmes prussiens ont réparti l'enseignement de la cosmographie 
entre la physique et les mathématiques, et ces deux branches ne sont pas 
toujours enseignées par le même maître. 

L'auteur regrette que les étudiants qui se destinent à l'enseignement des 
mathématiques ne sachent pas utiliser les instruments les plus simples. 

III. Le matériel d'enseignement (p. 17 à 25). — L'auteur conseille l'emploi 
d'un petit théodolite dont les deux cercles portent la même division ; un tel 
instrument suffit. M. Hoffmann utilise un appareil portatif, simple et solide, 
un petit théodolite de voyage de 500 francs. Si l'on en a le moyen, on jieut 
acheter un instrument de passage et ensuite seulement un sextant. Le 
deuxième instrument nécessaire est une bonne montre de poche réglée sur 
le temps moyen ; une seconde montre donnant le temps sidéi-al rendra aussi 
d'excellents services. 

L auteur recommande également l'emploi du gnomon, composé d un fil à 
plomb jetant ombre sur une planche ; celle-ci est recouverte d'une feuille de 
papier blanc ; elle est munie d'un niveau et de deux viseurs. Ce gnomon 
peut être utilisé eu géométrie descriptive pour l'étude des sections coniques. 

Un appareil photographique simple mais qui puisse être dirigé vers un 



348 -V TE S ET DOCUMENTS 

point quelconque du ciel, une lunette dont l'oculaire terrestre possède un 
réticule, un annuaire astronomique, quelques cartes célestes, une sphère 
en bois noirci sont les autres instruments nécessaires. 

IV. L'enseignement de la cosmographie (p. 25 à 55). — L'enseignement 
est préparé par deux expériences faites près de l'équinoxe du printemps 
en présence des futurs élèves de la « Prima», la dernière classe des gym- 
nases allemands : 1° la détermination de la déclinaison du soleil par 
l'observation de la hauteur de ses deux bords, le théodolite étant placé dans 
le méridien ; 2° une série de photographies du soleil, faites sur la même 
plaque, chaque jour à h. sidérale, l'appareil étant dirigé vers le point le 
plus haut de 1 équateur céleste. 

Ces clichés, dont deux exemplaires sont reproduits dans les hg. 3 et 4, 
prouvent la marche du soleil sur un grand cercle de la sphère céleste. 

Les premières leçons sont consacrées aux coordonnées horizontales d'un 
point quelconque de la salle, puis à la fenêtre et en plein air, avec le théo- 
dolite. 

Maintenant commence la série principale des observations qui formeroul 
la base de toutes les connaissances astronomiques des élèves ; 1 observation 
de deux passages consécutifs du soleil et d'une étoile au méridien montrera 
la différence entre le jour solaire et le jour sidéral ; puis viendront les obser- 
vations relatives à la rotation de la sphère céleste et les diverses notions 
qui s'y rattachent; la position du pôle, les constellations polaires, les coor- 
données équatoriales et le triangle fondamental peuvent aussi être expliqués 
dans les deux premiers soirs. Signalons quelques-uns des points que les 
élèves étudieront ensuite et toujours à l'aide d'observations : l'année tro- 
pique, l'inclinaison de l'écliptique, l'azimut et le temps du lever et du cou- 
cher d'un astre, la détermination de l'heure par le soleil ou une étoile et le 
problème réciproque : trouver la position (d'un astre à un instant donné, la 
forme de 1 écliptique par la grandeur des images photographiques du soleil, 
l'équation du temps, l'emploi très utile des cadrans solaires, la détermina- 
tion déjà assez difficile d'une longitude par le télégraphe ou les satellites 
de Jupiter, les mouvements de la lune et des planètes, etc., etc. Un grand 
nombre d'exemples numériques illustre l'exposé de l'auteur. 

V. Géodésie élémentaire (p. 55 à 66). — Les problèmes de géodésie donnés 
dans les examens de maturité ne semblent pas tirés de la pratique ; seuls les 
gymnases situés au bord de la mer font exception à cette règle. 

L'auteur emploie dans l'enseignement de la géodésie élémentaire le théo- 
dolite portatif décrit au chapitre III, des jalons, une chaîne de 20 m., des 
fiches et une planchette. 

La cour du collège et ses environs offrent les exercices les plus com- 
modes ; l'enseignement marche ici de front avec celui de la géométrie et de 
la trigonométrie. Il est aussi possible de procéder à une triangulation simple, 
à des nivellements faciles. 

Ce trop bref résumé engagera, je l'espère, quelques collègues à lire et à 
étudier le très intéressant travail de M. Hoffmann. Il est certain que cette 
monographie contribuera à améliorer sensiblement, à rendre plus pratique 
et moins dogmatique l'enseignement de l'astronomie élémentaire dans les 
lycées. 

Toutefois, une affirmation de 1 auteur me paraît très risquée. Sans sur- 
menage, en restant dans les limites des programmes et sans empiéter sur le 
temps consacré aux autres branches, M. Hoffmann pense réaliser en une 



NOTES ET DOCUMENTS 349 

année tout le vaste programme pratique et théorique exposé dans le cha- 
pitre IV. Cela me parait impossible et il serait intéressant d'avoir 1 avis de 
ceux qui ont 1 habitude de cet enseignement. 

Aug. Lalive (La Chaux-de-P'onds). 



Les mathématiques appliquées dans l'enseignement technique moyen. 

Die Angewandie Mathematik an den deutschen mitllereu Fachschulen der 
Maschinenindiisirie\ von Karl Ott. — Le livre de M. Ott comprend quatre 
parties. La première est consacrée aux généralités: place et importance des 
mathématiques appliquées dans les écoles techniques moyennes allemandes, 
méthodes d'enseignement et préparation des professeurs. La seconde partie 
traite d'une manière toute particulière l'enseignement de la mécanique 
technique et de la résistance des matériaux. L'utilisation des méthodes 
graphiques l'orme 1 objet de la troisième partie. La quatrième et dernière 
partie se rapporte exclusivement à la géométrie descriptive. 

P^ partie. — Après avoir défini les mathématiques appliquées conformé- 
ment aux conceptions modernes, l'auteur s'occupe d'en fixer les limites 
dans l'enseignement technique. Elles ne doivent pas être spécialisées à 
outrance en vue d'un enseignement particulier et elles ne peuvent pas 
empiéter sur l'enseignement universitaire. Elles doivent contribuer à donner 
au technicien une solide culture générale, lui permettant de résoudre avec 
facilité les problèmes de sa carrière. 

Pour les méthodes d'enseignement, M. Ott préconise, et à juste raison, les 
idées de M. John Pcrry, lesquelles ont eu un grand succès dans l'enseigne- 
ment technique moyen en Angleterre : le maître ne peut pas se contenter 
d'un exposé académique, il doit avoir recours à linluilion, aux laboratoires, 
aux procédés graphiques ; il doit amener l'élève à travailler beaucoup par 
voie de questions, de problèmes et d'exercices sérieusement contrôlés. En 
parlant de laboratoires, l'auteur entend principalement ceux de physique, 
d'électrotechnique et de construction mécanique. Il recommande en outre 
l'introduction d'exercices de laboratoire de mécanique théorique. 

Le chapitre consacré à la préparation des maîtres est intéressant. En 
Allemagne, l'enseignement des mathématiques appliquées est exclusivement 
confié à des ingénieurs diplômés ayant une pratique minimale de trois ans 
dans l'industrie. Mais la culture pédagogique de ces maîtres est nulle, car 
ils n'ont suivi aucun cours de cette nature pendant leurs études universi- 
taires. D'un autre côté, les maîtres de l'enseignement général sont obligés 
de faire un stage d'une année dans une école avant d'obtenir un poste défi- 
nitif. Comme il est impossible d'appliquer une telle mesure à des ingé- 
nieurs sortant de l'industrie, on doit se demander de quelle manière ou 
comblera cette lacune sérieuse qui existe dans leur préparation. Cette 
c[uestion, comme nous le montre fort bien l'auteur, a été maintes fois 
discutée sans recevoir de réponse définitive. Pour le moment les ingénieurs 
engagés dans l'enseignement reçoivent au début un nombre très limité de 
leçons, avec l'obligation de suivre les classes de divers collègues afin 
d'acquérir l'expérience pédagogicjue nécessaire. En outre ces maîtres 



' AbhanclliiDgen iiber dcn m.ithem. Unterricht in Deutschlantl, Band IV, Hef't 2. — 1 iasr. 
8^ 158 p.: i M.; B. G. Teiibner, Leipztg. 



350 NOTES ET DOCUMENTS 

doivent continuer leur perfectionnement dans des cours de vaciinces orga- 
nisés spécialemeût pour eux dans diverses universités. 

vmc partie. — Celle-ci est de toutes la plus importante. Elle est entière- 
ment consacrée à la mécanique technique. Elle débute par l'exposé des 
heures réservées pour cette branche dans les écoles d'Etat pendant les 
quatre ou cinq semestres d'études prévus. Ces heures varient de 17 à 36. 
Viennent ensuite quelques programmes détaillés. Ceux-ci sont analogues à 
ceux que sous avons en Suisse. Plus loin 1 auteur consacre quelques pages 
à la préparation des élèves admis dans les technicums. Nous pouvons 
remarquer en passant qu'on exige une pratique de deux ans dans l'industrie 
avant l'admission au Technicum. Les connaissances exigées sont très 
variables. Chaque école a d'autres conditions. En outre, les élèves forment 
des classes très peu homogènes. La même constatation est à faire dans 
les écoles techniques suisses. 

Nous ne pouvons pas suivre l'auteur dans tous les détails qu il donne 
sur les divers chapitres de la mécanique. Nous nous contenterons de dire 
qu'il insiste d'une manière toute particulière sur l'emploi des méthodes 
intuitives et expérimentales pour la perception des principes fondamentaux 
de la mécanique (pages 17 et suiv.). 

Avec Meyer, il dit que : « le sens inné de la mécanique peut être détruit 
pour toujours par un enseignement abstrait mal exposé ». Le chapitre dans 
lequel il traite des ouvrages d'enseignement relatifs à la mécanique est un 
exposé bibliographique des plus intéressant, et chaque lecteur, pédagogue 
ou technicien, le consultera avec plaisir. 

5« partie. — Sous la dénomination de méthodes graphiques dans les 
mathématiques appliquées, l'auteur vise principalement la statique gra- 
phique. La nature même des matières traitées impose une méthode de 
travail pédagogique qui est partout la même, à peu de choses près. Ici 
encore 1 auteur donne une liste bibliographique très complète des ouvrages 
à consulter dans cette matière. Cette partie se termine par divers articles 
consacrés à des questions particulières : polygone funiculaire, mécanisme 
bielle-manivelle, distributions, régulateurs, etc. 

4*^ partie. — En parlant de la géométrie descriptive dans renseignement 
technique, l'auteur n'entend pas seulement la partie mathématique pure qui 
traite du point, des lignes, des surfaces et des corps, mais il comprend 
toutes les méthodes de représentation s'appliquant aux objets techniques ». 
La géométrie descriptive doit être le langage des techniciens », dit-il. Cet 
euseignement se répartit sur 2 ou 3 semestres avec un total de 10 à l'i 
heures. Il englobe le dessin de géométrie, le dessin de projection, la cons- 
truction des courbes techniques et la géométrie descriptive théorique, le 
tout avec le plus grand nombre possible d applications pratiques. 

Comme dans les parties précédentes l'auteur donne un exposé des 
méthodes employées ainsi qu'une liste bibliographique complète des 
ouvrages utilisés ou recommandés. A côté de cela, il insiste encore sur les 
détails d'exécution et sur l'emploi rationnel des modèles. 

En parlant des exemples techniques à introduire dan.s cet enseignement, 
l'auteur nous semble cependant avoir négligé la valeur de certains exemples 
généraux et abstraits. 

Nous sommes parfaitement d accord que le dessin de projection peut et 
doit être illustré a^ec de beaux exemples habilement choisis dans la men>ii- 
serie, la construction ou la mécanique. Nous reconnaissons parfaitement 



NOTES ET DOCUMENTS 351 

■que les exemples d'ombres empruntés à l'architecture sont plus intéres- 
sants qu'une juxtaposition de corps géométriques. Nous sommes aussi 
d'avis que des pénétrations simples et des développements empruntés à la 
construction des chaudières sont plus avantageux que des pénétrations 
géométriques sèches. Cependant nous trouvons que le dessin de projection 
ne peut, ni ne doit se transformer en dessin d'architecture ou en dessin de 
machines, car un maître, quelle que soit sa préparation ne peut pas traiter 
-avec assurance des questions qui ne relèvent plus de son métier. D'autre 
part le dessin de machines n'est plus de la géométrie descriptive. 

En géométrie descriptive il y a des questions comme les traces de droites 
ou de plans, les intersections de plans, les intersections de droites avec des 
pians ou d'autres surfaces, les pénétrations quelconques, etc., qui demandent 
d'être traitées par des méthodes générales et qui ne peuvent plus être 
résolues avantageusement avec des objets techniques. L'objet géométrique 
général et abstrait prend alors un caractère plus simple et plus concret 
pour les élèves. 

Ceci dit, nous pouvons terminer en faisant ressortir que le rapport de 
M. Ott est un beau livre, bien conçu, malgré certains passages un peu trop 
longs, son travail sera consulté avec plaisir par toutes les personnes qui 
s intéressent à l'enseignement technique moyen. 

L. Crelier (Bienne). 

ILES BRITANNIQUES 

N° 21. — La préparation mathématique des ingénieurs à Cambridge. 

The relation of matliematics to engineering al Cambridge ^ by Mr. B. 
HoPKi.NSON, Professor of Mechanism and Applied Mecanics in the University 
of Cambridge. — On entend souvent dire que dans les travaux de l'ingé- 
nieur l'expérience pratique joue le rôle principal et que les déductions tirées 
d'expériences de laboratoire n'ont qu'une utilité relative. Il est vrai que 
dans la pratique de son art, l'ingénieur fait le plus souvent appel à son 
expérience personnelle et qu'il n'utilise au fond qu'un petit nombre de 
notions théoriques très simples. Mais si l'on envisage la science de l'ingé- 
nieur (Engineering Science) en tant que branche d'étude ou de recherche 
à l'Université, le rôle de l'analyse mathématique devient plus important. 

Il faut distinguer entre la science de l'ingénieur et la physique pure. Dans 
sa recherche des lois, le physicien peut diriger les expériences à son gré; 
il dispose, jusqu'à un certain point, des conditions dans lesquelles il opère, 
il s'efforce de rendre ces conditions aussi simples que possible, de façon à 
pouvoir tirer ses déductions plus facilement. L'ingénieur lui, est en rapport 
plus direct avec la nature elle-même, il est tenu d'étudier le phénomène tel 
qu'il se présente et dans des conditions si complexes qu'il n'est plus possible 
de tenir compte intégralement de toutes les circonstances en jeu. Il est donc 
obligé de procéder par approximation et de négliger un certain nombre de 
données pour faciliter l'analyse du phénomène. Or, si l'on veut pouvoir 
accorder quelque crédit aux résultats de l'analyse, il importe de faire un 
choix judicieux des données lui servant de base. C'est là un des points 
essentiels de la science de l'ingénieur. 



1 13 p. : Priée 1 Va d. ; Wyiiian & Sons, Londres. 



352 NOTES ET DOCUMENTS 

Déjà autérieurement à 1903, époque à laquelle l'auteur du présent rap- 
port fut chargé de la direction de l'Ecole d ingénieurs de Cambridge, cet 
établissement se caractérisait par le fait que l'enseignement n'y constituait 
pas simplement une préparation à telle ou telle profession particulière, mais 
contribuait encore, dans un sens plus large, au développement général des 
étudiants. Cependant l'Ecole était placée, en quelque sorle sur un pied 
spécial, en ce sens qu'elle ne participait pas d'une façon directeà lactivité 
intellectuelle générale de l'Université et des Collèges de Cambridge. Les 
élèves ne profitaient pas suffisamment de l'avantage qui leur était offert de 
poursuivre leurs études dans un milieu de travail et de recherches, et les 
mathématiques pures de l'Ecole de Mathématiques de Cambridge n étaient 
que d une utilité très relative aux étudiants de l'Ecole d'Ingénieurs. Depuis 
une dizaine d'années, il n'en est plus de même; une relation plus intime 
s'est établie entre les deu.x Ecoles, et actuellement les étudiants ingénieurs 
étudient les mathématiques générales et la mécanique élémentaire avec des 
professeurs de Collèges. Ces faits ont une grande signification pour toute 
personne ayant quelque connaissance de la vie intellectuelle de Cambridge,^ 
ils impliquent que les études d'ingénieurs y ont pris pied d'une façon 
effective, qu'elles y ont conquis pour ainsi dire droit de cité. 

Actuellement l'organisation est en résumé la suivante : La première année 
est consacrée à létude des bases mathématiques nécessaires et des éléments 
de mécanique théorique, de dessin et de physique expérimentale. La seconde 
et la troisième année se passent à 1 élude des branches de l'ingénieur pro- 
prement dites ; mais auparavant, les étudiants doivent passer un examen de 
mathématiques élémentaires et de mécanique (Qualifying Examinalion] pour 
permettre 1 élimination des candidats incapables. L'introduction de cet 
examen a permis de définir avec plus de précision la nature et les limites 
de 1 enseignement mathématique propre aux ingénieurs ; les professeurs de 
Collèges ont pu s'y conformer et disposer leurs cours selon les exigences 
requises. Une fois ce « Qualifying Examination » passé, les candidats peu- 
vent poursuivre leurs éludes et se préparer aux diplômes (Mechanical 
Sciences Tripos, Engineering Tripos). 

Le « Mathematicai Tripos » a été en 1907 l'objet d une lieureuse réforme. 
Autrefois l'étudiant consacrait souvent trois années à la préparation de cet 
examen et une seule à celle du diplôme d ingénieur proprement dit. Il pas- 
sait évidemment trop de temps sur des abstractions et pas assez sur des 
léalités. Actuellement, la première partie du « .Mathematicai Tripos » est 
un examen de première année, qui dispense du « Qualifying Examination ». 
L auteur formule encoïc un certain nombre de critiques sur le système 
d'examens en vigueur ; il voudrait entre autres que cette première partie du 
« Mathematicai Tripos » porlât sur un plus grand nombre de sujets. En 
appendice on trouvera les programmes et les questions relatives à divers 
examens. 

N" 22. — L'Algèbre dans l'enseignement moyen. 

The Teachiiig of Algehra in Scfiools.^ by Mr. S. Barard, Assistant Master 
at Rugby School. — Ce rapport a pour objet : 



21 p.; Price ï d. Wvman >k Sons, Londres. 



NOTES ET DOCUMENTS 353 

1. D'illustrer les nouvelles méthodes d'enseignement de l'algèbre par des 
citations tirées d'une demi-douzaine de manuels les plus récents d'algèbre 
élémentaire. 

,2. De comparer le système d enseignement actuellement eu vigueur avec 
un système basé sur les idées modernes concernant les nombres. 

3. De critiquer brièvement les idées exprimées par Mr. Godfrey dans sou 
rapport sur « ïhe Algebra Syllabus in the Secondary School.' » 

L'auteur répartit les élèves en trois catégories : 

a) Les élèves ordinaires, ceux par exemple qui envisagent les mathéma- 
tiques comme partie de l'éducation générale. 

h) Les élèves pratiques parmi lesquels ou peut placer ceux qui se desti- 
nent à une vocation militaire ou qui ont 1 intention de devenir ingénieurs ou 
de se spécialiser en sciences. 

c) Les futurs mathématiciens spécialistes qui, à partir de 16 à 17 ans, 
consacrent la plus grande partie de leur temps aux mathématiques. 

Le but poursuivi dans l'enseignement de l'algèbre doit dépendre de la 
classe d'étudiants auxquels on s'adresse. S'il s'agit délèves ordinaires, on 
cherche à obtenir avant tout une certaine discipline mentale : dans le cas 
d'élèves pratiques, par contre, on se place à un point de vue utilitaire. Mais 
dans l'un et l'autre cas cet enseignement ne doit pas simplement consister 
dans l'énumération d'un ensemble de règles et dans lexécution d'un certain 
nombre d'exercices surannés comme c'est malheureusement souvent le cas ; 
on devrait accorder une plus grande importance aux principes et au déve- 
loppement logique des idées. 

La plupart des manuels d algèbre élémentaires renlerment de nombreuses 
négligences soit dans les définitions soit daus les raisonnements. L auteur 
passe en revue les principales, avec citations à l'appui et propose diverses 
modifications. Il constate aussi que les plans d'études devraient être revisés; 
trop de temps se passe encore sur des sujets sans importance et le contact 
avec la vie réelle est encore insufQsamment établi. Voici quels seraient les 
points principaux de cette réforme : 

1. Le plan d'études devrait être élaboré en ayant en vue les élèves de 
force un peu supérieure à la moyenne. 

2. Les étapes variées qui servent d'intermédiaires enlre 1 arithmétique et 
l'algèbre devraient être étudiées séparément. 

3. L'enseignement devrait être réglé de façon à conduire le pins i-apide- 
ment et le plus naturellement possible au calcul infinitésimal. 

L'auteur critique enfin quelques points exprimés par Mr. Godfrey dans 
son rapport sur « The Algebra Syllabus in the Secondary School ». Ce 
dernier s'élève par exemple contre ceux qui considèrent la discipline mentale 
comme le but principal de 1 éducation mathématique ; cependant il serait 
difficile d'évoquer d'autres raisons en ce qui concerne renseignement des ma- 
thématiques aux élèves ordinaires. Le plan d'études indiqué par Mr. Godfrey 
suffirait, dit-il, à occuper le non spécialiste jusqu'à la fin de son éducation 
mathématique à l'école, et il constituerait un acheminement au calcul infini- 
tésimal. L'auteur n'est pas de cet avis, il estime qu un élève très ordinaire 
pourrait terminer ce programme à 1 âge de 16 ans, et l'expérience lui a 
montré que, jusqu'à 19 ans et en y consacrant le temps habituel, un élève 



* Le N» 5 des <i Spécial Reports on the Teaching of Mathematics in the United Kingdoni 
Voir VEns. math, du 15 mars l'.tl2. 



354 NOTES ET DOCUMENTS 

de force moyenne peut parcourir un champ d algèbre beaucoup plus consi- 
dérable et acquérir en même temps de bonnes connaissances de géométrie, 
de trigonométrie et de mécanicpie. 

N" 23. — Sur la préparation scientifique du candidat à renseignement. 

Research and Ad<,'anced Study as a training for Mathematical Teachers^, 
by Mr. G. H. Bryax, Professer of Pure and Applied Mathematics in the 
University Collège of North Wales. — Actuellement, on commence à recon- 
naître en Angleterre 1 importance des recherches mathématiques, non seu- 
lement en ce qui concerne les résultats scientifiques auxquels elles peuvent 
conduire, mais aussi au point de vue purement éducatif. Les futurs profes- 
seurs qui désirent être vraiment à la hauteur de leur tâche devraient, après 
avoir obtenu leurs diplômes, consacrer une certaine période, disons une 
année, à lélude de certains domaines spéciaux et à diverses recherches. 
.Jusqu'à présent cependant, on a peu fait pour encourager les étudiants à se 
livrer à ces recherches mathématiques, contrairement à ce qui se passe 
pour d'autres branches comme la physique e1 la chimie. Dans son rapport, 
l'auteur expose les causes probables de ce désintéressement et fait diverses 
propositions ayant pour but de remédier à cet état de chose. 

Contentons-nous d en indiquer brièvement les points principaux : 

1. Il est désirable que les recherches mathématiques forment une partie 
de la préparation des maîtres de mathématiques aussi bien que pour les 
autres branches de la science ; les autorités que cette question concerne 
devraient en prendre considération. 

2. Certains étudiants pourront craindre d entreprendre des recherches 
sur telle ou telle question de mathématiques, car cela exige généralement 
un travail antérieur considérable. Pour parer à cet inconvénient, il faut 
insister sur la valeur d études postérieures au diplôme, en vue d'une prépa- 
ration à ces recherches, éludes qui garderaient un caractère distinctif des 
recherches proprement dites. 

3. Un effort devrait être fait afin d'obtenir des listes de sujets de recher- 
ches d un accès facile. 

4. Pour un étudiant ordinaire qui désire retirer de ses recherches des 
avantages au point de vue éducatif, il importe de choisir des sujets n impli- 
quant pas nécessairement la découverte de nouveaux théorèmes, par exemple 
la collaboration à un travail original d'un spécialiste, investigations dans 
certains domaines déjà connus, comme l'histoire des mathématiques et de 
ses diverses branches, démonstrations de théorèmes connus par de nou- 
velles méthodes, travaux numériques concernant des problèmes pratiques. 

5. Le candidat en mathématitjues doit pouvoir lire les ouvrages français 
et allemands ; ces langues doivent donc faire partie de sou champ d étude. 

6. Les cours de mathématiques en vue du diplôme devraient comprendre 
une certaine période consacrée exclusivement à l'étude des développements 
modernes de cette science en plus d'un cours général d étude préliminaire. 

7. L'examen concernant le cours général devrait être disposé de façon à 
pouvoir vraiment juger de la capacité générale et de l'intelligence du can- 
didat et à décourager tout travail où la mémoire joue le rôle principal 
(« bookwork scribblins: d). 



' 'il p. : Price t ',2 (1. \^'vnlan «Hc Sons, Londres. 



NOTES ET DOCUMENTS 355 

8. Pendant la période d'étude spéciale, des séries de conférences devraient 
être données par d'éminents spécialistes. 

9. Le système américain de « colloquia » pourrait être introduit avanta- 
geusement en Angleterre. 

L'auteur trouve qu'actuellement l'étude des mathématiques occupe en 
Angleterre une position absolument fausse. Durant ces dernières années, on 
s'est rendu compte de la valeur d'un entraînement mathématique pour les 
étudiants en physique et pour les futurs ingénieurs, mais bien peu réalisent 
l'importance de ce qui peut se faire dans les mathématiques elles-mêmes eu 
dehors du champ de leurs applications. 

J.-P. Du.MUR (Genève). 



Cours universitaires. 

Année 1913-1914. 

ÉTATS-UNIS D'AMÉRIQUE 

Columbia University (New-York). — Prof. C. J. Keyser : Modem théo- 
ries in geometry, 3 ; History and signilîcance of central mathematical con- 
cepts, 3. — Prof. T. S. FiSKE : Differential équations, 3 (I s.) ; Theory of func- 
tions of a real variable, 3. — Prof. F. N. Cole : ïheory of functions of a 
comple.v variable. 3 ; Theory of groups, 3. — Prof. James Maclay : Theory 
of numbors. 3 ; EUiptic functions, 3. — Prof. D. E. Smith : History of mathe- 
matics, 3. — Prof. Edward Kasnicr : Seminar in differential geometry, 3 (I s.|. 

— Prof. W. B. FiTE : Infinité séries, 3 (II s.). — Prof. H.-E. Hawkes : 
Higher algebra, 3 (I s.). — D^ H. W. Reddick : Differential équations, 3 
(II s.). — D'" N.-J. Lennes : Theory of point sets, 3. 

Corcell University (Ithaca). — Prof. J. McMahon : Fourier séries and 
spherical harmonies, 3 ; Insurance and probabilities, 3. — Prof. J. I. Hut- 
CHiNsoN : EUiptic functions, 2. — Prof. V. Snyder : Geometry on an alge- 
braic surface, 2. — Prof. F. R. Sharpe : Differential équations, 2; Vector 
analysis, 3. — Prof. W. B. Carver : Projective geometry, 3. — Prof. D. C. 
GiLLESPiE : Advanced calculus, 3. — D"" C. F. Craig : Theory of linear dif- 
ferential équations, 3. — Di" F. W. Owens : Foundations of geometry, 3. — 
D"" J. V. McKelvey : Advanced analytic geometry, 3. — D"' L. L. Silverman : 
Theory of numbers, 3 (II t.). — D' W. A. Hurvitz : Theory of fiuite groups, 
3 (I t.) ; Algebraic équations, 3 (II t.). 

Harvard University (Cambridge, Mass.). — Prof. B. O. Peirce -. Potential 
functions, 2 (first half-year). — Prof. W. F. Osgood : Advanced calculus, 
3; Dynamics, II. 3; Theory of functions, II, 3 (second half-year); Theory 
of functions, I, 3, with Prof. Bôcher ; Prof. Bôcher : Fourier's séries, Bes- 
sel's and Legendre's functions, 3 (II s.). — Prof. C. L. Bouton : Differential 
équations, with Lie's theory, 3 ; Introduction to modem geometry and modem 
algebra, 3, with M. Graustein. — Prof. J. L. Coolidge : Probability, 3 ; Alge- 
braic plane curves, 3. — Prof. G. D. Birrhoff : Infinité séries and products, 3 
(I s.) ; Problem of three bodies, 3. — D'fD. Jackson : Distribution of primes, 
3 (II s.). — D'- F. J. DoH.MEN : History of mathematics, 3 (I s.). — M.'W. 
C. Graustein : Advanced algebra, 3 (I s.); Differential geometry, 3 (II s.) 

— Varions courses in leading and research are also offered on spécial 



•^Ô6 NOTES ET DOCUMENTS 

topics, and Prof. Birkhoi f and 1)^ Jackson will conduct a forlnightly senii- 
nar in analysis. 

Indiana University (Bloomington). — Prof. S. C. Davisson : Theory of 
funclious, 2; Ordinary differential équations, 3 irt, n). — Prof. D. A. Roth- 
KOCK : Differential geometry, 3. — Prof. U. S. Ha.wna : Theory of groups of 
substitutions, 2. — Prof. R. D. Carmichael : Theory of ordinary differential 
équations, 3; Bessel, Laplace, and Lamé functions, 3 ; Différence équations, 
2. — M. K. P. Williams : Fourier séries and intégrais, 3 (s). — Ali courses 
continue throughout the year, except those marked a = autunin, ^\■ =: win- 
ter, 5 ::= spriiig. 

Johns Hopkins University (Baltimorei. — Prof. F. Morley : Higher geo- 
metry, 3 (Hrst half year) ; Theory of functions, 3 (second half year). — 
Prof. A. B. CoBLE : Discontinuons groups, 2. — D"" A. Cohen : Differential 
geometry, 2; Theory of functions, 2. — M. H. P. Bate.man : Theory of the 
potential. 1.' 

University of Pennsylvania iPhiladelphia). — Prof. E. S. Crawley : 
Higher plane curves, 3. — Prof. G. E. Fisher : Differential équations, 3; 
Theory of functions of a complex variable, 3. — Prof. I. J. Schwatt : Deli- 
nite intégrais, 3. — Prof. G. H. Hallett : Theory of absfracl groups, 3 ; 
Introduction to higher algebra, 3. — Prof. F. H. Safford ; Mathematical 
theory of elasticity, 3 ; Partial differential équations, 3. — Prof. M. J. Babb : 
History of mathematics, 2 ; Theory of statistics, 2. — Prof. G. G. Cha.mbers : 
Synthetic projective geometry, II, 3. — Prof. O. E. Glenx : Theory of 
invariants, 3. — D"" H. H. Mitchell : Theory of numbers, 3 — D'' R. L. 
MooRE : Theory of point sels, with applications, 3. — D"" F. \Y. Beal : Dif- 
ferential geometry, 3. 

Yale University (New Haveu, Conn.). — Prof. J. FiERPONT : Theory of 
functions of a comple.x variable, 2 ; Modem analytic geometry, 3 ; Theory 
of differential équations, 2; Xon-euclidean geometry, 2. — Prof. P. F. 
Smith; Differential geometry, 2 (II t.); Continuons groups, 2 lU t.). — 
Prof. E. W. Browx : Advanced calculus and difl'erential équations, 3; Sta- 
tics and dynamics, 2 ; Advanced and theoretical dynamics, 2 ; Periodic 
orbits, 2. — Prof. H. L. Longley : Intégral équations with applications, 2 ; 
Potential theory and harmonie analysis, 2. — Prof. Wilso.n : Theory of 
functions of real variables, 2. — D'" C. C. Conwell : Theory of finite groups, 
2. — D'" H. H. Leib : Advanced algebra, 2. — D"" T. MacNeish : Intégration 
of differential équations ; Synthetic projective geometry, 2. — D*" E. J. Miles: 
Calculus of variations, 2. — D'' Tracey : Analytic geometry, 2. 

ITALIE^ 

Bologna ; Inis-evsità. — Birgatti : Teoria mateuiatica delT eiaslicità. 3. 
— DoNATi : Termodinamica nelle sue altinenze coU' elettromagnelismo e 
colla teoria délie l'adiazioni, 3. — Enkiqves : Teoria délie funzioni alge- 
briche, 3. — Pi.ncherle : Teoria délie tunzioni di variabile reale, intégrale 
di Lebesgue, teoremi di esistenza ; Teoria elementare dclle funzioni anali- 
tiche : funzioni algebriche e loro integrali, 3. 



' Les cours fondamentaux, ayant à peu prés lo même programme partout, ne figurent p^s 
dans la liste. Ce sont les cours d'analyse algi-brique et infinitésimale, de géométrie analy- 
tique, projective. descriptive, de mécanique rationnelle et de géodésie. 



XOTES ET DOCUMENTS 357 

Catania ; Unh'ersitù. — Daniele : Elettricità e magnelismo con spéciale 
riguardo al punto di vista energetico, 3. — De Fuanchis : Geometria sopra 
le curve algebriche seconde Tindirizzo trascendeute, 4. — Severim : Com- 
plementi ai calcolo infinitésimale, 1 ; Equazioni integrali ed integro-diffe- 
renziali, 3. — Pennacchietti : Idrodinamica, 4. 

Genova ; Univemità. — Levi ; Equazioni differenziali e inlegrali, 4. — 
LoRiA : Geometria sintetica pura, 3. — Tedone : Capitoli scelti dalla teoria 
del poteuziale e dell' integrazione dell' equazione di Laplace, 3. 

Napoli ; Università. — Amodeo : Storia délie scienze matemaliche : L epoca 
di Newton e Leibniz, 3. — Del Re : Analisi ad n dimeusioni di Grassmann 
con applicazioni alla Geometi-ia ed alla Meccanioa, 4^/2. — Marcolongo : 
Meccanica analitica : Integrali algebriei dei problemi del moto di un punto 
di un sistema di punti ; Problema dei tre corpi, 3. — Montesano : Sistemi 
lineari di superficie; Corrispondenze birazionali uello spazio, 4^/2. — 
Pascal : Capitoli scelti di analisi : Equazioni differenziali, 3. — Pi.nto : 
Teoria délia propagazione del calore, 4 \/2 . 

Padova; Università. — d'ÂRCAis : P'unzioni di variabile complessa ; Cal- 
colo délie variazioni, 4. — Gazzamga : Teoria dei numeri, 3. — Levi-Civita : 
Teoria statistico-cinetiche cou applicazione ai quanti, 4 '/a . — Ricci . Cal- 
colo differenziale assoluto : Poteuziale ; Elasticità, 4. — Severi : Geometria 
differenziale, 4. — Sioorini : Teoria matematica dell elasticità con appli- 
cazioni tecniche, 3. — Yeronese : Fondamenti délia geometria e questioni 
che vi sii connettono, 4. 

Palermo ; Uni\'ersità. — Bagnera : Teoria délie funzioni automorfe : Fun- 
zioni raodulari, 3. — Gebbia : Elettricità e magnetismo, 4 Y2 . — Glccia : 
Teoria générale délie curve e délie superficie algebriche, 4 Y2 . — Ventlri : 
Poteuziale; Forma dei pianeti ; Marée, 4 '/a . 

Pavia; Università. — Berzolari : Trasformazioni birazionali nel piano e 
nello spazio ; Applicazioni, 3. — Cisotti : Poteuziale : Propagazione del 
calore, 3. — Gerbaldi : Funzioni di variabile complessa; Funzioni ellittiche, 
3. — VivANTi : Teoria dei gruppi di trasformazioni, 3. 

Eisa; Università. — Bertini : Geometria sopra una carva algebrica, 3. — 
BiAxcHi ; Curve, superficie e spazi curvi a tre dimension!, 4 Y2. — Dini 
Complementi di analisi infinitésimale; Equazioni integrali, 4 '/2 . — Maggi 
Poteuziale ; Formazione e proprietà délie equazioni del movimento elastico 
Applicazione ail ottica teorica ; Formazione e proprietà délie equazioni del 
campo elettromagnetico ; Teoria elettromagnetica délia luce, 4 '/2. — Piz- 
ZETTi : Formole d'interpolazione ; Fondamenti d astronomia sferica ; Teoria 
meccanica délia figura dei pianeti, 4 ^2 ■ 

Roma ; Università. — Amoroso: Teoria délie funzioni di variabile com- 
plessa e délie funzioni ellittiche, 3. — Biscoxcim : Applicazioni geometriche 
del calcolo infinitésimale, 3. — Castelnuovo : Questioni connesse aile ma- 
temaliche elementari ; Funzioni abeliane, 3. — Silla : Elasticità con appli- 
cazioni tecniche, 3. — A'olterra : Termodinamica, 3; Problemi di meccanica 
studiati come applicazione délie funzioni di linee e délia relativa analisi, 3. 

Torino ; Università. — Boggio : Dinamica analitica, 3. — Flbini : Equa- 
zioni aile derivate ordinarie : risultati classici e risultati moderni, 3. — 
Sa>-.nia : Superficie ri gâte ; Studio délie congrueuze e dei complessi di 
raggi mediante coppie di forme differenziali quadratiche che li individuano, 
2. — Segre : Capitoli scelti di geometria a più dimensioni, 3. — Somi- 
gliana : Elettricità e ottica, 3. 



BIBLIOGRAPHIE 



Mathematische Bibliothek. GemeiuverstiincUiche Darstellungeu ans der 
Elemeutar-Mathematik tùr Schule und Leben, heraiisgegeben von Di-. 
W. LiETZM.VNN und Dr. A. NYitting. N°s 5 à 12. — Petits volumes car- 
tonnés de 50 à 70 p., à M. 0,80; B. G. Teubner, Leipzig. 

Nous avous déjà signalé cette intéressante collection de monographies qui 
est destinée à répandre le goût des choses mathématiques dans le public 
des gens cultivés n'ayant pas poursuivi leurs études mathématiques. Ces 
petits volumes seront également bien accueillis des maîtres de l'enseigne- 
ment élémentaire et des élèves des écoles moyennes. Voici les objets exposés 
dans les volumes 5 à 12 : 

5. H. E. TiMERDixG, Die Fallgesetze, ihre Gesclnchte und ihre Bedeutung. 
Exposé historique des lois de la chute des corps. 

6. M. Zacharias, Einfuhritng in die projeki.ive Géométrie. Introduction à 
la Géométrie projective. 

7. H. W'iELEiTKER, Die siehen Rechnitngsarten, mit allgemeinen Zahlen. 
Les sept opérations. 

8. P. Meth, Théorie der Planetenbewegung. Le mouvement des planètes. 

9. A. WiTTiNG, Einfiilnung in die Inpnitesimalrechnung. Introduction au 
Calcul infinitésimal. 

10. \V. LiETZ.MAN.\ u. V. Trier, M'o steckt der Feltler ? Trugschlùsse u. 
Schûlerfehler. — Les auteurs ont réuni dans ce volume les paradoxes et 
erreurs mathématiques qu'il peut être intéressant à exposer dans l'ensei- 
gnement à titre de récréations mathématiques . 

11. P. ZiJHLKE, Konstruktionen in hegrenzter Ebene. Constructions à effec- 
tuer dans une portion limitée du plan. L auteur montre comment on peut 
résoudre les problèmes de construction lorsque le procédé ordinaire ne peut 
pas être exécuté dans les limites de l'épure. 

12. E. Beutel, Die Quadratur des Kreises. Exposé historique du pro- 
blème de la quadrature du cercle. 

W. BuRNsiDE. — Theory of Croups of finite Order. 2« édition. — 1 vol. in-S» 

relié, 512 p. ; 15 sh. ; Cambridge Univcrsily Press. 

La première édition de ce remarquable traité remonte à 1897. Depuis ce 
moment, la théorie des groupes d'ordre fini a fait d importants progrès, 
auxquels fauteur lui-même a largement contribué. Il a donc été conduit à 
remanier et à compléter plusieurs chapitres. 

L'ouvrage magistral de M. Burnside est suffisamment connu de tous ceux 
qui s'occupent de la théorie des groupes pour que nous puissions nous 
dispenser d'en faire une analyse détaillée. Bornons-nous donc à en rccom- 



BIBLIOGRAPHIE 359 

mander 1 étude à ceux qui désirent approfondir cette importante théorie- 
Voici les principaux objets étudiés par l'auteur : 

On permutation. — The définition of a group. — Properties of a group 
which are independent of its mode of représentation. — On the Composi- 
tion-séries of a groups. — On the isomorphism of a group with itself. — 
On abelian Groups. — On Groups whose Orders are the powers of Primes. 

— On Sylow's theorem. — On permutation-groups ; transitive and intran- 
sitive groups ; primitive and imprimitive groups. — On the représentation 
of a group of lini-te order as a permutation-group. — On group of linear 
substitutions ; reducible and irreducible groups. — Ou the représentation 
ofa group of finitc order as a group of linear substitutions. — On Group-cha- 
racteristics. — Some applications of the theory of groups of linear substi- 
tutions and of Group-characteristics. — On the invariants of groups of 
linear substitutions. — On the Graphical représentation of a group. — On 
congruence groups. — Index of technical terms. — Index of authors 
quoted. 

J. A. DE Séguiek. — Théorie de groupes finis. Éléments de la théorie des 

groupes de substitutions. — l vol. in 8», x-22« p. ; 10 fr. ; Gauthier- 

Villars, Paris. 

Tandis que M. Burnside vient de publier une nouvelle édition de son 
traité, M. l'abbé de Séguier nous donne un second volume de sa théorie des 
groupes finis. Le premier volume, paru en 1904, était consacré à la théorie 
des groupes abstraits. Le présent volume, intitulé « Eléments de la théorie 
de substitutions », est consacré aux substitutions qu'on pourrait appeler 
naturelles, dit l'auteur. Ce sont celles d'un nombre fini d'objets dont l'ordre 
est simple. 

Toutefois, comme il est souvent presque indispensable d'introduire entre 
ces objets, outre l'ordre simple, un ordre multiple (en les assimilant à des 
points dont les coordonnées varient dans un champ de Galois), l'auteur a dû 
entrer dans le domaine des groupes linéaires modulaires. Une étude plus 
approfondie de ces groupes, jointe à la détermination des groupes résolu- 
bles, fera l'objet d'une étude ultérieure. 

La théorie générale des équations ne pouvait être séparée de celle des 
substitutions, dont elle est l'expression immédiate. Pour en dégager l'objet 
principal, l'équation irréductible, et pour arriver à la formation effective 
d'équations symétriques ou alternées à coefficients rationnels constants, 
M. de Séguier s'est arrêté d'abord assez longuement aux notions de divisi- 
bilité et de réductibilité. Mais l'étude des équations spéciales qui se ren- 
contrent en géométrie et dans la théorie des transcendantes a été, elle 
aussi, réservée. 

Le présent volume se trouve ainsi limité aux objets suivants ; 

I. — Substitutions. — II. Groupes de substitutions. Théorèmes géné- 
raux. — III. Représentation des groupes par des groupes de substitutions. 

— IV. Groupes de degré n et de classe n-1. Groupes linéaires. — 
V. Groupes de degré kp, p -{- x, 2p + a. 

A. Flamant. — Mécanique générale. — Cours professé à l'Ecole centrale 
des Arts et Manufactures, i'^ édition, revue et augmentée. — 1 vol. gr. 
in-80, 620 p. ; 20 fr. Librairie polytechnique Ch. Béranger, Paris et 
Liège. 



360 BIBLIOGRAPHIE 

Ce traité de « Mécanique générale », est destiné aux ingénieurs. Il corres- 
pond au cours professé à l'Ecole centrale des Arts et Manufactures de 
Paris. C'est dire que l'ouvrage se limite aux principes essentiels de la 
mécanique, en laissant de côté les parties plus élevées, réservées plus 
spécialement aux cours de mécanique rationnelle dans les Facultés des 
sciences. Ainsi l'auteur a laissé de côté les méthodes de Lagrange, de 
Jacobi et de Hamilton, dont on peut se passer dans la résolution des pro- 
blèmes usuels. 

Cette seconde édition ne diffère de la première que par quelques modilî- 
oations en général peu importantes et par quelques additions, notamment 
une petite note sur la bicyclette. 

Il est intéressant de connaître l'ordre adopté par l'auteur dans la distri- 
bution des chapitres ; 

Première partie. Notions géométriques. Des systèmes de lignes. Des 
moments. Centre de gravité et moments d'inertie. 

Deuxième partie. Cinématique. Etude générale du mouvement d'un point. 
Détermination du mouvement. Des systèmes invariables. Des mouvements 
simultanés et relatifs. Lois générales du mouvement des systèmes. 

Troisième partie. Mécanique. Des lois physiques du mouvement. 
Théorèmes généraux de la mécanique. Des forces vives et du travail. De 
1 équilibre et des machines simples. Mécanismes. — Index alphabétique. 

John Perry. — Mécanique appliquée, ouvrage traduit sur la 9^ édition an- 
glaise par E. Davaux. Avec des applications et un appendice sur la méca- 
nique des corps déformables. Tome I : L'énergie mécanique. — 1 vol. 
in-8o, 400 p.; 10 fr. ; Hermann & fils, Paris. 

L'auteur accompagne le titre de l'ouvrage de la mention « à l'usage des 
élèves qui peuvent travailler expérimentalement et faire des exercices numé- 
riques et graphiques ». C'est précisément ce qui caractérise la méthode de 
Perry, professeur au Royal Collège of Science de South Kensington, 
Londres. On sait le rôle important joué par Perry dans le mouvement de 
réforme de l'enseignement technique anglais, à ses divers degrés. Il préco- 
nise renseignement concret, expérimental, basé sur l'intuition et 1 expé- 
rience. Il ne veut pas, disent MM. Cosserat dans leur Préface, qu'on donne 
aux élèves cette préparation exclusivement théorique, dont linsuffisance leur 
inspire plus tard une sorte d'éloignement pour les vérités positives de la 
science. » 

Tous ceux qui étudient la Mécanique appliquée ou qui sont appelés à l'en- 
seigner, examineront avec intérêt et profit l'ouvrage du professeur Perry. 

Ce premier volume est consacré à l'étude générale, selon les méthodes 
pratiques de l'auteur, des diverses formes de l'énergie mécanique. 

Introduction. — Vecteurs. Mouvement relatif. — Travail et énergie. — 
Frottement. — Rendement. — Machines simples. — Méthodes analytiques 
et graphiques élémentaires. — Applications de la statique graphique. — 
Machines hydrauliques. — Généralités sur les machines. — L'énergie ciné- 
tique. .Matériaux de construction. — Cisaillement et torsion. — Théorie 
plus difficile. — Appendice. 

Dans le dernier chapitre, MM. E. et F. Cosserat ont modifié ou ajouté 
quelques paragraphes, afin de mettre le lecteur au courant des derniers 
progrès de la Mécanique des corps déformables. 



BIBLIOGRAPHIE 361 

A. R. Forsyth. — Lehrbuch der Differentialgleichungen. Mit den Auf- 
lôsungen der Aufgabcn von Herru Maser. Zweilc Auflage nach der S'**" 
des englischeu Oi'iginals besorgt und mit einem Anhang von Zusâtzen 
verselien voa W. Jacobstiial. — 1 vol. in-S», 921 p. ; 20 M. ; Vieweg & 
Solin, Braunschweig. 

Les ouvrages de M. Forsyth ont pris place depuis lojigtemps au nombre 
des traités classiques. C'est le cas notamment de celui qu'il a consacré aux 
équations difFérentielles, dont le traité anglais a déjà trois éditions. La tra- 
duction allemande vient d'avoir une seconde édition Elle est publiée par 
M. Jacobsthai. d'après la troisième édition anglaise, avec de nombreuses 
annotations. 

On sait que le traité de M. Forsyth comprend non seulement les équations 
diflérentielles ordinaires, mais aussi les équations au.\ dérivées partielles. 
Ce qui donne une valeur toute particulière à ce volume, ce sont les nombreux 
exercices et problèmes qui accompagnent l'exposé théorique. Les problèmes 
proposés dans le texte sont résolus à la fia dans un appendice. Sous cette 
nouvelle forme, le traité de M. Forsyth va continuer à rendre de grands 
services à tous ceux qui abordent l'étude des équations difFérentielles et 
leurs applications. 

H. LiEBMANN. — Nichteuklidische Géométrie. (Sammlung Schubert XLIX), 
zweite neubearbeitele Auflage. — 1 vol. 8°, vi-222 p., M. 6.50 ; G. J. Gœs- 
chen, Leipzig. 

Bien que très complet dans son genre, ce livre cependant ne louche qu'in- 
directement aux problèmes d'ordre philosophique ou historique ; il ne 
faudrait donc pas y chercher une histoire critique des controverses que 
soulève l'existence des géométries non-euclidiennes. M. Liebniann s'est 
borné à donner un exposé substantiel, mais purement mathématique de ces 
dernières. 

11 commence par étudier le postulat des parallèles et par énumérer les 
propositions qui en sont indépendantes. Celte introduction achevée, il passe 
en revue tout ce qui dans la géométrie liyperbolique concerne les construc- 
tions élémentaires, la trigonométrie et les intégrations, puis il montre 
comment cette géométrie peut être analytiquement interprétée dans le plan 
euclidien. Il expose ensuite les théorèmes que comporlenl les géométries 
sphériqne et elliptique. Enfin « comme les concepts londamenlaux de la 
dynamique d'un point, masse, force et vitesse, sont indépendants du postulat 
des parallèles » (p. 199), M. Liebmann termine son livre on donnant les 
équations fondamentales de la mécanique non-euclidienne, y compris ce qui 
touche au principe de relativité. 

Cet exposé très clair et bien ordonné rendra service à tous ceux qui 
s'occupent des problèmes non-euclidiens. Signalons une erreur de signe au 
milieu de la page 80. Le numérateur sous le signe radical doit s'écrire 
e« + e-« _ e« + t--" et non e« + e"" — e'^ - e-". 

Arnold Rfy.mond (Neuchàlel). 

H. PoiNCARK. — Leçons sur les hypothèses cosmogoniques profes.'^écs à la 

Sorbonne, rédigées par 11. Vergue. 2<= édition avec un portrait on hélio- 
gravure et une Notice sur Henri Poincaré par Ernesi Li-bo.n. — 1 vol. 
in-8o, 294 p.; 12 fr. ; Hermann & fils, Paris. 

Celle seconde édition des leçons sur les hypothèses cosmog()ni(|ues pro- 
L'Enseignemeat niHthéin., 15" année ; 1913. 25 



362 BIBLIOGRAPHIE 

fessées à la Sorbonne par H. Poincaré, Pst conforme à la première. L'ana- 
lyse détaillée que nons avons donnée de louvrage l'an dernier [Eus. math., 
15 mars 1912, pp. 167-168), nous dispense d y revenir longuement. 

L'ouvrage est augmenté d'une belle notice sur H. Poincaré par E. Lebon ; 
il contient un remarquable portrait en héliogravure. La notice comprend 
deux parties : Dans la premioi"e, intitulée « Sur la vie de H. Poincaré », 
lauteur trace un portrait du grand géomètre en faisant ressortir les qua- 
lités intellectuelles et morales qui caractérisent la vie aussi simple que belle 
de Poincaré. La seconde partie est consacrée à l'œuvre scientifique si fé- 
conde et si puissante. M. Lebon s'est attaché surtout à mettre en lumière 
les idées directrices des travaux de Poincaré. Sa notice constitue un excel- 
lent guide à tous ceux qui voudront aborder quelque partie du champ si 
vaste exploré par le regretté savant. 

A. Sainte-Laguë. — Notions de mathématiques, avec préface de M. Koemgs. 
— 1 vol. in-8o, vii-512 p. ; 7 fr. A. Hermanu et lils, Paris. 

On ne saurait mieux caractériser le but de cet ouvrage que ne le fait 
M. Koenigs dans son intéressante Préface : 

« L esprit dans lequel a été conçu le présent ouvrage, la manière dont 
son exécution a été conduite plairont à ceux qui ont le souci de voir les 
mathématiques continuer à servir de base au développement de nos connais- 
sances. Ce développement est tel aujourd'hui, surtout dans le domaine delà 
mécanique et de la physique, il excite tellement les aspirations et les ambi- 
tions de notre raodei-ne jeunesse que l'on aurait grand tort de ne point se 
pi'éoccuper de constituer un enseignement des mathématiques plus adapté 
aux exigences pratiques. 

« Disons tout de suite que ce qui doit caractériser un tel enseignement 
ce sont moins ses programmes que sa méthode. Un enseignement abstrait, 
dogmatique, qui ne montre les choses que sous leurs formes logiques est 
pratiquement inopérant. Au contraire, l'éveil de l'intuition, l'examen direct 
des choses, le recours occasionnel à l'expérience sont éminemment propres 
à préparer les esprits à traiter mathématiquement les contingences, sans 
exclure le souci d'une correcte application du raisonnement. 

« Un enseignement de ce genre est devenu nécessaire : il doit être 
l'œuvre de nos meilleurs maîtres, car leur savoir et leur expérience les 
garantiront mieux que d'autres des solécismes mathématiques de l'à-peu 
près et de l'imprécision. Car la précision est au moins aussi nécessaire à 
celui qui veut faire aboutir une formule à un résultat numérique qu'à celui 
qui se contente d'y voir un résultat logique. 

« Nous devons donc louer hautement M. de Sainte-Laguë d'avoir entre- 
pris cette tâche. Sous le nom de Mathématiques générales, on a constitué 
en France, depuis quelques années, un programme d'enseignement qui, 
pratiqué bien entendu dans le sens que nous venons d'indiquer, peut et doit 
rendre les plus grands services. Mais, pour beaucoup, les lacunes de leur 
savoir concernent des matières plus élémentaires que celles de cet enseigne- 
ment déj«^ relevé. Le présent livre leur offrira le moyen de combler ces 
lacunes, de consolider leurs connaissances élémentaires et les initiera à des 
formes de pensées, à des modes de conception qui les rapprocheront 
eux-mêmes des applications. 

« Nous nous reprocherions de ne pas attirer spécialement l'attention sur 



BULLETIN BIBLIOGRAPHIQUE 363 

les exercices dont certains sont très originalement posés ; leur choix judi- 
cieux est de nature à concourir le plus utilement au but général de 
l'ouvrage, w 

Voici les piincipaux objets étudiés dans cet ouvrage ; 

Arithmélique : Nombres entiers. Divisibilité. Nombres premiers. — Frac- 
tions. Racines. — Mesure des grandeurs. — Erreurs. Calculs numériques. 

Algèbre : Nombres positifs ou négatifs. — Calcul algébrique. — Equations 
et problèmes du l^"" degré ; id. du 2^ degré. — Progressions et logarithmes. 

— Fonctions et dérivées. 

Trigonométrie plane et trigonométrie spliérique. 

Géométrie : Droites et plans. — Parallèles. — Circonférence et sphère. 

— Relations métriques. — Longueurs, aires et volumes. — Constructions 
graphiques. — Géométrie descriptive. — Méthodes en géométrie. 

Cinématique. — Appendice : Exercices. Tables diverses. Formules et 
résultats. 



BULLETIN BIBLIOGRAPHIQUE 



1 . Pu]>lieatioii$$ pcrioclique^^ : 

Annali di Matematica pura et applicata. — Série III. Milan. 

Tome A'LV, fasc. H et 4. — Calapso : Intorno aile superficie applicabili 
sulle quadriche ed aile loro transformazioni. — (Conlinuazione e line|. Parte 
Settima ed Ottava. — N. Nielsen : Sur les transcendantes élémentaires et 
les nombres de Bernoulli et d'Euler. — Ranum : On the Projective Differen- 
tial Geomelry of N-dimensional Spreads Generated by oo ' Flats. — Bianchi: 
Sui sistemi obliqui di Weingarten. 

Tome XX, dédié à la mémoire de Lagrange. — L Académie royale des 
Sciences de Turin a décidé de publier un volume en commémoration du 
10 avril 1913, centième anni^'ersaire de la mort de Lagrange, qui fut un de 
ses membres fondateurs. La publication a été confiée aux Annali Matema- 
tica et formera les volumes XX et XXI de cette collection. Elle comprendra 
la réunion de mémoires mathématiques écrits en l'honneur de Lagrange par 
des mathématiciens de tous les pays. 

Le premier de ces volumes contient les mémoires suivants : G. Loria ; 
G. L. Lagrange nella vita e uclie opère. — E. Landau : Ueber die Zerlegung 
der Zahlen in zwei Quadrate. — M. Abraham : Le equazioni di Lagrange 
nella nuova meccanica. — P. Appell : Les équations du mouvement dua 
fluide parfait déduites de la considération de lénergic d'accélération. — 
E. Pascal : Sopra una classe di equazioni difPerenziali di gradon e di 
ordine n-1 da considerarsi come estensioni délie equazioni di Riccati. — 
G. VivAiNTi : Sul calcolo délie variazioni degli iutegrali mullipli. — A. V. 
Backlund : Einiges ùber Kugelkomplexe. — ¥. Eisric^ues : Intorno alla riso- 
luzione razignole di una classe di equazioni algebriche fra quattro variabili. 



36i BULLETIN BIBLIOGRAPHIQUE 

— A. HuRwiTZ : Ueber die TrUglieilsforraen eines algebraischen Modiils. — 
T. Levi-Civita : Nuovo sistenia canouico di démenti ellilici. — O. Hoi.ukk : 
Neiies Verfaliren zur Herleitung der Differentialgleichuiig fur das r(>lalive 
Extreniiini eincs Intégrais. — H. A. Lorentz : Sur un lliéorème général de 
l'optique. — P. Stàckel : Ueber die Rektifikation algebraisclier Kurven. — 
F. Severi : Relazioni tra gl inlegrali semplici e glintegrali inullipli di 1. a 
specie di una varieta algebrica. — G. Fubini : Alcuni uuovi problenii di 
calcolo délie variazioni con applicazioui alla leoria délie cquazioni integro- 
dilferenziali. — O. Bolza : Ueber zwei Euler'sche Aufgaben ans der Varia- 
tionsrechnung. 

Le second volume comprendra des mémoires de : Borel. — Borlololli. — 
Carathéodory. — E. E. Levi. — Forsytli. — Hadamard. — Hahu. — Kœbe. 

— Lamb. — Lauricella. — Pincherle. — Schur. — Steklod". — Stéplianos. 

— Wilczynski. 

Bulletin de la Société française de Philosophie, Librairie Arm. Colin, 

Paris. 

i2<= année (1912). — Le Temps, l'Espace et la Causalité dans la physique 
moderne. Thèse: M. Langevin. Discussion: MM. Bokel, Bku.nscuvicg, 
Darlu, Le Roy, Milhaud, J. Perrin, Rey. — L'Enseignement de la Philo- 
sophie dans les classes de Mathématiques spéciales. Thèse de M. Le Roy. 
Discussion : M^L Bailly, Boucle, A. Cahen, Cresson, Dkoui.x, L. Poincaré. 

— Vocabulaire Philosophique, fasc. n" 15 : O à Personnel. Te.xte par 
M. André Lalande. — Bibliographie de la Philosophie française pour 
l'année 1911. 

ij'e année |1913). — L'idée delà Vérité Mathén)ati((ue. Thèse : M. Bru.nsch- 
vicG. Discussion : MM. E. Cahe.x, Dui lmier, Lalakue, Li: Roy, Meyekso.n, 
Milhaud. 

Compte rendu de l'Académie des Sciences de Paris. 

Lundi [I déicnilire lOl'J. — J. Taiiaml et 11. 1)autrii;iie : Suv la pi'opa- 
gatiou de l'onde e.xplosive dans les solides. — Decombe : Dissipation et dis- 
continuité de 1 énei'gie. — Lemekay : Sur un théorème de M. Einstein. 

23 décembre. — G. Darboux ; Sur les surfaces de translation. — Th. Eco- 
ROFF : Sur l'intégration des fonctions mesurables. — P. Mo.ntel: Sur l'exis- 
tence des dérivées. — W. H. Young : Sur les séries de Fourier convergentes 
presque partout. — S. Lattes : Sur la réduction des substitutions linéaires. 

— NoRLU.ND : Sur les équations linéaires aux différences finies. — N. Lusin : 
Sur les propriétés de lintégrale de M. Denjoy. 

oO décembre. — G. Remoundos : Le théorème de M. Picard et les fonc- 
tions algébroïdes. — A. Korn : Sur les potentiels d'un volume attirant tlonl 
la densité satisfait à 1 équation de Laplace. 

6 janvier l'.llii. — A. Demoulin : Une propriété générale des lignes tracées 
sur une surface. — A. Rosenblatt : Sur les surfaces irrégulièi-es dont les 
genres satisfont à linégalilé [>„— 2 (/>^, -|- 2). — Ch. Munïz: Solution 
directe de ré([ualion séculaire et de quehpies problèmes analogues trans- 
cendants. — L. F'e.iick : La convergence sur son cercle de convergence d'une 
série de puissance effecluant une représentation confoi'me du cercle sur le 
plan simple. — G. (îirauu : Sur une classe de transcendantes ayant un 
théorème de multiplication. — Norland: Sur les équations linéaires aux 



BULLETIN BIBLIOGRAPHIQUE 365 

difTérences finies. — A. Kœnigs : Coustruclioii des centres de courbure et 
des plans principaux de l'enveloppe dune surface solidaire d'un cylindre 
qui roule sans glisser sur un autre. — H. Yillat : Sur l'écoulement des 
fluides pesants 

13 jam'ier. — P. E. Gay : Sur les transformations les plus générales des 
équations aux dérivées partielles du second ordre. — M. Jankt : Sur les 
caractéristiques des systèmes d'équations aux dérivées partielles. 

W janvier. — G. Giraud : Sur certaines équations fonctionnelles et sur 
les transformations permutables. — Nôrlund : Sur le problème de Riemaun 
dans la théorie des équations aux différences finies. — L. Bachelier : Les 
probabilités semi-uniformes. — Et. Delassus : Les diverses formes du prin- 
cipe de d'Alembert et les équations générales du mouvement des systèmes 
soumis à des liaisons d'un ordre quelconque. — P. Duhem : Sur la stabilité 
adiabatique de l'équilibre. — E. Borel : La théorie de la relativité et la 
cinématique. 

'21 janvier. — F. Severi : Les correspondances algébriques existant sur 
les courbes d'un système linéaire tracées sur une surface. — A. Rosenblatt: 
Sur les surfaces algébriques que possèdent un faisceau irrationnel de 
courbes de genre 2. — V. Koslitzin : Quelques remarques sur les systèmes 
complets de fonctions orthogonales. — A To.xolo : Sur le potentiel d'une 
ligne analytique. 

.j février. — G. Tzitzeica : Sur les réseaux dérivés. — D. Pompeiu : Sur 
une application du calcul fonctionnel à la théorie des fonctions. — J. Peres : 
Détermination de toutes les fonctions permutables de première espèce avec 
une fonction donnée. — A. Bilimowitch : Sur les équations du mouvement 
des systèmes conservatifs non holonomes. 

10 février. — M"e S. Tm.linger : Sur la détermination de la croissance 
des fonctions entières définies par une série de Tayior. — J. Le Roux : Sur 
la détermination des fonctions harmoniques. — Th. De Donder : Sur un 
théorème de Jacobi. — H. Villat : Sur la détermination des problèmes 
d hydrodynamique relatifs à la résistance des fluides. — P. Duhem : Sur 
deux inégalités foiidanicntales de la thermodynamique. — Gernez : Tracé et 
usage des caries pour la navigation orthodromique construiles sur les 
plans tangents aux pôles. — C. Stœk.mer : Sur un problème important dans 
la physique cosmique. 

11 février. — M. Gevrey : Sur la nature des solutions de certaines équa- 
tions aux dérivées partielles. — A. Pchéborski : Sur quelques polynômes 
qui s'écartent le moins possible lie zéro dans un intervalle donné. — \ali- 
ron : Sur les fonctions entières il'ordre nul. — P. Ai'Pi;i.l : Sur l'équilibre 
de fils dont les éléments s'attirent ou se repoussent en fonction de la dis- 
lance. — U. CisoTTi : Sur les mouvements rigides d'une surface de tour- 
billon. — C. Stœrmer : Sur un problème mécanique et ses applications à la 
physique cosmique. 

'2'i février. — E. Bomimam : Sur les configurations de Lapiacc. — G. SaiNnia : 
Propriétés nouvelles des caraclérisliques des équations partielles linéaires 
du premier ordre à i\K\\\ variables. — Th. De Donuer : Sur le théorème 
d'indépendance de llilberl. — l' Ai'pell : Equation fonctionnelle sur l'équi- 
libre relatif d'un liquide homogène en rotation sons l'attraction newto- 
nienne de ses parties. — L. Cisussard : Sur la propagation et l'altération 
des ondes de choc. — P. Duhem: Sur la stabilité de l'équilibre thermique. 

■S mars. — M. Tzitzicica : Sur les réseaux réciproquement dérivés. — 



366 BULLETiy BIBLIOGRAPHIQUE 

J. Le Roux : Sur la délerraination des fonctions harmoniques. Application 
du carré. — M"« Th. I'arnarider : Sur la meilleure approximation do (X) "* ' 
par des polynômes de degrés indéfiniment croissants. — J. Chapelon : Sur 
les nombres de classes des formes quadratiques binaires positives. — Et. De- 
i-Assus : Sur l'équilibi'e cl les petits mouvements des systèmes soumis à des 
liaisons d'ordre quelconque. 

Ut mars. — I Claikin : Sur les invariants des cai-actéi isliques des é(jua- 
li<ins aux déiùvées partielles du second ordre à deux variables indépen- 
dantes. — V. Kakpen : Sur le vol des oiseaux dit « vol à voile ». — L. de 
BoissoLDY : — Sur la loi du rayonnement noir et la théorie des quanta. 

77 mars. — L. Auto.nne : Sur les matrices hypohermiliennes et les uni- 
taires. — Ch. MiJ.NTz : Sur la solution des équations séculaires et des équa- 
tions intégrales. — G. Remoundos : Sur les familles des fonctions algé- 
broïdes. — Th. de Dondek : Sur le théorème d'indépendance de Hilbert. — 
Farid Boulad Bey : Sur la disjonction des variables dans les équations 
représentables par des monogrammes à points alignés. — C. Bourlet : 
Appareil de mesure de vibrations des corps solides en mouvement. — 
E. Guillaume: Sur l'extension des équations mécaniques de M. Appell à la 
physique des milieux continus. 

'25 mars. — G. Darboux : Sur les surfaces minima engendrées par un 
cercle variable. — L. Decombe : Théorie électronique de la gravitation. 

31 mars lOlo. — G. Darboux : Sur les surfaces niiuinia engendrées par 
un cercle variable. — E. Picard : Sur une classe de transcendantes généra- 
lisant les fonctions elliptiques et les fonctions abéliennes. — L. Lichtens- 
TE1N : Sur les fonctions fondamentales des équations différentielles linéaires 
du second ordre et sur le développement d'une fonction arbitraire. Appli- 
cation de la théorie des formes quadratiques à une infinité de variables. — 
G. PoLYA : Sur un théorème de Laguerre. — M. Barré: Sur une série de 
surfaces dont une famille de lignes de courbure est constituée par les hélices 
indéformables. 



îî. I^ivres nouveaux : 

Berichte und Mitteilungen, veranlassl durch die inlcrnalionalo mallie- 
matisclie Unterrichtskonimission. — N" VIII : P. Stackf.l : Nachruf auf 
Peter Treutlein. — NV. Lietz.mann : Der internationale Malhematikerkon- 
gress in Cambridge. — 1 fasc. in-8", 58 p. ; M. 1,60. — N" IX : H. Dressiek : 
Mathcmatische Lehrmiltelsammlungen, insbesondere fur hôhere Schulen. — 
1 fasc. in-8o, 31 p.: 1 M.: B. G. Teubner, Leipzig. 

Catalogue international de la littérature scientifique, publié par une 

commission internationale sons la direction de M. H. -F. Morlkv. — A. 
Mathématiques ; X» 11. — 1 vol. in-8", 196 p ; Fr. 18,75; Ganlhier-Villars, 
Paris. 

L'Enseignement mathématique en Suisse. Rapports [xibliés sous la direc- 
tion (le 11. Fluk. — Annexe : Reforn)-^'()l■s(•lll;ige und Anregungen ans den 
Berichten ùber den mathenialischcn Unterricht in der Schweiz. — Réformes 
à accomplir dans l'Enseignement mathématique en Suisse. — Riforme da 
compierc nellinsegnamento délie matematiche nella Svizzera. — 1 fasc. 
in-8", 3'i p. ; Fr. 0,50; Georg & G'», Bàle et Genève. 



BULLETIN BIBLIOGRAPHIQUE 367 

G. K. Barth. — Der Lùtzower und Pestalozzianer W. H. Ackermann 

aiis Aiierbach i. A'. Lchrer an der Musterschule in Frankfnrl a. M. — 1 vol. 
in-4'^, vir)-lo8 p. ; B. G. reubner, Leipzig. 

O. A. Berghoi.z — Die Lôsung des Fermatschen Problems r" + v" = z". 

1 fasc. in-8", 19 p. ; 1 M. — Erlaulerung und Ergiinzung : Kennzeichnung 
der rt-Polenz-Differenzcn aïs Impoteuzen. 1 tasc. iii-8". 32 p. ; 1,50 M. — 
Substilutionsbeweis des grosseu Fermatschen Satzes auf Grund der Formel 
fur {a + />|2. 1 fasc. in-8'>. 22 p. : 1,50 M. — H. S. Art'l, Dessau. 

E. Beutel. — Die Quadratur des Kreises. — {Mathematische BihUutheli. 
No 12). — 1 vol. iii-8", 75 p.: 0.80 M. ; B. G. Teubnei', Leipzig. 

E. DuMo.NT. — Cours d'Arithmétique théorique et pratique, suivi d une 
noie sur les Théories logiques des Nombres. 1 vol. in-8'^, xvi-501 p., 
6 l'r. ; A. De Boeck. Bruxelles. 

A. Einstein u. M. Gkoss.man.n. — Entwurf einer verallgemeinerten Rela- 
tivitàtstheorie und einer Théorie der Gravitation. 1. Physikalischer Teil, 
von A. Einstein (Zurich). IL Mathematischer Teil, von M. Grossmann 
(Zurich). — 1 fasc. in-8», 38 p. : B. G Teubner, Leipzig. 

F. G. -M. — Manuel de Géomelrie jdaprès les programmes de 1911 et 
1912). — 1 vol. in-12 de 590 p. et 829 Hg. ; Marne, Tours et .1. de Gigord, 
Paris. 

E. Fabry. — Démonstration du théorème de Fermât. — 1 vol. in-S", 

22 p.; Fr. 1,50; A. Hermann cS: fils, Paris. 

P. B. Fischer. — Anschauungsmittel im mathematischen Dnterricht. 

Eine Zusanimeuslellung der vorhaiidenen Lehrinitlel ini Rechnen. in der 
reinen und angewandten Malliematik. — 1 fasc. in-8", 40 p. ; 0,60 M. ; 
B. G. Teubner, Leipzig. 

Willy Freise. — Behandlung der Reihen im Dnterricht. (Beilage zum 
Bericht ùber das Schuljalir 1912-1913 der Ober-Realschule Gollingeni. — 
1 fasc. in-8o, 108 p. ; E. A. llulh, Gotlingeii. 

C. GuicHARD. — Problèmes de mécanique et cours de cinématique. 
Conférences faites en 1912 aux candidats au certificat de Mécanique Ratio- 
nelle. Rédaction de MM. Dautry et Descha.mps. — 1 vol. in-S^'. 156 p., 6 fr.; 

A. Hermann & fils, Paris. 

J. L. S. Hatton. — The Principles of projective Geometry applied to 
the straight line and conic. — 1 vol. in-8o, 366 p., 10 sh. 6d. ; University 
Press. Cambridge. 

D. HiLBERT. — Grundlagen der Géométrie. — i Collection Wissenschaft 
und Hypothèse]. 4"^ édition revue et augmentée. — 1 vol. in-16: vi-258 p., 
relié, 6 M. ; B. G. Teubner, Leipzig. 

A. HoFLER. — Didaktik der Himmelskunde und der astronomischen 

Géographie (Band II der didaktische Handbiiclier lùr den realistischen Un- 
terricht au hôheren Schulen). — 1 vol. in-S", xn-414 p. : 11 M., relié 12 M.. 

B. G. Teubner, Leipzig. 

Siegf. Jakobi. — Sammiung arithmetischer Aufgaben, nebst Lehrbuch 

der Arilhmelik fiir htihere Maschinenbauscliuleii und verwandte fechnische 
Lehranslalten. — (Teubners Unterriclitsbiichor fiir Maschinentechnische 
Lehranslallen >'° 7). — 1 vol. in-S-^, vi-122 p., cartonné, 1,60 M.; B. G. 
Teubner, Leipzig. 

A. Kempe. — Der grosze Fermatsche Satz, 2'<= verbesserte Auflagc. — 
1 fasc, 22 p. : W. Versiuys, Amsterdam. 

W. KiLLiNc; ei IL HovESTADi. — Handbuch des Mathematischen Unter- 



368 BU I.L E TIN B I />' /. / O G R A P II I Q UE 

richts. II. Band. — 1 vol. in-S", x-472 p., 10 M.; relié, Il M.; B. G. 
Teiibner, Loip/.it;'. 

W. Lirn/.MANN oi \'. Tkikk. — Wo steckt der Fehler ? Trugschlûsse und 
Schùlerfehler. — {Matlieinntisclic Hildiotheli, N" lOi. J vol. iii-S", 57 p., 
0,«(l AI.; B. (i. Teubner, l.eipziçr. 

R. V. LiLiKMiiAi,. — Vorlesungen ûber Dilferentialgeometrie. II. Band 
Flachenlheorio I. 'l'cil. — 1 vol. iii-S", viii-27(l p., 12 .M., iidic-, BJ M. ; 
B. G. Teubner, l.cip/ii;. 

G. LoRi.^. — Vorlesungen ùber darstellende Géométrie. Dcuisclio Ans- 
gabe von Prof. \'\\ Schuttk. II. Teil : Aiiwondiinireii auf Ebenflachige Ge- 
Mlde, Kurveii nnd Flacht'u. ~ 1 vol. in-8", xii-294 p., 11 M., relié. 12 M.; 
B. G. Teubner, Lcip/ig. 

J. Perky. — Drehkreisel, Volkslimilit^licr Vorlrag, gelialtcn in cinci- Ver- 
sammlung der « Brilish Associai ion » in Leeds. Ucbersel/.l von Prof. 
A. Walzf.i.. — 2« édition ; 1 vol. in- 12 : relié M. 2,''i0 ; B. G. Teubner, Leipzig. 

M. Planck. — Leçons de Thermodynamique, avec une conférence à la 

Société chimique de Berlin sur le Théorème de Nernsl el l'hypothèse des 
Quanta. Ouvrage traduit sur la troisième édition allemande (augmentée) 
par R. CuEVASSus. — 1 vol. in-8", 311 p., 12 fr. ; A. Hermann & lils, Paris. 

D. RiABOUcuiNSKY. — La fonctiou |.r|. — Essai d un calcul des valeurs 
absolues. — 1 broch. in-4", 28 p.; Konchnii-olf & G'o, Moscou. 

Paul Tannery. — Mémoires scientifiques publiés par J. L. lleiberg el 
H. G. Zeuthen. II, Sciences exactes dans l'anliquilé, 2e volume. — 1 vol. 
in-4o, xxi-555 p.; Fr. 15; Gaulhier-Villars, Paris. 

P. VoLKMANN — Fragen des Physikalischen Schulunterrichts, vier 

Vorirage. — 1 vol. in-8", xvi-()5 p., 2 .\1 . ; lî. (i. Tcibncr, l,ci|)/ig. 

H. VoLLi'KECHT. — Das Rechuen, eine Vorbereitung zur allgemeinen 

Arithmetik. Regeln und Formen des Rechncns, Vcrgleiche mit der allge- 
meinen Arithmelik und Hinweise anf Géométrie nnd Physik. Hilfs- uud 
Uebungsbnch lin- Lehier nnd Schiller der millleren nnd unteren Klassen 
der hohereii L( liranslalten, dor Progyninasien nnd Vorbereitnngschnleii. — 
2"', vermehrle nnd verbesserle Andage. I vol. iii-8", 'i8 p., 0,80 M.; lî. G. 
Teubner, Leipzig. 
A. Voss. — Ueber das Wesen der Mathematik, Kede gehalten am 11. 

Miirz 1908 in dei- (dlèiill. Sil/.iing i\vv K. BaycriscluMi Akademie di^v \\\s- 
senschaflen. 2'i' Anflage. — 1 vol. in-8'>, 123 p., '» M. ; B. G. Teubner, 
Leipzig. 
C. Wakc.ny. — Historia de las Matematicas. — 1 vol. in-8", 375 p., 

S. ; Cervantes, Santiago. 

11 \\fvi . — Die Idée der Riemannschen Flàche. — (.Mathematisch(> 

Voilcsnngeu an der Universitiil (iolliugcn.) — 1 vol. in-8", x-ICi9 p.: 7 M., 
relié 8 M, ; B. G. Tenbiu-r, Lei|)zig. 

P. ZiiniKE. — Konstruktionen in begrenzter Ebene. — [Muilicniatisrlic 
/llhliolhek. No M). I vol. in-8", '.0 ]>., 0,80 M.; B. G. Teubner, Leipzig. 



LE CONTENU DU CERCLE ET DE LA SPHERE 

COMPARÉ A CELUI 

D\4UTRES FORMES GÉOMÉTRIQUES. 



Introduction. — Il est universellement connu, que parmi toutes 
les formes géométriques limitées, ayant même valeur du contour, 
ce sont dans le plan le cercle et dans l'espace la sphère qui offrent 
le contenu maximum. Toutefois, lorsque dernièrement on vint me 
demander une démonstration mathématique rigoureuse de ces 
principes populaires, je m'aperçus qu'il ne s'en trouve aucune 
dans les traités modernes de géométrie qui soit à l'abri d'objec- 
tions fondées. 

Les recherches faites à ce sujet, ont permis de constater que 
cette question, depuis longtemps déjà et jusqu'à l'époque actuelle, 
a été traitée comme exemple d'application du calcul des varia- 
tions \ Cependant pour démontrer ces propriétés si simples du 
cercle et de la sphère, il n'est nullement nécessaire d'avoir recours 
à des procédés aussi recherchés; il suffît d'utiliser à cet effet les 
principes de la géométrie courante. 

A cet égard il y a lieu de considérer. deux mémoires importants 
publiés en 1842 parle professeur Steixer de l'Académie dcBei'lin : 
« Sur le maximum et le minimum des figures dans le plan, sur la 
sphère et dans l'espace en général ». I Journal fiir die reine und 
angewandte Mathematik, vol. 24, pp. 93 et 189). 

Ces mémoires remarquables par le nombre des problèmes 
proposés, des solutions données et des méthodes de démonstration 



* Pour l'aire du cercle : M. Naviek : Résumé des leçons d'analyse données à l'école poly- 
technique. Paris 1856. V. Dalmont, H vol. p. 208. — M. CouRNOT : Traité élémentaire de la 
théorie des fonctions et du calcul infinitésimal. Paris 185T. L. Hachette, Il vol. p. 132. — 
Em. CzL'BER : DitTerential u. Integralrechnung. Leipzig 1906, II vol. p. 460. — Ces calculs 
conduisent à l'équation du cercle. 

Pour le volume de la sphtre : C BossuT : Traité de calcul difTérentiel et de calcul intégral. 
Paris an VI (1798). Impr. de la République, Il vol. p. 470, n" 2.i. — L.-A. SoH.Min : Sammlung 
von Aufgaben ans der Integralrechnung. D' H. Amstkin, H.-W, Schmidt, Halle 1877, p. 295. 

— H. -A. ScHWARZ : Beweis des Satzes, dass die Kugel Kleinere Oberfliiche besitzt, als jeder 
andere Korper gleichen Volumens. Gesaininelte mathent. Abhaitdlungen. 1890. II vol. p. 327. 

— Voir aussi : IVuchr. der K. Ces. der Wisseiischaften u, der Georg. Aui^. Univ. zu Gôttiiigen, 
1884, p. 1-13. Ces calculs prouvent que la forme cherchée doit jouir de certaines propriétés, 
dont jouit aussi la sphère. 

L'Enseignement mathém., 15"^ année; 1913 2C 



370 M. EDLER VON LEBER 

diverses qu'ils contiennent, manquent cependant parfois de clarté ; 

ils ne sont pas toujours complets et à labri de toute critique ainsi 

qu'on le trouve mentionné dans des publications postérieures, à 

savoir : 

F. Edler ff \ ervollstândigung der STEixEr.'schen elementar- 

geometrischen Beweise fi'ir den Satz, dass der Kreis grosseren 

Fliicheninhalt besitzt als jede andere ebene Figur gleichgrossen 

Umfanges ». iSachrichten der Kônigl. Gesellschaft der Wissen- 

schaften u. der Georg Aiig. Universitat zii (jôttingen. Gottingen 

1882 Dietrich. Seite 73'. 

R. Stlium : Bemerkungen u. Zusiitze zu Steixer's Aufsatzen iïber 

Maximum u. Minimum. « Journal fiir die reine ii. ange^vandte 

Mathematik », 1884, vol. 96, p. 3(3 ". 

E. RoLCHÉ et Ch. de Comberousse : Traité de Géométrie, 7" édit., 

Paris 1900, p. 365, t. I et p. 234, t. II ». 

R. Sturm : Maxima u. Minima in der elementaren Géométrie. 

Leipzig und Berlin 1910, p. 3^. 

Ces compléments, ainsi que les excellents mémoires de Steiner 
concernent une foule de problèmes de maxima et minima; ici au 
contraire c'est unicfuement le problème du cercle et de la sphère 
cjui nous occupe. 

Sans vouloir critiquer en détail les publications remarquables 
de mes devanciers, je dois cependant regretter qu'ils n'aient pas 
prouvé tout d'abord que les formes géométriques cherchées, tant 
dans le plan que dans l'espace, doivent présenter partout des 
contours arrondis convexes et être dépourvues de points singuliers, 
ces derniers pouvant entraver les déductions obtenues, soit par 
la géométrie courante, soit par le calcul différentiel. J'ai reconnu 
que cette démonstration préalable une fois établie, on en peut 
déduire facilement la forme circulaire et la forme sphérique, en 
n'invoquant que les principes connus de la courbure des lignes 
et des surfaces. 

On a objecté aussi à toutes les publications antérieures, qu'elles 
ne démontrent nullement l'existence dun maximum maximorum 
tant en grandeur qu'en forme précise; c'est là un point important 
qu'il faut élucider et ma méthode nouvelle s'y prête très bien. 



' L'auteur expose un procédé spécial pour transformer par un nombre limité d'opérations, 
un polygone irrégulier en un polygone régulier d'un plus grand nombre de côtes, de façon 
<i diminuer le rapport du périmètre a l'aire (pi'il contient. 

2 On trouve ici une critique étendue des mémoires de Stbinkr en tant qu'ils concernent 
les problèmes dans le plan. L'auteur tient compte aussi des publications antérieures do 
Sticinku ; il y ïijoutedes dévelojipements complémentaires. 

■ 3 Cet excellent traité reproduit pour les figures planes la démonstration de Stkiner 
I triangle rectangle inscriti ; il donne une démonstration élégante pour la sphère en prouvant 
que toutes les normales à la surface cherchée doivent concourir en' un môme point, tous ces 
rayons ayant même longueur. 

* L'auteur traite le problème du cercle en prouvant que dans un quadrilatère inscrit dans 
le contour, un sommet mobile doit toujours rester sur le cercle passant par les trois autres. 



LE CERCLE ET LA SPHERE 371 

Jadmets comme axiome que soit en plan, soit dans l'espace, par 
toutes les modifications que Ion peut faire subir à un contour 
fermé, de grandeur limitée donnée, afin d'en agrandir le contenu, 
on ne peut élever celui-ci au delà de toutes limites, et par consé- 
quent que ce contenu ne pourra varier cju'entre zéro ligne repliée 
sur elle-même, surface repliée sur elle-même) et une certaine 
limite supérieure que j'appellerai le niaxiiniim absolu. Supposer 
le contraire c'est admettre que le quotient (contenu : (contour) 
peut devenir infiniment grand, ou en d'autres termes, inverse- 
ment : qn un contenu donné, quelque grand quil soit, peut être 
limité par un contour d'étendue nulle, ce qui est absurde. 

11 s'agit maintenant d'examiner si, et comment, on pourra 
atteindre ce maximum absolu, non seulement en grandeur mAis 
aussi en forme précise; c'est à ce dernier égard qu'il pourrait y 
avoir doute. 

On peut supposer l'existence, soit d'un maximum unique, soit 
de plusieurs nîaxima équivalents de formes différentes ', soit 
encore d'une infinité de maxima équivalents de formes diverses- — 
soit enfin d'un maximum absolu précisé en grandeur mais non 
en forme. Il est indifférent qu'on arrive à un pareil maximum 
par un nombre limité de transformations ou par un nombre infini 
d'approximations successives^. 

Dans les démonstrations qui suivent, je ne poursuis pas de 
pareilles distinctions; l'idée dominante est tout autre : nous 
étudions les conditions que doivent remplir les formes cherchées 
pour pouvoir constituer un maximum s'il existe; nous trouvons 
que seuls le cercle dans le plan et la sphère dans l'espace remplis- 
sent ces conditions. 

Considérons pour simplifier le cas d'un contour dans le plan 
(on raisonnerait de même pour les surfaces dans l'espace . Nous 
trouvons cjue ce contour, tant qu'il n'est pas dépourvu de tout 
point singulier, de toute irrégularité de courbure pointe, creux, 
bosse, etc.) tant cju'il n'est pas entièrement circulaire en un mot, 
— peut toujours être déformé de façon que l'on obtienne un 
agrandissement du contenu. En supprimant ainsi toutes les irré- 
gularités de courbure, par approximations successives, nous 
■arrivons au contour circulaire qui seul résiste à tous ces procédés ^. 



1 Par exemple : des ligures symétriques dans le plan ou dans l'espare. 

' Par exemple : Tous les triangles à aire maxima inscrits dans une ellipse donnée : ce sont 
les projections d'un triangle équilatéral mobile restant inscrit dans le cercle dont l'ellipse 
est la projection ; ils sont de forme variable. 

^ Par exemple : Un triangle irrégulier dans lequel, tout en conservant la longueur du 
périmètre, on remplace successivement deux côtés inégaux par deux côtés égaux, puis l'un 
d'eux et le troisième par deux côtés égaux et ainsi de suite... jusqu'à la limite qui est le 
triangle équilatéral à aire maxima. 

* Nos translorn'ations font subir à chaque fois au contour, non seulement un agrandisse- 
ment du contenu mais aussi une diminution simultanée de la longueur du périmètre. Pour 
maintenir celle-ci non altérée, il faudrait donc faire suivre chaque opération d'un agrandisse- 
ment de toute la figure, par voie de similitude. 



372 M. EDLER VON I.EBER 

Mais objectera-t-on peut-être, il n'est pas démontré que par 
d'autres procédés que ceux mentionnés, on ne puisse arriver à un 
contour de contenu encore plus grand? Cela est impossible car, 
ou ce nouveau contour serait circulaire ou il ne le serait pas. Dans 
le premier cas il serait identique au cercle déjà trouvé, car deux 
cercles ayant même périmètre sont identiques. Dans le deuxième 
cas on pourrait appliquer à ce nouveau contour nos procédés de 
transformation jusqu'à le ramener à être circulaire et alors, après 
tous les agrandissements de contenu ainsi obtenus, on serait 
ramené de nouveau à un cercle de contenu supérieur à celui dii 
cercle déjà trouvé, tout en ayant même périmètre, ce qui est 
impossible. Donc enfin puisqu'il est impossible d'imaginer un 
contour isopérimétrique ayant un contenu supérieur à celui du 
cercle, celui-ci constitue en grandeur et en forme le ma.iimiini 
absolu et unique cherché, et ma méthode, consistant à supprimer 
successivement toutes les irrégularités de courbure par des ampu- 
tations de plus en plus restreintes, établit simultanément la limite 
de grandeur et la limite de forme. 

Pour la forme sphérique je ne donne que ma démonstration 
spéciale car j'estime qu'elle est tellement préférable aux exposés 
antérieurs, que ces derniers ne seront plus guère utilisés à 
l'avenir. Par contre, pour la forme circulaire dont on s'occupe bien 
plus souvent, j'ajoute à mon procédé spécial, deux autres démons- 
trations. La première (triangle rectangle), utilisée également par 
Steiner, représente la solution la plus simple; la seconde (polygones 
réguliers) conduit directement à la solution cherchée, sans un 
exposé préalable ; je l'ai établie dans ce but spécial. 

I. — Parmi toutes les courbes planes fermées de même périmètre, 
la courbe circulaire est celle qui limite la plus grande surface. 

(1) Lorsc|u'une droite AB (fig. 1) divise en deux parties égales 
la longueur ACBD d'un contour fermé renfermant une aire maxi- 
mum, elle doit aussi diviser l'aire limitée par ce contour en deux 
parties égales. Supposons dans le cas contraire, que l'aire ACB, 
par exemple, soit supérieure à l'aire ADB et faisons tourner le con- 
tour ACB autour de AB comme axe pour le rabattre en sa position 
symétrique ACB; alors l'aire totale ACBC'A dont le périmètre n'a 
pas changé, sera supérieure à l'aire de la figure primitivement con- 
sidérée; celle-ci ne pourrait donc j^as représenter un maximum. 

(2) Le contour cherché ne doit contenir aucune cavité ou pointe 
rentrante. Considérons dans le contour ABCD (fig. 2) une cavité A 
et une pointe B dirigées vers l'intérieur. Dans les deux cas il est 
possible de mener une sécante découpant à l'intérieur une partie 
du contour de façon à agrandir l'aiie tout en diminuant simulta- 
nément la longueur du contour. La figure considérée tout d'abord 
ne satisferai! (h)nc pas aux conditions j)osées. 

(3) Le contour cherché ne doit pas non plus piéscnter des bosses 



LE CERCLE ET LA SPHERE 



373 



ou pointes dirigées vers l'extérieur. Considérons en effet (fig. 2) 
les pointes saillantes D et C. Dans le cas de D ainsi que dans le 
cas d'une bosse, il y a raccordement concave aux abords, ce qui 
d'après (2) doit être exclu. Dans le cas de C il y a raccordement 
convexe; menons par un point E voisin de C la droite EF bissec- 
trice à la lois pour le contour et l'aire comprise et faisant en E 
un certain angle avec le contour. (S'i cet angle était en particulier 
un angle droit, on choisirait sur l'arc convexe ou rectiligne EG 
un autre point E'). Remplaçons maintenant la moite EDAF du 
contour par le rabattement symétrique de ECBF autour de EF 
comme axe, ce qui dans la nouvelle figure totale ne change ni la 
longueur du contour ni la valeur de l'aire qu'il comprend. Entre 
le point C et son symétrique C par rapport à EF il existe alors 
un contour concave et la figure, d'après (2), ne peut constituer un 
maximum. 





On pourrait, il est vrai, objecter que l'arc convexe F!C étant tel 
qu'en chaque point il reste normal à la bissectrice qu'on y fait 
passer, la démonstration ci-dessus serait en défaut. Mais alors il 
suffirait de faire passer le point E' voisin du point C un peu au 
delà de celui-ci. Comme en C il y a rupture brusque de courbure, 
la conception de la bissectrice toujours normale au contour devient 
inadmissible. 

(4) Le contour cherché ne doit contenir aucune partie rectiligne. 
Ceci lésulte de la démonstration (3) ci-dessus dans laquelle il suffît 
de considérer (fig. 2; la partie EC du contour comme formée par 
une ligne droite. De plus, dans ce cas l'objection mentionnée 
ci-dessus disparait d'elle-même, car si en E la bissectrice EF 
était normale à EC elle ne pourrait plus l'être en tout autre point 
E' de EC, deux bissectrices ne pouvant jamais être parallèles. 

(5) Il résulte de ce qui précède que le contour cherché doit 
présenter partout une courbure continue, convexe et dépourvue 
de points singuliers. Cette courbure ne peut croître ou décroître 



374 



M. EDLER VON I.EBER 



continuellement en intensité, autrement le contour ne pourrait 
être une courbe fermée ; elle sera donc alternativement croissante 
ou décroissante à moins qu'elle ne reste constante. Considérons 
(fîi>-. 3) une bissectrice AB et supposons que le point A décrive la 
totalité du contour. Dans toutes les positions de AB cette droite 
devra toujours rester normale à la courbe au point A, car autre- 
ment en appliquant la démonstration du n° (3) donnée (fig-. 2 pour 
le point C, on prouverait cpie la courbe ne convient pas pour le 
maximum cherché. La bissectrice AB devra pour les mêmes 
raisons rester aussi normale à la courbe en sa seconde extrémité 
B; ce sera donc une droite toujours doublement normale à la 
courbe. La bissectrice AB, en exécutant son mouvement de rota- 
tion, roule sur la développée du contour. 

Cette développée doit être une courbe fermée ; elle doit présenter 
un point de rebroussement pour chaque maximum ou minimum 
de courbure du contour. 11 résulte encore de là que AB doit 
conserver une longueur constante, car ce qui se déroule d'un côté 
s'enroule de l'autre. La possibilité d'une pareille conception se 
démontre par un exemple : 





Concevons que la développée se compose de trois arcs de cercle 
égaux 00', O'O", 0"0 (fig. 3) tangents deux à deux. Sur le milieu 
J de l'arc O'O" posons le milieu de la. droite AB, qui roulant 
ensuite sur cette développée quasi triangulaire, engendre le 
contour développant. A chaque maximum de courbure d'un côté, 
correspond un minimum de courbure de l'autre côté, comme le 
fait voir la position xV'B' de la droite mo]>ile. On peut concevoir 
une infinité de pareilles figures, même de courbure irrégulière, 
dans lesquelles toutefois la développée devra toujours présenter 
un nombre impair de points de rebroussement et entre ceux-ci 
des arcs de même longueur, à défaut de quoi ce qui précède ne 
serait pas possible'. 



1 On peut, pour s'en convaincre, essayer la constriiclion ifig. 3i avec \ arcs de cercle 
égaux pour la développée. On reconnaît de suite que l'on obtient ainsi ]>lusieurs dévelop- 



LE CERCLE ET LA SPHERE 375 

(6) Le contour doit forcément être de forme circulaire. En effet, 
si une forme du contour, telle quelle vient d'être décrite, est 
admissible géométriquement, nous y rencontrons cependant, 
dans le cas du problème actuel, une impossibilité, qui ne disparaît 
que si la développée considérée se réduit à un point unique, à 
défaut de quoi la droite AB ne pourrait pas rester bissectrice 
dans toutes ses positions. Lorsque de fait, le point J de contact 
avoisine l'un des points de rebroussement, comme pour A'B', l'un 
des rayons vecteurs développants est plus grand que l'autre, donc 
l'accroissement de l'aire d'un côté ne peut être égal à la diminu- 
tion de l'autre côté. Donc enfin la développée OO'O" doit forcé- 
ment se réduire à un point unique et nous arrivons ainsi immé- 
diatement au développement du contour circulaire, c. q. f. d. 

(7) Au lieu d'établir, comme ci-dessus (5) et ((3) la forme 
circulaire du contour cherché, en considérant le mouvement de 
rotation d'une bissectrice doublement normale, on peut arriver à 
la même conclusion à l'aide de la démonstration suivante déjà 
utilisée dans les mémoires de Steixer et qui est certainement la 
plus simple'. 

Considérons (fîg. 4) une bissectrice AB et un point C pris à 
volonté sur le contour ; menons les droites CA et CB. Dans le 
triangle ACB l'angle en C doit être un angle droit, car s'il ne 
l'était pas, on pourrait agrandir la demi-surface ABECD sans 
changer la longueur du contour curviligne en remplaçant cei 
angle par un angle droit, tout en laissant sur les côtés AC et BC 
les segments courbes qu'ils sous-tendeut. En remplaçant ensuite 
la deuxième moitié ABE'C'D' du contour par la figure symétrique 
de la première prise par rapport à AB, on aurait augmenté l'aire 
de la figure totale, sans changer la valeur du contour. 

Ces modifications de forme introduisant même en A, C, B, C 
des points singuliers dans le contour on pourrait encore y 
appliquer les procédés mentionnés au (2), etc. Le contour doit 
donc forcément être circulaire. 

(8) Au lieu d'utiliser les deux démonstrations ci-dessus, qui 
s'appuient sur notre exposé préliminaire, on peut arriver sans 
celui-ci, directement à la conclusion voulue, à l'aide d'une 
démonstration que nous avons établie, en considérant des poly- 
gones réguliers d'un nombre infini de côtés. 



pantes au lieu d'une seule, tandis que dans le cas d'un nombre impair de rebroussements, 
comme ci-dessus, les deux extrémités de AB décrivent une seule et môme courbe. Il suffit 
pour cela que les arcs de développée aient même longueur, mais il n'est pas nécessaire qu'ils 
soient circulaires ni môme qu'ils soient tangents entre eux. Ce qu'il importe de remarquer, 
c'est que dans ces conditions, après une révolution complète de la droite AB, le point B se 
trouve exactement ;i la place où se trouvait précédemment le point A, tandis que dans le cas 
d'un nombre pair de rebroussements, ce serait le point A qui serait revenu sur lui-même. ■ 

*■ Notre première démonstration spéciale, offre toutefois l'avantaije de j>ouvoir être utilisée 
de nouveau plus loin, pour notre démonstration concernant la forme sphérique. 



376 



M. EDLER VOy LEBER 



Si fig". 5) deux côtés adjacents AC et BC d'un polygone sont 
inégaux on peut remplacer le contour AC'B par un autre ACB de 
même longueur, à côtés égaux, et qui renferme une plus grande 
surface \ de façon que : 

AC + CB := AC + C'B et surf. ACB > surf. AC'B 

Menons la droite CH parallèle à AB et prolongeons AC de sa 
propre longueur jusqu'au point D qui est alors le symétrique de 
B par rapport à Cil. Joignons ce point D au point C" où AC 
coupe CH et joignons C"B en sorte que C"D = C"B. On voit sur la 
ligure que : 

AC" 4- C"B = AC" + C"D > AD = AC + CB . 

Donc le contour AC'B étant plus grand que le contour ACB, le 
point C où il doit y avoir égalité, se trouve forcément au-dessous 
de la droite CH et la surface ACB surpasse la surface ACB de la 
surface BCC. 





Fig. 5. 



Fig. 6. 



Lorsque AC tend vers AC l'aire BCC tend vers zéro. 

Si d'autre part (fig. 6) dans un polygone ayant tous ses côtés 
égaux à /', deux angles voisins AM'xN' et BN'M' sont inégaux, on 
peut déformer le contour AM'iX'B en un autre AMNB à côtés de 
même longueur, à angles égaux et comprenant une surface plus 
grande. Soit .1 le point d'intersection des droites MN et M'N'. 11 
s'agit de prouver qu'en passant de AM'N'B à AMNB l'agrandis- 
sement AMJM'A surpasse la diminution BNJN'B. 



* Le lieu géométrique des ])oints C est une ellipse ayant A et B comme foyers et C comme 
sommet du petit axe. La hauteur du point C au-dessus de AB est donc maxima et ceci 
suffirait pour démontrer la proposition. 



LE CERCLE ET LA SPHÈRE 377 

Remarquons d'abord que MM' > NN' car si l'on avait MM' ^ 
NN' il faudrait que M'X' fut plus ^rand que MN ce qui se 
démontre comme suit : les droites MM' et NN' se coupent en H ; 
l'angle NMH est plus grand que l'angle de M\ avec la tangente 
en M au cercle décrit avec A comme centre et /• comme rayon. 
L'angle MNH est plus petit que l'angle de MN avec la tangente 
en N au cercle décrit de B comme centre et /• comme rayon. MN 
faisant avec les tangentes mentionnées des angles égaux, on a 
donc NMH > MNH. Abaissons M'P et N'P' perpendiculaires sur 
MN ; alors on aurait (même dans le cas oii MM' = NN') forcément : 
NP' > MP d'où résulte M'N' > PP' > MN contrairement à 
M'N' = MN. Donc il faut que MM' > NN' et surf. AMM' > 
surf. BNN'. 

Menons maintenant MK de telle façon que l'on ait pour les 
angles l'égalité JMK = JN'N. Le point K doit se trouver sur JM' 
car l'angle JMH est plus grand que JNII et à plus forte raison plus 
grand que JN'N. Par suite de la similitude des triangles MJK et 
N'JN et des inégalités ]\H\ >■ MM' >> NN' on aura pour les surfaces 
MJM' >> MJK >> N'JN et ceci complète la démonstration qu'il 
fallait donner pour AMJM'A > BNJN'B. 

Lorsque M'N' tend vers MN, cette inégalité tend vers une 
égalité, pour laquelle les deux termes tendent vers zéro. Si l'on 
pousse la déformation en sens inverse, on atteint la limite où la 
ligne brisée AM'N' devient une ligne droite AN". 11 n'y a pas lieu 
d'aller au delà puisqu'alors la diminution de l'aire comprise 
devient manifeste. 

(9j Parmi tous les polygones ayant un périmètre de longueur 
donné et un nombre de côtés donné, le polygone régulier com- 
prend la plus grande surface et entre deux polygones réguliers 
ayant un périmètre de longueur donné, celui qui a le plus grand 
nombre décotes comprend aussi la plus grande surface. 

Le premier énoncé résulte immédiatement de ce qui a été 
démontré au n° 8, car il faut, d'après cela, dans le polygone 
considéré, que tous les côtés soient égaux et que tous les angles 
soient égaux. Le second énoncé résulte de ce que le polygone 
d'un plus petit nombre de côtés peut toujours être considéré 
comme un polygone irrégulier d'un plus grand nombre de côtés. 

(10) Le contour cherché, renfermant la plus grande surface à 
égalité de périmètre, doit être circulaire. On peut en effet 
toujours inscrire dans le contour considéré un polygone ayant 
m côtés égaux à /■. On prendra à cet effet les m côtés /• assez 
petits pour qu'en les portant sur le contour, le polygone ne se 
ferme pas; puis on fera croître /• d'une manière continue jusqu'à 
ce que la ligne polygonale se ferme. Le polygone alors inscrit 
devra être un polygone régulier, autrement en le déformant de 
manière qu'il devienne régulier, tout en laissant les segments 



378 M. EDI.ER VON LEBER 

curvilignes attachés à ses côtés, on agrandirait l'aire comprise 
sans changer la longueur du contour. Si Ion suppose maintenant 
que le nombre m des côtés croisse jusqu'à l'infini, les polygones 
réguliers s'assiniilant alors de plus en plus au contour considéré, 
qui doit les contenir tous, on en conclut que ce dernier doit être 
un cercle. 

Cette troisième démonstration, moins simple que les deux pré- 
cédentes, ofFre cependant l'avantage de conduire directement à 
la conclusion sans s'appuyer sur notre exposé préliminaire. Klle 
nous fait indirectement connaître aussi certaines propriétés des 
polygones, auxquelles il convient d ajouter encore la suivante : 

Parmi tous les polygones de périmètre donné, formés par une 
suite de m côtés de longueurs quelconques, également données, 
celui qui est inscriptible dans un cercle contient la plus grande 
surface. On peut en effet porter la suite de nt côtés sur une cir- 
conférence d'un rayon suffisamment grand pour que la ligne i)oly- 
gonale ne se ferme pas. On fera ensuite décroître le rayon dune 
manière continue jusqu'à ce qu'il y ait fermeture ; le polygone 
sera alors inscrit. 

Portant maintenant les m côtés de ce polygone sur les côtés 
respectifs du premier polygone, avec les segments circulaires 
qu'ils sous-tendent, on obtiendra une figure à contour curviligne, 
ayant une surface totale moins grande que celle du cercle. 
Retranchant de part et d'autre les segments circulaires, il reste 
les deux polygones à comparer, dont celui qui est inscriptible 
contient la plus grande surface. 

(11; Les propriétés du cercle entier se généralisent pour le 
segment circulaire comme suit : 

Lorsqu'une ouverture entre deux points d'un contour fermé 
pour le reste, doit être close par une ligne de longueur donnée, 
c'est le segment circulaire dont l'arc possède cette longueur, qui 
contient la plus grande surface, car l'aire du cercle entier auquel 
ce segment appartient, ne pourrait qu'être diminuée si on le 
remplaçait par tout autre contour de même longueur. 

IL — De toutes les formes géométriques d'un corps limité de 
toute part dans l'espace, la forme sphérique est celle qui, à égalité 
de grandeur de l'enveloppe, renferme le plus grand volume. 

(12 Toute section plane AB (fig. 7) praticiuée à travers un corps 
solide, renferme une surface moins grande que la surface de 
chacune des calottes détachées dans le corps. Considérons d'abord 
la calotte supérieure dont la surface peutêtre entièrement projetée 
sur la section AB. Menons à travei's la calotte ACB un grand 
nombre de plans pai'allèlcs entre eux, j^erpendiculaires à la section 
AB, et divisant cette calotte en disques minces. Menons ensuite 
un second système de plans parallèles, perpendiculaires aux 
disques et à la section AB, lesquels divisent les disques en un 



LE CERCLE ET LA SPHERE 



379 



grand nombre de prismes minces (ou plutôt troncs de prismes à 
base rectangulaire. Chacun de ces prismes projette une petite 
parcelle de la surface de calotte sur la base rectangulaire dans la 
section AB. Le nombre de prismes projetants devenant infiniment 
grand, les parcelles de la calotte peuvent être considérées comme 
de petits parallélogrammes toujours plus grands que leur projec- 
tion sur la section AB, s'ils ne possèdent pas, comme dans le cas 
de parallélisme, une valeur au moins égale. Tout le long du contour 
de la section AB les parcelles de calotte seront triangulaires en 
général, mais la conclusion reste la même. 

Dans la seconde calotte détachée AA'C'B'B la surface surpasse 
à plus forte raison celle de la section AB, puisque déjà la portion 
A'C'B' qui se projette sur la section AB est plus grande que la 
surface de celle-ci, d'après ce qui précède. 





Fig. 7. 



Fig. 8. 



(13) Considérons (fig. 8i dans un corps solide, la calotte ACB 
détachée par une section plane AB et supposons que Ton prolonge 
toutes les ordonnées de cette calotte, perpendiculaires à la section, 
d'une quantité égale à leur propre longueur; il en résultera une 
nouvelle surface ACB symétrique de ACB par rapport à la section 
AB. Nous allons démontrer que le corps ACB possède exactement 
la même valeur de surface enveloppe et la même valeur de volume 
que son symétrique ACB. 

Menons à travers le corps ACB un grand nombre de plans 
parallèles entre eux, perpendiculaires à la section AB et divisant 
ce corps en disques minces. .Menons ensuite un second système 
de plans parallèles perpendiculaires aux disques et à la section 
AB, lesquels divisent les disques en un grand nombre de prismes 
minces (ou plutôt troncs de prismes) à base rectangulaire dans la 
section AB. Le nombre des prismes projetants devenant infiniment 
grand, les parcelles de la surface peuvent être considérées comme 
de petits parallélogrammes. Considérons (fig. 8 l'un de ces paral- 
lélogrammes abcd; celui-ci sera reproduit exactement dans la 



380 



M. EDLER VON LEBER 



surface symétrique AC'B, car les longueurs des quatre cAtés et des 
diagonales sont les mêmes de part et d'autre. 

Sur l'extrémité du disque considéré bghc il y aura, au lieu d'un 
parallélogramme, un triangle ghf <\m sera également reproduit 
dans la figure symétricjue, caries longueurs des trois côtés restent 
les mêmes. Donc on conclut que les surfaces enveloppes des deux 
corps symétriques ACB et AC'B ont la même valeur. 

D'autre part le volume de l'un des troncs de prisme, par exemple, 
celui provenant de abcd, s'obtient en multipliant l'ordonnée du 
centre de abcd par la surface de la base rectangulaire. Ces deux 
facteurs se trouvent reproduits dans le tronc de prisme symétrique ; 
il en est donc de même pour le volume. Knfin vers l'extrémité du 
disque il y a, au lieu d'un tronc de prisme, une petite pyramide 
fegh dont le volume s'obtient en multipliant la base triangulaire 
egh parle tiers de/e. Ces facteurs étant reproduits dans la pyramide 
symétrique il en est encore de même du volume. Donc en somme 
les deux corps symétriques ACB et AC'B ont des volumes de valeur 
égale. 

(14) Toute section plane qui dans le corps de forme cherchée 
divise la surface enveloppe en deux parties de valeur égale, doit 
aussi diviser le volume du corps en deux parties de valeur égale. 
Dans le cas contraire, en effet, on pourrait remplacer la moindre 
partie par la figure construite symétriquement sur la section avec 
l'autre partie d'après (13) et on aurait ainsi obtenu un volume 
encore plus grand sans changer la valeur totale de l'enveloppe, ce 
qui* doit êtie exclu en principe. 

(15) La forme du corps cherchée ne doitprésenter aucune cavité, 
rigole, arête vive ou pointe dirigées vers l'intérieur. Dans le cas 
d'une cavité proprement dite, on trouvera toujours un point de 

la surface, pour lequel celle-ci est 
concave dans toutes les directions,, 
le plan tangent dans le voisinage res- 
tant entièrement compris à l'intérieur. 
Alors toute section plane parallèle à 
ce plan et très voisine, détache une 
calotte de surface tombant à l'inté- 
rieur et de ce fait amoindrit la valeur 
de l'enveloppe tout en augmentant 
le volume compris (12). Dans le cas 
d'une rigole, il y a concavité dans le 
sens transversal, tandis que dans le 
sens longitudinal (fig. *J) il peut y 
avoir convexité. On pourrait bien en pareil cas, considérer l'ex- 
trémité de la rigole où généralement il y aura concavité ; mais 
il se pourrait que la rigole n'ait pas d'extrémité, en revenant en 
forme annulaire sur elle-même ; il se pourrait encore que vers 




Fig. y. 



LE CERCLE ET LA SPHERE 



381 



l'extrémité il y ait raccordement convexe avec la surface arron- 
die. En pareil cas coupons la surface fig. 9) par un plan bis- 
secteur AEFB faisant avec la rigole un certain angle DFB et 
remplaçons la partie inférieure du corps par la figure symétrique 
de la partie supérieure ACDB, ce cfui (13) ne change ni la valeur 
de l'enveloppe ni celle du volume compris. La rigole CEFD et la 
rigole symétrique CEFD' se coupent suivant un profil concave 
EF. Entre le point .1 où les talwegs de rigoles se rencontrent et le 
point E il y a sûrement une arête vive rentrante, concave, où l'on 
peut à l'aide d'une section plane, détacher une calotte tombant à 
l'intérieur, ce qui amoindrit la valeur de l'enveloppe tout en 
augmentant celle du volume. 





Fig. 10. 



Fig. 11. 



Considérons maintenant le cas fig. 10 où la rigole ne présen- 
terait aucune concavité, ni dans un sens ni dans l'autre, étant 
formée de talus convexes ou plans, qui se coupent suivant une 
arête vive /J convexe et se raccordent en CE et DF avec le reste 
de la surface. Menons comme ci-devant à travers le corps un plan 
bissecteur AEF'B coupant la rigole suivant un angle aigu DFB et 
remplaçons la partie inférieure du corps par la figure symétrique 
à la partie supérieure (13). f^a rigole CEFD et la rigole symétrique 
CEFD' se coupent suivant l'arête vive EF et les arêtes vives /J et 
i'J se rencontrent en J où il s'est formé une pointe rentrante, cjue 
l'on peut couper par une section plane très voisine, de façon à 
détacher une calotte tombant à l'intérieur, ce qui amoindrit la 
valeur de lenveloppe tout en agrandissant celle du volume. 

La démonstration que nous venons de donner serait applicable 
à toute arête vive ou pointe rentrant dans la surface de lenveloppe. 

(16) La forme de corps cherchée ne doit présenter ni bosses, ni 
bourrelets, ni arêtes vives ou pointes dirigées vers l'extérieur. En 
tant qu'il s'agit de bosses, bourrelets ou autres parties saillantes, 
dépourvues d'arêtes vives ou pointes, on remarquera qu'une 
pareille excroissance, si elle ne forme partie de la surface même, 



382 M. EDLERIONLEBER 

sera toujours l'accordée avec elle par des parties concaves et doit 
de ce fait (15) rester exclue. 

Considérons maintenant ifig. 11) le cas d'une arête vive i] reliée 
en CE par un raccordement convexe avec la surface. Menons 
parallèlement à la tangente en un point / de Taréte /J et dans le 
voisinage, un plan bissecteur AB qui coupe la surface du corps 
/JBD en biais. (Si ce plan sécant était par hasard normal à la 
surface dans le voisinage du point B, on prendrait entre BD et i 
un autre plan sécant bissecteur B'D' qui ne le serait pas). Rem- 
plaçons ensuite la partie inférieure du corps par la figure symé- 
tricjue de la partie supérieure (13 ce qui ne modifie en rien la 
valeur de l'enveloppe et du volume compris. Il sest formé alors 
entre l'arête /J et l'arête symétrique i'i' une rigole rentrante, ce 
qui (15) doit rester exclu. 

On pourrait, il est vrai, objecter que la surface du corps entre 
BD et /J étant telle que les plans bissecteurs B'D' menés dans 
cet intervalle parallèlement à la tangente en /, rencontrent cette 
surface toujours normalement, la démonstration ci-dessus serait 
en défaut. iNIais en pareil cas il sufiîrait de faire passer le plan 
sécant B'D' un peu au delà de la tangente en /. Puisqu'en ce 
point il y a rupture brusque de courbure, la conception du plan 
bissecteur toujours normal à la surface est alors inadmissible. 

La démonstration donnée ci-dessus pour le cas du ne arête 
vive à raccordements convexes, serait également applicable au 
cas d'une pointe raccordée de la même façon. 

(17) La forme de corps cherchée ne doit contenir aucune ligne 
droite ni aucune surface plane. Ceci résulte de la démonstration 
(16) pourvu cjue dans la figure ;11 on considère B/ comme une 
ligne droite ou B/J comme une surface plane. En outre, si dans 
catte figure le plan bissecteur BD était normal à la droite ou au 
plan en B, tout autre plan bissecteur B'D' entre B et / ne le serait 
plus, puisqu'il ne peut y avoir deux plans bissecteurs parallèles. 

11 résulte de tout ce qui précède que la forme de corps cherchée 
doit être partout continue, arrondie, convexe et dépourvue de 
points singuliers. 

(18) Tout plan bissecteur, doit en chaque point de la courbe de 
section, être normal au plan tangent à la surface en ce point. En 
effet si cela n'était pas, on pourrait, en procédant d'après (15) et 
(16), remplacer l'une des moitiés du corps par la figure symé- 
trique de l'autre et établir ainsi une rigole, permettant de diminuer 
l'enveloppe tout en augmentant le volume compris. 

(19) La forme de corps cherchée doit être la forme sphérique. 
En effet, menons à travers le corps ifig. 12i le plan bissecteur 
XX' pris à volonté puis perpendiculairement à celui-ci le plan 
bissecteur ZZ' qui coupe le premier suivant YY', enfin per- 
pendiculairement à cette droite le plan bissecteur XZX'Z', qui 



LE CERCLE ET LA SPHÈRE 



383 



coupe cette ligne en O et le premier plan bissecteur mentionné 
XX', suivant la droite XOX'. Xous avons établi ainsi les trois 
axes rectangulaires usuels et nous allons prouver que la première 
section XYX'V menée tout d'abord, à volonté, doit être circulaire. 
Supposons (fig. 12) que le plan bissecteur XZX'Z' se meuve de 
façon à rester toujours perpendiculaire au plan XYX'Y' et de 
façon que le point X fasse un tour complet sur la périphérie de 
cette section. En une position quelconque X" de ce point, la 
droite X"X"', suivant laquelle se coupent les deux plans, doit 
d'après 18] être toujours normale à la courbe XX"X' et il en est 





de même pour le second point d'intersection X'". Nous sommes 
ainsi ramenés absolument à ce qui a été dit au n" (5) (fîg. 3) quant 
au mouvement de rotation de la droite doublement normale, 
roulant sur la développée de la courbe de section ; toutefois ici 
on ne peut atlirmer pour le moment, que cette droite mobile soit 
bissectrice de la section XX"X'X'". Pour tout le reste rien n'est 
changé: la droite X"X"' conserve une longueur constante ; elle 
roule sur une développée à nombre impair de rebroussements... 
etc. Pour simplifier nous admettrons comme dans la fig, 3 qu'il 
n'y en ait que trois ; ce qui suit s'appliquerait tout aussi bien à 
un nombre supérieur. 

La droite X"X"' roule donc dans le plan XX"X'X"' sur une déve- 
loppée quasi triangulaire. Le plan bissecteur mobile roule sur 
une surface cylindrique normale au plan XX"X'X"' et ayant cette 
développée quasi triangulaire comme base. Ce cylindre coupe la 
surface du corps (fig. 13 suivant deux contours quasi triangulaires 
OOjOj et O'O'jO'j. Chaque point d'un pareil contour OO^Oj 
correspond à une position du plan bissecteur mobile et à une 
ligne de contact du cylindre, normale au plan XYX''V'. Il faut 
donc, d'après 18 , qu'en chacun de ces points fig. 13) du contour 
OOjOg, le plan tangent à la surface du corps, soit parallèl